第六章：点的运动学
运动学
2
R
R 2 ,
则 a a2 an2 R 4 2 ， 在同一瞬时，刚体上所有各点的速度及加速度的大小都与点 到转轴的距离成正比， 所有各点的加速度与其法向加速度 （主 法线）的夹角都相同，且与点到转轴的距离无关。 （如图）
a a
a
a
点的复合运动 复合运动的基本概念 ： 动点：将所研究的运动点。 静系：将固结于地球上的参考系。 动系：将固结于其他相对于地球的物体参考系。 绝对运动（速度、加速度） ：动点相对于静系的运动（速
xt 、y t 为绝对运动方程， xt 、yt 为相对运动方程， xo t 、yo t 为牵
连运动方程。
速度合成定理：动点在每一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的
牵连速度与相对速度的矢量和，即 a e r 。
加速度合成定理：牵连运动为平动时，动点在任一瞬时，绝对
矢端曲线：随着时间的连续变化，矢径的端点将在空间划出一
条曲线。 矢端曲线既是动点的运动轨迹。
速度：描述动点的运动基本物理量，用来描述动点运动的快慢
和方向。 动点的速度矢量等于它的矢径 r 对时间的一阶导数，即
dr ，方 r dtFra bibliotek向为速度矢量沿着矢端曲线（运动轨迹）的切线，指向运动方向。
2 2 n 2
s 2 s n ， a a a s 即 a a an n
刚体的基本运动
刚体的平动：刚体运动时，若其上任一直线始终保持与原来
位置平行，则称刚体的这种运动为平行移动，简称“平动” 。
直线平动：刚体平动时，若其上各点的轨迹为直线。
点运动的自然描述法——弧坐标： 当动点的运动轨迹已知时， 在 运动轨迹上任取一点为原点，并且设原点向某一侧量去的弧长 s 为正，另一侧为负，称为 s 为动点的弧坐标。 动点沿运动轨迹的运动方程： s st ，动点运动时，弧坐标 S 是时间的单值连续函数，又称“弧坐标表示的动点运动方程” 。 自然轴系： 过曲线上任一点 M， 有唯一的一条切线和无数条法线，
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
(完整版)点的运动学
dz dt
z
★点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间
的一阶导数。
点的运动学
速度的大小：
v (dx )2 (dy )2 (dz )2 dt dt dt
(vx )2 (v y )2 (vz )2
速度的方向余弦： cos(v, i )vx源自cos(v ,j)
v vy
v
cos(v ,
k)
vz
v
直角坐标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
O j
y
i
x
xy
点的运动学
3、点的加速度
设： a axi a y j azk
ax
dv x dt
d2 x dt 2
x
ay
dv y dt
d2 y dt 2
y
az
dvz dt
d2z dt 2
z
直角坐 标法
z
vz
M
vy
rz
v
vx
a
k
d2r dt 2
r
v(t )
v2 a
M a
r
M
v(t t)
a
加速度 — 描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化O率的力学量。加速度
的方向为v的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致) 加速度大小等
于矢量 a 的模。
点的运动学
§6-2 直角坐标法
直角坐标法
1、点的运动方程和轨迹方程
不受约束的点在空间有3个自由度，
r (t )
M
r (t )
末端将描绘出一条连续曲线，称为
矢径端图，它就是动点运动的轨迹。 O
理论力学重难点及相应题解
运动学部分：一、点的运动学重点难点分析1．重点：点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法向加速度的物理意义等）；选择坐标系，建立运动方程，求速度、加速度。
求点的运动轨迹。
2．难点：运动方程的建立。
解题指导：1．第一类问题（求导）：建立运动方程然后求导。
若已知点的运动轨迹，且方程易于写出时，一般用自然法，否则用直角坐标法。
根据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐标原点和正向。
不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊位置。
根据运动条件和几何关系把点的坐标表示为与时间有关的几何参数的函数，即可得点的运动方程。
2．第二类问题（积分）：由加速度和初始条件求运动方程，即积分并确定积分常数。
二、刚体的简单运动重点难点分析：1．重点：刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上任一点的速度和加速度。
2．难点：曲线平移。
解题指导：首先正确判断刚体运动的性质。
其后的分析与点的运动分析一样分两类问题进行。
建立刚体运动方程时，应将刚体置于一般位置。
三、点的合成运动（重要）重点难点分析：1．重点：动点和动系的选择；三种运动的分析。
速度合成与加速度合成定理的运用。
2．难点：动点和动系的选择。
解题指导：1．动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的，不可能按顺序完全分开。
2．常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：（1）两个（或多个）不坟大小的物体独立运动，（如飞机、海上的船舶等）对该类问题，可根据情况任选一个物体为动点，而将动系建立在另一个物体上。
由于不考虑物体的大小，因此动系（刚体）与物体（点）只在一个点上连接，可视为铰接，建立的是平移动坐标系。
（2）一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小物体为动点，动系建立在大物体上。
（3）两个物体通过接触而产生运动关系。
其中一个物体的接触只发生在一个点上，而另一个物体的接触只发生在一条线上。
选动点为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
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解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
数学试题-点的运动学
第六章 点的运动学6-1 从水面上方高20m 的岸上一点A ，用长为40m 的绳系住一船B 。
今在A 处以3m/s υ=的均速拉绳，使船靠岸，求5s 末船的速度是多少？在5s 内船移动了多少距离。
解：1）建立坐标系Ox 如图，则动点B的位置坐标为(t)B x =0t =时，(0)34.64m B x ==5s t =时，(5)15m B x ==5s 内船移动的距离(5)(0)34.641519.64m B B s x x ∆=-=-=2）船的速度(t)(t)(40B B x υ==5s t =时，75(5)5m /s 15B υ-===-（沿x 轴反方向） 6-2 已知点的运动方程为250,5005x t y t ==-（y 单位为m 、t 单位为s ）。
求当t=0时，点的切向加速度、法向加速度及轨迹的曲率半径。
解：1）由点的运动矢量法知： 运动方程为250(5005)r ti t j =+-；速度5010v r i tj ==-，速度大小v ==加速度10a v j ==-，加速度大小210/a m s ==；t=0时，050/v m s = 2）由点的运动自然法知： 切向加速度dva dtττ==；法向加速度2n v a n ρ==； t=0时，(0)0a τ=，2(0)10/n a a m s ==，220050250(0)10n v m a ρ===6-3 图示摇杆滑道机构中的滑块M 同时在固定的圆弧槽BC 和摇杆OA 的滑道中滑动。
如弧BC 的半径为R ，摇杆OA 的轴O 在弧BC 的圆周上。
摇杆绕O 轴以等角速度ω转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。
试分别用直角坐标法和自然法给出点M 的运动方程，并求其速度和加速度。
解：直角坐标法：1） 建立直角坐标系1o xy 如图，则动点M 的 2） 运动方程cos 2sin 2r R ti R tj ωω=+3） 速度2sin 22cos 2v r R ti R tj ωωωω==-+；速度大小2v R ω==4） 加速度224cos 24sin 2a v R ti R tjωωωω==-- 加速度大小24a R ω== 自然法：1） 建立弧坐标系如图，M o 为原点，ω方向为正方向，则 2） 动点M 的运动方程2s R t ω= 3） 速度2v s R τωτ==4）加速度2204n n v a a a a n R n τωρ=+=+==第七章 刚体的基本运动7-1 图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆OA=1.5m 在铅垂面内转动，杆AB=0.8m ，A 端为铰链，B 端有放置工件的框架。
第六章 运动学基础2
a2
at 2
an2
(v2
c2 )a2 v2
(v2 )2
(1
v2 c2 v2
)a2
v4
2
c2 v2
a2
v4
2
a v3 (负号不合理舍去）
c
v2 c2 a v
§ 6-3 刚体的平动
一、定义 Translational motion of a rigid body
z 刚体在运动过程中，其上任
点的切向加速度和法向加速度的大小分别为：
a v 0 ,
an
v2
80
因为： a a2 an2 32 an
所以：
v2 80
an 32
即： ρ = 2.5 （m)
例6-7 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动的滚动（称为纯滚
动），设轮子转角=t，如图所示。求用直角坐标和弧坐标表
示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速
5. 点的加速度
v vτ
a dv dv τ v dτ dv τ v dτ ds dv τ v2 dτ
dt dt dt dt ds dt dt
ds
dv τ v2 n
dt
①②
dτ 1 n
ds
at an
①切向加速度at---反映速度的大小随 时间的变化率，方向沿切线方向。
v2
at dt , an
v
a
aE
v D
a
F a v
aG v =0
提示：图示各点的速度均为可能，在速度可能的情况下， 点 C,E, F,G 的加速度为不可能，点 A,B,D 的加速度为可能
例6-5 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。 如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车 起点和未点的加速度。
运动学点的运动学
第二部分 运动学第六章点的运动学一、基本要求1．掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法（弧坐标法）。
2．了解描述点的运动的极坐标法。
3．能求点的运动轨迹。
4．能熟练地应用直角坐标法和自然法求解与点的速度和加速度有关的问题。
二、理论要点1．描述点的运动的三种基本方法（1）矢量法z 运动方程点的运动方程为动点在空间的几何位置随时间变化的规律。
以矢量形式表示的点的运动方程为)(t r r =z 轨迹轨迹为动点在空间运动时所经过的一条连续曲线。
在矢量法中，矢径r 的矢端曲线即为点的运动轨迹。
z 速度点的速度是个矢量，它等于矢径对时间的一阶导数，即dtd r v = z 加速度点的加速度也是个矢量，它等于速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即2dtd dt d 2r v a == （2）直角坐标法z 运动方程)()()(321t f z t f y t f x ===z 轨迹从上面点的运动方程中消去时间t 即可得轨迹方程。
如：),(0),(21==z y F y x Fz 速度 k j i v z y x v v v ++=dtdz v dt dy v dtdx v z y x ===即速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。
由此可求得速度的大小和方向余弦。
z 加速度k j i a z y x a a a ++=222222dtz d dt dv a dty d dt dv a dtx d dt dv a z z y y x x ====== 即加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数。
由此可求得加速度的大小和方向余弦。
（3）自然法（弧坐标法）利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法称为自然法。
z 运动方程)(t f s =z 速度ττv dtds v == z 加速度 n τa a a n τn τa a +=+=22dt s d dt dv a τ== ρ2v a n =式中，ρ为曲率半径。
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第六章点的运动学一、要求1、能用矢量法建立点的运动方程，求速度和加速度。
2、能熟练地应用直角坐标法建立点的运动方程，求轨迹、速度和加速度。
3、能熟练地应用自然法求点在平面上作曲线运动时的运动方程、速度和加速度，并正确理解切向加速度和法向加速度的物理意义。
二、重点、难点点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程，点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影。
点的曲线运动的自然法（以在平面内运动为主），点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度与法向加速度。
三、学习指导点的运动学是整个运动学的基础。
三种方法描述同一点的运动，其结果是一样的。
如果将矢量法中的矢量r 、v 、a 用解析式表示，就是坐标法；矢量v 、a 在自然轴投影，就得出自然法中的速度与加速度。
直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。
直角坐标系是固定在参考系上，可用来确定每一瞬时动点的位置。
点沿空间曲线运动有三个运动方程，点沿平面曲线运动有两个运动方程，点沿直线运动有一个运动方程。
自然轴系是随动点一起运动的直角轴系（切向轴τ、法向轴n 及副法向轴b ），因此不能用自然轴系确定动点的位置。
自然法以已知轨迹为前提，用弧坐标来建立点的运动方程，以确定动点每一瞬时在轨迹上的位置。
用直角坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取一次和二次导数，得到速度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的大小和方向。
用自然法求速度，则将坐标对时间取一次导数，就得到速度的大小和方向。
自然法中的加速度物理概念清楚，τa 和n a 分别反映了速度大小和速度方向改变的快慢程度。
需注意的是不能将dtdv误认为是动点的全加速度。
只有当0=n a 时，才有dtdva =。
学员可自行分析，这时点作什么运动。
下面对矢量法、直角坐标法与自然法作一总结和比较：解题指导点的运动学问题类型大致有四类：1、用坐标法（直角坐标法、自然法等）建立点的运动方程。
对于点的运动轨迹未知，一般选用直角坐标法；对于点的运动轨迹已知，多选用自然法，当然亦可以直角坐标法。
具体步骤如下：（1）确定研究对象，即确定所要研究的动点（或刚体上一点）。
（2）根据所选用的方法，选择对应的坐标系，并要明确坐标系是固定在什么物体上。
（3） 确定点运动的开始位置，然后将动点放在任意位置，用某一参量表示点的位置。
所选参量应与时间有关。
不能将点放在特殊位置（如初、末位置），因为特定时刻的位置不能代表点的位置随时间变化的函数关系。
（4） 代入时间t 找出坐标与时间t 的函数关系，就得到动点在空间的几何位置随时间t 的变化关系，亦即动点相对于坐标的运动规律——运动方程。
2、求点的轨迹方程先要知道直角坐标表示的点的运动方程（包括题给或自行建立），将方程中的时间t 消去，得到动点的空间坐标之间的函数关系，就是动点的轨迹方程。
但要注意点的运动轨迹是当t 由0到∞或到指定的时间T 之间，点所经过的路径，它仅是按照数学表达式所画出的曲线上的一部分线段。
3、求点的速度、加速度以及曲率半径知道运动方程后，根据已知量和需求量，可用数学求导方法，矢量合成法则以及法向加速度公式ρ2v a n =，来求得动点的速度、切向加速度、法向加速度以及全加速度。
对于求点在轨迹上某处的曲率半径，要联合应用直角坐标法与自然法。
注意在求某一特定瞬时（s t ）的动点的速度（s v ）或加速度（n a ）时，千万不要用某瞬时的特定坐标值或速度瞬时值对时间求导数，求导后总为零。
为了求特定时刻的速度与加速度，应该将运动规律和速度规律对时间求导数得出v 和a 是t 的函数关系，再代入特定的时间（s t ），就可以求得s v 和s a 的大小。
另外，在求导数时，还要注意数学中的复合函数求导。
4、已知点的加速度或速度，求运动方程对于已给出动点的加速度或速度方程（包括自行建立的），应用所给定的初始条件，采取数学积分的方法，就可以得到点的运动方程，应该注意，对于不同的初始条件，将得四、典型例题解析例题6.1 （填空题）变矢量对自变量的导数是一个（ ），方向沿着（ ）对应点的切线。
变矢量的矢导数在任一固定轴上的投影，等于这个矢量（ ）的导数。
解：新的矢量，矢端图，在该轴上的投影。
例题6. 2 已知动点的运动方程为tm x 50=，m t y 25500-=，求（1）动点的运动轨迹；（2）当0=t 时，动点的切向、法向加速度和轨迹的曲率半径。
解：（1）求动点的运动轨迹由运动方程中消去时间t ，即得到动点的轨迹方程为y x 5002500002-=可知动点的轨迹为一抛物线。
再作进一步分析：根据题意0=t 时，m y x 500,0==，即开始运动时，动点在抛物线上的点)500,0(A 处。
以后，当从零增加而y 的值减小，从而知动点仅在如图（2.1）中实线所示的半抛物线上运动。
所以，该动点的轨迹应为半抛物线y x 5002500002-= )0(≥x（2）求0=t 时，动点的切向、法向加速度和轨迹的曲率半径 由题中所给动点的运动方程求导得：50.==x v x ；t y v y 10-==⋅（1）故动点的速度为（2）又由式（1）对时间求导得0==⋅x x v a ；10-==⋅y y v a故动点的加速度222/10s m a a a y x =+=而动点的切向加速度为22510tt v a +==⋅τ （3）所以动点的法向加速度为2222550ta a a n +=-=τ （4）轨迹的曲率半径为2322)25(2t a v n+==ρ （5） 将0=t 代入式（3）、（4），求此时动点的切向、法向加速度及曲率半径分别为0=τa ， 2/10s m a n =， m 250=ρ讨论：（1）求动点的运动轨迹，由运动方程消去时间t 后，应注意再做进一步地分析，以得出轨迹的确切结论。
（2）本题有助于读者熟悉直角坐标法表示的动点运动方程、轨迹、速度、加速度之间的关系；熟悉切向加速度、法向加速度、速度、曲率半径之间的关系。
例题6. 3 长方体以等角速度s rad /44.3=ω绕轴AC 转动，转向如图2.3所示，试求点B 的速度与加速度。
解：作AC 的垂线BD ，则有s mm BD v B /140=⋅=ω， 22/73.481s mm BD a nB=⋅=ω （本题也可采用直角坐标法求解，学员不妨试试）sm t v v v y x /2510222+=+=图题2.6例题6. 4 火箭在B 点处铅直发射，如图2.4所示，kt =θ，求火箭的运动方程，以及在6πθ=，3π时，火箭的速度和加速度。
解：火箭的运动方程为：l x =，kt l y tan =，速度和加速度为kt lk dt dy v 2sec ==，kt kt lk dty d a tan sec 22222==当6πθ==kt 时，lk v 34=，2938lk a =当3πθ==kt 时，lk v 4=，238lk a =例题6. 5 自行车B 沿近似用抛物线方程2Cx y =（其中)01.01-=m C 描述的轨道向下运动，如图2.5所示，当至点A （m x A 20=，m y A 4=）时，s m v B /8=，2/4s m dtdv B=，试求该瞬时B 的加速度大小。
假设可将车-人系统看成点。
解：由抛物线方程2Cx y =可求得当至点Am yy 47.62)1''232'=+=（ρ，由s m v B /8=，2/4s m dt dv a B B ==τ，22/0245.1s m v a B nB ==ρ由222/13.4)()(s m a a a n B B =+=τ例题6. 6 小环M 同时套在细杆OA 和半径为r 的固定大圆圈上，如图2.6所示，细杆OA 绕大圆圈上的固定点O 转动，它与水平直径的夹角t ωϕ=，其中ω为常数。
试求小环M 的运动方程，以及它的速度和加速度。
解：采用弧坐标法求解，取小环初瞬时的位置0M 为弧坐标s 的原点，小环M 的运动方向为弧坐标s 的正向，则小环M 的弧坐标为xz图题3.6图题5.6图题4.6t r r M M s ωϕ220=⨯== （1）此即小环M 弧坐标形式的运动方程。
小环M 的速度大小为ωr s v 2==⋅（2）其方向沿轨迹切向并指向运动前进一方。
由上式可知v 为常数，这表明M 沿大圆圈做匀速圆周运动。
小环M 的切向与发向加速度分别为0==⋅v a τ；224ωr rv a n == （3）故小环M 的加速度大小为2224ωτr a a a a n n ==+= （4）其方向沿1MO 而指向圆心1O讨论：（1）本题也可采用直角坐标法求解，取如图（2）所示固定直角坐标系Oxy ，则小环M 的直角坐标为 （5）将t ωϕ=代入上式，即得小环M 在直角坐标系中的运动方程为（6）上式对时间求一阶导数得（7）所以，小环M 的速度大小和坐标轴夹角的方向余弦分别为（8）再将（7）式对时间求一阶导数得（9）故小环M 的加速度大小和方向余弦分别为ϕϕϕ2cos cos 2cos 2r r r OM x +==⋅=ϕϕϕϕ2sin cos sin 2sin r r OM y ==⋅=tr v a x x ωω2cos 42-==⋅t r v a y y ωω2sin 42-==⋅ωr v v v y x 222=+=ϕω2sin 2sin ),cos(-=-==t vvx v x ϕω2cos 2cos ),cos(===t vv y v ytr x v x ωω2sin 2-==⋅t r y v y ωω2cos 2-==⋅)2cos 1(t r x ω+=t r y ω2sin =（10）（2）本题也可采用极坐标法求解，以O 点为极点，x 轴为极轴，则小环M 的极坐标形式的运动方程为：t r r OM ωϕρcos 2cos 2=== （11）(a)t ωϕ= （11）(b)所以小环M 的径向和横向速度分别为t r dt d v ωωρρsin 2-==（12）(a) t r dtd v ωωϕρρcos 2== （12）(b)故小环M 的速度大小和方向分别为：ωϕρr v v v 222=+=ϕρρϕctg v v v tg -==),(即角0090),(ϕρ+=∠v ，又由（11）式可得小环M 的径向与横向加速度分别为t r dtd dt d a ωωϕρρρcos 4)(2222-=-=（13）(a) （13）(b)故小环M 的加速度大小和方向分别为2224ωϕρr a a a =+=ϕρρϕtg a a a tg ==),(；00180),(ϕρ+=∠a（3）比较以上三种解法可见，在动点运动轨迹已知的情况下，利用弧坐标法求解不仅方便，而且速度、加速度的方向容易确定。