15.5几何体的体积(3)
七年级讲解几何体积知识点
七年级讲解几何体积知识点在七年级数学课程中，我们学习了很多关于几何的知识，如二维图形的面积和周长等。
而在三维几何中，体积便是一个非常重要的知识点。
一、什么是几何体积几何体积指的是一个空间立体图形所占用的实际空间大小。
一般地，体积用字母V表示。
二、如何计算几何体积针对不同的几何图形，计算体积的公式也不同。
以下是几个常见图形的计算公式：1. 立方体的体积公式 V = a³其中a为立方体的一条棱长。
2. 正方体的体积公式 V = a³同样地，a表示正方体的一条棱长。
3. 长方体的体积公式 V = lwhl、w和h分别表示长方体的长、宽和高。
4. 圆柱体的体积公式V = πr²hr表示圆柱体的底面半径，h表示高。
5. 球体的体积公式V = 4/3πr³r表示球的半径。
三、几何体积的计算方法在计算体积时，我们需要注意以下几点：1. 计算时一定要使用正确的公式。
2. 一定要注意单位的统一。
例如，如果底面半径是以英尺为单位，而高是以米为单位，那么我们需要将其中一个换算成与另一个相同的单位。
3. 在带有精度要求的情况下，我们需要对计算结果进行四舍五入处理，以保证结果的精准度。
四、例题解析1. 一个正方体的棱长为2cm，试求其体积。
解：根据正方体的体积公式，可知V = a³，代入数据可得V = 2³ = 8cm³。
2. 一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm和4cm，试求其体积。
解：根据长方体的体积公式，可知V = lwh，代入数据可得V = 2×3×4 = 24cm³。
3. 一个圆柱体的底面半径为2cm，高为5cm，试求其体积。
解：根据圆柱体的体积公式，可知V = πr²h，代入数据可得V = π×2²×5 = 20π cm³，约为62.83cm³。
15.5几何体的体积(2)--椎体、球
2. 柱体(棱柱、圆柱)体积 结论 柱体的体积等于它的底面 积s 和高h的积。 V柱体= sh
锥体的体积(1)
结论1：等底等高的两个三棱锥的体积相等.
将三棱锥以△ABC为底面、 AA1为侧棱补成一个三棱柱. 联结B’C，再把该三棱柱
A’
A’ B’
C’
分割成三个三棱锥.
C’
3
B’
2
A
C
１
A C B
到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体
积Байду номын сангаас几分之几？
A B D 问题 、如果改为求 问题 12 、你能有几种 棱长为 a的正四面 解法？
体A-BCD的体积。 解一、补形，将三棱 你能有几种解法？ 解二、利用体积公式 锥补成一个正方体。
解三、将四面体分割为 三棱锥C-ABE和三棱
1 V四面体＝ 3 S△BCD· h
例6. 已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面
角为120o, 底面边长a, 求它的高、体积. S E D C O
A
B
解：连结AC、BD交于O，连结SO，
则SO为正四棱锥的高.
过B作BE⊥SC, E为垂足.连结DE,
则∠DEB为二面角D-SC-EB的平面角,
S
所以DEB=120o.
E D
C
O
A
B
连结OE,
P D
1 Sh 3
例1 已知正四棱锥P-ABCD 的棱长都 为a，求其体积和表面积.
Ｃ Ｂ
Ａ
O
1 2 2 3 2 V aa a 3 2 6 3 2 S全 4 a a 2 ( 3 1)a 2 4
练习：P.41 练习15.5(2) P.42 练习15.5(3)
高中数学知识点精讲精析 第五节 几何体的体积
第五节几何体的体积
要点精讲
简单几何体的体积
1、(S为底面积，h为柱体高)；
2、(S为底面积，h为锥体高)；
3、(分别为上、下底面面积，h为台体高)；
4、(R为球半径)．
典型例题
【例1】如图所示，在体积为15的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，S是C1C 上的一点，S－ABC的体积为3，则三棱锥S－A1B1C1的体积为（）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【解析】设棱柱的高为h，棱锥S－ABC的高为h1，
棱锥S－A1B1C1的高为h2，那么则有h1＋h2=h，
根据题目条件有，，则有
．故选C．
【例2】求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
【答案】如图所示，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆．
设球的半径，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有
，，
，
．
．
【解析】1、(S为底面积，h为柱体高)；
2、(S为底面积，h为锥体高)；
3、(R为球半径)．。
各种形状体积计算公式
各种形状体积计算公式在几何学中，体积是三维物体所占据的空间大小。
不同形状的物体有不同的体积计算公式。
下面我将介绍几种常见形状的体积计算公式。
1.立方体的体积计算公式：立方体是所有边长相等的六个平面的多面体。
其体积可通过边长的立方来计算。
公式：体积=边长^32.直方体的体积计算公式：直方体是六个面都是矩形的多面体。
其体积可通过底面积乘以高来计算。
公式：体积=底面积×高3.圆柱体的体积计算公式：圆柱体由一个圆形底面和一个平行于底面的圆形顶面连接而成。
其体积可通过底面积乘以高来计算。
公式：体积=底面积×高注意：底面积一般是指底面圆的面积。
4.圆锥体的体积计算公式：圆锥体由一个圆形底面和一个连接底面到顶点的侧面锥形组成，其体积可通过底面积乘以高再除以3来计算。
公式：体积=(底面积×高)/35.球体的体积计算公式：球体是一个完全由曲线包围的立体形状，其体积可通过四分之三乘以球的半径的立方来计算。
公式：体积=(4/3)×π×半径^36.圆环体的体积计算公式：圆环体由一个圆柱体和一个外部与之共轴的圆台形组成。
其体积可通过外圆台体积减去内圆台体积来计算。
公式：体积=(π×高×(外半径^2+内半径^2+外半径×内半径))/37.圆锥台体的体积计算公式：圆锥台体由一个圆锥体和一个与之底面平行的圆台积组成。
其体积可通过底面积乘以高再除以3来计算。
公式：体积=(π×高×(上底半径^2+下底半径^2+上底半径×下底半径))/38.带截头圆锥体的体积计算公式：带截头圆锥体由一个截头圆锥和一个与之底面平行的圆台积组成，其中截头圆锥的顶点位于圆台积上。
其体积可通过底面积乘以高再除以3来计算。
公式：体积=(π×高×(上底半径^2+上底半径×下底半径+下底半径^2))/3除了上述形状的体积计算公式，还有许多其他的形状体积公式，如多面体、棱柱、棱台、椭球等等。
几何体的体积计算
几何体的体积计算几何体是指在三维空间中具有一定形状和尺寸的立体物体。
几何体的体积是指该物体所占空间的大小，计算几何体的体积是数学中的一个重要问题。
本文将介绍几种常见几何体的体积计算方法。
一、立方体的体积计算方法立方体是最简单的几何体，它的六个面都是正方形。
立方体的体积计算公式如下：体积 = 边长 x 边长 x 边长其中，边长指的是立方体的边长。
二、长方体的体积计算方法长方体也是一种常见的几何体，它有六个面，其中相邻两个面是相等的长方形。
长方体的体积计算公式如下：体积 = 长 x 宽 x 高其中，长、宽、高分别指的是长方体的长、宽、高。
三、圆柱体的体积计算方法圆柱体由一个平行于底面的圆和与底面相切的侧面组成。
圆柱体的体积计算公式如下：体积= π x 半径 x 半径 x 高其中，π取近似值3.14，半径指的是圆柱体底面圆的半径，高指的是圆柱体的高度。
四、球体的体积计算方法球体是由所有与球心距离相等的点所组成的几何体。
球体的体积计算公式如下：体积= (4/3) x π x 半径 x 半径 x 半径其中，π取近似值3.14，半径指的是球体的半径。
五、锥体的体积计算方法锥体由一个圆锥和与圆锥底面相切的侧面组成。
锥体的体积计算公式如下：体积= (1/3) x π x 半径 x 半径 x 高其中，π取近似值3.14，半径指的是锥体底面圆的半径，高指的是锥体的高度。
六、棱柱的体积计算方法棱柱由底面和连接底面顶点与底面对应点的侧面组成。
棱柱的体积计算公式如下：体积 = 底面积 x 高其中，底面积指的是棱柱底面的面积，高指的是棱柱的高度。
七、棱锥的体积计算方法棱锥由底面和连接底面顶点与底面对应点的侧面组成。
棱锥的体积计算公式如下：体积 = (1/3) x 底面积 x 高其中，底面积指的是棱锥底面的面积，高指的是棱锥的高度。
以上是常见几何体的体积计算方法。
通过应用这些公式，我们可以准确计算各种形状的几何体的体积，从而更好地理解和利用几何概念。
立体几何形的体积计算知识点总结
立体几何形的体积计算知识点总结体积是立体几何形的一个重要属性，它用来描述一个物体所占的空间大小。
在几何学中，我们经常需要计算不同形状的物体的体积。
为了更好地理解和掌握立体几何形的体积计算，我们需要掌握一些基本的知识点。
本文将根据不同的几何形状，总结一些常用的体积计算公式和方法。
一、正方体的体积计算正方体是最简单的立体几何形之一，它的六个面都是正方形。
计算正方体的体积非常简单，只需要将正方体的边长乘以自身再乘以自身即可。
即体积=边长×边长×边长。
例如，一个边长为5厘米的正方体的体积为5×5×5=125立方厘米。
二、长方体的体积计算长方体是更常见的一种立体几何形，它的六个面中，相对的两个面是相等的长方形。
计算长方体的体积也非常简单，只需要将长方体的长、宽和高相乘即可。
即体积=长×宽×高。
例如，一个长10厘米，宽6厘米，高8厘米的长方体的体积为10×6×8=480立方厘米。
三、圆柱体的体积计算圆柱体是一个底面为圆形的立体几何形。
要计算圆柱体的体积，需要知道底面的半径和高。
计算公式为体积=底面积×高=π×半径的平方×高。
例如，一个底面半径为3厘米，高为6厘米的圆柱体的体积为3.14×3×3×6=169.56立方厘米。
四、球体的体积计算球体是一个所有点到球心的距离都相等的立体几何形。
计算球体的体积需要知道球的半径。
计算公式为体积=4/3×π×半径的立方。
例如，一个半径为4厘米的球体的体积为4/3×3.14×4×4×4=268.08立方厘米。
五、锥体的体积计算锥体是一个底面为圆形，顶点与底面圆心相连的立体几何形。
计算锥体的体积需要知道底面的半径和高。
计算公式为体积=1/3×底面积×高=1/3×π×半径的平方×高。
立体几何体的体积计算与性质
立体几何体的体积计算与性质几何学是数学的一个分支，研究空间中的形状、大小、位置关系等。
而立体几何则是几何学中的一个重要分支，它主要研究三维空间中的对象，如体积、表面积以及其他相关性质的计算与探究。
本文将为您介绍立体几何体的体积计算方法以及它们的性质。
一、直接计算方法1. 立方体的体积计算方法立方体是指六个面均为正方形的立体几何体。
计算立方体的体积非常简单，只需要将边长进行立方运算即可。
即体积 = 边长³。
例如，一个边长为10cm的立方体的体积计算公式为：体积 = 10³ = 1000cm³。
2. 正方体的体积计算方法正方体是指六个面均为正方形的立体几何体，与立方体的区别在于正方体的所有边长相等。
计算正方体的体积同样简单，只需要将边长进行立方运算即可。
即体积 = 边长³。
例如，一个边长为5cm的正方体的体积计算公式为：体积 = 5³ = 125cm³。
3. 圆柱体的体积计算方法圆柱体是指两个平行的圆底面之间连接着的侧面，其中两个底面面积相等。
计算圆柱体的体积需要同时考虑底面的面积和高度。
即体积 = 底面面积×高度。
其中，底面面积可以通过计算圆的面积公式来得到，即底面面积= π × 半径²。
例如，一个底面半径为3cm，高度为8cm的圆柱体的体积计算公式为：体积= π × 3² × 8 = 72π cm³。
二、间接计算方法1. 球体的体积计算方法球体是指所有点到球心的距离都相等的立体几何体。
计算球体的体积需要使用球的半径。
即体积= (4/3) × π × 半径³。
例如，一个半径为4cm的球体的体积计算公式为：体积= (4/3) × π × 4³ = 268.08π cm³。
2. 圆锥体的体积计算方法圆锥体是指一个尖顶和一个圆底面之间连接着的侧面，其中尖顶点与底面圆心连线垂直。
考研数学体积公式
考研数学体积公式
考研数学中，关于体积的公式主要涉及空间几何体的体积计算。
以下是一些常见空间几何体的体积公式：
1. 立方体：体积公式为V = a³，其中a 表示立方体的边长。
2. 长方体：体积公式为V = abc，其中a、b、c 分别表示长方体的长、宽、高。
3. 圆柱体：体积公式为V = πr²h，其中r 表示底面半径，h 表示高。
4. 圆锥体：体积公式为V = (1/3)πr²h，其中r 表示底面半径，h 表示高。
5. 球体：体积公式为V = (4/3)πr³，其中r 表示球体的半径。
6. 旋转体：设旋转轴为x 轴，旋转函数为f(x)，则旋转体的体积公式为V = ∫(f(x)²dx)，其中积分范围为旋转体的边界。
需要注意的是，这些公式适用于常见的基本几何体，而在实际问题中，
可能需要根据具体情况进行推导和计算。
在考研数学中，体积题目的解题方法主要包括利用积分、坐标法、截面法等。
掌握这些公式和方法，有助于解决考研数学中的相关问题。
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B
例1：如图，在边长为a的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点E为AB上的任意一点，求三棱锥 A1 DEB 1 的体积。
解法分析：V A1 DEB1 = V D A EB 1 1 1 S A1 EB1 DA D1 C1 3
A1
D
B1
C E B
1 1 2 a a 3 2 1 3 a 6
P
a
E b A D B
VP ABC VP EBC VA EBC
1 1 S EBC PE S EBC AE 3 3 1 1 1 S EBC PA a b a 3 2 3
C
a
1 2 a b 6
例4：正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a， E是CC1的中点，求B1到平面EBD的距离
2VA1 EFD1
课堂小结
1 当棱锥的体积公式 V Sh 3
无法直接使用时
切割法
通过 补形法
转移顶点法
陌生的转化为熟悉
达到 复杂的转化为简单 分散的转化为集中
连结EF，则
A1 D1VA1 EBFD1
B1
E
C1
VA1 EFD1 VF A1 D1 E
VA1 EFD1 VA1 EBF
1 S A1 ED1 a 3
A B
F
C
D
VA1 EBF VF A1 EB VA1 EBFD1 或者：
1 S A1 EB a 3
A
例2、三棱柱ABC A' B' C '的 求四棱锥M ABB' A'的体积
A' B' M A B C C'
体积是36，点M在侧棱CC ' 上，
解：
VABC A'B’ C’
A'
C' B' M
转移顶点法
VM ABB’ A’ VM ABC 1 VM ABB’ A’ V ABC A ' B’ C’ 3 VM ABB’ A’ 2 2 VABC A'B’ 36 24 C’ 3 3
A
B
VB1 AD1C 24 4 4 8
=4
等积转换法
已知PA，PB，PC两两垂直， PA PB 1，PC 2 求：VP ABC
A
P B
V P ABC V A PBC
C
等积转换法
P
VP ABC VA PBC
A C
VB PAC VC PAB
E b
A
D
C a
1 1 S PAD BD S PAD CD 3 3 1 1 1 S PAD CB a b a 3 2 3
B
1 2 a b 6
垂面法
PA BC , ED BC 例3：已知三棱锥P—ABC中，
ED PA , PA=BC=a且ED=b求三棱锥的体积 或者：
解：
VB1 AD1C VABCD A1B1C1D1 VA AD B V 1 1 1 B AD1 B1 VC1 AD1B1 VD AD1B1
D1 C1 A1
D
B1
VABCD A1B1C1 D1 4 2 3
= 24
C
V A1 AD1 B1
1 1 4 2 3 3 2
体积常用求法
练习：斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长 为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA1与底 面相邻两边AB、AC都成45°角 （1）求此斜三棱柱的表面积 （2）求此斜三棱柱的体积
割补法 已知：长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，AB=4 ，BC=2，
BB1 =3，求三棱锥 B1 AD1C 的体积
A B
A B
C
A' B'
C' M
C
PA BC , ED BC 例3：已知三棱锥P—ABC中，
ED PA , PA=BC=a且ED=b ,求三棱锥的体积 解法分析： ED BC BC 平面PAD P PA BC VP ABC VB PAD VC PAD a
D1 C1 B1 E D A B C
A1
例5 已知三棱柱ABC-A1B1C1的一个侧面 A1ABB1的面积为S，这个侧面与它所对 棱CC1的距离为a，求这个棱柱的体积。
A1 B1 C1
.
O A B C
.P
例6已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F 分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的 体积？ 解法分析： 易证四边形EBFD1为菱 形，