中考数学一轮复习第六章圆第1节与圆有关的性质试题
中考一轮复习专题测试卷(六)圆(含答案)
20XX 年中考数学一轮复习专题卷（六）圆（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弦相等；③在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；④等弧所对的圆心角相等.其中正确的有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知⊙O 的直径AB =10，弦CD ⊥AB 于E 点，CD =6，则BC = （ ） B. C.3.如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是弧AC 的中点，∠ABC=65°，则∠C = （ ） A.110° B.115° C.130° D.135°4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，以点C 为圆心，AC 为半径的圆交AB 于点D ，则BD =（） A.185 B.95 C.75 D.35第3题第4题DC BA 第5题第7题5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，∠A =30°，则AB 与BC 的关系是 （ ） A.AB =BC B.AB =2BC C.AB =2.5BC D.AB =3BC6.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，则△ABC 的内切圆半径为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.47.如图，⊙O 与等边三角形ABC 相切于点C ，等边三角形ABC 的边长为3，且等边三角形ABC 与⊙O 等高，⊙O 与AC 相交于点D ，则AD 的长为 （ ）A.0.5B.0.75C.0.8D.18.如图，⊙O与矩形ABCD的边AB相切于点E，与CD相交于点F、G，且BC=FG，若⊙O 的半径为2.5，则AD的长为( ) A.2.5 B.3 C.3.5 D.4第8题第12题9.一个圆锥的底面半径为2，侧面积为8π，则圆锥的高为（）B. C.4 D.510.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，分别以AB、AC为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A.23πC.23πD.23π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=25°，弦AB所对的圆周角度数是_____________.12.如图，△ABC内接于半径为3的⊙O，D为直径AB的延长线上一点，DO=5，DC切⊙O于点C，则BC的长为__________.13.P为⊙O内一点，OP=5，过点P的最长弦长26，则过点P的最短弦长为_________.14.一个圆柱体的底面半径为2㎝，高为3㎝，则与圆柱体的侧面积相等的半径为6㎝的扇形的圆心角度数是______.三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，D、E为⊙O上两点，CD=CE=AD.求证：四边形AECD是菱形.16.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点O在四边形内部，∠OAD+∠OCD=60°.求证：∠B=∠AOC.四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，试问：DE与BC有怎样的关系？请证明你的结论..18.如图，在⊙O内有一条折线OABC,OA=4，BC=6，∠A=∠B=60°，求BC的长五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 已知：AB为⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D 为切点，∠ACD=40°，E为⊙O上不与点B、C重合的任意一点.求∠BED的度数.20.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O，的半径为4，求图中阴影部分的面积.六、（本题满分12分）21.如图，AB切⊙O于点A,OB交⊙O于点C，CE⊥OA于点E,交⊙O于点D，AB=4，.BC=2，求弦CD的长七、（本题满分12分）22.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，D为⊙O上一点，CD=CB,延长CD交BA的延长线于点E.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接OC，交BD于点F，若OF=2，∠E=30°，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）.八、（本题满分14分）23. 如图，AB是⊙O的直径，AB=4㎝,P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D.（1）连接AC，若∠APC=30°，请证明△APC是等腰三角形；（2）当BP等于多少时，四边形CODB是菱形？（3）当BP等于多少时，四边形CODP是正方形？参考答案1.B2.C3.C4.C5.B6.A7.B8.D9.B 10.D11.65°或115° 13.24 120° 15. 连接OD 、OE ，则△ODC ≌△OEC ，∴∠DCA =∠ECA ， ∵DA =DC ，∴∠DCA =∠DAC ，∴∠ECA =∠DAC ，∴AD ∥EC ，∵AD =EC ，∴四边形AECD 是平行四边形，∵DA =DC ，∴四边形AECD 是菱形 16.∵∠AOC =∠D +∠DAO +∠DCO ，∠DAO +DCO =60°，∴∠AOC =∠D +60°， ∵∠AOC =2∠D ，∴∠D =60°，∠AOC =120°，∴∠B =120°，∴∠B =∠AOC 17.DE =12BC ，DE ∥BC ；证明：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴D 、E 为AB 、AC 的中点，∴DE =12BC ，DE ∥BC18.延长AO 交BC 于点D ，则△DAB 是等边三角形，∴OD =2，BD =6， 过点O 作OE ⊥BC 于点E ，则BE =CE ，DE =12OD =1, ∵BE =BD －DE =6－1=5，∴BC =2BE =1019.连接OD ，则∠DOB =50°，点E 在优弧BD 上时，∠BED =25°，点E 在劣弧BD 上时，∠BED =155° 20.阴影部分的面积=13×⊙O 的面积=2116433ππ⨯⨯= 21. 设⊙O 的半径为r ，由题意，得2224(2)r r +=+，解得r =3，又由△OEC ∽△OAB ,得EC OC AB OB =,∴EC =125，∴DC =2EC =6522.（1）连接OD ，则△OBC ≌△ODC （SSS ），∴∠ODC =∠OBC =90°，∴CD 是⊙O 的切线（2）阴影部分的面积为2111642323ππ⨯⨯-⨯⨯=-23. (1)证明：连接OC ，则∠COP =60°，∴∠A =12∠COP =30°，∴∠A =∠CP A ，∴CA =CP ，∴△APC 是等腰三角形； （2）BP =2(3)BP =2.。
2019中考数学第六章圆第一节圆的有关概念和性质习题word版本
第六章圆第一节圆的有关概念和性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·淮安中考)如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是( )A．70° B．80° C．110° D．140°2．(2018·杭州中考)如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于点B，C，则BC＝( )A．6 3 B．6 2 C．3 3 D．3 23．(2019·易错题)已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是( )A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°4．(2018·凉山州中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为( )A．40° B．30° C．45° D．50°5．(2018·随州中考)如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝________度．6．(2019·原创题)如图，Rt△ABC是⊙O的内接直角三角形，其中∠BCA＝90°，若BC＝3，AB＝5，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．7．(2018·黑龙江中考)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为______．8．(2019·易错题)等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为____________________．9．(2018·无棣一模)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O直径，若∠ABC＝50°，则∠CAD＝________．10．(2019·原创题)如图，在△ABC的外接圆⊙O中，∠A＝60°，AB为直径，点D是AC 的中点，过点D作DE⊥AB交AB于点E，若DE＝3，求BC的长．11．(2018·白银中考)如图，⊙A 过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°12．(2018·咸宁中考)如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )A ．6B ．8C ．5 2D ．5 313．(2018·玉林中考)小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2 cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.14．(2019·易错题)已知⊙O 的半径为10 cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ，则弦AB 和CD 之间的距离是____________cm.15．(2018·宜宾中考)如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC ︵的中点，DE ⊥AB 于点E ，且DE 交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，若EF AE ＝34，则CGGB＝________．16．(2018·无锡中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝17，CD ＝10，∠A ＝90°，cos B ＝35，求AD 的长．17．如图，在半径为5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ，已知BC ∶CA ＝4∶3，点P 在AB ︵上运动．(1)当点P 与点C 关于AB 对称时，求CP 的长； (2)当点P 运动到AB ︵的中点时，求CP 的长； (3)点P 在AB ︵上运动时，求CP 的长的取值范围．18．(2018·乐山中考)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是( )A．13寸 B．20寸C．26寸 D．28寸参考答案【基础训练】1．C 2.A 3.D 4.A5．60 6.2 7.5 8.30°或110°9.40°10．解：如图，连接OD.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∵在Rt△ADE中，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°.∵点D是AC的中点，则OD⊥AC，∴∠ODE＝∠ADO－∠ADE＝60°.又∵DE＝3，∴OD＝2 3.又∵点O是AB的中点，根据中位线定理得BC＝2OD＝4 3.【拔高训练】11．B 12.B13．10 14.2或14 15.5 516．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，∴∠C＝180°－∠A＝90°，∠ABC＋∠ADC＝180°.如图，连接BD，作AE⊥BC于点E，DF⊥AE于点F，则四边形CDFE是矩形，EF＝CD＝10.在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝17，cos ∠ABC ＝35，∴BE ＝AB·cos ∠ABE ＝515，∴AE ＝AB2－BE2＝685，∴AF ＝AE －EF ＝685－10＝185.∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠CDF ＝90°，∴∠ABC ＋∠ADF ＝90°.∵cos ∠ABC ＝35，∴sin ∠ADF ＝cos ∠ABC ＝35.在Rt △ADF 中，∵∠AFD ＝90°，sin ∠ADF ＝35，∴AD ＝AFsin∠ADF ＝18535＝6.17．解：(1)∵点P 与点C 关于AB 对称，∴CP ⊥AB.如图，设垂足为点D.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝10，BC ∶CA ＝4∶3，∴BC ＝8，AC ＝6.又∵△ACD ∽△ABC ， ∴AC AB ＝CDBC，∴CD ＝4.8，∴CP ＝2CD ＝9.6.(2)如图，连接AP ，PB ，过点B 作BE ⊥PC 于点E.∵点P 是AB ︵的中点，∴AP ＝BP ＝52，∠ACP ＝∠BCP ＝45°.∵BC ＝8，∴CE ＝BE ＝4 2.又∵PB ＝52，∴PE ＝PB2－BE2＝32，∴CP ＝CE ＋PE ＝7 2.(3)点P 在AB ︵上运动时，恒有CP ≥CA ，即CP ≥6.当CP 过圆心O 时，CP 取得最大值10，∴CP 的取值范围是6≤CP ≤10.【培优训练】18．C。
浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习第六章圆第一节圆的基本性质同步测试
第六章 圆第一节 圆的基本性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2017·山东泰安中考)如图，△ABC 内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC 等于( )A ．180°－2αB ．2αC ．90°＋αD ．90°－α2．(2017·湖北宜昌中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，则下列结论正确的是( )A ．AB ＝AD B ．BC ＝CD C.AB ︵＝AD ︵D ．∠BCA＝∠ACD3. (2017·四川泸州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( )A.7B ．27C ．6D ．84．(2018·浙江温州模拟)在公园的O 处附近有E ，F ，G ，H 四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建一座以O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E ，F ，G ，H 四棵树中需要被移除的为( )A ．E ，F ，GB ．F ，G ，HC ．G ，H ，ED ．H ，E ，F5．(2017·浙江湖州中考)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D.若∠BAC ＝40°，则AD ︵的度数是__________度.6．(2017·四川自贡中考)如图，等腰△ABC 内接于⊙O，已知AB ＝AC ，∠ABC＝30°，BD 是⊙O 的直径，如果CD ＝433，则AD ＝______．7．(2016·浙江绍兴中考)如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A ，B ，AB ＝40 cm ，脸盆的最低点C 到AB 的距离为10 cm ，则该脸盆的半径为________cm .8．如图，点P 是四边形ABCD 外接圆⊙O 上任意一点，且不与四边形顶点重合，AD 是⊙O 的直径，AB ＝BC ＝CD ，连结PA ，PB ，PC.若PA ＝a ，则点A 到PB 和PC 的距离之和AE ＋AF ＝__________.9．在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的格点有________个.10．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y ＝kx －3k ＋4与⊙O 交于B ，C 两点，则弦BC 的长的最小值为________.11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠BCD. (1)求证：CB∥PD；(2)若BC ＝3，sin ∠BPD＝35，求⊙O 的直径．12．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，OF⊥AC 于点F. (1)请探索OF 和BC 的关系并说明理由；(2)若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积(结果保留π)．13．(2018·河北模拟)如图，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D 分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C(点C在线段BD上)，连结AC，DE.(1)当∠APB＝30°时，求∠B的度数；(2)求证：AB2＝BC·PB；(3)在点P的运动过程中，当MP＝4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值．14. (2018·浙江温州中考)小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB ＝5 cm ，小正六边形的面积为4932cm 2，则该圆的半径为______cm .15．(2018·浙江宁波中考)如图1，直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B ，点C是线段OA 上一动点(0＜AC ＜165)．以点A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交线段AB 于点E ，连结OE 并延长交⊙A 于点F.(1)求直线l 的函数表达式和tan ∠BAO 的值； (2)如图2，连结CE ，当CE ＝EF 时， ①求证：△OCE∽△OEA； ②求点E 的坐标；(3)当点C 在线段OA 上运动时，求OE·EF 的最大值．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.B 4.A 5.140 6.4 7.25 8.1＋32a 【拔高训练】 9．12 10.2411．(1)证明：∵∠D＝∠1，∠1＝∠BCD， ∴∠D＝∠BCD，∴CB∥PD. (2)解：如图，连结AC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵CD⊥AB，∴CB ︵＝BD ︵， ∴∠BPD＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠BPD＝35，即BC AB ＝35. ∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O 的直径是5. 12．解：(1)OF∥BC，OF ＝12BC.理由如下：由垂径定理得AF ＝CF. ∵AO＝BO ，∴OF 是△ABC 的中位线． ∴OF∥BC，OF ＝12BC.(2)连结OC.由(1)知OF ＝12BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠D＝30°，∴∠A＝30°. ∴AB＝2BC ＝2，∴AC＝ 3. ∴S △AOC ＝12×AC×OF＝34.易得∠AOC＝120°，OA ＝1， ∴S 扇形AOC ＝120·π·OA 2360＝π3.∴S 阴影＝S 扇形AOC －S △AOC ＝π3－34.13．(1)解：∵MN⊥AB，AM ＝BM ， ∴PA＝PB ，∴∠PAB＝∠B. ∵∠APB＝30°，∴∠B＝75°. (2)证明：如图1，连结MD.图1∵MD 为△PAB 的中位线， ∴MD∥AP，∴∠MDB＝∠APB. ∵∠BAC＝∠MDC＝∠APB，又∵∠BAP＝180°－∠APB－∠B，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B， ∴∠BAP＝∠ACB.∵∠BAP＝∠B，∴∠ACB＝∠B， ∴AC＝AB ，由(1)可知PA ＝PB ， ∴△ABC∽△PBA，∴AB PB ＝BCAB，∴AB 2＝BC·PB.(3)解：如图2，记MP 与圆的另一个交点为R.图2∵MD 是Rt△MBP 的中线，∴DM＝DP ， ∴∠DPM＝∠DMP＝∠RCD， ∴RC＝RP.∵∠ACR＝∠AMR＝90°， ∴AM 2＋MR 2＝AR 2＝AC 2＋CR 2， ∴12＋MR 2＝22＋PR 2， ∴12＋(4－PR)2＝22＋PR 2， ∴PR＝138，∴MR＝198.Ⅰ.当∠ACQ＝90°时，AQ 为圆的直径， ∴Q 与R 重合，∴MQ＝MR ＝198； Ⅱ.如图3，当∠QCD＝90°时，图3在Rt△QCP 中，PQ ＝2PR ＝134，∴MQ＝34；Ⅲ.如图4，当∠QDC＝90°时，图4∵BM＝1，MP ＝4，∴BP＝17， ∴DP＝12BP ＝172.∵cos∠MPB＝MP PB ＝DP PQ ，∴PQ＝178，∴MQ＝158.Ⅳ.如图5，当∠AEQ＝90°时，图5由对称性可得∠AEQ＝∠BDQ＝90°， ∴MQ＝158.综上所述，MQ 的值为198或34或158.【培优训练】 14．815．(1)解：∵直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A(4，0)，∴－34×4＋b ＝0，∴b＝3，∴直线l 的函数表达式y ＝－34x ＋3，∴B(0，3)，∴OA＝4，OB ＝3. 在Rt△AOB 中，tan∠BAO＝OB OA ＝34.(2)①证明：如图，连结DF ，DE. ∵CE＝EF ，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠CDF＝2∠CDE.∵∠OAE＝2∠CDE，∴∠OAE＝∠ODF. ∵四边形CEFD 是⊙O 的圆内接四边形， ∴∠OEC＝∠ODF，∴∠OEC＝∠OAE. ∵∠COE＝∠EOA，∴△COE∽△EOA.②解：如图，过点E 作EM⊥OA 于M. 由①知，tan∠OAB＝34.设EM ＝3m ，则AM ＝4m ， ∴OM ＝4－4m ，AE ＝5m ， ∴E(4－4m ，3m)，AC ＝5m ， ∴OC＝4－5m.由①知，△COE∽△EOA， ∴OC OE ＝OE OA， ∴OE 2＝OA·OC＝4(4－5m)＝16－20m.∵E(4－4m ，3m)，∴(4－4m)2＋9m 2＝25m 2－32m ＋16， ∴25m 2－32m ＋16＝16－20m ， ∴m＝0(舍去)或m ＝1225，∴4－4m ＝5225，3m ＝3625，∴E(5225，3625)．(3)解：如图，设⊙O 的半径为r ，过点O 作OG⊥AB 于G ，连结FH. ∵A(4，0)，B(0，3)， ∴OA＝4，OB ＝3，∴AB＝5， ∴12AB×OG＝12OA×OB，∴OG＝125， ∴AG＝OG tan ∠AOB ＝125×43＝165，∴EG＝AG －AE ＝165－r.∵EH 是⊙O 直径，∴EH＝2r ，∠EFH＝90°＝∠EGO.浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习同步测试11 ∵∠OEG＝∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴OE HE ＝EG EF， ∴OE·EF＝HE·EG＝2r(165－r)＝－2(r －85)2＋12825， ∴当r ＝85时，OE·EF 最大值为12825.。
人教版九年级数学中考复习第一轮专题--6.强化训练第六章 圆
∵DO=BO, ∴∠ODB=∠OBD, ∴∠AOD=2∠ODB=∠EDO. ∵∠CAB=∠CDB=45°=∠EDO+∠ODB=3∠ODB, ∴∠ODB=15°=∠OBD. ∵∠BAF=∠DBA=15°,
∴AF=BF,∠AFD=30°. ∵AB 是直径,∴∠ADB=90°, ∴AF=2AD,DF= AD, ∴BD=DF+BF= AD+2AD,
C.G,H,E
D.H,E,F
5.(2018 福建)如图,AB 是☉O 的直径,BC 与☉O 相切于点 B,AC 交
☉O 于点 D,若∠ACB=50°,则∠BOD 等于( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
第 5 题图
第 6 题图
6.(2018 哈尔滨)如图,点 P 为☉O 外一点,PA 为☉O 的切线,A 为切
(1)求证:EG 是☉O 的切线;
(2)延长 AB 交 GE 的延长线于点 M,若 AH=2,CH=2 2,求 OM 的 长. (1)证明:连接 OE,如图,
∵GE=GF,∴∠GEF=∠GFE. 而∠GFE=∠AFH,∴∠GEF=∠AFH. ∵AB⊥CD,∴∠OAF+∠AFH=90°, ∴∠GEA+∠OAF=90°. ∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAF, ∴∠GEA+∠OEA=90°,即∠GEO=90°, ∴OE⊥GE,
第23讲 与圆有关的位置关系
1.(2011.(2019 南岗)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以
点 A 为圆心作圆,如果圆 A 与线段 BC 没有公共点,那么圆 A 的半
2024成都中考数学第一轮专题复习 圆的有关概念及性质 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习圆的有关概念及性质知识精练基础题1. (2023江西)如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 6第1题图2. (2023广东省卷)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝()第2题图A. 20°B. 40°C. 50°D. 80°3. (2023广元)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，连接CD，OD，A C.若∠BOD＝124°，则∠ACD的度数是()A. 56°B. 33°C. 28°D. 23°第3题图4. (2023山西)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC ＝40°，则∠DBC的度数为()第4题图A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°5. (2023安徽)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝()A. 60°B. 54°C. 48°D. 36°第5题图6. (2023赤峰)如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC ＝2∠COD，则∠CBD的度数是()第6题图A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°7. [新考法—数学文化](2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合下图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是() A. 674寸 B. 25寸C. 24寸D. 7寸第7题图8. (2023杭州)如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝()第8题图A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°9. (2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为()第9题图A. 20 mB. 28 mC. 35 mD. 40 m10. (2023凉山州)如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝23，则OC＝()A. 1B. 2C. 2 3D. 4第10题图11. 如图，点A，B，D在⊙O上，CD垂直平分AB于点C.现测得AB＝CD＝16，则圆形宣传图标的半径为()第11题图A. 12B. 10C. 8D. 612. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是________；⊙O内一点D的坐标为(－2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．第12题图13. (2023武汉)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BA C.(1)求证：∠AOB＝2∠BOC；(2)若AB＝4，BC＝5，求⊙O的半径．第13题图拔高题14. (2023吉林省卷)如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点(点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是()A. 70°B. 105°C. 125°D. 155°第14题图15. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 为弧AB 的中点，连接DE 与AB 交于点F .若AB＝1，记△ADF 的面积为S 1，△AEF 的面积为S 2，则S 1S 2的值为________．第15题图16. 如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A ，B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，且点A 的坐标为(－2，0)，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠OCD ＝75°，则AD 的长为________．第16题图参考答案与解析1. D 【解析】本题考查了确定圆的条件及圆的有关定义及性质．∵过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，∴要经过题中所给的3个点画圆，除选定直线l 外的点P 外，再在直线l 上的A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个即可画圆．∵从A ，B ，C ，D 四个点中任选其中2个点的方法可以是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种，∴最多可以画出圆的个数为6.2. B 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝50°，∴∠ACB ＝90°，∠B ＝180°－50°－90°＝40°.∵AC ＝AC ，∴∠D ＝∠B ＝40°.3. C 【解析】∵∠BOD ＝124°，∴∠AOD ＝180°－124°＝56°，∴∠ACD ＝12∠AOD ＝28°. 4. B 【解析】∵BD 经过圆心O ，∴∠BCD ＝90°.∵∠BDC ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝90°－∠BDC ＝50°.5. D 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BAE ＝（5－2）×180°5＝108°，∠COD ＝360°5＝72°，∴∠BAE －∠COD ＝108°－72°＝36°. 6. A 【解析】∵∠BCD ＝105°，∴∠BAD ＝180°－105°＝75°，∴∠BOD ＝150°.∵∠BOC＝2∠COD ，∴∠COD ＝13 ∠BOD ＝50°，∴∠CBD ＝12∠COD ＝25°. 7. C 【解析】∵BD 是圆的直径，∴∠BCD ＝90°.∵BD ＝25，CD ＝7，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得，BC ＝252－72 ＝24(寸).8. D 【解析】如解图，连接OC ，∵∠ABC ＝19°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝38°.∵半径OA ，OB 互相垂直，∴∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°－38°＝52°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝26°.第8题解图9. B 【解析】如解图，在Rt △OAB 中，由勾股定理，得AO 2＋AB 2＝OB 2，即(R －7)2＋(372)2＝R 2，解得R ≈28(m).第9题解图10. B 【解析】如解图，连接OB ，设OA 交BC 于点E ，∵∠ADB ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵OA ⊥BC ，BC ＝23 ，∴BE ＝12 BC ＝3 .在Rt △BOE 中，sin ∠AOB ＝BE OB，∴sin 60°＝3OB ＝32，∴OB ＝2，∴OC ＝2.第10题解图11. B 【解析】如解图，连接OA ，设圆形宣传图标的半径为R ，∵CD 垂直平分AB ，AB＝CD ＝16，∴CD 过点O ，AC ＝BC ＝12 AB ＝12×16＝8，∠DCA ＝90°.∵AO ＝OD ＝R ，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理，得OC 2＋AC 2＝OA 2，即(16－R )2＋82＝R 2，解得R ＝10，即圆形宣传图标的半径为10.第11题解图 12. 552 ；552 －5 【解析】如解图，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BC ＝12 AB ＝32.由勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2 ＝552.当OD ⊥AB 时，点D 到AB 的距离最小，由勾股定理，得OD ＝22＋12 ＝5 ，∴点D 到AB 的距离的最小值为552 －5 .第12题解图13. (1)证明：由圆周角定理，得∠ACB ＝12 ∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC . ∵∠ACB ＝2∠BAC ，∴∠AOB ＝2∠BOC ；(2)解：如解图，过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，连接BD .则∠DOB ＝12∠AOB ，AE ＝BE . ∵∠AOB ＝2∠BOC ，∴∠DOB ＝∠BOC .∴BD ＝BC .∵AB ＝4，BC ＝5 ，∴BE ＝2，DB ＝5 .在Rt △BDE 中，∵∠DEB ＝90°，∴DE ＝BD 2－BE 2 ＝1.在Rt △BOE 中，∵∠OEB ＝90°，∴OB 2＝(OB －1)2＋22，∴OB ＝52， 即⊙O 的半径是 52.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠BAC ＝70°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝140°.∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝180°－140°2＝20°.∵点P 为OB 上任意一点(点P 不与点B 重合)，∴0°<∠OCP <20°.∵∠BPC ＝∠BOC ＋∠OCP ＝140°＋∠OCP ，∴140°<∠BPC <160°，故选D.第14题解图15. 2(2 ＋1) 【解析】如解图，连接OE 交AB 于点G ，连接AC .根据垂径定理的推论，得OE ⊥AB ，AG ＝BG .由题意可得，AC 为⊙O 的直径，AC ＝2 ，则圆的半径是22.根据正方形的性质，得∠OAF ＝45°，∴OG ＝12 ，EG ＝2－12.∵OE ∥AD ，∴△ADF ∽△GEF ，∴FE FD ＝EG DA ＝2－12 .∵△ADF 与△AEF 等高，∴S 1S 2 ＝S △ADF S △AEF＝DF EF ＝2(2 ＋1).第15题解图16. 23 【解析】如解图，连接OD ，BD .∵A (－2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴AB ＝4.∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝75°，∴∠DOC ＝180°－2×75°＝30°，∴∠DOB ＝90°－30°＝60°，∴∠DAB ＝12∠DOB ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ＝AB ·cos 30°＝23 .第16题解图。
中考数学一轮复习6.1圆的有关概念及性质课件随堂演练全面版
3．垂径定理及其推论
(1)垂径定理：垂直于弦的直径_平__分__弦及弦所对的两条弧．
(2)推论：①平分弦(不是直径)的直径_____于弦，并且_____
垂直
平分
弦所对的弧；
②弦的垂直平分线经过_____，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的圆直心径垂直平分弦，并且_____
性质
知识点一 圆的有关概念
1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形
叫做圆．其中，定点称为_____，定长称为_____．
圆心
半径
2．与圆有关的概念
(1)弧：圆上任意_两__点__间__的部分叫做圆弧，简称弧． (2)弦：连接圆上任意两点的_____叫做弦．
线段 (3)直径：经过_____的弦叫做直径． (4)等圆：能够重圆合心的圆叫做等圆．在同圆或等圆中，能够
(2)性质：圆内接四边形的对角_____；圆内接四边形的外角
等于它的_______．
互补
内对角
知识点三 确定圆的条件
1．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外
接圆．外接圆的圆心是三角形三边___________的交点，叫
做三角形的外心．
垂直平分线
考点一 圆心角、弧、弦之间的关系 (5年1考) 例1 (2017·潍坊)点A，C为半径是3的圆周上两点，点B为
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点， ∠A＝50°，则∠BCE的度数为( B )
A．40°
B．50°
C．60°
D．130°
9．(2017·凉山州)如图，已知四边形ABCD内接于半径为4
中考数学一轮复习专题过关检测卷—圆的基本性质(含答案解析)
中考数学一轮复习专题过关检测卷—圆的基本性质（含答案解析）（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，∴∠AOD＝∠DOC，∴，∵OA＝OD，∴．故选：B．2．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是（）A．30°B．40°C．60°D．65°【答案】C【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，故选：C．3．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是优弧上一点，如果∠AOB＝58°，那么∠ADC的度数为（）A．32°B．29°C．58°D．116°【答案】B【解答】解：∵弦BC⊥OA，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB＝×58°＝29°．故选：B．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠CBE＝70°，则∠ADC的度数为（）A．110°B．70°C．140°D．160°【答案】B【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE＝70°．故选：B．5．如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC＝4，AB＝6，则sin A等于（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵弦AB⊥OC，AB＝4，OC＝2，∴AC＝AB＝3，∴OA＝＝＝5，∴sin A＝＝．故选：C．6．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果弦AB＝4，那么⊙O的半径长度为（）A．2B．4C．2D．4【答案】B【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．∵OD⊥AB，AB＝4，∴AD＝AB＝2，由折叠得：OD＝AO，设OD＝x，则AO＝2x，在Rt△OAD中，AD2+OD2＝OA2，（2）2+x2＝（2x）2，x＝2，∴OA＝2x＝4，即⊙O的半径长度为4；故选：B．7．如图，已知AB与⊙O相切于点A，AC是⊙O的直径，连接BC交⊙O于点D，E为⊙O上一点，当∠C ED＝58°时，∠B的度数是（）A．32°B．64°C．29°D．58°【答案】D【解答】解：连接AD，∵AB与⊙O相切于点A，∴CA⊥AB，∴∠CAB＝90°，∵∠CED＝∠CAD＝58°，∴∠DAB＝90°﹣∠CAD＝32°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠DAB＝58°，故选：D．8．如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（）A．70°B．65°C．60°D．55°【答案】D【解答】解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∵E是的中点，∴，∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE＝55°，故选：D．9．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，与⊙O交于点D，E是⊙O上一点，连接AE，DE．若∠C＝48°，则∠AED的度数为（）A．42°B．48°C．32°D．38°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，∴BA⊥AC，∴△ABC为直角三角形，∴∠B+∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠C＝90°﹣48°＝42°，∴∠AED＝∠B＝42°．故选：A．10．如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，若，∠E＝70°，则∠ABC的度数（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解答】解：连接DB，∵∠E＝70°，∴∠A＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，∵，∴∠DBC＝∠DBA＝20°，∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°．故选：B．二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
河北省石家庄市中考数学总复习第六章圆第一节圆的基本性质同步训练
第六章圆第一节圆的根本性质姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2021·石家庄二十八中质检)如图，点 A、B、C均在⊙O上，假设∠ABC＋∠AOC＝90°，那么∠AOC的大小是( )A．30°．45°C．60°D．70°2．(2021·菏泽)如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，那么∠OBA的度数是()A．64°B．58°C．32°D．26°3．(2021·秦皇岛海港区一模)将量角器按如下图的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A、B的读数分别为 88°、30°，那么∠ACB的大小为()A．15°B．28°C．29°D．34°4．(2021·原创)︵︵如图，在⊙O中，AC＝BD，∠AOB＝40°，那么∠COD的度数为()A．20°B．40°C．50°D．60°5．(2021·广州)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，假设∠ABC＝20°，那么∠1AOB的度数是()A．40°B．50°C．70°D．80°6．(2021·聊城)如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.假设∠A＝60°，∠ADC＝85°，那么∠C的度数是()A．25°B．°C．30°D．35°7．(2021·原创)如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，那么AB的长为()A．2B．23C．4D．438．(2021·陕西改编)如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，那么∠DBC的大小为()A．15°B．25°C．35°D．45°9．(2021·甘肃省卷)如图，⊙A过点O(0，0)，C( 3，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，那么∠OBD的度数是()2A．15°B．30°C．45°D．60°10．(2021·张家口桥东区模拟)如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，假设DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，那么弦BC的长等于()A．8B．10C．11D．1211．(2021·保定二模)“圆材埋壁〞是我国古代著名数学著作?九章算术?中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？〞将其抽象为数学问题大致如下：如图所示，CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝1尺，求圆的直径．(1尺＝10寸)，根据题意可知直径长为()A．10寸B．20寸C．13寸D．26寸12．(2021·泰安)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，那么⊙O的直径为________．︵413．(2021·无锡)如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧BC上，且OA＝AB，那么∠ABC＝________．56789101112131414．(2021·原创)如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝30°，BD是⊙O的直径，如果CD3＝3，那么AD＝________．315．(2021·杭州)如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D、E两点，过点D作直径DF，连接AF，那么∠DFA＝________．16．(2021·原创)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E.求证：∠BCO＝∠D；假设CD＝8，AE＝3，求⊙O的半径r.4 1．(2021·广安)如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，cos∠CDB＝，BD＝5，那么OH的长5度为()25C．17A. B. D.3662．(2021·河北第7次联考)如图，点D、E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB、AC边上的中点，假设⊙O的半径为2，那么DE的长等于()4A.3B.2C．13 D.23．(2021·原创)如图，△ABC是等腰直角三角形，其中AB＝AC，∠BAC＝90°，⊙O经过点B，C，连接OA，假设AO＝1，BC＝6，那么⊙O的半径为________．4．(2021·原创)如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CD交OE于点F.求证：△DOE∽△ABC；S12连接OC，设△DOE的面积为S1，四边形BCOD的面积为S2，假设S2＝7，求sin A的值．参考答案【根底训练】1．C11．D2°°16．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠ADC＝∠ABC，∴∠BCO＝∠D；(2)解：∵OA⊥CD，∴CE＝DE＝4，设⊙O的半径为r，那么OE＝OA－AE＝r－3，在Rt△OCE中，由勾股定理52222 2 225 得OC ＝CE ＋OE ，即r ＝4＋(r －3)，解得r ＝.6【拔高训练】1．D 2.A 3. 134．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°，∴∠DEO ＝∠ACB ，∵OD ∥BC ，∴∠DOB ＝∠ABC ，∴△DOE ∽△ABC.(2)解：∵△DOE ∽△ABC ，∴S △DOE DO 2 1 ＝() ＝，S △ABCAB4△△，∴S ABC ＝4S DOE ＝4S 11∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝2S △ABC ＝2S 1，S 1 2∵S 四边形BCOD ＝S △BCO ＋S △DOE ＋S △BDE ，S 2＝7，∴ S 1 2 S 1＋2S ＋S ＝，解得S △DBE ＝ ，S 721 1 △DBE△ODE △DBE∴S＝2S， 3∴OE ＝2BE ，∴OD ＝OE ，2∴sin A ＝sin ∠ODE ＝OE2＝.OD36。
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第六章圆
第一节与圆有关的性质
1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念：探索并了解点与圆的位置关系．
2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．
1．圆的有关概念
(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．
(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
(3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
(4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
(6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角．
(7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆．
2．圆的性质
(1)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．
(2)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等．
(3)圆周角定理及推论
①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
②圆内接四边形的任意一组对角互补．
【例l】（2015南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB= 24cm，则CD=cm.
【答案】8 解题点拨：本题考查垂径定理，连接半径OA，根据勾股定理得OC．则CD易求．
【例2】（2016重庆）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠AOB= 120°，则∠ACB=度．。