高二数学暑假作业10指对数函数函数图像与零点3理湘教版

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湘教版高中数学必修第一册-4.3.3.2对数函数的图象与性质2【课件】

湘教版高中数学必修第一册-4.3.3.2对数函数的图象与性质2【课件】
例 2 ( 1 ) 已 知 log0.72x < log0.7 ( x - 1 ) , 则 x 的 取 值 范 围


(2)已知loga(x-1)≥loga(3-x)(a>0,且a≠1),求x的取
值范围.
答案:(1)(1,+∞) (2)见解析
方法归纳
两类对数不等式的解法
(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.
2 + 3 > 5 − 6,
∴ቐ 2 + 3 > 0,
5 − 6 > 0,
6
解得 <x<3.
5
)
1
3.若a=lg 11,b=lg 9,c=lg ,则a,b,c的大小关系是(
3
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
答案:C
1
3
解析:∵函数y=lg x是增函数,且11>9> ,
上恒成立,
1
即a< 在(-2,-1)上恒成立,

所以a≤-1,故a的取值范围是(-∞,-1].
题型3 对数函数性质的综合应用
ax+1
例4 已知奇函数f(x)=ln
.
−1
(1)求实数a的值;
解析:(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
−+1
+1
即ln
=− ln
.
−−1
−1
解析:(1)由1-x2>0,得-1<x<1,
令t=1-x2,x∈(-1,1),
当x∈(0,1)时,y=log 1 (1 − 2 )的单调递增,
2
故y=log 1 (1 − 2 )的单调增区间为(0,1).

2019-2020年高二数学暑假作业15三角函数的图象和性质2理湘教版

2019-2020年高二数学暑假作业15三角函数的图象和性质2理湘教版

2019-2020年高二数学暑假作业15三角函数的图象和性质2理湘教版 参考时量:分钟完成时间:月日一、选择题 1.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<π2的图象(部分)如 图,则f (x )的解析式是( )A .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx +π6(x ∈R ) B .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx +π6(x ∈R ) C .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx +π3(x ∈R ) D .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx +π3(x ∈R ) 解析:由三角函数图象可得A =2,T =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫56-13=2=2πω,则ω=π,将点⎝ ⎛⎭⎪⎫13,2代入f (x )=2sin(πx +φ)可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3+φ=1,解得φ=π6,∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx +π6. 答案:A2.函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象 ( ) A .关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0对称 B .关于直线x =π4对称 C .关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,0对称 D .关于直线x =π3对称 解析:当x =π3时,y =sin π=0,当x =π4时y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+π3=cos π3=12, ∴函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0对称.答案:A 3.若函数f (x )=(1+3tan x )·cos x,0≤x <π2,则f (x )的最大值为 ( ) A .1 B .2 C.3+1 D.3+2 解析:f (x )=(1+3tan x )cos x =cos x +3sin x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6,∵0≤x <π2,∴f (x )max =2.答案:B4.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数( ) A .在区间7[,]1212ππ上单调递减 B .在区间7[,]1212ππ上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63ππ-上单调递增5.已知函数y =sin(ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则 ( )A .ω=1,φ=π6B .ω=1,φ=-π6C .ω=2,φ=π6D .ω=2,φ=-π6解析:由π2ω=7π12-π3解得ω=2,又当x =π3时,ωx +φ=π2,解得φ=-π6. 答案:D6.已知f (x )=sin x +3cos x (x ∈R ),函数y =f (x +φ)的图象关于直线x =0对称,则φ的值可以是 ( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析:f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ x +π3, y =f (x +φ)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+φ图象关于x =0对称,即f (x +φ)为偶函数. ∴π3+φ=π2+k π,φ=k π+π6,k ∈Z ,当k =0时,φ=π6. 答案:D二、填空题7.函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是________.解析:f (x )=sin x +2|sin x |=⎩⎪⎨⎪⎧ 3sin x 0≤x <π,-sin x π≤x ≤2π.在同一坐标系中,作出函数f (x )与y =k 的图象可知1<k <3.答案:(1,3)8.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最 高点和最低点的距离为22,且过点⎝⎛⎭⎪⎫2,-12,则函数f (x )=________. 解析:据已知两个相邻最高及最低点距离为22,可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22++2=22,解得T=4,故ω=2πT =π2,即f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2+φ,又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-12,故f (2)=sin(π+φ) =-sin φ=-12,又-π2≤φ≤π2,解得φ=π6,故f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2+π6. 答案:sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2+π6 9.对于函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ,sin x ≥cos x cos x ,sin x <cos x ,给出下列三个命题:(1)该函数的图象关于x =2k π+π4(k ∈Z )对称; (2)当且仅当x =k π+π2(k ∈Z )时,该函数取得最大值1; (3)该函数是以π为最小正周期的函数.上述命题中正确的是________.解析:由函数f (x )的图象知,在x =0处,函数也取得最大值,∴(2)错;函数f (x )的最小正周期为2π,∴(3)错;由题意可知,(1)正确.答案:(1)10、函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.三、解答题11.(本小题满分10分)设函数f (x )=sin(2x +φ)(-π<φ<0),y =f (x )图象的一条对称轴是直线x =π8.(1)求φ; (2)求函数y =f (x )的单调增区间.解:(1)令2×π8+φ=k π+π2,k ∈Z , ∴φ=k π+π4,又-π<φ<0,则-54<k <-14, ∴k =-1,则φ=-3π4. (2)由(1)得:f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -3π4, 令-π2+2k π≤2x -3π4≤π2+2k π, 可解得π8+k π≤x ≤5π8+k π,k ∈Z , 因此y =f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8+k π,5π8+k π,k ∈Z . 12.(本小题满分12分)如图,函数y =2sin(πx +φ),x ∈R (其中0≤φ≤π2)的图象与y 轴交于点(0,1). (1)求φ的值;(2)设P 是图象上的最高点,M 、N 是图象与x 轴的交点,求PM →与PN →的夹角的余弦.解:(1)由已知:2sin φ=1,即sin φ=12,又0≤φ≤π2, ∴φ=π6,因此y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx +π6. (2)令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx +π6=0,则πx +π6=k π,k ∈Z ,即x =k -16,k ∈Z . 当k =1时,x =56,则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫56,0;当k =0时,x =-16, 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫-16,0.又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,2,∴PM →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-2,PN →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-2. cos 〈PM →,PN →〉= =1517. ∴PM →与PN →的夹角的余弦为1517. 13.(本小题满分10分)设函数f (x )=a ·(b +c ),其中向量a =(sin x ,-cos x ),b =(sin x ,-3cos x ),c =(-cos x ,sin x ),x ∈R .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期;(2)将函数y =f (x )的图象按向量d 平移,使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d.解:∵a =(sin x ,-cos x ),b =(sin x ,-3cos x ),c =(-cos x ,sin x ),f (x )=a ·(b +c )=(sin x ,-cos x )·(sin x -cos x ,sin x -3cos x )=sin 2x -sin x cos x -sin x cosx +3cos 2x=1-cos 2x 2-sin 2x +32(1+cos 2x )=cos 2x -sin 2x +2=2cos(2x +π4)+2. (1)函数f (x )的最大值为2+2,最小正周期为π.(2)d =⎝ ⎛⎭⎪⎫-π8,-2. 将y =f (x )的图象按向量d 平移得的图象对应的函数解析式为y =-2sin 2x .。

最新湘教版高中数学《对数函数的图象与性质》教学课件

最新湘教版高中数学《对数函数的图象与性质》教学课件

所以log0.82<log0.81=0.
又因为20.8>0 ,所以log0.82 < 20.8.
一 对数函数的图象与性质
例 12 证明:函数 y log1 x2 2x 3 在 (3,+∞)上递减.
证明 记g(x)=x2-2x-3. 2
设u,v是(3,+∞)上任意两个实数,且u<v,则
gv g u v2 u2 2v u
(3)该学生记忆180个单词需要多长时间?
(4)利用数学软件画出该函数的图象.
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三 数学文化
三 数学文化
历史上的对数 数学史上一般认为对数是由苏格兰数学家纳皮尔(1550—1617)于16世纪末 到17世纪初所发明. 那时,哥白尼的“太阳中心说”开始流行,天文学成为热门学科.纳皮尔是 一位天文爱好者,为了简化有关天文观测数据的计算,他多年潜心研究大数的 计算技术,终于独立发明了对数. 纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.下面的表格说明了 这个方法的原理.
三 数学文化
指数和对数发展史上的关键人物还有英国数学家布里格斯(1561—1630), 他在1616年拜访纳皮尔,提出编造常用对数表.在纳皮尔去世后,他以毕生的精 力,继承纳皮尔未竟的事业,在1624年出版了《对数算术》一书,载有1~ 20000及90000~100000的14位对数表,这在当时是需要花费巨大精力的工 作.1628年,由荷兰数学家佛拉格(1600—1667)把余下的20000~90000的常用对 数补全,这是流行最广的对数表.
所以函数y=log0.5(3-x)的定义域是(-∞,3).
3 (2)要使函数有意义,需2x-3>0且2x-3≠1,即x> 2 且x≠2.

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试(暑假作业检测)数学试题

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试(暑假作业检测)数学试题

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试(暑假作业检测)数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________二、多选题9.有一组互不相等的数组成的样本数据1x 、2x 、L 、9x ,其平均数为a (i a x ¹,1i =、2、L 、9),若插入一个数a ,得到一组新的数据,则( )A .两组样本数据的平均数相同B .两组样本数据的中位数相同C .两组样本数据的方差相同D .两组样本数据的极差相同10.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,,,E F G 分别为棱111,,A D AA CD 的中点,则( )6,A12.AD【分析】根据函数的对称性,周期性判断A ,根据()g x 与()f x 的关系及周期性判断B ,根据中心对称的性质及周期性可判断CD.【详解】对于A ,因为()()20f x f x -+=,所以()f x 的对称中心为()1,0,因为()()33f x g x +-=,所以()()33f x g x ++=,又()()13f x g x -+=,所以()()31f x f x +=-,所以()()31f x f x +=-+,即()()2f x f x +=-,所以()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=éùëû,即()f x 的周期为4,又()()31g x f x =--,所以()g x 的周期也为4,故A 正确;对于B ,因为()()31f x f x +=-,所以()()4f x f x +=-,又由A 知()f x 周期为4,即()()4f x f x +=,所以()()=f x f x -,()f x 为偶函数,故B 错误;对于C ,由()f x 对称中心为()1,0,得()10f =,又因为直线2x =为()f x 对称轴,所以()30f =,所以()f x 关于点()3,0对称,所以()()22f ,和()()4,4f 关于点()3,0对称,所以()()240f f +=,所以()()()()12340f f f f +++=,所以()()()1220240f f f ++×××+=,故C 错误;对于D ,由C 得()()()()01230f f f f +++=,因为()()31g x f x =--,所以()()130g f =-,()()()23131g f f =--=-,()()332g f =-,()()433g f =-,所以()()()()()()()()123430313233g g g g f f f f +++=-+-+-+-。

高中数学课时作业三十一对数函数的图象与性质1湘教版必修第一册

高中数学课时作业三十一对数函数的图象与性质1湘教版必修第一册

课时作业(三十一) 对数函数的图象与性质(1)[练基础]1.已知函数f (x )=log a (x +2),若图象过点(6,3),则f (2)的值为( ) A .-2 B .2 C .12 D .-122.函数y =lg1x -1的图象大致是( ) A . B .C .D .3.函数y =log 2(1+x )+4-2x的定义域为( ) A .(-1,2) B .(0,2] C .(0,2) D .(-1,2]4.若点(a ,b )在y =lg x 的图象上,a ≠1,则下列点也在此图象上的是( )A .⎝⎛⎭⎪⎫1a ,b B .(10a ,1-b ) C .⎝ ⎛⎭⎪⎫10a,b +1 D .(a 2,2b ) 5.已知m ,n ∈R ,函数f (x )=m +log n x 的图象如图,则m ,n 的取值范围分别是( ) A .m >0,0<n <1 B .m <0,0<n <1C .m >0,n >1D .m <0,n >16.(多选)设a >1,在下列函数中,图象经过定点(1,1)的函数有( ) A .y =x aB .y =ax -1C .y =log a x +1D .y =ax 3+17.已知函数f (x )=log 2(x 2+a ),若f (3)=1,则a =________. 8.函数y =ln (x +1)1-x的定义域为________.9.已知a >0且a ≠1,b >0且b ≠1,如果无论a ,b 在给定范围内取任何值,函数y =x +log a (x -3)的图象与函数y =bx -c +3的图象总经过同一个定点,求实数c 的值.10.设f (x )=log a (3+x )+log a (3-x )(a >0,a ≠1),且f (0)=2. (1)求实数a 的值及函数f (x )的定义域. (2)求函数f (x )在区间[0,6]上的最小值.[提能力]11.(多选)在同一直角坐标系中,函数y =1a x ,y =log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12(a >0,且a ≠1)的图象不可能是( )12.当0<x ≤12时,4x<log a x ,则a 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22 B .⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1 C .(1,2) D .(2,2)13.已知函数f (x )=log a (x +2)+3的图象恒过定点(m ,n ),且函数g (x )=mx 2-2bx +n 在[1,+∞)上单调递减,则实数b 的取值范围是________.14.已知函数f (x )=|lg x |,若0<a <b ,且f (a )=f (b ),则a +4b 的取值范围是________. 15.设函数f (x )=ln (x 2+ax +1)的定义域为A . (1)若1∈A ,-3∉A ,求实数a 的取值范围;(2)若函数y =f (x )的定义域为R ,求实数a 的取值范围.[培优生]16.已知函数f (x )=lg (ax 2+2x +1)的值域为R ,求实数a 的取值范围.课时作业(三十一) 对数函数的图象与性质(1)1.解析:将点(6,3)代入f (x )=log a (x +2)中, 得3=log a (6+2)=log a 8, 即a 3=8,a =2, 所以f (x )=log 2(x +2), 所以f (2)=log 2(2+2)=2. 答案:B2.解析:由题意,1x -1>0,解得x >1,即函数y =lg 1x -1的定义域为(1,+∞),所以可排除B 、C 选项;当1<x <2时,1x -1>1,此时lg 1x -1>lg 1=0;当x >2时,0<1x -1<1,此时lg 1x -1<lg 1=0,显然D 不符合题意,只有A 符合题意.答案:A3.解析:要使得函数有意义,则x +1>0,且4-2x≥0 解得x >-1且x ≤2. 即x ∈(-1,2]. 答案:D4.解析:x =a 2时,y =lg a 2=2lg a =2b , 所以点(a 2,2b )在函数y =lg x 的图象上. 答案:D5.解析:由图象知函数f (x )为增函数, 所以n >1,又f (x )的图象由y =log n x 的图象向上平移得到的,所以m >0. 答案:C6.解析:对于选项A :当x =1时,y =1a=1,所以选项A 正确, 对于选项B :当x =1时,y =a 0=1,所以选项B 正确, 对于选项C :当x =1时,y =log a 1+1=1,所以选项C 正确,对于选项D :当x =1时,y =a +1,图象不经过定点(1,1),所以选项D 错误. 答案:ABC7.解析:由f (3)=1可得:1=log 2(9+a ), ∴a =-7. 答案:-78.解析:由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x >0,解得-1<x <1.答案:(-1,1)9.解析:因为函数y =x +log a (x -3)的图象过定点(4,4),所以y =b x -c+3的图象必过定点(4,4),所以4=b4-c+3,即c =4.10.解析:(1)由题意得,f (0)=log a 3+log a 3=2log a 3=2,所以a =3, 所以f (x )=log 3(3+x )+log 3(3-x ),所以⎩⎪⎨⎪⎧3+x >0,3-x >0,解得-3<x <3,所以f (x )的定义域是(-3,3).(2)因为f (x )=log 3(3+x )+log 3(3-x )=log 3(3+x )(3-x )=log 3(9-x 2), 且x ∈(-3,3),所以log 3(9-x 2)在[0,6]上单调递减, 所以当x =6时,f (x )在区间[0,6]上取得最小值,是log 33=1.11.解析:当0<a <1时,函数y =a x过定点(0,1)且单调递减,则函数y =1ax 过定点(0,1)且单调递增,函数y =log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0且单调递减,D 选项符合;当a >1时,函数y =a x 过定点(0,1)且单调递增,则函数y =1a x 过定点(0,1)且单调递减,函数y =log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0且单调递增,各选项均不符合.综上,选ABC.答案:ABC12.解析:当0<x ≤12时,4x <log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12,即函数y =4x的图象在函数y =log a x 图象的下方.又当x =12时,412=2,即函数y =4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2,把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2的坐标代入函数y =log a x ,得a =22.若满足题意,则需22<a <1(如图所示).当a >1时,不符合题意,舍去.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22,1.答案:B13.解析:由题得函数f (x )=log a (x +2)+3的图象恒过定点(-1,3), 所以m =-1,n =3.所以g (x )=-x 2-2bx +3, 函数的对称轴方程为x =--2b-2=-b , 函数g (x )=mx 2-2bx +n 在[1,+∞)上单调递减, 所以-b ≤1,∴b ≥-1. 答案:[-1,+∞)14.解析:因为f (a )=f (b ),且0<a <b ,所以0<a <1<b ,且-lg a =lg b ,即b =1a,所以a +4b =a +4a .令g (a )=a +4a ,易知g (a )在(0,1)上为减函数,所以g (a )>g (1)=1+41=5,即a +4b 的取值范围是(5,+∞).答案:(5,+∞)15.解析:(1)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧1+a +1>0,9-3a +1≤0,所以a ≥103.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103,+∞.(2)由题意,得x 2+ax +1>0在R 上恒成立,则Δ=a 2-4<0,解得-2<a <2. 故实数a 的取值范围为(-2,2).16.解析:因为函数f (x )=lg (ax 2+2x +1)的值域为R . 则t =ax 2+2x +1可以取到(0,+∞)内的任意值, ①当a =0时,t =2x +1,与题意相符;②当a ≠0时,结合二次函数的性质,得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=4-4a ≥0,解得0<a ≤1.综上所述,实数a 的取值范围是[0,1].。

高二数学暑假作业指数函数与对数函数理苏教版

高二数学暑假作业指数函数与对数函数理苏教版

第4天 指数函数与对数函数1. 计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫32-13×⎝ ⎛⎭⎪⎫-760+814×42-⎝ ⎛⎭⎪⎫-2323=________.2. 计算:210+(-1)3+log 1327的值是________.3. 若a =21.4,b =80.2,c =⎝ ⎛⎭⎪⎫12-log 24,则a ,b ,c 的大小关系是____________.(用“>”连接)4. 若函数y =a x在[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则函数y =3a x -1在[0,1]上的最大值是________.5. 函数f(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -x2的单调增区间为________.6. 已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x, x≥4,f (x +1), x<4,则f(log 23)=________.7. 如图,已知正方形ABCD 的边长为2,BC 平行于x 轴,顶点A ,B 和C 分别在函数y 1=3log a x ,y 2=2log a x 和y 3=log a x(a >1)的图象上,则实数a 的值为________.8. 若函数y =log 12|x +a|的图象不经过第二象限,则实数a 的取值范围是________. 9. 若函数f(x)=a·3x+4-a4(3x-1)为奇函数,则实数a 的值为________. 10. 已知函数f(x)=log 3x +1x -1,平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数f(x)的图象上,且A(2,1),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫54,2,则平行四边形ABCD 的面积为________. 11. 设函数f(x)=log a (3+x)+log a (3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2. (1) 求实数a 的值及函数f(x)的定义域; (2) 求函数f(x)在区间[0,6]上的最小值.12. 已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=2x4x+1.(1) 求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;(2) 求函数f(x)的值域.13. 在平面直角坐标系xOy中,已知函数f(x)=log n x(n>1)的图象上的两点A,B,过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a,0),N(b,0)(b>a>1),线段BN,AM分别与函数g(x)=log m x(m>n>1)的图象交于点C,D,且AC与x轴平行.(1) 当a=2,b=4,n=3时,求四边形ABCD的面积;(2) 当b=a2时,直线BD经过点(1,0),求实数a的值;(3) 已知h(x)=a x,φ(x)=b x,若x1,x2为区间(a,b)内任意两个变量,且x1<x2,求证:h(f(x2))<φ(f(x1)).14. 已知函数f(x)=ln(a x-b x)(a>1>b>0).(1) 求函数f(x)的定义域I;(2) 判断函数f(x)在定义域I上的单调性,并说明理由;(3) 当a,b满足什么关系时,f(x)在[1,+∞)上恒取正值.第4天 指数函数与对数函数1. 2 解析:原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1+234×214-⎝ ⎛⎭⎪⎫2313=21=2.2. 1 020 解析:原式=1 024-1-3=1 020.3. c >a >b 解析:a =21.4,b =80.2=20.6, c =⎝ ⎛⎭⎪⎫12-log24=2log 24=22,则c >a >b.4. 3 解析:由已知得a 0+a 1=3,所以a =2,则函数y =3a x -1在[0,1]的最大值是3×2=3.5. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1 解析:因为y =x -x 2的定义域为[0,1],且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1上单调递减,又y=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减,由复合函数的单调性可得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1. 6. 124 解析:因为1<log 23<2,所以f(log 23)=f(log 23+3)=f (log 224)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224=124. 7. 2 解析:由AB =2得3log a x -2log a x =log a x =2,则x =a 2.由BC =2得x C -x =a2log a x -x =x 2-x =2,x >0,解得x =2,则a = 2.8. (-∞,-1] 解析:函数y =log 12|x +a|的图象是由y =log 12|x|的图象向右平移至少1个单位长度才能不经过第二象限,所以a≤-1.9. 2 解析:因为f(x)=a·3x+4-a 4(3x -1)=a 4+13x-1为奇函数,所以f(-1)=-f(1),即a 4+13-1-1=-⎝ ⎛⎭⎪⎫a4+13-1,解得a =2. 10.112 解析:函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),且f(-x)=log 3-x +1-x -1=log 3x -1x +1=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,所以平行四边形ABCD 的对角线的交点是坐标原点.又AB =54,直线AB 的方程为4x +3y -1 1=0,则点O 到直线AB 的距离为d =115,所以平行四边形ABCD 的面积为4S △AOB =4×12×54×115=112.11. 解析:(1) 因为f(0)=2,所以log a 9=2(a>0,a≠1),所以a =3.由⎩⎪⎨⎪⎧3+x>0,3-x>0,得x∈(-3,3),所以函数f(x)的定义域为(-3,3).(2) 因为f(x)=log 3(3+x)+log 3(3-x)=log 3[(3+x)(3-x)]=log 3(9-x 2), 所以当x∈(-3,0]时,f(x)是增函数;当x∈(0,3)时,f(x)是减函数, 故函数f(x)在区间[0,6]上的最小值是f(6)=log 33=1.12. 解析:(1) 当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2-x4-x +1=-2x1+4x .又f(0)=f(-0)=-f(0),所以f(0)=0,故当x∈(-1,1)时,f(x)的解析式为f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-2x1+4x ,x∈(-1,0),0, x =0,2x 4x+1, x∈(0,1).(2) 由函数单调性可得f(x)=2x4x +1在(0,1)上单调递减,又由奇函数的对称性可得f(x)在(-1,0)上单调递减.当0<x <1时,f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25,12;当-1<x <0时,f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-25.因为f(0)=0,所以f(x)在(-1,1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫25,12∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-25.13. 解析:(1) 由题意得A(2,log 32),B(4,log 34),C(4,log m 4).因为AC 与x 轴平行,所以log m 4=log 32,所以m =9,所以AD =log 32-log 92=log 92,BC =log 34-log 94=log 94,则S 四边形ABCD =AD +BC 2×MN=log 92+log 942×2=log 98.(2) 由题意得A(a ,log n a),B(b ,log n b),C(b ,log m b).因为AC 与x 轴平行,所以log m b =log n a.因为b =a 2,所以m =n 2.因为直线BD 经过点(1,0),所以DM a -1=BN a 2-1,即log m a a -1=log n ba 2-1,所以a =3. (3) 因为a <x 1<x 2<b ,且n >1,所以log n a <log n x 1<log n x 2<log n b.因为a >1,b >1,所以a log n x 2<a log n b ,b log n a <b log n x 1.因为log n b·log n a =log n a·log n b ,所以log n a log n b =log n b log n a ,所以a log n b =b log n a ,所以a log n x 2<b log n x 1,即h(f(x 2))<φ(f(x 1)).14. 解析:(1) 因为f(x)=ln (a x-b x)(a>1>b>0)有意义,所以a x-b x>0,即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1.又a>1>b>0,所以ab>1,故所求定义域I 为(0,+∞).(2) 函数f(x)在定义域I 上是单调增函数. 证明: 取任意x 1,x 2,且0<x 1<x 2. 因为a>1>b>0,所以ax 1<ax 2,bx 1>bx 2,所以ax 1-bx 1<ax 2-bx 2,所以ln (ax 1-bx 1)<ln (ax 2-bx 2),所以f(x 1)<f(x 2),所以函数f(x)在定义域上是单调增函数.(3) 因为f(x)在[1,+∞)上恒取正值,所以f(x)在[1,+∞)上的最小值大于0,由(2)得f(x)min=f(1)=ln(a-b).因为ln(a-b)>0,所以a-b>1,所以当a-b>1时,f(x)在[1,+∞)上恒取正值.。

【精品 原创】对数函数图像和性质

【精品 原创】对数函数图像和性质
因为 x ,1 3,时 x 2 4x 3 0
故 log2 x 2 4x 3 R 所以值域为R
例2已知函数 y log2 x 2 4x 3
(2)确定函数单调区间
解析(2) u(x ) x 2 4x 3 在区间( - ,1)上单调递减;在区
间 3, 上单调递增;
X
R (1 ,0), 即当x =1时,y=0.
在(0,+∞)上是 减函数
在(0,+∞)上是
增函数
识别对数函数的图像
与对数函数有关的复合函数问题 例2已知函数 y log2 x 2 4x 3
(1)求函数的定义域、值域 (2)确定函数单调区间
解析:根据题意可知 x 2 4x 3 0
解得 x ,1 3, 所以定义域: ,1 3,
y log2 x 2 4x 3 在区间( - ,1)上单调递减;在区
间 3, 上单调递增。
小结
1.对数函数的图像和性质是解决与对数函数有关问题 的基础;
2.解决与对数函数有关的复合函数问题的关键是: 将复合函数“拆成”几个基本初等函数,再“逐个 分析、击破”。
学习目标
1.理解对数函数的图象与性质. 2.解决一些与对数函数有关的简 单的复合函数的定义域、值域、单调 性等问题
知识梳理
对数函数
的图象与性质
图 像
定义域 值域
性 过定点 质 单调性
0<a<1
y x =1
(1,0)
O
y
X
log a
x
( 0,+∞)
a>1
y x =1
y log a x
O (1,0)

高中数学第三章指数函数和对数函数 对数函数的图像和性质学案含解析北师大版必修1

高中数学第三章指数函数和对数函数 对数函数的图像和性质学案含解析北师大版必修1

5.3 对数函数的图像和性质知识点对数函数的图像和性质[填一填][答一答]函数y=log a x(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置有何影响?提示:图像如图:观察图像,总结变化规律:1.上下比较:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图像越靠近x轴,0<a<1时,a越小,图像越靠近x轴.2.左右比较:比较图像与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.对数函数图像和性质的关系类型一对数函数的图像【例1】函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图像如图所示.(1)说明哪个函数对应于哪个图像,并解释为什么;(3)从(2)的图中你发现了什么?【思路探究】解答本题要根据底数不同的对数函数图像的变化规律,确定三个图像与三个函数的对应性,再利用描点法画出(2)中的三个函数图像,最后观察图像得出结论.【解】(1)当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图像越在下方.所以,①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.(2)列表:描点连成图为:规律方法 1.画对数函数y =log a x 的图像时,应抓住三个关键点(a,1),(1,0),(1a ,-1).2.对数函数的图像与指数函数的图像一样,除了用描点法作图外,还可以用图像的变换法作图,其变化规律完全相同.如图是对数函数y =log a x 的图像,已知a 值取3,43,35,110,则相应于C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次是( A )A.3,43,35,110B.3,43,110,35C.43,3,35,110D.43,3,110,35解析:对于y =log a x ,当a >1时,图像上升;当0<a <1时,图像下降.当a >1时,a 越大,在x 轴上方图像向右越靠近x 轴;当0<a <1时,a 越小,在x 轴下方图像向右越靠近x 轴.类型二 利用对数函数单调性比较大小 【例2】 比较下列各组数的大小: (1)log 23.4,log 28.5; (2)log 0.33,log 0.3π;(3)log a 5.1,log a 5.9(a >0,且a ≠1);【思路探究】 先观察对数的底数,再选择合适的方法比较.【解】 (1)∵函数y =log 2x 在(0,+∞)上是单调增函数,且3.4<8.5,∴log 23.4<log 28.5. (2)∵函数y =log 0.3x 在(0,+∞)上是单调减函数,且3<π,∴log 0.33>log 0.3π. (3)底数都是a ,需要讨论a 的取值范围,再由函数的单调性判断大小. 当a >1时,y =log a x 在(0,+∞)上是增函数,且5.1<5.9,∴log a 5.1<log a 5.9; 当0<a <1时,y =log a x 在(0,+∞)上是减函数,且5.1<5.9,∴log a 5.1>log a 5.9.规律方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断,即当a >1时,y =log a x 在(0,+∞)上是增函数,当0<a <1时,y =log a x 在(0,+∞)上是减函数.(2)若底数为同一参数,则先对底数进行讨论,再按对数函数的单调性进行判断. (3)若底数不同,真数相同,则构造两个不同的对数函数,利用函数图像与底数的关系反映的规律进行比较.(4)若底数、真数都不相同,则常借助1,0,-1等中间量进行比较.比较下列各组中两个值的大小(1)ln0.3,ln2;(2)log23,log0.32;(3)log aπ,log a3.141;解:(1)(单调性法)因为y=ln x在(0,+∞)上是增函数,所以ln0.3<ln2.(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<0,所以log23>log0.32.(3)(分类讨论)当a>1时,函数y=log a x在定义域上是增函数,则有log aπ>log a3.141;当0<a<1时,函数y=log a x在定义域上是减函数,则有log aπ<log a3.141.综上所得,当a>1时,log aπ>log a3.141;当0<a<1时,log aπ<log a3.141.类型三对数函数单调性【解】规律方法1.求复合函数单调区间应按下列步骤完成:(1)求出函数的定义域;(2)将复合函数分解为基本初等函数;(3)分别确定各个基本初等函数的单调性;(4)根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.2.求单调区间要注意定义域.函数f(x)=log12(x2-2x-3)的单调递增区间为(-∞,-1).解析:函数的定义域为{x|x>3或x<-1},令t=x2-2x-3,因为y=log12t在(0,+∞)上单调递减,t=x2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以由复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1).类型四函数奇偶性判定【例4】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=lg(4+x)+lg(4-x);(2)f(x)=lg(x+x2+1);(3)f(x)=log a b-xb+x(a>0且a≠1,b>0);(4)f(x)=lg(4-x2) |x+2|-2.【思路探究】从奇偶函数的定义出发给予判别.【解】(1)由f(x)=lg(4+x)+lg(4-x),知⎩⎪⎨⎪⎧4+x >0,4-x >0.∴-4<x <4. 又f (-x )=lg(4-x )+lg(4+x )=f (x ), ∴f (x )为(-4,4)上的偶函数. (2)由f (x )=lg(x +x 2+1),知 x +x 2+1>x +|x |≥0,∴定义域为R .又∵f (-x )=lg(-x +x 2+1)=lg(x +x 2+1)-1 =-lg(x +x 2+1)=-f (x ), ∴f (x )为奇函数.(3)由f (x )=log a b -x b +x ,知b -x b +x >0,∴-b <x <b (b >0).又∵f (-x )=log a b +x b -x =log a (b -x b +x )-1=-f (x ),∴函数f (x )为奇函数.(4)由f (x )=lg (4-x 2)|x +2|-2,知x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4-x 2>0,|x +2|-2≠0.∴-2<x <2且x ≠0.故f (x )的定义域为{x |-2<x <2且x ≠0}. 故f (x )=lg (4-x 2)x +2-2=lg (4-x 2)x (-2<x <2且x ≠0).又∵f (-x )=lg (4-x 2)-x =-lg (4-x 2)x =-f (x ),∴f (x )为奇函数.规律方法 判断函数的奇偶性关键是: ①求定义域,定义域必须关于原点对称;②变形过程中,要注意分子、分母有理化,或计算f (-x )±f (x )=0.若f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫2x1+x +a (a ∈R )是奇函数,则常数a 的值为-1.解析:∵f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫2x1+x +a (a ∈R ),∴f (-x )=lg ⎝⎛⎭⎫-2x1-x +a ,∵f (x )+f (-x )=0,∴⎝⎛⎭⎫2x 1+x +a ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x 1-x +a =1.化简得-(a 2+4a +3)x 2=1-a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2+4a +3=0,1-a 2=0,解得a =-1.——规范解答—— 对数函数的综合应用【例5】 已知f (x )=log a 1+x1-x (a >0,a ≠1).(1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并给予证明; (3)求使f (x )>0的x 的取值范围. 【审题】 抓信息,找思路(1)审条件:一个解析式:函数f (x )的解析式已知;一个范围:a 的范围已知.(2)建联系:无论是求定义域、判断奇偶性,还是解不等式f (x )>0,都要与函数f (x )的解析式建立联系.(3)找思路:先通过寻求使对数式有意义的自变量可确定函数的定义域,再利用函数奇偶性的定义可判断奇偶性;最后根据a 的不同取值范围分情况讨论建立不等关系,寻找满足条件的自变量.【解析】 (1)函数定义域满足1+x1-x>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 1+x >0,1-x >0或⎩⎪⎨⎪⎧1+x <0,1-x <0,解得-1<x <1,所以函数f (x )的定义域为(-1,1). (2)因为函数f (x )的定义域为(-1,1),关于原点对称. 又因为f (-x )=log a 1-x 1+x =log a (1+x 1-x )-1=-log a 1+x1-x =-f (x ),所以f (x )为奇函数.(3)当a >1时,由log a 1+x 1-x >0可得1+x1-x>1,由(1)可知,x ∈(-1,1),所以1-x >0,解得0<x <1,即当a >1,x ∈(0,1)时,有f (x )>0. 当0<a <1时,由log a 1+x 1-x >0可得0<1+x1-x<1,由(1)可知,x ∈(-1,1),所以1-x >0,所以解得-1<x <0,当0<a <1,x ∈(-1,0)时,有f (x )>0. 综上所述,当0<a <1时,所求x 的取值范围是(-1,0); 当a >1时,所求x 的取值范围是(0,1).【点评】 1.注重挖掘隐含条件,有效简化运算过程在处理一些问题时,要仔细读题,挖掘其中的隐含条件,如本例中根据(1)中的定义域对自变量x 的限制条件,在求解(3)中不等式的时候可以有效减少运算量,直接转化为整式不等式求解.2.分类讨论的意识不可丢在解决含有参变量的数学问题时,要适时根据参变量的不同范围进行分情况研究,像本例中由于对数式的底数a 的范围不确定,因此要分两种不同的情况求解.已知f (x )=-x +log 21-x1+x .(1)求f (x )的定义域; (2)判断f (x )的奇偶性.解:(1)函数定义域满足1-x1+x >0,解得-1<x <1,所以f (x )的定义域为(-1,1).(2)由(1)可知函数定义域关于原点对称,又因为f (x )+f (-x )=-x +log 21-x 1+x +x +log 21+x1-x =log 2(1-x 1+x ·1+x1-x)=log 21=0,所以f (-x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数.一、选择题1.函数y =log a x 的图像如图所示,则实数a 可能取的值是( D )A.110 B.15 C.47D .10解析:由图像得函数y =log a x 在(0,+∞)上是增函数,则a >1.2.函数f (x )=lg(4-x 2)的定义域为( B ) A .[-2,2] B .(-2,2) C .[0,2] D .(0,2) 解析:由4-x 2>0,得x 2<4,即|x |<2,所以-2<x <2,因此,函数f (x )=lg(4-x 2)的定义域为(-2,2).3.函数y =log (a 2-1)x 在(0,+∞)内是减函数,则a 的取值范围是( D ) A .|a |>1 B .|a |< 2 C .a > 2D .1<|a |< 2 解析:∵函数为减函数,∴a 2-1∈(0,1), ∴1<a 2<2,∴1<|a |<2,故选D. 二、填空题4.设f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ≥0时,f (x )=log 3(1+x ),则f (-2)=-1. 解析:设x <0,则-x >0,所以f (-x )=log 3(1-x ),又f (-x )=-f (x ),所以f (x )=-log 3(1-x )(x <0). 所以f (-2)=-log 33=-1.5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 21x +2(x >0)3x (x ≤0),则f [f (2)]的值为19. 解析:f (2)=log 212+2=log 214=log 22-2=-2, ∴f [f (2)]=f (-2)=3-2=19. 三、解答题6.求函数f (x )=log 2(-13x 2+2x -1)的最大值. 解:∵-13x 2+2x -1=-13(x -3)2+2≤2, 又∵y =log 2x 在(0,+∞)上为增函数,∴f (x )在x =3时取最大值,且最大值为1.。

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作业10 指、对数函数,函数图像与零点(3)一. 选择题1.若a >1,b >0,且a b +a -b =22,则a b -a -b的值为( ) A. 6 B .2或-2 C .-2 D .22.方程log 4x +x =7的解所在区间是( )A .(1,2)B .(3,4)C .(5,6)D .(6,7) 3.函数y =e x+e-xe x -e-x 的图象大致为( )4.已知函数f(x)=2x+x ,g(x)=log 2x +x ,h(x)=log 2x -2的零点依次为a ,b ,c ,则( )A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c5、已知二次函数f (x )=x 2-(m -1)x +2m 在[0,1]上有且只有一个零点,则实数m 的取值范围为( )A .(-2,0)B .(-1,0)C .[-2,0]D .(-2,-1)6、已知定义在R 上的奇函f (x )的导函数为f ’(x ),当x <0时,f (x )满足()()2 ') (f x xf x xf x +<,则f (x )在R 上的零点个数为( )A .1B .3C . 5D .1或3二.填空题:7、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递增区间是 .8.(2014·福建卷)函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2,x ≤0,2x -6+ln x ,x >0的零点个数是________.9、已知函数f(x)=lg(x 2+ax -a -1),给出下列命题:①f(x)的定义域是{x|x <-1-a 或x >1}; ②f(x)有最小值; ③当a =0时,f(x)的值域是R ;④当a >0时,f(x)在区间[2,+∞)上是单调函数.其中真命题的序号是________.10、给出下列四个命题:①函数1y x=-在R 上单调递增;②若函数122++=ax x y 在(]1,-∞-上单调递减,则1a ≤;③若0.70.7log (2)log (1)m m <-,则1m >-;④若)(x f 是定义在R 上的奇函数,则0)1()1(=-+-x f x f . 其中正确的序号是 .三.解答题:11.对于函数f (x ),若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立,则称x 0为f (x )的不动点, 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +b -1(a ≠0) (1)当a =1,b =-2时,求f (x )的不动点;(2)若对任意实数b ,函数f (x )恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围.12、若函数y =a ·2x -1-a2x-1为奇函数.(1)求a 的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域.13、已知函数()4(,)af x x b a b R x=++∈为奇函数. (1)若()15f =,求函数()f x 的解析式;(2)当2a =-时,不等式()f x t ≤在[]1,4上恒成立,求实数t 的最小值; (3)当1a ≥时,求证:函数()(2)()xg x f c c R =-∈在(],1-∞-上至多一个零点.作业10 指、对数函数,函数图像与零点(3)参考答案一. 选择题1.若a >1,b >0,且a b+a -b=22,则a b -a -b的值为( D ) A. 6B .2或-2C .-2D .22.方程log 4x +x =7的解所在区间是( C )A .(1,2)B .(3,4)C .(5,6)D .(6,7)解析:构造函数F(x)=log 4x +x -7,F(5)=log 45-2<0,F(6)=log 46-1>0,F(x)在(5,6)内有零点,即log 4x +x -7=0在(5,6)内有解. 答案:C3.函数y =e x+e-xe x -e-x 的图象大致为( A )解析:函数有意义,需使e x-e -x≠0,其定义域为{x|x ≠0},排除C ,D ,又因为y =e x+e-xe x -e-x=e 2x+1e 2x -1=1+2e 2x -1,所以当x >0时函数为减函数.故选A. 答案:A4.已知函数f(x)=2x+x ,g(x)=log 2x +x ,h(x)=log 2x -2的零点依次为a ,b ,c ,则( A )A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c 答案:A5、已知二次函数f (x )=x 2-(m -1)x +2m 在[0,1]上有且只有一个零点,则实数m 的取值范围为( )A .(-2,0)B .(-1,0)C .[-2,0]D .(-2,-1)[解析] (1)①当方程x 2-(m -1)x +2m =0在[0,1]上有两个相等实根时,Δ=(m -1)2-8m =0且0≤m -12≤1,此时无解.②当方程x 2-(m -1)x +2m =0有两个不相等的实根时,(i)有且只有一根在[0,1]上时,有f (0)f (1)<0,即2m (m +2)<0,解得-2<m <0;(ii)有两根在[0,1]上时有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0,0<m -12<1,f (0)>0,f (1)>0,此时无解; (iii)当f (0)=0时,m =0,方程可化为x 2+x =0,解得x 1=0,x 2=-1,符合题意;(iv)当f (1)=0时,m =-2,方程可化为x 2+3x -4=0,解得x 1=1,x 2=-4,符合题意.综上所述,实数m 的取值范围为[-2,0].6、已知定义在R 上的奇函f (x )的导函数为f ’(x ),当x <0时,f (x )满足()()2 ') (f x xf x xf x +<,则f (x )在R 上的零点个数为( )A .1B .3C . 5D .1或3三.填空题:7、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递增区间是 [)1,3 .8.(2014·福建卷)函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2,x ≤0,2x -6+ln x ,x >0的零点个数是________.解析:令x 2-2=0得,x =±2,只有x =-2符合题意;令2x -6+ln x =0得,6-2x =ln x ,在同一坐标系内,画出y =6-2x ,y =ln x 的图象,观察知交点有1个,所以零点个数是2个.答案:29、已知函数f(x)=lg(x 2+ax -a -1),给出下列命题:①f(x)的定义域是{x|x <-1-a 或x >1}; ②f(x)有最小值; ③当a =0时,f(x)的值域是R ;④当a >0时,f(x)在区间[2,+∞)上是单调函数.其中真命题的序号是________.解析:∵-1-a 与1的大小不能确定,须分类讨论,故①不对,而当a =0时,f(x)的值域是R ,即③正确,故②不对.显然,当a >0时f(x)在(1,+∞)上单调递增,故在[2,+∞)上是单调函数,故④对.答案:③④ 10、给出下列四个命题:①函数1y x=-在R 上单调递增;②若函数122++=ax x y 在(]1,-∞-上单调递减,则1a ≤;③若0.70.7log (2)log (1)m m <-,则1m >-;④若)(x f 是定义在R 上的奇函数,则0)1()1(=-+-x f x f . 其中正确的序号是 .三.解答题:11.对于函数f (x ),若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立,则称x 0为f (x )的不动点, 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +b -1(a ≠0) (1)当a =1,b =-2时,求f (x )的不动点;(2)若对任意实数b ,函数f (x )恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围. 解析 (1)当a =1,b =-2时,f (x )=x 2-x -3, 由题意可知x =x 2-x -3,得x 1=-1,x 2=3 故当a =1,b =-2时,f (x )的不动点是-1,3.(2)∵f (x )=ax 2+(b +1)x +b -1(a ≠0)恒有两个不动点,∴x =ax 2+(b +1)x +b -1, 即ax 2+bx +b -1=0恒有两相异实根, ∴Δ=b 2-4ab +4a >0(b ∈R)恒成立. 于是Δ′=(4a )2-16a <0解得0<a <1,故当b ∈R ,f (x )恒有两个相异的不动点时,0<a <1. 12、若函数y =a ·2x -1-a2x-1为奇函数.(1)求a 的值; (2)求函数的定义域; (3)求函数的值域. 解析 ∵函数y =a ·2x -1-a2x-1,∴y =a -12x -1.(1)由奇函数的定义,可得f (-x )+f (x )=0,即a -12-x -1+a -12x -1=0,∴2a +1-2x1-2x=0,∴a =-12. (2)∵y =-12-12x -1, ∴2x-1≠0,即x ≠0.∴函数y =-12-12x -1的定义域为{x |x ≠0}.(3)∵x ≠0,∴2x-1>-1.∵2x -1≠0,∴0>2x -1>-1或2x-1>0.∴-12-12x -1>12或-12-12x -1<-12.即函数的值域为{y |y >12或y <-12}.13、已知函数()4(,)af x x b a b R x=++∈为奇函数. (1)若()15f =,求函数()f x 的解析式;(2)当2a =-时,不等式()f x t ≤在[]1,4上恒成立,求实数t 的最小值; (3)当1a ≥时,求证:函数()(2)()xg x f c c R =-∈在(],1-∞-上至多一个零点.证明:()c ax g x x-+⋅=224,设任取任意实数121-≤<x x ()()⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=-c a c a x g x g x x x x 22122422421121112221222422422x x x x x x x x a a +++-⋅-+⋅=()()212121212222224x x x x x x x x a ++---⋅= ()()21212122224x x x x x x a ++--⋅=11-≤<x x ,1,12424,222121≥=⋅<⋅-<+∴-+a x x x x ,即1-≤-a02421<-⋅∴+a x x ,又02221<-x x ,()()0,022121>-∴>+x g x g x x ,即()()21x g x g >()x g ∴在(]1,-∞-单调递减又R c ∈,结合函数图象知函数()x g 在(]1,-∞-上至多有一个零点.考点:1、利用函数的奇偶性求参数;2、恒成立的问题;3、利用定义证明函数的单调性.。

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