高二数学暑假作业10指对数函数函数图像与零点3理湘教版

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湘教版高中数学必修第一册-4.3.3.2对数函数的图象与性质2【课件】

例 2 （ 1 ）已知 log0.72x ＜ log0.7 （ x － 1 ），则 x 的取值范围
为
；
（2）已知loga（x－1）≥loga（3－x）（a＞0，且a≠1），求x的取
值范围．
答案：(1)(1，＋∞) (2)见解析
方法归纳
两类对数不等式的解法
（1）形如logaf（x）＜logag（x）的不等式．
2 + 3 > 5 − 6,
∴ቐ 2 + 3 > 0,
5 − 6 > 0,
6
解得 <x<3.
5
)
1
3．若a＝lg 11，b＝lg 9，c＝lg ，则a，b，c的大小关系是(
3
A．b＞c＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
答案：C
1
3
解析：∵函数y＝lg x是增函数，且11>9> ，
上恒成立，
1
即a< 在(－2，－1)上恒成立，

所以a≤－1，故a的取值范围是(－∞，－1].
题型3 对数函数性质的综合应用
ax+1
例4 已知奇函数f（x）＝ln
.
−1
（1）求实数a的值；
解析：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
−+1
+1
即ln
＝− ln
.
−−1
−1
解析：(1)由1－x2>0，得－1<x<1，
令t＝1－x2，x∈(－1，1)，
当x∈(0，1)时，y＝log 1 (1 − 2 )的单调递增，
2
故y＝log 1 (1 − 2 )的单调增区间为(0，1).

2019-2020年高二数学暑假作业15三角函数的图象和性质2理湘教版

2019-2020年高二数学暑假作业15三角函数的图象和性质2理湘教版参考时量：分钟完成时间：月日一、选择题 1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R ) B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R ) C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R ) D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R ) 解析：由三角函数图象可得A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2＝2πω，则ω＝π，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2代入f (x )＝2sin(πx ＋φ)可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 答案：A2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象 ( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解析：当x ＝π3时，y ＝sin π＝0，当x ＝π4时y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝cos π3＝12， ∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．答案：A 3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )·cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C.3＋1 D.3＋2 解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴f (x )max ＝2.答案：B4.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增5．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则 ( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析：由π2ω＝7π12－π3解得ω＝2，又当x ＝π3时，ωx ＋φ＝π2，解得φ＝－π6. 答案：D6.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是 ( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋k π，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6. 答案：D二、填空题7．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．解析：f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3sin x 0≤x ＜π，－sin x π≤x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f (x )与y ＝k 的图象可知1＜k ＜3.答案：(1,3)8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________. 解析：据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋＋2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ) ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6. 答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6 9．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，sin x ≥cos x cos x ，sin x <cos x ，给出下列三个命题：(1)该函数的图象关于x ＝2k π＋π4(k ∈Z )对称； (2)当且仅当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值1； (3)该函数是以π为最小正周期的函数．上述命题中正确的是________．解析：由函数f (x )的图象知，在x ＝0处，函数也取得最大值，∴(2)错；函数f (x )的最小正周期为2π，∴(3)错；由题意可知，(1)正确．答案：(1)10、函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.三、解答题11．(本小题满分10分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14， ∴k ＝－1，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 12．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R (其中0≤φ≤π2)的图象与y 轴交于点(0,1)． (1)求φ的值；(2)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求PM →与PN →的夹角的余弦．解：(1)由已知：2sin φ＝1，即sin φ＝12，又0≤φ≤π2， ∴φ＝π6，因此y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. (2)令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6＝0，则πx ＋π6＝k π，k ∈Z ，即x ＝k －16，k ∈Z . 当k ＝1时，x ＝56，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，0；当k ＝0时，x ＝－16，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，0.又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2，∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. cos 〈PM →，PN →〉＝＝1517. ∴PM →与PN →的夹角的余弦为1517. 13．(本小题满分10分)设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，x ∈R .(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)将函数y ＝f (x )的图象按向量d 平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.解：∵a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，sin x )，f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )＝sin 2x －sin x cos x －sin x cosx ＋3cos 2x＝1－cos 2x 2－sin 2x ＋32(1＋cos 2x )＝cos 2x －sin 2x ＋2＝2cos(2x ＋π4)＋2. (1)函数f (x )的最大值为2＋2，最小正周期为π.(2)d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，－2. 将y ＝f (x )的图象按向量d 平移得的图象对应的函数解析式为y ＝－2sin 2x .。

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试(暑假作业检测)数学试题

湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试（暑假作业检测）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．有一组互不相等的数组成的样本数据1x 、2x 、L 、9x ，其平均数为a （i a x ¹，1i =、2、L 、9），若插入一个数a ，得到一组新的数据，则（）A ．两组样本数据的平均数相同B ．两组样本数据的中位数相同C ．两组样本数据的方差相同D ．两组样本数据的极差相同10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,A D AA CD 的中点，则（）6,A12．AD【分析】根据函数的对称性，周期性判断A ，根据()g x 与()f x 的关系及周期性判断B ，根据中心对称的性质及周期性可判断CD.【详解】对于A ，因为()()20f x f x -+=，所以()f x 的对称中心为()1,0，因为()()33f x g x +-=，所以()()33f x g x ++=，又()()13f x g x -+=，所以()()31f x f x +=-，所以()()31f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，所以()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=éùëû，即()f x 的周期为4，又()()31g x f x =--，所以()g x 的周期也为4，故A 正确；对于B ，因为()()31f x f x +=-，所以()()4f x f x +=-，又由A 知()f x 周期为4，即()()4f x f x +=，所以()()=f x f x -，()f x 为偶函数，故B 错误；对于C ，由()f x 对称中心为()1,0，得()10f =，又因为直线2x =为()f x 对称轴，所以()30f =，所以()f x 关于点()3,0对称，所以()()22f ,和()()4,4f 关于点()3,0对称，所以()()240f f +=，所以()()()()12340f f f f +++=，所以()()()1220240f f f ++×××+=，故C 错误；对于D ，由C 得()()()()01230f f f f +++=，因为()()31g x f x =--，所以()()130g f =-，()()()23131g f f =--=-，()()332g f =-，()()433g f =-，所以()()()()()()()()123430313233g g g g f f f f +++=-+-+-+-。

高中数学课时作业三十一对数函数的图象与性质1湘教版必修第一册

课时作业(三十一) 对数函数的图象与性质(1)[练基础]1．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6，3)，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．12 D ．－122．函数y ＝lg1x －1的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．3．函数y ＝log 2(1＋x )＋4－2x的定义域为( ) A ．(－1，2) B ．(0，2] C ．(0，2) D ．(－1，2]4．若点(a ，b )在y ＝lg x 的图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a ，1－b ) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫10a，b ＋1 D ．(a 2，2b ) 5.已知m ，n ∈R ，函数f (x )＝m ＋log n x 的图象如图，则m ，n 的取值范围分别是( ) A ．m >0，0<n <1 B ．m <0，0<n <1C ．m >0，n >1D ．m <0，n >16．(多选)设a ＞1，在下列函数中，图象经过定点(1，1)的函数有( ) A ．y ＝x aB ．y ＝ax －1C ．y ＝log a x ＋1D ．y ＝ax 3＋17．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )，若f (3)＝1，则a ＝________． 8．函数y ＝ln （x ＋1）1－x的定义域为________．9．已知a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，如果无论a ，b 在给定范围内取任何值，函数y ＝x ＋log a (x －3)的图象与函数y ＝bx －c ＋3的图象总经过同一个定点，求实数c 的值．10．设f (x )＝log a (3＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (0)＝2. (1)求实数a 的值及函数f (x )的定义域． (2)求函数f (x )在区间[0，6]上的最小值．[提能力]11．(多选)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象不可能是( )12．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)13．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3的图象恒过定点(m ，n )，且函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是________．14．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是________． 15．设函数f (x )＝ln (x 2＋ax ＋1)的定义域为A . (1)若1∈A ，－3∉A ，求实数a 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．[培优生]16．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，求实数a 的取值范围．课时作业(三十一) 对数函数的图象与性质(1)1．解析：将点(6，3)代入f (x )＝log a (x ＋2)中，得3＝log a (6＋2)＝log a 8，即a 3＝8，a ＝2，所以f (x )＝log 2(x ＋2)，所以f (2)＝log 2(2＋2)＝2. 答案：B2．解析：由题意，1x －1>0，解得x >1，即函数y ＝lg 1x －1的定义域为(1，＋∞)，所以可排除B 、C 选项；当1<x <2时，1x －1>1，此时lg 1x －1>lg 1＝0；当x >2时，0<1x －1<1，此时lg 1x －1<lg 1＝0，显然D 不符合题意，只有A 符合题意．答案：A3．解析：要使得函数有意义，则x ＋1>0，且4－2x≥0 解得x >－1且x ≤2. 即x ∈(－1，2]. 答案：D4．解析：x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2，2b )在函数y ＝lg x 的图象上．答案：D5．解析：由图象知函数f (x )为增函数，所以n >1，又f (x )的图象由y ＝log n x 的图象向上平移得到的，所以m >0. 答案：C6．解析：对于选项A ：当x ＝1时，y ＝1a＝1，所以选项A 正确，对于选项B ：当x ＝1时，y ＝a 0＝1，所以选项B 正确，对于选项C ：当x ＝1时，y ＝log a 1＋1＝1，所以选项C 正确，对于选项D ：当x ＝1时，y ＝a ＋1，图象不经过定点(1，1)，所以选项D 错误．答案：ABC7．解析：由f (3)＝1可得：1＝log 2(9＋a )， ∴a ＝－7. 答案：－78．解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.答案：(－1，1)9．解析：因为函数y ＝x ＋log a (x －3)的图象过定点(4，4)，所以y ＝b x －c＋3的图象必过定点(4，4)，所以4＝b4－c＋3，即c ＝4.10．解析：(1)由题意得，f (0)＝log a 3＋log a 3＝2log a 3＝2，所以a ＝3，所以f (x )＝log 3(3＋x )＋log 3(3－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x >0，3－x >0，解得－3<x <3，所以f (x )的定义域是(－3，3).(2)因为f (x )＝log 3(3＋x )＋log 3(3－x )＝log 3(3＋x )(3－x )＝log 3(9－x 2)，且x ∈(－3，3)，所以log 3(9－x 2)在[0，6]上单调递减，所以当x ＝6时，f (x )在区间[0，6]上取得最小值，是log 33＝1.11．解析：当0<a <1时，函数y ＝a x过定点(0，1)且单调递减，则函数y ＝1ax 过定点(0，1)且单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递减，D 选项符合；当a >1时，函数y ＝a x 过定点(0，1)且单调递增，则函数y ＝1a x 过定点(0，1)且单调递减，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递增，各选项均不符合．综上，选ABC.答案：ABC12．解析：当0<x ≤12时，4x <log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的坐标代入函数y ＝log a x ，得a ＝22.若满足题意，则需22<a <1(如图所示).当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1.答案：B13．解析：由题得函数f (x )＝log a (x ＋2)＋3的图象恒过定点(－1，3)，所以m ＝－1，n ＝3.所以g (x )＝－x 2－2bx ＋3, 函数的对称轴方程为x ＝－－2b－2＝－b ，函数g (x )＝mx 2－2bx ＋n 在[1，＋∞)上单调递减，所以－b ≤1，∴b ≥－1. 答案：[－1，＋∞)14．解析：因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ，即b ＝1a，所以a ＋4b ＝a ＋4a .令g (a )＝a ＋4a ，易知g (a )在(0，1)上为减函数，所以g (a )>g (1)＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞).答案：(5，＋∞)15．解析：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋1>0，9－3a ＋1≤0，所以a ≥103.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.(2)由题意，得x 2＋ax ＋1>0在R 上恒成立，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2. 故实数a 的取值范围为(－2，2).16．解析：因为函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)的值域为R . 则t ＝ax 2＋2x ＋1可以取到(0，＋∞)内的任意值， ①当a ＝0时，t ＝2x ＋1，与题意相符；②当a ≠0时，结合二次函数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上所述，实数a 的取值范围是[0，1].。

高二数学暑假作业指数函数与对数函数理苏教版

第4天指数函数与对数函数1. 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________．2. 计算：210＋(－1)3＋log 1327的值是________．3. 若a ＝21.4，b ＝80.2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－log 24，则a ，b ，c 的大小关系是____________．(用“>”连接)4. 若函数y ＝a x在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则函数y ＝3a x －1在[0，1]上的最大值是________．5. 函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x2的单调增区间为________．6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x， x≥4，f （x ＋1）， x<4，则f(log 23)＝________．7. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x(a ＞1)的图象上，则实数a 的值为________．8. 若函数y ＝log 12|x ＋a|的图象不经过第二象限，则实数a 的取值范围是________． 9. 若函数f(x)＝a·3x＋4－a4（3x－1）为奇函数，则实数a 的值为________． 10. 已知函数f(x)＝log 3x ＋1x －1，平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数f(x)的图象上，且A(2，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2，则平行四边形ABCD 的面积为________． 11. 设函数f(x)＝log a (3＋x)＋log a (3－x)(a>0，a≠1)，且f(0)＝2. (1) 求实数a 的值及函数f(x)的定义域； (2) 求函数f(x)在区间[0，6]上的最小值．12. 已知函数f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝2x4x＋1.(1) 求函数f(x)在(－1，1)上的解析式；(2) 求函数f(x)的值域．13. 在平面直角坐标系xOy中，已知函数f(x)＝log n x(n＞1)的图象上的两点A，B，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a，0)，N(b，0)(b＞a＞1)，线段BN，AM分别与函数g(x)＝log m x(m＞n＞1)的图象交于点C，D，且AC与x轴平行．(1) 当a＝2，b＝4，n＝3时，求四边形ABCD的面积；(2) 当b＝a2时，直线BD经过点(1，0)，求实数a的值；(3) 已知h(x)＝a x，φ(x)＝b x，若x1，x2为区间(a，b)内任意两个变量，且x1＜x2，求证：h(f(x2))＜φ(f(x1))．14. 已知函数f(x)＝ln(a x－b x)(a>1>b>0)．(1) 求函数f(x)的定义域I；(2) 判断函数f(x)在定义域I上的单调性，并说明理由；(3) 当a，b满足什么关系时，f(x)在[1，＋∞)上恒取正值．第4天指数函数与对数函数1. 2 解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝21＝2.2. 1 020 解析：原式＝1 024－1－3＝1 020.3. c ＞a ＞b 解析：a ＝21.4，b ＝80.2＝20.6， c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－log24＝2log 24＝22，则c ＞a ＞b.4. 3 解析：由已知得a 0＋a 1＝3，所以a ＝2，则函数y ＝3a x －1在[0，1]的最大值是3×2＝3.5. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：因为y ＝x －x 2的定义域为[0，1]，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，又y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上单调递减，由复合函数的单调性可得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 6. 124 解析：因为1<log 23<2，所以f(log 23)＝f(log 23＋3)＝f (log 224)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 224＝124. 7. 2 解析：由AB ＝2得3log a x －2log a x ＝log a x ＝2，则x ＝a 2.由BC ＝2得x C －x ＝a2log a x －x ＝x 2－x ＝2，x ＞0，解得x ＝2，则a ＝ 2.8. (－∞，－1] 解析：函数y ＝log 12|x ＋a|的图象是由y ＝log 12|x|的图象向右平移至少1个单位长度才能不经过第二象限，所以a≤－1.9. 2 解析：因为f(x)＝a·3x＋4－a 4（3x －1）＝a 4＋13x－1为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即a 4＋13－1－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a4＋13－1，解得a ＝2. 10.112 解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝log 3－x ＋1－x －1＝log 3x －1x ＋1＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以平行四边形ABCD 的对角线的交点是坐标原点．又AB ＝54，直线AB 的方程为4x ＋3y －1 1＝0，则点O 到直线AB 的距离为d ＝115，所以平行四边形ABCD 的面积为4S △AOB ＝4×12×54×115＝112.11. 解析：(1) 因为f(0)＝2，所以log a 9＝2(a>0，a≠1)，所以a ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋x>0，3－x>0，得x∈(－3，3)，所以函数f(x)的定义域为(－3，3)．(2) 因为f(x)＝log 3(3＋x)＋log 3(3－x)＝log 3[(3＋x)(3－x)]＝log 3(9－x 2)，所以当x∈(－3，0]时，f(x)是增函数；当x∈(0，3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在区间[0，6]上的最小值是f(6)＝log 33＝1.12. 解析：(1) 当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)．因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x4－x ＋1＝－2x1＋4x .又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，故当x∈(－1，1)时，f(x)的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x1＋4x ，x∈（－1，0），0， x ＝0，2x 4x＋1， x∈（0，1）.(2) 由函数单调性可得f(x)＝2x4x ＋1在(0，1)上单调递减，又由奇函数的对称性可得f(x)在(－1，0)上单调递减．当0＜x ＜1时，f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12；当－1＜x ＜0时，f(x)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.因为f(0)＝0，所以f(x)在(－1，1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.13. 解析：(1) 由题意得A(2，log 32)，B(4，log 34)，C(4，log m 4)．因为AC 与x 轴平行，所以log m 4＝log 32，所以m ＝9，所以AD ＝log 32－log 92＝log 92，BC ＝log 34－log 94＝log 94，则S 四边形ABCD ＝AD ＋BC 2×MN＝log 92＋log 942×2＝log 98.(2) 由题意得A(a ，log n a)，B(b ，log n b)，C(b ，log m b)．因为AC 与x 轴平行，所以log m b ＝log n a.因为b ＝a 2，所以m ＝n 2.因为直线BD 经过点(1，0)，所以DM a －1＝BN a 2－1，即log m a a －1＝log n ba 2－1，所以a ＝3. (3) 因为a ＜x 1＜x 2＜b ，且n ＞1，所以log n a ＜log n x 1＜log n x 2＜log n b.因为a ＞1，b ＞1，所以a log n x 2＜a log n b ，b log n a ＜b log n x 1.因为log n b·log n a ＝log n a·log n b ，所以log n a log n b ＝log n b log n a ，所以a log n b ＝b log n a ，所以a log n x 2＜b log n x 1，即h(f(x 2))＜φ(f(x 1))．14. 解析：(1) 因为f(x)＝ln (a x－b x)(a>1>b>0)有意义，所以a x－b x>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1.又a>1>b>0，所以ab>1，故所求定义域I 为(0，＋∞)．(2) 函数f(x)在定义域I 上是单调增函数．证明：取任意x 1，x 2，且0<x 1<x 2. 因为a>1>b>0，所以ax 1<ax 2，bx 1>bx 2，所以ax 1－bx 1<ax 2－bx 2，所以ln (ax 1－bx 1)<ln (ax 2－bx 2)，所以f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在定义域上是单调增函数．(3) 因为f(x)在[1，＋∞)上恒取正值，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值大于0，由(2)得f(x)min＝f(1)＝ln(a－b)．因为ln(a－b)>0，所以a－b>1，所以当a－b>1时，f(x)在[1，＋∞)上恒取正值．。

【精品原创】对数函数图像和性质

因为 x ,1 3,时 x 2 4x 3 0
故 log2 x 2 4x 3 R 所以值域为R
例2已知函数 y log2 x 2 4x 3
（2）确定函数单调区间
解析（2） u(x ) x 2 4x 3 在区间（ - ，1）上单调递减；在区
间 3，上单调递增；
X
R (1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0.
在(0,+∞)上是减函数
在(0,+∞)上是
增函数
识别对数函数的图像
与对数函数有关的复合函数问题例2已知函数 y log2 x 2 4x 3
(1)求函数的定义域、值域（2）确定函数单调区间
解析:根据题意可知 x 2 4x 3 0
解得 x ,1 3, 所以定义域: ,1 3,
y log2 x 2 4x 3 在区间（ - ，1）上单调递减；在区
间 3，上单调递增。
小结
1.对数函数的图像和性质是解决与对数函数有关问题的基础；
2.解决与对数函数有关的复合函数问题的关键是：将复合函数“拆成”几个基本初等函数，再“逐个分析、击破”。
学习目标
1.理解对数函数的图象与性质. 2.解决一些与对数函数有关的简单的复合函数的定义域、值域、单调性等问题
知识梳理
对数函数
的图象与性质
图像
定义域值域
性过定点质单调性
0＜a＜1
y x =1
(1,0)
O
y
X
log a
x
( 0,+∞)
a＞1
y x =1
y log a x
O (1,0)

高中数学第三章指数函数和对数函数对数函数的图像和性质学案含解析北师大版必修1

5．3 对数函数的图像和性质知识点对数函数的图像和性质[填一填][答一答]函数y＝log a x(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置有何影响？提示：图像如图：观察图像,总结变化规律：1．上下比较：在直线x＝1的右侧,a>1时,a越大,图像越靠近x轴,0<a<1时,a越小,图像越靠近x轴．2．左右比较：比较图像与y＝1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大．对数函数图像和性质的关系类型一对数函数的图像【例1】函数y＝log2x,y＝log5x,y＝lg x的图像如图所示．(1)说明哪个函数对应于哪个图像,并解释为什么；(3)从(2)的图中你发现了什么？【思路探究】解答本题要根据底数不同的对数函数图像的变化规律,确定三个图像与三个函数的对应性,再利用描点法画出(2)中的三个函数图像,最后观察图像得出结论．【解】(1)当底数全大于1时,在x＝1的右侧,底数越大的函数图像越在下方．所以,①对应函数y＝lg x,②对应函数y＝log5x,③对应函数y＝log2x.(2)列表：描点连成图为：规律方法 1.画对数函数y ＝log a x 的图像时,应抓住三个关键点(a,1),(1,0),(1a ,－1)．2．对数函数的图像与指数函数的图像一样,除了用描点法作图外,还可以用图像的变换法作图,其变化规律完全相同．如图是对数函数y ＝log a x 的图像,已知a 值取3,43,35,110,则相应于C 1,C 2,C 3,C 4的a 值依次是( A )A.3,43,35,110B.3,43,110,35C.43,3,35,110D.43,3,110,35解析：对于y ＝log a x ,当a >1时,图像上升；当0<a <1时,图像下降．当a >1时,a 越大,在x 轴上方图像向右越靠近x 轴；当0<a <1时,a 越小,在x 轴下方图像向右越靠近x 轴．类型二利用对数函数单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小： (1)log 23.4,log 28.5； (2)log 0.33,log 0.3π；(3)log a 5.1,log a 5.9(a >0,且a ≠1)；【思路探究】先观察对数的底数,再选择合适的方法比较．【解】 (1)∵函数y ＝log 2x 在(0,＋∞)上是单调增函数,且3.4<8.5,∴log 23.4<log 28.5. (2)∵函数y ＝log 0.3x 在(0,＋∞)上是单调减函数,且3<π,∴log 0.33>log 0.3π. (3)底数都是a ,需要讨论a 的取值范围,再由函数的单调性判断大小．当a >1时,y ＝log a x 在(0,＋∞)上是增函数,且5.1<5.9,∴log a 5.1<log a 5.9；当0<a <1时,y ＝log a x 在(0,＋∞)上是减函数,且5.1<5.9,∴log a 5.1>log a 5.9.规律方法 (1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断,即当a >1时,y ＝log a x 在(0,＋∞)上是增函数,当0<a <1时,y ＝log a x 在(0,＋∞)上是减函数．(2)若底数为同一参数,则先对底数进行讨论,再按对数函数的单调性进行判断． (3)若底数不同,真数相同,则构造两个不同的对数函数,利用函数图像与底数的关系反映的规律进行比较．(4)若底数、真数都不相同,则常借助1,0,－1等中间量进行比较．比较下列各组中两个值的大小(1)ln0.3,ln2；(2)log23,log0.32；(3)log aπ,log a3.141；解：(1)(单调性法)因为y＝ln x在(0,＋∞)上是增函数,所以ln0.3<ln2.(2)(中间量法)因为log23>log21＝0,log0.32<0,所以log23>log0.32.(3)(分类讨论)当a>1时,函数y＝log a x在定义域上是增函数,则有log aπ>log a3.141；当0<a<1时,函数y＝log a x在定义域上是减函数,则有log aπ<log a3.141.综上所得,当a>1时,log aπ>log a3.141；当0<a<1时,log aπ<log a3.141.类型三对数函数单调性【解】规律方法1.求复合函数单调区间应按下列步骤完成：(1)求出函数的定义域；(2)将复合函数分解为基本初等函数；(3)分别确定各个基本初等函数的单调性；(4)根据复合函数原理求出复合函数的单调区间．2．求单调区间要注意定义域．函数f(x)＝log12(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞,－1)．解析：函数的定义域为{x|x>3或x<－1},令t＝x2－2x－3,因为y＝log12t在(0,＋∞)上单调递减,t＝x2－2x－3在(－∞,－1)上单调递减,在(3,＋∞)上单调递增,所以由复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(－∞,－1)．类型四函数奇偶性判定【例4】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝lg(4＋x)＋lg(4－x)；(2)f(x)＝lg(x＋x2＋1)；(3)f(x)＝log a b－xb＋x(a>0且a≠1,b>0)；(4)f(x)＝lg(4－x2) |x＋2|－2.【思路探究】从奇偶函数的定义出发给予判别．【解】(1)由f(x)＝lg(4＋x)＋lg(4－x),知⎩⎪⎨⎪⎧4＋x >0，4－x >0.∴－4<x <4. 又f (－x )＝lg(4－x )＋lg(4＋x )＝f (x ), ∴f (x )为(－4,4)上的偶函数． (2)由f (x )＝lg(x ＋x 2＋1),知 x ＋x 2＋1>x ＋|x |≥0,∴定义域为R .又∵f (－x )＝lg(－x ＋x 2＋1)＝lg(x ＋x 2＋1)－1 ＝－lg(x ＋x 2＋1)＝－f (x ), ∴f (x )为奇函数．(3)由f (x )＝log a b －x b ＋x ,知b －x b ＋x >0,∴－b <x <b (b >0)．又∵f (－x )＝log a b ＋x b －x ＝log a (b －x b ＋x )－1＝－f (x ),∴函数f (x )为奇函数．(4)由f (x )＝lg (4－x 2)|x ＋2|－2,知x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2>0，|x ＋2|－2≠0.∴－2<x <2且x ≠0.故f (x )的定义域为{x |－2<x <2且x ≠0}．故f (x )＝lg (4－x 2)x ＋2－2＝lg (4－x 2)x (－2<x <2且x ≠0)．又∵f (－x )＝lg (4－x 2)－x ＝－lg (4－x 2)x ＝－f (x ),∴f (x )为奇函数．规律方法判断函数的奇偶性关键是： ①求定义域,定义域必须关于原点对称；②变形过程中,要注意分子、分母有理化,或计算f (－x )±f (x )＝0.若f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a (a ∈R )是奇函数,则常数a 的值为－1.解析：∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2x1＋x ＋a (a ∈R ),∴f (－x )＝lg ⎝⎛⎭⎫－2x1－x ＋a ,∵f (x )＋f (－x )＝0,∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝1.化简得－(a 2＋4a ＋3)x 2＝1－a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0，1－a 2＝0，解得a ＝－1.——规范解答—— 对数函数的综合应用【例5】已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0,a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并给予证明； (3)求使f (x )>0的x 的取值范围．【审题】抓信息,找思路(1)审条件：一个解析式：函数f (x )的解析式已知；一个范围：a 的范围已知．(2)建联系：无论是求定义域、判断奇偶性,还是解不等式f (x )>0,都要与函数f (x )的解析式建立联系．(3)找思路：先通过寻求使对数式有意义的自变量可确定函数的定义域,再利用函数奇偶性的定义可判断奇偶性；最后根据a 的不同取值范围分情况讨论建立不等关系,寻找满足条件的自变量．【解析】 (1)函数定义域满足1＋x1－x>0,即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，1－x >0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <0，1－x <0，解得－1<x <1,所以函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)因为函数f (x )的定义域为(－1,1),关于原点对称．又因为f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝log a (1＋x 1－x )－1＝－log a 1＋x1－x ＝－f (x ),所以f (x )为奇函数．(3)当a >1时,由log a 1＋x 1－x >0可得1＋x1－x>1,由(1)可知,x ∈(－1,1),所以1－x >0,解得0<x <1,即当a >1,x ∈(0,1)时,有f (x )>0. 当0<a <1时,由log a 1＋x 1－x >0可得0<1＋x1－x<1,由(1)可知,x ∈(－1,1),所以1－x >0,所以解得－1<x <0,当0<a <1,x ∈(－1,0)时,有f (x )>0. 综上所述,当0<a <1时,所求x 的取值范围是(－1,0)；当a >1时,所求x 的取值范围是(0,1)．【点评】 1.注重挖掘隐含条件,有效简化运算过程在处理一些问题时,要仔细读题,挖掘其中的隐含条件,如本例中根据(1)中的定义域对自变量x 的限制条件,在求解(3)中不等式的时候可以有效减少运算量,直接转化为整式不等式求解．2．分类讨论的意识不可丢在解决含有参变量的数学问题时,要适时根据参变量的不同范围进行分情况研究,像本例中由于对数式的底数a 的范围不确定,因此要分两种不同的情况求解．已知f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性．解：(1)函数定义域满足1－x1＋x >0,解得－1<x <1,所以f (x )的定义域为(－1,1)．(2)由(1)可知函数定义域关于原点对称,又因为f (x )＋f (－x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋x ＋log 21＋x1－x ＝log 2(1－x 1＋x ·1＋x1－x)＝log 21＝0,所以f (－x )＝－f (x ),所以f (x )为奇函数．一、选择题1．函数y ＝log a x 的图像如图所示,则实数a 可能取的值是( D )A.110 B.15 C.47D ．10解析：由图像得函数y ＝log a x 在(0,＋∞)上是增函数,则a >1.2．函数f (x )＝lg(4－x 2)的定义域为( B ) A ．[－2,2] B ．(－2,2) C ．[0,2] D ．(0,2) 解析：由4－x 2>0,得x 2<4,即|x |<2,所以－2<x <2,因此,函数f (x )＝lg(4－x 2)的定义域为(－2,2)．3．函数y ＝log (a 2－1)x 在(0,＋∞)内是减函数,则a 的取值范围是( D ) A ．|a |>1 B ．|a |< 2 C ．a > 2D ．1<|a |< 2 解析：∵函数为减函数,∴a 2－1∈(0,1), ∴1<a 2<2,∴1<|a |<2,故选D. 二、填空题4．设f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ≥0时,f (x )＝log 3(1＋x ),则f (－2)＝－1. 解析：设x <0,则－x >0,所以f (－x )＝log 3(1－x ),又f (－x )＝－f (x ),所以f (x )＝－log 3(1－x )(x <0)．所以f (－2)＝－log 33＝－1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21x ＋2(x >0)3x (x ≤0),则f [f (2)]的值为19. 解析：f (2)＝log 212＋2＝log 214＝log 22－2＝－2, ∴f [f (2)]＝f (－2)＝3－2＝19. 三、解答题6．求函数f (x )＝log 2(－13x 2＋2x －1)的最大值．解：∵－13x 2＋2x －1＝－13(x －3)2＋2≤2, 又∵y ＝log 2x 在(0,＋∞)上为增函数,∴f (x )在x ＝3时取最大值,且最大值为1.。

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作业10 指、对数函数，函数图像与零点（3）一. 选择题1．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b的值为( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2 D ．22．方程log 4x ＋x ＝7的解所在区间是( )A ．(1，2)B ．(3，4)C ．(5，6)D ．(6，7) 3．函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( )4．已知函数f(x)＝2x＋x ，g(x)＝log 2x ＋x ，h(x)＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c5、已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．[－2，0]D ．(－2，－1)6、已知定义在R 上的奇函f (x )的导函数为f ’(x )，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( )A .1B .3C . 5D .1或3二.填空题:7、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递增区间是．8．(2014·福建卷)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．9、已知函数f(x)＝lg(x 2＋ax －a －1)，给出下列命题：①f(x)的定义域是{x|x ＜－1－a 或x ＞1}； ②f(x)有最小值； ③当a ＝0时，f(x)的值域是R ；④当a ＞0时，f(x)在区间[2，＋∞)上是单调函数．其中真命题的序号是________．10、给出下列四个命题：①函数1y x=-在R 上单调递增；②若函数122++=ax x y 在(]1,-∞-上单调递减，则1a ≤;③若0.70.7log (2)log (1)m m <-,则1m >-;④若)(x f 是定义在R 上的奇函数，则0)1()1(=-+-x f x f . 其中正确的序号是 .三.解答题:11．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0) (1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．12、若函数y ＝a ·2x －1－a2x－1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．13、已知函数()4(,)af x x b a b R x=++∈为奇函数. （1）若()15f =，求函数()f x 的解析式；（2）当2a =-时，不等式()f x t ≤在[]1,4上恒成立，求实数t 的最小值；（3）当1a ≥时，求证：函数()(2)()xg x f c c R =-∈在(],1-∞-上至多一个零点.作业10 指、对数函数，函数图像与零点（3）参考答案一. 选择题1．若a >1，b >0，且a b＋a －b＝22，则a b －a －b的值为( D ) A. 6B ．2或－2C ．－2D ．22．方程log 4x ＋x ＝7的解所在区间是( C )A ．(1，2)B ．(3，4)C ．(5，6)D ．(6，7)解析：构造函数F(x)＝log 4x ＋x －7，F(5)＝log 45－2＜0，F(6)＝log 46－1＞0，F(x)在(5，6)内有零点，即log 4x ＋x －7＝0在(5，6)内有解．答案：C3．函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为( A )解析：函数有意义，需使e x－e －x≠0，其定义域为{x|x ≠0}，排除C ，D ，又因为y ＝e x＋e－xe x －e－x＝e 2x＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，所以当x ＞0时函数为减函数．故选A. 答案：A4．已知函数f(x)＝2x＋x ，g(x)＝log 2x ＋x ，h(x)＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( A )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 答案：A5、已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．[－2，0]D ．(－2，－1)[解析] (1)①当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0在[0，1]上有两个相等实根时，Δ＝(m －1)2－8m ＝0且0≤m －12≤1，此时无解．②当方程x 2－(m －1)x ＋2m ＝0有两个不相等的实根时，(i)有且只有一根在[0，1]上时，有f (0)f (1)<0，即2m (m ＋2)<0，解得－2<m <0；(ii)有两根在[0，1]上时有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<m －12<1，f （0）>0，f （1）>0，此时无解； (iii)当f (0)＝0时，m ＝0，方程可化为x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1，符合题意；(iv)当f (1)＝0时，m ＝－2，方程可化为x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，符合题意．综上所述，实数m 的取值范围为[－2，0]．6、已知定义在R 上的奇函f (x )的导函数为f ’(x )，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( )A .1B .3C . 5D .1或3三.填空题:7、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递增区间是 [)1,3 ．8．(2014·福建卷)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．解析：令x 2－2＝0得，x ＝±2，只有x ＝－2符合题意；令2x －6＋ln x ＝0得，6－2x ＝ln x ，在同一坐标系内，画出y ＝6－2x ，y ＝ln x 的图象，观察知交点有1个，所以零点个数是2个．答案：29、已知函数f(x)＝lg(x 2＋ax －a －1)，给出下列命题：①f(x)的定义域是{x|x ＜－1－a 或x ＞1}； ②f(x)有最小值； ③当a ＝0时，f(x)的值域是R ；④当a ＞0时，f(x)在区间[2，＋∞)上是单调函数．其中真命题的序号是________．解析：∵－1－a 与1的大小不能确定，须分类讨论，故①不对，而当a ＝0时，f(x)的值域是R ，即③正确，故②不对．显然，当a ＞0时f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故在[2，＋∞)上是单调函数，故④对．答案：③④ 10、给出下列四个命题：①函数1y x=-在R 上单调递增；②若函数122++=ax x y 在(]1,-∞-上单调递减，则1a ≤;③若0.70.7log (2)log (1)m m <-,则1m >-;④若)(x f 是定义在R 上的奇函数，则0)1()1(=-+-x f x f . 其中正确的序号是 .三.解答题:11．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0) (1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3，由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3 故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1,3.(2)∵f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个不动点，∴x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1，即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根， ∴Δ＝b 2－4ab ＋4a ＞0(b ∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a )2－16a ＜0解得0＜a ＜1，故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1. 12、若函数y ＝a ·2x －1－a2x－1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．解析 ∵函数y ＝a ·2x －1－a2x－1，∴y ＝a －12x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即a －12－x －1＋a －12x －1＝0，∴2a ＋1－2x1－2x＝0，∴a ＝－12. (2)∵y ＝－12－12x －1， ∴2x－1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－12x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴2x－1＞－1.∵2x －1≠0，∴0＞2x －1＞－1或2x－1＞0.∴－12－12x －1＞12或－12－12x －1＜－12.即函数的值域为{y |y ＞12或y ＜－12}．13、已知函数()4(,)af x x b a b R x=++∈为奇函数. （1）若()15f =，求函数()f x 的解析式；（2）当2a =-时，不等式()f x t ≤在[]1,4上恒成立，求实数t 的最小值；（3）当1a ≥时，求证：函数()(2)()xg x f c c R =-∈在(],1-∞-上至多一个零点.证明：()c ax g x x-+⋅=224，设任取任意实数121-≤<x x ()()⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=-c a c a x g x g x x x x 22122422421121112221222422422x x x x x x x x a a +++-⋅-+⋅=()()212121212222224x x x x x x x x a ++---⋅= ()()21212122224x x x x x x a ++--⋅=11-≤<x x ，1,12424,222121≥=⋅<⋅-<+∴-+a x x x x ，即1-≤-a02421<-⋅∴+a x x ，又02221<-x x ，()()0,022121>-∴>+x g x g x x ，即()()21x g x g >()x g ∴在(]1,-∞-单调递减又R c ∈，结合函数图象知函数()x g 在(]1,-∞-上至多有一个零点.考点：1、利用函数的奇偶性求参数；2、恒成立的问题；3、利用定义证明函数的单调性.。