2018学年数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.2 第1课时 等差数列的概念和通项公式

[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．等差数列a －2d ，a ，a ＋2d ，…通项公式是( )
A ．a n ＝a ＋(n －1)d
B ．a n ＝a ＋(n －3)d
C ．a n ＝a ＋2(n －2)d
D ．a n ＝a ＋2nd
解析：数列首项为a －2d ，公差为2d ，∴a n ＝(a －2d )＋(n －1)·2d ＝a ＋2(n －2)d .
答案：C
2．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是它第几项( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
解析：由已知数列可知，此数列是以3为首项，6为公差等差数列，∴a n ＝3＋(n －1)×6＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14.
答案：C
3．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( )
A ．－9
B ．－8
C ．－7
D ．－4
解析：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋d ＝－5，a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1＝－8. 法二：由a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)，
得d ＝a n －a m n －m
， ∴d ＝a 6－a 46－4＝66－4
＝3. ∴a 1＝a 2－d ＝－8.
答案：B
4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 017等于( )
A ．2 009
B ．2 010
C ．2 018
D ．2 017
解析：由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，且公差d ＝1，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，故a 2 017＝2 017. 答案：D
5．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13
，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( ) A ．50
B ．51
C ．52
D ．53
解析：依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，将a 1＝13代入，得d ＝23
. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13
，
令a n ＝35，解得n ＝53.
答案：D
6．lg(3－2)与lg(3＋2)等差中项是________．
解析：等差中项A ＝lg (3－2)＋lg (3＋2)2＝lg 12
＝0. 答案：0
7．等差数列第3项是7，第11项是－1，则它第7项是________．
解析：设首项为a 1，公差为d ，
由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，
所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.
答案：3
8．已知48，a ，b ，c ，－12是等差数列连续5项，则a ，b ，c 值依次是________． 解析：∵2b ＝48＋(－12)，∴b ＝18，
又2a ＝48＋b ＝48＋18，
∴a ＝33，
同理可得c ＝3.
答案：33,18,3
9．在等差数列{a n }中，已知a 1＝112，a 2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？ 解析：由题意，得d ＝a 2－a 1＝116－112＝4，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108.
令450≤a n ≤600，
解得85.5≤n ≤123.
又因为n 为正整数，所以共有38项．
10．一个各项都是正数无穷等差数列{a n }，a 1和a 3是方程x 2－8x ＋7＝0两个根，求它通项公式． 解析：由题意，知a 1＋a 3＝8，a 1a 3＝7，
又{a n }为正项等差数列，∴a 1＝1，a 3＝7，
设公差为d ，∵a 3＝a 1＋2d ，∴7＝1＋2d ，
故d ＝3，a n ＝3n －2.
[B 组 能力提升]
1．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101值是( )
A ．52
B ．51
C ．50
D ．49
解析：∵2a n ＋1＝2a n ＋1， ∴2(a n ＋1－a n )＝1.即a n ＋1－a n ＝12
. ∴{a n }是以12
为公差等差数列． a 101＝a 1＋(101－1)×d ＝2＋50＝52.
答案：A
2．在等差数列中，a m ＝n ，a n ＝m (m ≠n )，则a m ＋n 为( )
A ．m －n
B ．0
C ．m 2
D ．n 2 解析：法一：设首项为a 1，公差为d ，则
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(m －1)d ＝n ，a 1＋(n －1)d ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝m ＋n －1，d ＝－1. ∴a m ＋n ＝a 1＋(m ＋n －1)d ＝m ＋n －1－(m ＋n －1)＝0.
故选B.
法二：因结论唯一，故只需取一个满足条件特殊数列：2,1,0，便可知结论，故选B. 答案：B
3．已知1，x ，y,10构成等差数列，则x ，y 值分别为________．
解析：由已知，x 是1和y 等差中项，
即2x ＝1＋y ，①
y 是x 和10等差中项，即2y ＝x ＋10②
由①，②可解得x ＝4，y ＝7.
答案：4,7
4．等差数列首项为125
，且从第10项开始为比1大项，则公差d 取值范围是________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 10>1，a 9≤1， ∴⎩⎨⎧ 125＋9d >1，
125＋8d ≤1，
∴875<d ≤325
. 答案：875<d ≤325 5．已知递减等差数列{a n }前三项和为18，前三项乘积为66.求数列通项公式，并判断－34是该数列项吗？
解析：法一：设等差数列{a n }前三项分别为a 1，a 2，a 3.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧ 3a 1＋3d ＝18，a 1·
(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，d ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝5. ∵数列{a n }是递减等差数列，∴d <0.
故取a 1＝11，d ＝－5，
∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16，
即等差数列{a n }通项公式为a n ＝－5n ＋16.
令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10.
∴－34是数列{a n }项，且为第10项．
法二：设等差数列{a n }前三项依次为：a －d ，a ，a ＋d ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18，(a －d )·a ·(a ＋d )＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6，d ＝±5. 又∵{a n }是递减等差数列，即d <0，
∴取a ＝6，d ＝－5.
∴{a n }首项a 1＝11，公差d ＝－5.
∴通项公式a n ＝11＋(n －1)·(－5)，
即a n ＝－5n ＋16.
令a n ＝－34，解得n ＝10.
即－34是数列{a n }项，且为第10项．
6．已知无穷等差数列{a n }，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出项数被4除余3项组成数列{b n }．
(1)求b 1和b 2；
(2)求{b n }通项公式；
(3){b n }中第110项是{a n }第几项？
解析：(1)∵a 1＝3，d ＝－5，
∴a n ＝3＋(n －1)×(－5)＝8－5n (n ∈N *)．
数列{a n }中项数被4除余3项是{a n }第3项，第7项，第11项，…，所以其首项b 1＝a 3＝－7，b 2＝a 7＝－27.
(2)设{a n }中第m 项是{b n }第n 项，
即b n ＝a m ，则m ＝3＋4(n －1)＝4n －1，
∴b n ＝a m ＝a 4n －1＝8－5(4n －1)＝13－20n .
∵b n －b n －1＝－20(n ≥2，n ∈N *)，
∴{b n }是等差数列，其通项公式为b n ＝13－20n ，n ∈N *.
(3)设它是{a n }中第m 项，由(2)知m ＝4n －1，
又n ＝110，则m ＝439.
故{b n }中第110项是{a n }第439项．。