高中数学“函数定义域问题”的求解一般方法与技巧
高中数学,函数定义域值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：1分母不为零2偶次根式的被开方数非负; 3对数中的真数部分大于0;4指数、对数的底数大于0,且不等于15y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等; 6 0x 中x 0≠二、值域是函数y=fx 中y 的取值范围;常用的求值域的方法： 1直接法 2图象法数形结合 3函数单调性法 4配方法 5换元法 包括三角换元6反函数法逆求法7分离常数法 8判别式法 9复合函数法 10不等式法 11平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终;定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0,即x=2时,分式21-x 无意义,而2≠x 时,分式21-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0,即x<-32时,根式23+x 无意义,而023≥+x ,即32-≥x 时,根式23+x 才有意义,∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x-21同时有意义,∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义,必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： 3,3-②要使函数有意义,必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 ∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义,必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x Rx即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x2 定义域的逆向问题例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R,求实数a 的取值范围 定义域的逆向问题解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-a ax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于练习：322log+-=mx x y 定义域是一切实数,则m 的取值范围；3 复合函数定义域的求法例4 若函数)(x f y =的定义域为1,1,求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知fx 的定义域为－1,1,求f2x －1的定义域;分析：法则f 要求自变量在－1,1内取值,则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 －1,1内取值,即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f2x －1中2x －1与fx 中的x 位置相同,范围也应一样,∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;注意：fx 中的x 与f2x －1中的x 不是同一个x,即它们意义不同; 解：∵fx 的定义域为－1,1, ∴－1≤2x －1≤1,解之0≤x ≤1,∴f2x －1的定义域为0,1;例6已知已知fx 的定义域为－1,1,求fx 2的定义域;答案：－1≤x2≤1⇒ x2≤1⇒－1≤x ≤1练习：设)(x f 的定义域是3,2,求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x 例7 已知f2x －1的定义域为0,1,求fx 的定义域因为2x －1是R 上的单调递增函数,因此由2x －1, x ∈0,1求得的值域－1,1是fx 的定义域;练习：1 已知f3x －1的定义域为－1,2,求f2x+1的定义域;[2,25-提示：定义域是自变量x 的取值范围 2 已知fx 2的定义域为－1,1,求fx 的定义域3 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4 已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ,则 Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =求值域问题利用常见函数的值域来求直接法一次函数y=ax+ba ≠0的定义域为R,值域为R ； 反比例函数)0(≠=k x ky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R,当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2-1≤x ≤1 ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f③ xx y 1+=记住图像 解：①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是-1,5 ②略③ 当x>0,∴xx y 1+==2)1(2+-xx 2≥,当x<0时,)1(xx y -+--==－2)1(2----xx -≤∴值域是 ]2,(--∞2,+∞.此法也称为配方法 函数xx y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域最值：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为2,-3,顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }.②∵顶点横坐标2∉3,4,当x=3时,y= -2；x=4时,y=1；∴在3,4上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.③∵顶点横坐标2∉ 0,1,当x=0时,y=1；x=1时,y=-2, ∴在0,1上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.④∵顶点横坐标2∈ 0,5,当x=0时,y=1；x=2时,y=-3, x=5时,y=6,∴在0,1上,min y =-3,m ax y =6；值域为-3,6.注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时,①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值ab ac y 4)4(2min-=； ②当a<0时,则当ab x 2-=时,其最大值ab ac y 4)4(2max -=;⑵若定义域为x ∈ a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. ①若0x ∈a,b,则)(0x f 是函数的最小值a>0时或最大值a<0时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大小值.②若0x ∉a,b,则a,b 是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大小值.注：①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大小值；②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y =3+x 32-的值域解：由算术平方根的性质,知x32-≥0,故3+x32-≥3;∴函数的值域为[)+∞,3 .2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域 解： 对称轴 []5,01∈=x[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x1 单调性法例3 求函数y=4x －x31-x ≤1/3的值域;设fx=4x,gx= －x31-,x ≤1/3,易知它们在定义域内为增函数,从而y=fx+gx=4x-x31-在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f1/3+g1/3=4/3,因此,所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝;小结：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域;练习：求函数y=3+x-4的值域;答案：｛y|y ≥3｝2 换元法例4 求函数x x y -+=12 的值域解：设t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域;这种解题的方法体现换元、化归的思想方法;它的应用十分广泛;练习：求函数y=x x --1的值域;答案：｛y|y ≤－3/4｝求xx x x cos sin cos sin 1++的值域；例5 三角换元法求函数21x x y -+=的值域解： 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x小结：1若题目中含有1≤a ,则可设)0,cos (22,sin πθθπθπθ≤≤=≤≤-=a a 或设2若题目中含有122=+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤3若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 4若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中22πθπ<<-5若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ3 平方法例5 选求函数x x y -+-=53 的值域 解：函数定义域为：[]5,3∈x 4 分离常数法 例6 求函数21+-=x x y 的值域 由1231232≠+-=+-+=x x x y ,可得值域{}1≠y y小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx b ax y ,如果在其自然定义域代数式自身对变量的要求内,值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域对自变量有附加条件,采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=,用复合函数法来求值域;练习 求函数6412+-=x x y 的值域 求函数133+=x xy 的值域求函数 y =1212+-xx 的值域；y ∈-1,1例7 求13+--=x x y 的值域解法一：图象法可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y观察得值域{}44≤≤-y y解法二：不等式法114)1(134)1()3(13+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x 练习：1y x x =++的值域 )[∞+,1 例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域解：换元法设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为 例9求函数xx y 2231+-⎪⎭⎫⎝⎛= 的值域解：换元法令1)1(222+--=+-=x x x t ,则)1(31≤⎪⎭⎫⎝⎛=t y t由指数函数的单调性知,原函数的值域为例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解：图象法如图,值域为(]1,0 换元法设t x=+13 ,则()111131113113>-=+-=+-+=t t y x xx 例13 函数1122+-=x x y 的值域解法一：逆求法110112<≤-∴≥-+=y yyx解法二：换元法设t x =+12 ,则2解法三：判别式法原函数可化为 010)1(2=++⋅+-y x x y 1） 1=y 时 不成立2） 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-⇒≥+--⇒≥∆y y y 综合1、2值域}11|{<≤-y y 解法四：三角换元法∴∈Rx 设⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2tan ππθθx ,则∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数34252+-=x x y 的值域 解法一：判别式法化为0)53(422=-+-y yx yx10=y 时,不成立 20≠y 时,0≥∆得综合1、2值域}50|{≤<y y解法二：复合函数法令t x x =+-3422,则ty 5=50≤<∴y 所以,值域}50|{≤<y y例15 函数11++=xx y 的值域解法一：判别式法原式可化为 01)1(2=+-+x y x解法二：不等式法1当0>x 时,321≥∴≥+y xx 2） 0<x 时,12)(1)(1-≤∴-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+y x x x x综合12知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31,例16 选 求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域 解法一：判别式法原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x解法二：不等式法原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2例17 选 求函数)22(1222≤≤-+++=x x x x y 的值域解：换元法令t x =+1 ,小结：已知分式函数)0(2222≠+++++=d a fex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 选)(二次式一次式或一次式二次式==y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+=x xa x y 的单调性去解; 练习：1 、)0(9122≠++=x x x y ； 解：∵x ≠0,11)1(91222+-=++=x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷：11929122=+≥++=x x y 或利用对勾函数图像法2 、34252+-=x x y 0<y ≤5.3 、求函数的值域 ①x x y -+=2； ②242x x y --=解：①令x u -=2≥0,则22u x -=, 原式可化为49)21(222+--=+-=u u u y ,②解：令 t=4x 2x ≥0 得 0≤x ≤4在此区间内 4x 2x m ax =4 ,4x 2x m in =0∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2}4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ,画出它的图象下图,由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是3,+∞. 如图5、求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=12t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t∵t ≥0 ∴y ≤46、选求函数66522-++-=x x x x y 的值域 方法一：去分母得 y12x +y+5x6y6=0 ①当 y1时 ∵xR ∴△=y+52+4y1×6y+1≥0由此得 5y+12≥0检验 51-=y 有一个根时需验证时 2)56(2551=-⋅+--=x 代入①求根 ∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴51-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1综上所述,函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-} 方法二：把已知函数化为函数36133)3)(2()3)(2(--=+-=+---=x x x x x x x y x2 由此可得 y1,∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-}。
高中数学函数定义域的求法
高中数学函数定义域的求法
求函数定义域的方法有以下几种：
1. 根据函数的解析式确定：
- 如果函数的解析式为有理式，那么函数的定义域就是使得
有理式的分母不为零的实数值。
- 如果函数的解析式为无理式，那么函数的定义域就是使得
无理式的被开方数不小于零的实数值。
- 如果函数的解析式为指数、对数函数，那么函数的定义域
就是使得指数的底不为零或负数，对数的底大于零且不等于1。
2. 根据函数的图象确定：
- 如果函数的图象是一个连续的曲线，那么函数的定义域就
是曲线所覆盖的所有实数值。
- 如果函数的图象是一个离散的点集，那么函数的定义域就
是这些点的横坐标所组成的集合。
3. 根据问题的实际意义确定：
- 如果函数表示一个实际问题，如时间、长度、面积等，那
么函数的定义域就是使得问题有意义的实数值范围。
需要注意的是，在某些情况下，函数的定义域可能是一个给定的特定集合，如正整数集、实数集等，这时需要根据题目要求进行判断和筛选。
同时，也要留意函数的特殊性质，如间断点、极值点等，可能会对函数的定义域有影响。
高中函数解题技巧
高中函数解题技巧高中函数解题技巧引言在高中数学中，函数是一个重要的内容，解题时需要运用合适的技巧来解决各种函数问题。
本文将详细说明高中函数解题的各种技巧，帮助学生更好地应对考试。
技巧一：函数定义的掌握1.理解函数的定义：函数是一个映射关系，将自变量映射到因变量。
2.弄清楚定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
3.利用定义域和值域求解问题：在解题过程中，需要根据函数的定义域和值域来确定自变量和因变量的取值范围，进而解决相关问题。
技巧二：函数的性质应用1.利用奇偶性判断函数的对称性：奇函数以原点对称，偶函数以y轴对称。
通过判断函数的奇偶性，可以简化一些计算和问题的分析。
2.利用导数判断函数的增减性：函数的导数代表其斜率，通过求导可以判断函数在某一区间内的增减情况，有助于解决最值和特殊点问题等。
3.利用周期性解决重复性问题：某些函数具有周期性特征，通过寻找周期性解决问题，可以简化计算和分析过程。
技巧三：函数图像的应用1.利用函数图像解读问题：观察函数的图像，可以帮助理解函数的性质和规律，进而解决相关问题。
2.利用函数图像求解交点和切点：通过观察函数图像的交点和切点，可以求解函数的零点、最大最小值和特殊点等问题。
技巧四：函数图像的变换1.利用平移变换函数图像：平移函数图像可以改变函数图像的位置，通过平移变换可以简化计算和分析过程。
2.利用伸缩变换函数图像：伸缩函数图像可以改变函数图像的尺寸，通过伸缩变换可以观察到函数的变化规律。
技巧五：函数组合和复合1.利用函数组合化简问题：将多个函数组合起来，可以简化计算和分析过程，有助于解决复杂的问题。
2.利用函数复合求解复合函数值：通过将自变量代入复合函数，可以求解复合函数的值，解决相关问题。
技巧六：方程和不等式的解法1.利用函数解方程：将方程转化为函数等式，通过解函数等式来求解方程，可以简化计算和分析过程。
2.利用函数解不等式：将不等式转化为函数不等式，通过解函数不等式来求解不等式，解决相关问题。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
函数的定义域求法
函数的定义域求法高中数学函数的定义域求法四川省万源市第三中学校赵宾竹函数—中学数学的灵魂，它在整个高中，对数学的学习与理解起着决定性的作用. 函数的定义域是构成的三大要素之一，看似简单，但在解决问题中稍不注意，就会使学生误入歧途. 在高中数学学习中，我们尤其要注重函数的学习. 笔者现将函数定义域的求法作简单说明.函数的形式多样，有已知解析式的基本初等函数，还有复合函数、分段函数. 我们通过举例来浅析函数定义域的求法.1常规型函数的定义域例1求函数f (x ) =lg x 2-2x 的定义域．2⎧⎧x >2或x 0解：要使函数有意义，只需要：⎧，即，故定义域是⎧2⎧⎧-30(-3, 0) (2, 3) .说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零；若有偶次根式则被开方数大于或等于零；若有对数式，则真数大于零，底数大于零且不等于1. 求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集.2 抽象型函数的定义域对于复合函数y =f (g (x ))、令t =g (x )、y =f (t )，分清内外函数与复合函数的关系是关键，只有这样才能很好地解决复合函数问题. 若内函数的值域是外函数的定义域，则内函数的定义域为复合函数的定义域，外函数的值域为复合函数的值域. 复合函数由内外函数共同决定.例2 ：已知函数f (x )的定义域为[-2,4]，求f (x 2-3x )的定义域. 解：由题意可知-2≤x 2-3x ≤4，则-1≤x ≤1或2≤x ≤4,故函数的定义域为[-1, 1] [2, 4].说明：本题实质上是求复合函数的定义域，我们把y =f (x 2-3x )看成是由y =f(u )、u =x 2-3x 两个函数复合而成的，因为-2≤u ≤4，则-2≤x 2-3x ≤4，进而求出x 的范围. 另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等式的方向改变，这里也是学生运算时常常容易发生错误的地方，应加以重视.例3 已知f (2x +1) 的定义域为［1，2］，求f (x ) 的定义域．解∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴3≤2x +1≤5，即函数f (x ) 的定义域是{x 3≤x ≤5}．说明：已知f [g (x )]的定义域是[a , b ]，求f (x ) 定义域的方法是：由a ≤x ≤b 求g (x ) 的值域，即所求f (x ) 的定义域．3 分段函数型的定义域例4 若对于任何实数x ，不等式x -+2x -2>a 恒成立，求实数a 的取值范围.解:令f (x )=x -+2x -2，去绝对值号把f (x )表示成分段函数后为⎧5-3x , x⎧3x -5, x >2⎧y =f (x )的图像，如图所示，由此可知f (x )的最小值为1，f (x )>a 对一切实数x 恒成立，则a说明：本题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解，则比较繁琐，而如果注意到不等式左边是一个关于x 的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就能很快解决问题了，这种解题思想应该引起我们的注意. 另外对于函数f (x )=x -+2x -2，只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图像，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间、值域等一切问题都迎刃而解了.4 在实际问题中，我们把实际问题转化为函数模型例5 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域．解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图：因为CD =AB =2x ，⌒ =πx ，所以AD =(L -AB -CD ⌒ ) ÷2=(L -2x -πx ) ÷2，故所以CDπL -2x -πx πx 2=-(2+) x 2+Lx . y =2x ⋅+2222x >0⎧L ⎧L -2x -πx 00π+2⎧2⎧L π) . 故函数的解析式为y =-(2+) x 2+Lx ，定义域(0, π+22说明：这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识. 要确定定义域，就是要确定实际问题中自变量应满足的范围. 这类问题需要我们在解题时足够细心，一定不能遗忘定义域的优先法则，忘记这一点，后面就会出现一连串问题，所以务必要细心，谨记定义域优先是关键．总之，函数的定义域是高考经常考的内容，既是重点也是难点，特别是在高中引入了函数的新的概念，让学生用集合这一概念来重新理解定义域，是比较困难的. 因此在教学过程中应该结合学生的特点来进行．。
高中数学基础之函数定义域的求法
高中数学基础之函数定义域的求法函数的定义域、值域：一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。
求已知函数定义域和抽象函数的定义域：例1 函数f (x )＝25－4x 2＋ln (e x －1)的定义域为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 解析 由f (x )＝25－4x 2＋ln (e x －1)，得⎩⎨⎧25－4x 2≥0，e x －1>0，解得0＜x ≤52，所以f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52. 例2 设函数f (x )＝3x －1＋ln (4－x )的定义域为A ，函数g (x )＝x 2－x ＋1的值域为B ，则A ∩B ＝________(结果用区间表示).答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，4 解析 由f (x )＝3x －1＋ln (4－x )得⎩⎨⎧3x －1≥0，4－x >0，解得13≤x <4，则A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，4，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，当且仅当x ＝12时取“＝”，则B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，所以A ∩B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，4. 例3 已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( )A ．[2，2]B ．[2，4]C ．[4，8]D ．[1，2]答案 A解析 因为f (x )的值域为[1，2]，即1≤log 2x ≤2，所以2≤x ≤4，所以f (x )的定义域为[2，4]，所以φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)应满足⎩⎨⎧2≤2x ≤4，2≤x 2≤4，解得2≤x ≤2，所以φ(x )的定义域为[2，2].故选A.例4 (1)已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[1，4]，求函数y ＝f (x )的定义域．解 ∵y ＝f (x ＋2)中，1≤x ≤4，∴3≤x＋2≤6，故函数y＝f(x)的定义域为[3，6].(2)已知函数y＝f(2x)的定义域为[0，1]，求函数y＝f(x＋1)的定义域．解∵y＝f(2x)中，0≤x≤1，∴0≤2x≤2，∴函数y＝f(x＋1)中，0≤x＋1≤2，∴－1≤x≤1，∴函数y＝f(x＋1)的定义域为[－1，1].求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义或从实际出发，求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助数轴，注意端点值的取舍．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域，如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.(3)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．。
高中数学根据函数定义域解题技巧整理
高中数学根据函数定义域解题技巧整理在高中数学中，函数的定义域是解题过程中一个非常重要的概念。
定义域指的是函数可以接受的输入值的范围，也就是使函数有意义的自变量的取值范围。
在解题过程中，我们需要根据函数的定义域来确定自变量的取值范围，从而解决问题。
本文将介绍一些根据函数定义域解题的技巧，并通过具体的题目进行说明。
一、分段函数的定义域确定对于分段函数，我们需要根据每个分段的定义域来确定整个函数的定义域。
例如，考虑函数$f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ 2x, & x \geq 0 \end{cases}$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。
对于第一个分段$x < 0$，函数$f(x)$的定义域为负无穷到0，即$(-\infty, 0)$。
对于第二个分段$x \geq 0$，函数$f(x)$的定义域为0到正无穷，即$(0, \infty)$。
因此，整个函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$。
二、有理函数的定义域确定有理函数是指由多项式函数相除得到的函数。
在确定有理函数的定义域时，我们需要注意分母不能为零。
例如，考虑函数$f(x) = \frac{1}{x-2}$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。
由于分母$x-2$不能为零，所以$x$不能等于2。
因此，函数$f(x)$的定义域为$x \neq 2$，即$(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$。
三、指数函数和对数函数的定义域确定对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和真数的取值范围。
例如，考虑函数$f(x) = 2^x$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。
由于指数函数的底数为正数，真数可以是任意实数，所以函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, \infty)$。
对于对数函数，底数必须大于0且不等于1，真数必须大于0。
高一数学函数的定义域与值域的常用方法
高一数学求函数的定义域与值域的常用法:求函数解析式 1、换元法： 例1.已知 题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
心） X t 解：设 2 f （x ） X X X ,则1,x 1 。
x 2 X 1 x 2 ,试求 f （X ）。
1 t 1,代入条件式可得: f （t ）t 2 t 1，t ≠ 1。
故得: 说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出 另一个程，联立求解。
f (X) 例2. ( 1)已知 (2)已知 f (X) 2f(2f(1) 3X 24X 5 XX）3X 2解：（1）由条件式，以 • 1 消去 X ,则得: X 代2_ X X,则得 8 3x4X 5f(1) X X 24x 3(2) 由条件式，以一 X 代X 则得： X 24x -3。
f( 去说明： 定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4.求下列函数的解析式： （1） (2) (3) ,试求f (X)；f(x).3厶 X试求 2f(x)5 3OX) 2f (X)3X 24X5,与条件式联立,,与条件式联立，消,则得: 本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系, 故所求函数的 已知 已知 已知 f （X ）是二次函数，且f （0） f （∙一 X 1） 心） X 3f （x ） 2, f (X 1) f(X) X 1 ,求 f(X)； 2 X ,求 f (x)， f (x 1)， f (x 2) 1 1 亠 2 ,求 X X f (X)；（4） 【题意分析】（1） 设法求出a,b,c 即可。
若能将X 2 - X 适当变形，用.XX 1 设 为一个整体，不妨设为 X X ， 已知 2 f ( x) X 3 ,求 f (x)。
由已知f (X)是二次函数，所以可设 f(X) ax 2 bx c(a 0)，(2) (3) 1的式子表示就容易解决了。
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高中数学“函数定义域问题”的求解一般方法与技巧
1. 基本问题说明
“求函数定义域”是最广泛使用的基础应用（没有之一，每次考试都必定会涉及），因为一般每个函数都要先明确的定义域。
但是在大考中，该基础应用一般不会显式、独立地出题（即一般不会出只求定义域的题），往往会在题目中作为限制条件、考查细节（特别是常见的易错点）。
因此，求解问题前，能否正确地明确或求出定义域是正确解题的必要条件。
2. 解决问题的一般方法
1) 原则：只要遇到函数，就先确定其定义域的状况。
2) 易错点：有关定义域（特别是隐式）的限制或细节（边界）往往是易错点。
务必养成细心和确认定义域的意识和习惯，否则一不小心就掉“坑”里了。
3) 一般方法：
a) 求常见函数定义域时应考虑的问题（高中阶段）
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b) 求复合函数定义域时应考虑的问题
①已知f(x)的定义域，求解f(φ(x))的定义域
f(x)的定义域是D，f(φ(x))的定义域就是使得φ(x)∈D的所有x的集合
②已知f(φ(x))的定义域，求解f(x)的定义域
f(φ(x))的定义域是D，f(x)的定义域就是在D上的值域
③已知f[g(x)]定义域为C,求f[h(x)]的定义域
实质是已知x的范围为C,以此先求出g(x)的范围（即f(x)的定义域）；然后将其作为h(x)的范围,以此再求出x的范围.
c) 求解一般方法：根据上述约束和/或限制，可列出不等式组，然后再求解。
3. 典型示例
例1、求下列函数的定义域
(1) y=√(2x-x^2 )
(2) y=1/√(|x|-x)
(3) y=1/√(1-x)+(x+1) ^0
解：（1）依题意可得：
2x-x2≥0，
解得：0≤x≤2，
所以函数的定义域为{x|0≤x≤2}。
（2）依题意可得：
|x|-x>0，
解得：x<0，
所以函数的定义域为{x|x<0}。
（3）依题意可得：
1-x>0 且x+1≠0，
解得：x<1且x≠-1，
所以函数的定义域为{x|x<1且x≠-1}。
例2设函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x^2)的定义域为___；函数f(√x-2)的定义域为___。
解：f(x)的定义域为[0,1],即：
0≤x≤1，
函数f(x^2)的定义域为：
0≤x^2≤1，
x的取值为[-1,1]，所以函数f(x^2)的定义域为[-1,1]，
函数f(√x-2)的定义域为：
0≤√x-2≤1，
x的取值为[4,9]，所以函数f(√x-2)的定义域为[4,9]。
例3已知函数f(x)的定义域为[1,1]，且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。
解：由题意，可得：
-1≤x-m≤1且-1≤x+m≤1，
解得：
m-1≤x≤1+m （1）,
且-1-m≤x≤1-m, （2），
当m=0时，-1≤x≤1，m=0满足题意,
当m>0时，为了定义域存在，以上(1)，(2)两式必须有交集，即：
m-1≤1-m, 且m>0，得0<m≤1,
当m<0时，同理要满足：
-1-m≤1+m, 且m<0，得-1≤m<0,
综上可知，所求m的取值范围为：-1 ≤m ≤1。
讲解：
①正确理解并掌握复合函数定义域求法；
②当出现参数时，要分类讨论。
例4 某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量x(件) (x∈N, 1≤x<99)的关系符合如下规律：
又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元。
求该厂日盈利额T（元）关于日产量x（件）的函数?
解：由题意：当日产量为x件时，次品率为：
P = 2/(100-x)，
则次品个数为：
2x/(100-x)，
正品个数为：
x- 2x/(100-x)，
所以
T=100×[x-2x/(100-x)]-100×2x/(100-x)，
即
T=100[x-4x/(100-x)]，（x∈N，且1≦x≦89)。
讲解：
①函数实际应用中，函数的定义域要根据实际情况来求解；
②要注意实际应用中实际意义及其可能约束，如猪的头数是整数、边长的长度是正数等。
例5若函数f(x)=log2^(mx^2+mx+1)的定义域为R，则m的取值范围是______.
解：∵函数f(x)=log2^(mx2+mx+1)的定义域为R，
(提示：定义域的逆向应用)
∴mx^2+mx+1＞0在R上恒成立，
（1）当m=0时，有1＞0在R上恒成立，故符合条件；
（2）当m≠0时，有：
m>0，
且=m^2-4m<0，
解得：0<m<4，
综上，实数m的取值范围是[0，4）。
例6已知实数a≠0，x<1时，函数f(x)=2x+a；x≥1时，函数f(x)=-x-2a。
若f(1-a)=f(1+a)，则a的值为______。
解：当a>0时，1-a<1，1+a>1，
∴2(1-a)+a = -1-a-2a，解得a=-3/2 < 0，舍去。
当a＜0时，1-a＞1，1+a＜1，
∴-1+a-2a = 2+2a+a，解得a=-3/4，
故所求a的值为-3/4。
讲解：
①提示：本题为定义域的逆向应用
②一般要求：快捷、准确地理解函数表达式及其特征和意义。
③两个提示
a) 这里是分段函数，而分段函数在分段点附近需要多留意；
b) 有参数时，要进行分类讨论。
④思考：为何a的讨论是以0作为分界点呢？。