高中数学函数定义域值域求法总结
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
函数定义域、值域,解析式求法总结
函数定义域、值域，解析式求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒⎩⎨⎧≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数定义域值域求法总结精彩
函数定义域值域求法总结精彩GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
常用的求值域的方法：（1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax 第一页∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
高中数学函数值域的种求法总结
高中数学函数值域的种求法总结高中数学中，函数值域是指函数在定义域内所有可能的取值的集合。
求函数值域是解决各类函数问题的重要方法之一、下面将总结高中数学中常用的求函数值域的11种方法。
1.利用定义法：根据函数的定义，直接求解函数的取值范围。
例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方永远非负，所以其值域为[0,+∞)。
2. 利用图像法：通过绘制函数的图像，观察图像的上下界即可求得函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，故其值域为[-1, 1]。
3.利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用函数的对称性来快速求解其值域。
例如，对于奇函数f(x)=x^3，由于x^3关于原点对称，故其值域为整个实数轴。
4.利用函数的性质：通过函数的特点和性质来求解其值域。
例如，对于指数函数f(x)=a^x，由于指数函数永远大于0，所以其值域为(0,+∞)。
5. 利用最值的求解方法：对于具有最值的函数，可以通过求解最值来确定函数的值域。
例如，对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0，由于 a > 0，故二次函数的开口向上，函数的最小值为顶点的 y坐标，可以通过求解顶点坐标来确定函数的值域。
6.利用函数的递增性或递减性：对于递增函数或递减函数，可以根据函数递增性或递减性来求解其值域。
例如，对于递增函数f(x)=2x+1，由于斜率大于零，函数单调递增，故值域为(-∞,+∞)。
7. 利用函数的周期性：对于具有周期性的函数，可以利用函数的周期性来求解其值域。
例如，对于正弦函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值在一个周期内是重复的，故其值域为 [-1, 1]。
8. 利用函数的复合性：对于复合函数，可以将函数拆解成多个简单的函数，然后求解每个简单函数的值域，最后将值域组合起来得到复合函数的值域。
例如，对于函数 f(x) = sqrt(x^2 + 1)，可以拆解成 f(x) = g(h(x)), 其中 g(x) = sqrt(x) 和 h(x) = x^2 + 1，然后求解 g(x) 和h(x) 的值域，最后得到 f(x) 的值域。
函数定义域值域求法(全十一种)
高中函数界说域和值域的求法总结之南宫帮珍创作一、惯例型即给出函数的解析式的界说域求法, 其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组, 解此不等式（或组）即得原函数的界说域.例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的界说域. 解：要使函数有意义, 则必需满足 由①解得 3x -≤或5x ≥. ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5.故所求函数的界说域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且.例2 求函数2x 161x sin y -+=的界说域. 解：要使函数有意义, 则必需满足 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π，③ 由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部份, 得故函数的界说域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部份？你会吗？ 二、笼统函数型笼统函数是指没有给出解析式的函数, 不能惯例方法求解, 一般暗示为已知一个笼统函数的界说域求另一个笼统函数的解析式, 一般有两种情况.（1）已知)x (f 的界说域, 求)]x (g [f 的界说域.（2）其解法是：已知)x (f 的界说域是［a, b ］求)]x (g [f 的界说域是解b )x (g a ≤≤, 即为所求的界说域.例3 已知)x (f 的界说域为［－2, 2］, 求)1x (f 2-的界说域. 解：令21x 22≤-≤-, 得3x 12≤≤-, 即3x 02≤≤, 因此3|x |0≤≤, 从而3x 3≤≤-, 故函数的界说域是}3x 3|x {≤≤-.（2）已知)]x (g [f 的界说域, 求f(x)的界说域.其解法是：已知)]x (g [f 的界说域是［a, b ］, 求f(x)界说域的方法是：由b x a ≤≤, 求g(x)的值域, 即所求f(x)的界说域.例4 已知)1x 2(f +的界说域为［1, 2］, 求f(x)的界说域.解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，. 即函数f(x)的界说域是}5x 3|x {≤≤. 三、逆向型即已知所给函数的界说域求解析式中参数的取值范围.特别是对已知界说域为R, 求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决.例5 已知函数8m mx 6mx y 2++-=的界说域为R 求实数m 的取值范围.分析：函数的界说域为R, 标明0m 8mx 6mx 2≥++-, 使一切x ∈R 都成立, 由2x 项的系数是m, 所以应分m=0或0m ≠进行讨论.解：当m=0时, 函数的界说域为R ；那时0m ≠, 08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式, 其对一切实数x 都成立的充要条件是综上可知1m 0≤≤.评注：很多学生容易忽略m=0的情况, 希望通过此例解决问题. 例6 已知函数3kx 4kx 7kx )x (f 2+++=的界说域是R, 求实数k 的取值范围.解：要使函数有意义, 则必需3kx 4kx 2++≠0恒成立, 因为)x (f 的界说域为R, 即03kx 4kx 2=++无实数①当k ≠0时, 0k 34k 162<⨯-=∆恒成立, 解得43k 0<<；②当k=0时, 方程左边=3≠0恒成立.综上k 的取值范围是43k 0<≤.四、实际问题型这里函数的界说域除满足解析式外, 还要注意问题的实际意义对自变量的限制, 这点要加倍注意, 并形成意识.例7 将长为a 的铁丝折成矩形, 求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式, 并求函数的界说域. 解：设矩形一边为x, 则另一边长为)x 2a (21-于是可得矩形面积.ax 21x 2+-=. 由问题的实际意义, 知函数的界说域应满足2a x 0<<⇒.故所求函数的解析式为ax21x y 2+-=, 界说域为（0, 2a ）.例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架, 如图, 若矩形底边长为2x, 求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式, 并求界说域.解：由题意知, 此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积, 如图.因为CD=AB=2x, 所以x CD π=⋂, 所以2xx 2L 2CD AB L AD π--=--=⋂,故2x 2x x 2L x 2y 2π+π--⋅= 根据实际问题的意义知故函数的解析式为Lxx )22(y 2+π+-=, 界说域（0, 2L +π）.五、参数型对含参数的函数, 求界说域时, 必需对分母分类讨论.例9 已知)x (f 的界说域为［0, 1］, 求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的界说域.解：因为)x (f 的界说域为［0, 1］, 即1x 0≤≤.故函数)x (F 的界说域为下列不等式组的解集：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0, 即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-a1x a a 1x a即两个区间［－a, 1－a ］与［a, 1+a ］的交集, 比力两个区间左、右端点, 知（1）那时0a 21≤≤-, F （x ）的界说域为}a 1x a |x {+≤≤-；（2）那时21a 0≤≤, F （x ）的界说域为}a 1x a |x {-≤≤；（3）当21a >或21a -<时, 上述两区间的交集为空集, 此时F（x ）不能构成函数.六、隐含型有些问题从概况上看其实不求界说域, 可是不注意界说域, 往往招致错解, 事实上界说域隐含在问题中, 例如函数的单调区间是其界说域的子集.因此, 求函数的单调区间, 必需先求界说域. 例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间.解：由03x 2x 2>++-, 即03x 2x 2<--, 解得3x 1<<-.即函数y 的界说域为（－1, 3）. 函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的.4)1x (3x 2x t 22+--=++-=, 对称轴x=1, 由二次函数的单调性,可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数, 而t log y 2=在其界说域上单调增； 3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- , 所以函数)3x 2x (log y 22++-=在区间]11(，-上是增函数, 在区间)31[，上是减函数. 函数值域求法十一种1. 直接观察法对一些比力简单的函数, 其值域可通过观察获得. 例1. 求函数x 1y =的值域.解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域. 解：∵0x ≥故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一. 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域.解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时, 4y min =, 那时1x -=, 8y max = 故函数的值域是：[4, 8] 3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域.解：原函数化为关于x 的一元二次方程 （1）那时1y ≠, R x ∈解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时, 0x =, 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域.解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的界说域由0)x 2(x ≥-, 得2x 0≤≤由0≥∆, 仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根, 而不能确保其实根在区间[0, 2]上, 即不能确保方程（1）有实根, 由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围年夜, 故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.可以采用如下方法进一步确定原函数的值域. ∵2x 0≤≤21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即那时22222x 41-+=,原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时, 若原函数的界说域不是实数集时, 应综合函数的界说域, 将扩年夜的部份剔除. 4. 反函数法直接求函数的值域困难时, 可以通过求其原函数的界说域来确定原函数的值域.例6. 求函数6x 54x 3++值域.解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=则其反函数为：3x 5y 64y --=, 其界说域为：53x ≠故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53, 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时, 可以利用已学过函数的有界性, 反客为主来确定函数的值域.例7. 求函数1e 1e y xx +-=的值域.解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x >∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域.解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-, 可化为：即1y y 3)x (x sin 2+=β+∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11y y 312≤+≤-解得：42y 42≤≤-故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,42 6. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域. 解：令1x log y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2, 10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2, 10]上是增函数 当x=2时,8112log 2y 33min =-+=-当x=10时, 339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81 例10. 求函数1x 1x y --+=的值域.解：原函数可化为：1x 1x 2y -++=令1x y ,1x y 21-=+=, 显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =, 2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时, 21y y y +=有最小值2, 原函数有最年夜值222=显然0y >, 故原函数的值域为]2,0( 7. 换元法通过简单的换元把一个函数酿成简单函数, 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 换元法是数学方法中几种最主要方法之一, 在求函数的值域中同样发挥作用. 例11. 求函数1x x y -+=的值域. 解：令t 1x =-, )0t (≥ 则1t x 2+=∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥, 由二次函数的性质可知那时0t =, 1y min = 那时0t →, +∞→y 故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域.解：因0)1x (12≥+-即1)1x (2≤+故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β= ∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域.解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x , 则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2那时82k π-π=β,41y max =那时82k π+π=β,41y min -= 而此时βtan 有意义. 故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41 例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域.解：)1x )(cos 1x (sin y ++=令t x cos x sin =+, 则)1t (21x cos x sin 2-=由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x可得：2t 22≤≤∴那时2t =,223y max +=, 那时22t =,2243y +=故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243. 例15. 求函数2x 54x y -++=的值域.解：由0x 52≥-, 可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ=∵π≤β≤0那时4/π=β, 104y max += 那时π=β, 54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+- 8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义, 如两点的距离公式直线斜率等等, 这类题目若运用数形结合法, 往往会更加简单, 一目了然, 赏心悦目.例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域. 解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2）, )8(B -间的距离之和. 由上图可知, 当点P 在线段AB 上时, 10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, 10|AB ||8x ||2x |y =>++-=故所求函数的值域为：],10[+∞ 例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域. 解：原函数可变形为：上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,43)12()23(|AB |y 22min =+++==,故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域. 解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=上式可看成定点A （3, 2）到点P （x, 0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差. 即：|BP ||AP |y -=由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时, 如点'P , 则构成'ABP ∆, 根据三角形两边之差小于第三边, 有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时, 有26|AB |||BP ||AP ||==-综上所述, 可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17, 18可知, 求两距离之和时, 要将函数式变形, 使A 、B 两点在x 轴的两侧, 而求两距离之差时, 则要使A, B 两点在x 轴的同侧.如：例17的A, B 两点坐标分别为：（3, 2）, )1,2(--, 在x 轴的同侧；例18的A, B 两点坐标分别为（3, 2）, )1,2(-, 在x 轴的同侧. 9. 不等式法利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈, 求函数的最值, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值, 解析式是积时要求和为定值, 不外有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧.例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域.解：原函数变形为： 当且仅当x cot x tan =即那时4k x π±π=)z k (∈, 等号成立 故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域. 解：x cos x sin x sin 4y = 当且仅当x sin 22x sin 22-=, 即那时32x sin 2=, 等号成立.由2764y 2≤可得：938y 938≤≤- 故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,938 10. 一一映射法原理：因为)0c (d cx bax y ≠++=在界说域上x 与y 是一一对应的.故两个变量中, 若知道一个变量范围, 就可以求另一个变量范围. 例21. 求函数1x 2x31y +-=的值域. 解：∵界说域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<21x 21x |x 或 由1x 2x 31y +-=得3y 2y 1x +-=故213y 2y 1x ->+-=或213y 2y 1x -<+-=解得23y 23y ->-<或 故函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2323, 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数3x 2x y ++=的值域.解：令)0t (2x t ≥+=, 则1t 3x 2+=+（1）那时0t >, 21t1t 11t t y 2≤+=+=, 当且仅当t=1, 即1x -=时取等创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日 号, 所以21y 0≤< （2）当t=0时, y=0.综上所述, 函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0注：先换元, 后用不等式法例23. 求函数42432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域. 解：4234242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-= 令2tan x β=, 则β=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2222cos x 1x 1 ∴那时41sin =β,1617y max = 那时1sin -=β, 2y min -= 此时2tan β都存在, 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1617,2注：此题先用换元法, 后用配方法, 然后再运用βsin 的有界性. 总之, 在具体求某个函数的值域时, 首先要仔细、认真观察其题型特征, 然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法, 函数单调性法和。
高考数学中的函数值域与定义域求解总结
高考数学中的函数值域与定义域求解总结在高中数学中，函数是一个非常基础并且非常重要的概念。
函数值域与定义域的求解是函数学习中的重点和难点。
在高考中，对于函数的掌握程度和对函数值域与定义域求解的熟练程度都是非常重要的。
一、函数域的定义在提及函数值域与定义域求解之前，我们需要先来回顾一下函数域的定义。
函数域即为定义域和值域的并集。
其中，定义域指的是函数的自变量所在的取值范围，通俗地理解，就是能够代入函数中的数字集合。
值域指的是函数因变量的取值范围，即将所有自变量都代入函数中所得到的所有函数值的集合。
理解了这两个术语的定义后，再来看看如何求解函数的值域和定义域。
二、函数值域的求解1.分段函数值域求解对于分段函数，我们需要对每一个分段分别求解，最后再将结果合并。
求解过程具体如下：1)对于线性函数 y = kx + b，当 k > 0 时，y 的最小值是固定的，即 b；当 k < 0 时，y 的最大值是固定的，即 b。
因此，对于线性函数而言，它的值域就是一条直线。
2)对于二次函数 y = ax² + bx + c，由于 a 的正负性不确定，因此可以根据判别式来判断这个函数的值域。
a > 0 时，y 取最小值 f(x = -b/2a)，此时 y ∈ [ f(x), +∞)。
a < 0 时，y 取最大值 f(x = -b/2a)，此时 y ∈ (-∞, f(x)]。
3)对于绝对值函数 y = |x|，其值域为 y ∈ [0, +∞)。
4)对于反比例函数 y = 1/x，其值域为 y ∈ (-∞, 0) U (0, +∞)。
2.连续函数值域求解对于连续函数 y = f(x)，我们可以通过求导来判断函数的最值，通过函数的最值来推导出值域。
对于一个实数集合内的连续函数，当其定义域为闭区间时，函数的值域即为右端点和左端点函数值的较大值和较小值的区间。
当其定义域为开区间时，值域即为函数的最大值和最小值的区间。
函数值域定义域解析式方法总结
函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法（10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
2、求值域问题例4 求函数x x y -+=12 的值域例7 求13+--=x x y 的值域例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域例9 例9求函数x x y 2231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛= 的值域例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域例11 求函数21+-=x x y 的值域 例12 求函数133+=x xy 的值域 练习：y =1212+-x x ；（y ∈(-1，1)） 例13 函数1122+-=x x y 的值域 例14 求函数34252+-=x x y 的值域 例15 函数11++=x x y 的值域 三、求函数的解析式1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
2x2x 15例 1 求函数 y的定义域。
| x 3| 8解：要使函数有意义，则必须满足2x 2x 15 0① | x 3 | 8 0②由①解得 x 3或 x 5。
③由②解得x5或 x 11 ④ ③和④求交集得 x 3且 x 11或 x>5。
故所求函数的定义域为 {x | x 3且x 11} {x | x 5} 。
例 2 求函数1ysin x的定义域。
216 x解：要使函数有意义，则必须满足sin x0 ① 216 x② 由①解得 2kx2k ，kZ③ 由②解得 4 x 4 ④由③和④求公共部分，得4 x 或0 x 故函数的定义域为 ( 4， ] (0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知 f (x) 的定义域，求 f[g(x )] 的定义域。
（2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a ，b ］求 f [g(x)] 的定义域是解 a g(x) b ，即为所求的定义域。
2 例3 已知 f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f ( x 1)的定义域。
2 解：令 2 x 1 2 2 ，得 1 x 32，即 0x3，因此 0 | x |3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是 { x | 3 x 3} 。
（2）已知 f [g( x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a ， b ］，求 f(x) 定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求 f(x) 的定义域。
例 4 已知 f (2x 1) 的定义域为［1，2］，求 f(x) 的定义域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数定义域、值域求法总结一。
求函数得定义域需要从这几个方面入手:(１)分母不为零(2)偶次根式得被开方数非负。
(３)对数中得真数部分大于0。
(４)指数、对数得底数大于0,且不等于1(5)y=tanｘ中x≠ｋπ＋π／2;ｙ=cotｘ中x≠kπ等等。
( 6 )中ｘ二、值域就是函数y=ｆ(x)中y得取值范围。
常用得求值域得方法: (1)直接法(２)图象法(数形结合)(3)函数单调性法 (4)配方法(５)换元法 (包括三角换元)(６)反函数法(逆求法)(7)分离常数法 (8)判别式法(9)复合函数法 (1０)不等式法(11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。
定义域得求法1、直接定义域问题例1 求下列函数得定义域:①;②;③解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义,而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、②∵3ｘ+2〈0,即x<－时,根式无意义,而,即时,根式才有意义,∴这个函数得定义域就是｛｜｝.③∵当,即且时,根式与分式同时有意义,∴这个函数得定义域就是｛|且｝另解:要使函数有意义,必须:例2 求下列函数得定义域:①②③④⑤解:①要使函数有意义,必须: 即:∴函数得定义域为: [］②要使函数有意义,必须:∴定义域为:{ x｜｝③要使函数有意义,必须: ⇒∴函数得定义域为:④要使函数有意义,必须:∴定义域为:⑤要使函数有意义,必须:即 x< 或 x〉∴定义域为:２定义域得逆向问题例３若函数得定义域就是Ｒ,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题)解:∵定义域就是R,∴∴练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围;3复合函数定义域得求法例4 若函数得定义域为［-１,1],求函数得定义域解:要使函数有意义,必须:∴函数得定义域为:例5 已知f(x)得定义域为［—1,1],求f(2x—１)得定义域。
分析:法则f要求自变量在［-１,1]内取值,则法则作用在2x－1上必也要求2x-1在［－1,1］内取值,即－１≤2x-1≤１,解出ｘ得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2ｘ－1)中2x－１与f(ｘ)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤２x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。
(注意:f(x)中得x与f(2x-1)中得x不就是同一个x,即它们意义不同。
)解:∵ｆ(ｘ)得定义域为［—1,1］,∴—1≤２x－1≤1,解之0≤x≤1,∴f(2x－1)得定义域为[0,１］。
例6已知已知ｆ(x)得定义域为[－1,1],求f(ｘ２)得定义域。
答案:—１≤x2≤1 x２≤1－１≤ｘ≤1练习:设得定义域就是[-3,］,求函数得定义域解:要使函数有意义,必须: 得:∵≥0 ∴∴函数得定域义为:例7 已知f(2x－1)得定义域为［0,１］,求f(x)得定义域因为2x-1就是R上得单调递增函数,因此由2x-１, x∈［0,1］求得得值域［-1,1］就是f(ｘ)得定义域、练习:1已知f(3ｘ－１)得定义域为[—1,２),求f(2ｘ+１)得定义域。
)(提示:定义域就是自变量ｘ得取值范围)2已知ｆ(ｘ2)得定义域为［－１,１］,求f(x)得定义域3 若得定义域就是,则函数得定义域就是 ( )A 、 ﻩB ﻩﻩC 、Ｄ、 ４ 已知函数得定义域为Ａ,函数得定义域为Ｂ,则( )Ａ.ﻩＢ。
ＢC.Ｄ.求值域问题利用常见函数得值域来求(直接法)一次函数y=a ｘ+b(a0)得定义域为R,值域为Ｒ;反比例函数得定义域为｛x ｜ｘ0｝,值域为｛y|ｙ0}; 二次函数得定义域为Ｒ,当a 〉0时,值域为｛};当ａ〈０时,值域为｛｝. 例1 求下列函数得值域① y=3ｘ+2(－1ｘ１) ② ③ (记住图像) 解:①∵—1x1,∴-3３x3,∴-13ｘ+25,即-１ｙ５,∴值域就是［－１,5］ ②略③ 当x>０,∴=, 当x 〈0时,＝-∴值域就是[2,＋)。
(此法也称为配方法) 函数得图像为:二次函数在区间上得值域(最值):例2 求下列函数得最大值、最小值与值域:①; ②; ③; ④;解:∵,∴顶点为(２,-３),顶点横坐标为2. ①∵抛物线得开口向上,函数得定义域R,∴x=2时,y ｍi ｎ=－3 ,无最大值;函数得值域就是｛ｙ｜y －3 }. ②∵顶点横坐标２［3,4］, 当x ＝3时,y= -2;x=4时,y=1;∴在［３,4］上,=—2,=1;值域为[—2,１］、 ③∵顶点横坐标2 [0,１],当x=0时,y=1;x=1时,y ＝-2, ∴在[０,1]上,＝－2,=1;值域为［－2,1］.④∵顶点横坐标2 ［0,5］,当x＝0时,y=1;ｘ=2时,y＝－3, x=５时,y=6,∴在［０,１］上,＝—３,=6;值域为［—3,6].注:对于二次函数,⑴若定义域为R时,①当ａ〉０时,则当时,其最小值;②当a〈0时,则当时,其最大值;⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0就是否属于区间［ａ,b]。
①若[ａ,ｂ],则就是函数得最小值(ａ〉0)时或最大值(a＜0)时,再比较得大小决定函数得最大(小)值。
②若［a,b],则［a,ｂ］就是在得单调区间内,只需比较得大小即可决定函数得最大(小)值、注:①若给定区间不就是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标就是字母时,则应根据其对应区间特别就是区间两端点得位置关系进行讨论. 练习:1、求函数y=3+得值域解:由算术平方根得性质,知≥０,故3+≥3。
∴函数得值域为、2、求函数得值域解:对称轴1 单调性法例3 求函数ｙ=４x—(x≤1/３)得值域。
设f(x)＝4x,g(ｘ)= －,(x≤１／3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)＋ｇ(x)=4x—在定义域为x≤１／３上也为增函数,而且y≤f(1/３)+g(１/3)=4／3,因此,所求得函数值域为｛y|ｙ≤４/3｝、小结:利用单调性求函数得值域,就是在函数给定得区间上,或求出函数隐含得区间,结合函数得增减性,求出其函数在区间端点得函数值,进而可确定函数得值域。
练习:求函数y=3+得值域、(答案:｛y|y≥3})2换元法例4 求函数得值域解:设,则点评:将无理函数或二次型得函数转化为二次函数,通过求出二次函数得最值,从而确定出原函数得值域、这种解题得方法体现换元、化归得思想方法。
它得应用十分广泛。
练习:求函数y=得值域、(答案:｛y｜y≤—3/4｝求得值域;例5 (三角换元法)求函数得值域解:设小结:(1)若题目中含有,则可设(2)若题目中含有则可设,其中(３)若题目中含有,则可设,其中(4)若题目中含有,则可设,其中 (5)若题目中含有,则可设其中 3 平方法例５ (选)求函数 得值域 解:函数定义域为:[][][][]2,24,21,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y4 分离常数法例６ 求函数 得值域由 ,可得值域小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量得要求)内,值域为;如果就是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域、练习求函数 得值域 求函数 得值域求函数 y =得值域;(y ∈(-１,1)) 例7 求 得值域 解法一:(图象法)可化为 如图,观察得值域 解法二:(不等式法)4114)1(134)1()3(13--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 练习:得值域例8 求函数 得值域解:(换元法)设 ,则 原函数可化为[][]8,2,13,121,22值域为时对称轴∴=∴∉=+-=y t t t t y 例9求函数 得值域 解:(换元法)令,则由指数函数得单调性知,原函数得值域为 例10 求函数 得值域 解:(图象法)如图,值域为 (换元法)设 ,则例１３ 函数 得值域解法一:(逆求法)解法二:(换元法)设 ,则解法三:(判别式法)原函数可化为21） 时 不成立 2） 时,综合1)、2)值域解法四:(三角换元法)设,则()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 122-∈∴-∈-=+--=θππθθθθ y 原函数得值域为 例14 求函数得值域解法一:(判别式法)化为1)时,不成立2)时,得综合1)、2)值域解法二:(复合函数法)令,则所以,值域例1５ 函数得值域解法一:(判别式法)原式可化为解法二:(不等式法)１)当时, 2） 时,综合1)2)知,原函数值域为 例１6 (选) 求函数得值域解法一:(判别式法)原式可化为解法二:(不等式法)原函数可化为当且仅当时取等号,故值域为例17 (选) 求函数得值域解:(换元法)令 ,则原函数可化为。
、。
小结:已知分式函数 ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果就是条件定义域,用判别式法求出得值域要注意取舍,或者可以化为(选)得形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数得最大最小值;如果不满足用基本不等式得条件,转化为利用函数得单调性去解。
练习:1 、;解:∵ｘ０,,∴ｙ11、另外,此题利用基本不等式解更简捷:(或利用对勾函数图像法) ２ 、 0〈y5.3 、求函数得值域①; ②解:①令0,则,原式可化为,∵u0,∴y,∴函数得值域就是(－,]。
②解:令t=４x-０得０x4在此区间内(4x-)＝4,(4ｘ-) =0∴函数得值域就是{ｙ｜０y２}4、求函数y=｜x+1|＋｜x-2｜得值域.解法１:将函数化为分段函数形式:,画出它得图象(下图),由图象可知,函数得值域就是｛y｜y３｝.解法2:∵函数y=｜ｘ＋1｜+｜ｘ－２|表示数轴上得动点ｘ到两定点—1,2得距离之与,∴易见y得最小值就是３,∴函数得值域就是[3,+］。
如图5、求函数得值域解:设则ｔ0 ｘ=1-代入得∵t0 ∴ｙ４6、(选)求函数得值域方法一:去分母得(y-１)+(y+5)x-6y-6＝0 ①当y≠１时∵x∈Ｒ∴△=(y+5)+４(y-1)×6(y＋1)0由此得(5y+1)０检验(有一个根时需验证)时(代入①求根)∵2∉定义域｛x｜x≠2且x≠3｝∴再检验y=１代入①求得ｘ=2 ∴ｙ≠１综上所述,函数得值域为｛y｜y≠１且ｙ≠}方法二:把已知函数化为函数(x≠2)由此可得y≠1,∵x=2时即∴函数得值域为{ y｜y≠1且y≠｝。