华师大版八年级数学上册第14章勾股定理PPT教学课件
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最新华师版八年级数学上第14章《勾股定理》小结与复习ppt公开课优质课件
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B=90°．
方法总结 勾股定理及其逆定理均体现了数形结合思想 . 勾股定理是 由图形的特征（三角形中有一个角是直角）得到数量之间的关 系（三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2+b2=c2 ） ; 勾股定理的逆定
理由数量之间的关系（a2+b2=c2）得到图形的特征（以a，b，c
第14章 勾股定理
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
1．勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别 为a、b，斜边为c ，那么一定有 a2＋b2＝c2 . 勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， .a 2 c a 2 b2 , a c 2 b2 , b c 2 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a、 b(且a＞b)，那么，当第三边c是斜边时，c＝_________ a 2 b2 ； a 2 b2 . 当a是斜边时，第三边c＝_________ [注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要 分清直角边和斜边．
解：①在 Rt△ABC1 中， 2 2 2 2 2 AC2 1 ＝AB ＋ BC 1＝4 ＋ 3 ＝5 ， ∴AC1 ＝ 25. ②在 Rt△ACC1 中， 2 2 2 2 AC2 1 ＝ AC ＋ CC 1＝6 ＋1 ＝37， ∴AC1 ＝ 37. ③在 Rt△AB1 C1 中， 2 2 2 2 AC2 1 ＝ AB 1＋ B1 C1 ＝5 ＋2 ＝29， ∴AC1 ＝ 29. ∵25＜29＜37， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长是 5.
1 ∴4× 2ab＋(b－a)2＝c2，
华东师大版八年级上册14.反证法课件(共23张)
王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了
怎样的推理方法？
王戎的推理方法是:
假设李子不苦 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李.
生活实例: 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中，小华要告知妈妈的命题是什么？
课后作业
1、已知：一个整数的平方能被2整除.
求证：这个数是偶数.
2、已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
3、已知x＞0，y＞0，x+y＞2.
求证：1+x y
，1+y x
中至少有一个小于2.
4、求证： 2 是无理数.
5、求证：在三角形的内角中，至少有一个角大于 或等于60º. 6、证明：等腰三角形的两底角必定是锐角. 7、证明：两直线平行，同旁内角互补. 8、如图，已知AB∥CD，
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
强调 用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。
P
a
证明： 假设c与b不相交，
则c∥b.
b c
∵ a∥b，
∴ a∥c，
这与“c、a相交于点P”矛盾， ∴ 假设不成立，故c与b相交.
变式练习
怎样的推理方法？
王戎的推理方法是:
假设李子不苦 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李.
生活实例: 妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中，小华要告知妈妈的命题是什么？
课后作业
1、已知：一个整数的平方能被2整除.
求证：这个数是偶数.
2、已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根.
3、已知x＞0，y＞0，x+y＞2.
求证：1+x y
，1+y x
中至少有一个小于2.
4、求证： 2 是无理数.
5、求证：在三角形的内角中，至少有一个角大于 或等于60º. 6、证明：等腰三角形的两底角必定是锐角. 7、证明：两直线平行，同旁内角互补. 8、如图，已知AB∥CD，
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
强调 用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说 明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断 定推出的结果是错误的。
P
a
证明： 假设c与b不相交，
则c∥b.
b c
∵ a∥b，
∴ a∥c，
这与“c、a相交于点P”矛盾， ∴ 假设不成立，故c与b相交.
变式练习
1勾股定理(第3课时)PPT课件(华师大版)
讲授新课
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°， 那么a2+b2=c2”是一个真命题. 思考：在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°， 那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设， 再用反证法写出推理 过程.
讲授新课
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两 个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经 过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
讲授新课
练一练
1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
讲授新课
典例精析
【例1】求证：两条直线相交只有一个交点。 已知：如图两条相交直线a、b。 求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有
两个交点A和A’。
a
● A，
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’
●
A
的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛
盾,假设不成立。
b
所以两条直线相交只有一个交点。
数学（华东师大版）
八年级 上册
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理 第3课时 反证法
学习目标
1、了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能 够运用反证法来证明一些问题； 2、理解并体会反证法的思想内涵； 3、通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念；
温故知新
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2时，
华师大版八年级数学上册第十四章勾股定理PPT教学课件全套
解： 在 Rt△ABC 中， 斜边不确定， 这就需要分情况讨论： 若 AB 是斜边，则 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289，从 而 AB＝17； 若 AB 不是斜边，由 AC＞BC，知 AC 为斜边，此时 AC2 ＝AB2＋BC2，即 AB2＝AC2－BC2＝152－82＝161，从而 AB ＝ 161. 综上所述，AB 边的长为 17 或 161.
图 14－1－3
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
重难互动探究
探究问题一 理解勾股定理 (1)求出如图 14－1－4 所示直角三角形中未知边的长度； (2)在直角三角形 ABC 中， ∠C ＝ 90°， BC ＝ 12， AC ＝ 9，求 AB 的长； (3)已知：图 14－1－5 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 A 的面积是多少？ (4)已知：图 14－1－6 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 B 的边长是多少？
图 14－1－4
图 14－1－5
图 14－1－6
14.1.1
探索直角三角形三边的关系
解：(1)如图 14－1－4，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝15， BC＝8.由勾股定理， 得 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289， ∴ AB＝17. (2)∵∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9 ，∴ AB2＝BC2 ＋AC2＝122＋92＝225, ∴AB＝15. (3) 由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方 形的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 A 的面积是 37＋63＝100. (4)由勾股定理可知： 直角三角形的两条直角边上的正方形 的面积和等于斜边上的正方形的面积， 故可以求得正方形 B 的 面积是 100－36＝64，所以边长是 8.
华师大版初中八年级数学上册第14章《勾股定理》PPT课件
D
A
B
图1
CD
13
C
5
4
12
A3 B
图2
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
例4 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于
1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条 边所对的角是直角？请说明理由
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
课堂小结
认识勾 股定理
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2
利用勾股定理进行计算
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理 第2课时
学习目标
情境引入
1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）
A 2 E 2 D △FCB均为直角三角形. 1 F 由勾股定理，知
4
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
3 BF2=32+42=25，
B
4
C ∴BE2+EF2=BF2. ∴ △BEF是直角三角形.
课堂小结
一定是直 角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形的 三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么 这个三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）
有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆
1勾股定理(第2课时)教学PPT课件(华师大版)
C. a 1， 2a，a 1
D. a 1， 2a，a 1
当堂检测
5.若三角形ABC的三a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断
△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2.
“直角三角形”为条件，数量关系a2+ b2= c2 数量关系a2+ b2= c2为条件，“直角三角形”
为结论. 是直角三角形的性质.
为结论. 是直角三角形的判定.
联系
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
讲授新课
典例精析
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指
∴△ABC直角三角形.
当堂检测
6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经
验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判
断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250 海里; 在△ABC中AC2-AB2=2502-2402 =4900=702 =BC2 即AB2+BC2=AC2 ∴△ABC是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
华师大版八年级上册数学课件(第14章 勾股定理)
试一试
观察图14. 1. 2,如果每一小方格表示1平 方厘米， 那么可以得到： 正方形P的面积= 平方厘米；
知1－导
正方形Q的面积=
正方形R的面积=
平方厘米；
平方厘米.
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是 . 由此，我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关 系
是
.
知1－导
做一做
画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直角三角形， 然后用刻度尺量 出斜边的长，并验证上述关系对这个直角 三角形是否成立.
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
第 1 课时
直角三角形三边的关系 --- 认识勾股定理
1
课堂讲解 课时流程
逐点 导讲练
勾股定理 勾股定理与面积的关系
2
课堂 小结
作业 提升
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM-
2002)吗?在这次大 会上，到处可以看到一个简洁优美、
远看像旋转的纸风车的图案，它就是大 会的会标. 会标采用了 1700多年前中国古代数学家赵爽用来证 明勾股定理的弦图.
2
，S2＝π•
π•
AB 1 2 2
2
BC 1 2 2
2
，S3＝
，另外由勾股定理可知AC2＋BC2
＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直
角三角形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知 两个小半圆形的面积和＝大半圆形的面积，所
∴由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，解得b＝ 5.
知1－讲
例3 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第 三边的长．
错解：第三边的长为
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底部12 m处.旗杆原来有多高?
9 m
12 m
解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m，根据勾股 定理，得
92 122 x 2
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
课堂小结
如果直角三角形两直角边长 分别为a，b，斜边长为 c ， 那么a2+b2=c2 认识勾 股定理
利用勾股定理进行计算
讲授新课
做一做
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，
你能否根据这一图形，证明勾股定理.
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ;
b a b
a
也可以表示为
c2 +4•ab/2
.
c c
a
c c
b
b a
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
八年级数学上（HS） 教学课件
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
1.直角三角形三边的关系
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
法．（重点）
情境引入
1.掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方 2.通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理，经历 观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合
是否等于斜边的平方呢?
试一试
A
Q
C
R
B
P的面 Q的面 R的面 积(单 积(单 积(单 位长度) 位长度) 位长度)
图2 图3
A
9 9
16 4
25 13
Pபைடு நூலகம்
R P
B
Q
C
P、Q、 R面积 关系
直角三 角形三 边关系
SP+SQ=SR BC2+AC2=AB2 BC2+AC2=AB2
(每一小方格表示1平方厘米)
Q
P
R
R Q P
把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积.
Q P
R
S正方形R
1 7 4 3 4 2
2
R Q P
25
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
做一做
分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直
角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这
A
R
P
C Q B
（3）正方形R的面积是
2
平方厘米.
（图中每一格代表一平方厘米）
上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 AC2+BC2=AB2
想一想
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平 方和等于斜边的平方 那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和
5.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶
上方4 km处，过了15 s，飞机距离这个男孩头顶5 km.这一
过程中飞机飞过的距离是多少千米？ 解：在Rt△ABC中， C B
BC2 =52 -42 =9， BC>0 BC=3(km)
4 4
答：飞机飞过的距离是3km.
A
6.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆
八年级数学上（HS） 教学课件
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
2.直角三角形的判定
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标 情境引入
1.了解直角三角形的判定条件．（重点）
2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）
导入新课
问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角? 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角： 他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个 工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住 第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处. 你想知道这是什么道理吗?
c
C
∟
b
A
赵爽弦图
c a b
b-a
证明： S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4· S三角形＋S小正方形
1 即 c =4× ab+(b-a)2, 2 c2=2ab+a2-2ab+b2 所以 a2+b2=c2
2
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002 年在北京召开的国际数学大会的会徽.
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结 合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
练一练
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：
100 225
x
17 15
?
已知直角三角形两边，求第三边.
当堂练习
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为
64 cm² .
15 cm
* (12) (11) (2) * * * (10) (3) * (9) * * (4) * * * * (7) * (8) (5) (6)
(1) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)
(13)
* * * * * * * * * * * * *
的数学思想．（难点）
导入新课 问题情境
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高
3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基
的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
讲授新课
直角三角形三边的关系
观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 （2）正方形Q的面积是 1 1 平方厘米； 平方厘米；
17 cm
2.判断题
①△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 (
②△ABC的a=6,b=8,则c=10 ( 3.填空题
)
)
在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC面积为_____, 24 4.8 斜边为上的高为 ______. A D
C
B
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图), 这时梯脚与墙的距离是多少? A 解：在Rt△ABC中，根据勾 股定理，得： BC2=AB2-AC2 =2.52-2.42 =0.49， C B 所以BC=0.7.
个直角三角形是否成立.
A 13 5
C
12
B
归 纳
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如
果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2（勾股定理）. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. B a