第1部分 第二章 2.2 2.2.1&2.2.2 直线与平面、平面与平面平行的判定
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高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.1第1课时对数aa高一数学
①log28＝3；②log
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1 2
14＝2；③logaa2＝2(a>0，且
a≠1)；④log3217＝－3.
第八页，共二十七页。
[解析] (1)①3＝log 1 18；②－2＝log319；③3＝log464；④x＝log 1 3.
2
3
(2)①23＝8；②122＝14；③a2＝a2(a>0，且 a≠1)；④3－3＝217.
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∴x＝3.即 log327＝3.………………12 分 [点评] 无理式的运算是易错点要多加练习.
第二十一页，共二十七页。
1．已知
log2x＝3，则
x
1 2
等于(
1
1
A.3
B.2 3
1 C.3 3
D．
2 4
解析：由 log2x＝3 得 x＝23，
∴x ＝(2 ) 1
12/12/20221
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第十七页，共二十七页。
指数与对数互化的本质： 指数式 ab＝N(a>0，且 a≠1)与对数式 b＝logaN(a>0，a≠1，N>0)之间是一种等价 关系．已知对数式可以转化成指数式，指数式同样可以转化成对数式．
12/12/2021
第十八页，共二十七页。
3．求下列各式的值：
(1)log4(3x－1)＝1； (2)logx4＝2；
(3)log(
2－1)
1 3＋2
＝x. 2
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第十九页，共二十七页。
解析：(1)由 log4(3x－1)＝1，得 3x－1＝4， ∴x＝53.
(2)由 logx4＝2，得 x2＝4，∴x＝2(x＝－2 舍去)．
第二章 2.2 2.2.1 第2课时 对数的运算
log27
=
−
1 2
×
4
−
1 2
log23
+
3 2
+
1 2
log23
=
−2
+
3 2
=
−对数的运算
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
2 49 3
(2)2log32-log3
32 9
+
log38
−
5lo
g53.
解:(1)(方法一)原式 = 1 (5lg 2-2lg 7)− 4 × 3 lg 2+ 1 (2lg 7+lg 5)
2
32
2
=
5 2
lg
2-lg
7-2lg
2+lg
7+
1 2
lg
5
= 1 lg 2+ 1 lg 5= 1 (lg 2+lg 5)
=
lo g18 (5×9) lo g18 (2×18)
=
log185 + log189 log182 + log1818
=
1
������ +
+ ������ log18 2
������ + ������
������ + ������ ������ + ������
学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2对数函数2.2.1第2课时对数运算课件新人教A版必修.ppt
3．logaMn＝ nlogaM
(n∈R)．
二、对数换底公式 logab＝llooggccba(a>0，且 a≠1，b>0，c>0，且 c≠1)； 特别地：logab·logba＝ 1 (a>0，且 a≠1，b>0，且 b≠1)．
[双基自测]
1．lg 8＋3lg 5 的值为( )
A．－3
B．－1
第 2 课时 对数运算
考纲定位
重难突破
1.掌握对数的运算性质． 重点：对数的运算性质．
2．能熟练运用对数的运算性质进行化 难点：换底公式的应用.
简求值.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、对数的运算性质
如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么： 1．loga(M·N)＝ logaM＋logaN . 2．logaMN＝logaM－logaN .
b＝log510＝lg15，
∴1a＋1b＝lg 2＋lg 5＝1. 答案：1
4．计算下列各式的值．
(1)12lg3429－lg 4＋lg 245；
(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
解析：(1)原式＝lg472－lg 4＋lg7
5＝lg4
2×7 7×4
5＝lg(
2×
忽略对数的限制条件导致错误
[典例] 若 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求xy的值． [错解] 因为 lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)， 所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即 x2－xy－2y2＝0，
八年级地理上册第一、二章基本知识识记要点
第一章从世界看中国第一节疆域1.1.1、描述我国地理位置的特征。
答：从半球位置来看，我国位于东半球和北半球；从纬度位置来看，我国大部分位于中纬度，少量位于低纬，所以大部分属于温带，少量属于热带，没有寒带，光热条件好；从海陆位置来看，我国位于亚欧大陆的东部，太平洋的西岸，是个海陆兼备的国家；从相对位置来看，我国疆界线漫长，邻国众多。
1.1.2、说出我国的四至点。
答：最北到53°N 多，位于漠河北面的黑龙江主航道的中心线；最南到4°N，位于南海的曾母暗沙；最东到135°E,位于黑龙江和乌苏里江主航道中心线的汇合处；最西到63°E,位于新疆西部的帕米尔高原。
1.1.3、说出我国三大岛屿、三大半岛和最大的群岛。
答：三大岛屿分别是：台湾岛、海南岛、崇明岛；三大半岛分别是：辽东半岛、山东半岛和雷州半岛；舟山群岛是我国最大的群岛。
1.1.4、说出我国四大边缘海、主要海峡。
答：四大边缘海自北向南依次是渤海、黄海、东海和南海；主要海峡有：台湾海峡和琼州海峡。
1.1.5、分别说出我国的国土面积，管辖的海域面积，陆疆线和海岸线的长度。
答：我国国土面积为960 万平方千米，世界第三；管辖的海域面积300 万平方千米；陆疆线长达22000 千米、海岸线长18000 千米。
1.1.6、试评价我国地理位置的优越性。
答：从纬度位置来看，大部分位于中纬，少量位于低纬，所以大部分属于温带，少量属于热带，光热条件好；从海陆位置来看，我国是个海陆兼备的国家，1、有利于夏季风从海洋带来湿润的气流，形成降水；2、既可以通过海洋运输与世界各国进行经济文化交流，也可以通过陆路运输与其他国家交往；3、海岸线漫长，有利于发展海洋事业。
从相对位置来看，邻国众多，有利于发展边境贸易。
1.1.7、说出我国的邻国。
答：我国的陆上邻国有：朝鲜、俄罗斯、蒙古、哈萨克斯坦、吉尔吉斯斯坦、塔吉克斯坦、阿富汗、巴基斯坦、印度、尼泊尔、不丹、缅甸、老挝、越南。
【精编】人教A版高中数学必修三课件第1部分第二章2.22.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件-精心整
答案：B
6．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如 下的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数． (2)这50名学生的平均成绩．
解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的 数．在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为75. 将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线 所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴前三个小矩形面积的和为0.3.
(2)中位数： 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最位中置间的 那个数称为这组数据的中位数．在频率分布直方图中，中 位数左边和右边的直方图的面积． 相等 ①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排 列的那中个间数． ②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两 个数的．平均数
(3)平均数：
管理 高级
人员 经理
工人 学徒 合计
人员 技工
周工资 2 200 250 220 200 100 2 970
(元)
人数 1
6 5 10 1 23
合计 2 200 1 500 1 100 2 000 100 6 900
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数． (2)这个问题中，平均数能客观地反映该公司的工资水平 吗？为什么？ [思路点拨] 由平均数的定义 → 计算平均数 → 已知数据从小到大排列 → 得中位数、平均数 → 结论
如果有 n 个数 x1、x2、…、xn，
那么 x ＝
1 n
(x1＋x2＋…＋xn) ，叫做这
n
个数的平均
数．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的 面积 乘以小矩形底边中点横坐标之和.
6．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如 下的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这50名学生成绩的众数与中位数． (2)这50名学生的平均成绩．
解：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的 数．在直方图中最高的矩形底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为75. 将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线 所对应的成绩即为所求． ∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， ∴前三个小矩形面积的和为0.3.
(2)中位数： 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最位中置间的 那个数称为这组数据的中位数．在频率分布直方图中，中 位数左边和右边的直方图的面积． 相等 ①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排 列的那中个间数． ②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两 个数的．平均数
(3)平均数：
管理 高级
人员 经理
工人 学徒 合计
人员 技工
周工资 2 200 250 220 200 100 2 970
(元)
人数 1
6 5 10 1 23
合计 2 200 1 500 1 100 2 000 100 6 900
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数． (2)这个问题中，平均数能客观地反映该公司的工资水平 吗？为什么？ [思路点拨] 由平均数的定义 → 计算平均数 → 已知数据从小到大排列 → 得中位数、平均数 → 结论
如果有 n 个数 x1、x2、…、xn，
那么 x ＝
1 n
(x1＋x2＋…＋xn) ，叫做这
n
个数的平均
数．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的 面积 乘以小矩形底边中点横坐标之和.
高中数学第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程课件新人教A版选择性必修第一册
错解分析：错误的根本原因是误认为b是边长或是距离，只能取正 值，混淆截距的概念，没有真正理解截距的定义实质．
正解：由题意，设直线的方程为y＝3x＋b． 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－3b． 由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6， 故12×|b|×－3b＝6，解得b＝±6． 所以直线的方程为y＝3x＋6或y＝3x－6．
(4)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式，点斜式的形式不 唯一，而斜截式的形式是唯一的．
(5)直线的斜截式方程与一次函数解析式的区别和联系 ①斜截式方程中，k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b 不是一次函数． ②一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程．
()
(2)y 轴所在直线的方程为 y＝0．
()
(3)过点(1,1)的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来． ( ) 【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)点(x0，y0)不满足yx－－yx00＝k，所以yx－ －yx00＝k 不能表示过点(x0， y0)斜率为 k 的直线．
(2)y 轴所在直线方程为 x＝0． (3)过点(1,1)且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来．
由斜截式方程可得直线l的方程为y＝－2x－2．
【例题迁移1】 (变换条件)若将本例中“直线l与l1平行”改为“直 线l与l1垂直”，其他条件不变，又如何求解？
解：由斜截式方程知直线 l1 的斜率 k1＝－2． 又因为 l⊥l1，所以 l 的斜率 k＝－k11＝21． 由题意知 l2 在 y 轴上的截距为－2， 所以 l 在 y 轴上的截距 b＝－2． 由斜截式方程可得直线 l 的方程为 y＝12x－2．
【预习自测】
1．一条直线的方程为y＝－2x－3，则该直线在y轴上的截距等于 ________．
第1部分 第2章 2.2 2.2.2 向量的减法
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5．将本例中条件变为“BA＝a，BC ＝b，CA＝c”， 作向量 a＋b－c，并求其模．
解：如图：a＋b＝ BA＋BC ＝BD， ∴a＋b－c＝ BD－CA . 作 BE ＝CA，所以 a＋b－c＝ ED， 且| ED|＝|a＋b－c|＝2.
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[例 3] 如图，平行四边形 ABCD 中， OA＝a，OB＝b，OC ＝c，试用 a，b， c 表示向量OD. [思路点拨] 寻找图中已知向量与所要表示的向量之间 的关系，然后利用向量的加法或减法来解决． [精解详析] 如图所示，因为OA＝a，OB＝b，OC ＝c， 又 BC ＝OC －OB＝c－b， AD＝OD－OA＝OD－a， 又 BC ＝ AD，所以 c－b＝OD－a，则OD＝a－b＋c.
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[例 2] 如图所示，已知正方形 ABCD 的边长等于 1，AB＝ a， BC ＝b， AC ＝c，试作向量 a－b＋c，并求出它的模．
[思路点拨] 可先作a－b，再与c求和．
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[精解详析] 延长 AB 至 F，使| AB|＝| BF |， 连结 CF，由于 BF ＝ AB＝a，
∴CF ＝a－b. a－b＋c＝CF ＋ AC ＝ AC ＋CF ＝ AF . 则 AF 即为所求，如图所示． 且| AF |＝2| AB|＝2.
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法二：( AB－CD)－( AC －BD) ＝( AB－ AC )＋(BD－CD) ＝CB＋( DC － DB) ＝CB＋ BC ＝0. 法三：在平面上取一点 O，则 AB＝OB－OA， ( AB－CD)－( AC －BD) ＝(OB－OA)－(OD－OC )－(OC －OA)＋(OD－OB) ＝OB－OA－OD＋OC －OC ＋OA＋OD－OB＝0.
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6. 如图，四边形 ABCD 中， AB＝a， AD＝b，BC ＝c，则 DC ＝________(用 a，b，c 表示)． 解析： DC ＝ DA＋ AB＋BC ＝－b＋a＋c＝a－b＋c. 答案：a－b＋c
5．将本例中条件变为“BA＝a，BC ＝b，CA＝c”， 作向量 a＋b－c，并求其模．
解：如图：a＋b＝ BA＋BC ＝BD， ∴a＋b－c＝ BD－CA . 作 BE ＝CA，所以 a＋b－c＝ ED， 且| ED|＝|a＋b－c|＝2.
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[例 3] 如图，平行四边形 ABCD 中， OA＝a，OB＝b，OC ＝c，试用 a，b， c 表示向量OD. [思路点拨] 寻找图中已知向量与所要表示的向量之间 的关系，然后利用向量的加法或减法来解决． [精解详析] 如图所示，因为OA＝a，OB＝b，OC ＝c， 又 BC ＝OC －OB＝c－b， AD＝OD－OA＝OD－a， 又 BC ＝ AD，所以 c－b＝OD－a，则OD＝a－b＋c.
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[例 2] 如图所示，已知正方形 ABCD 的边长等于 1，AB＝ a， BC ＝b， AC ＝c，试作向量 a－b＋c，并求出它的模．
[思路点拨] 可先作a－b，再与c求和．
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[精解详析] 延长 AB 至 F，使| AB|＝| BF |， 连结 CF，由于 BF ＝ AB＝a，
∴CF ＝a－b. a－b＋c＝CF ＋ AC ＝ AC ＋CF ＝ AF . 则 AF 即为所求，如图所示． 且| AF |＝2| AB|＝2.
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法二：( AB－CD)－( AC －BD) ＝( AB－ AC )＋(BD－CD) ＝CB＋( DC － DB) ＝CB＋ BC ＝0. 法三：在平面上取一点 O，则 AB＝OB－OA， ( AB－CD)－( AC －BD) ＝(OB－OA)－(OD－OC )－(OC －OA)＋(OD－OB) ＝OB－OA－OD＋OC －OC ＋OA＋OD－OB＝0.
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6. 如图，四边形 ABCD 中， AB＝a， AD＝b，BC ＝c，则 DC ＝________(用 a，b，c 表示)． 解析： DC ＝ DA＋ AB＋BC ＝－b＋a＋c＝a－b＋c. 答案：a－b＋c
第二章 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程
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规律方法总结
随堂即时巩固
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基础知识梳理
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程
(2)∵椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点为(0， x2 y2 ± 5)，则可设所求椭圆方程为 ＋ m m＋5 ＝1(m＞0)． 又椭圆经过点(2，－3)， 4 9 则有 ＋ ＝1. m m＋5 解得 m＝10 或 m＝－2(舍去)． x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 10 15
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程
考点三
利用椭圆定义求方程
先根据几何知识找出动点所满足的几何 关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后再确 定出椭圆的标准方程，这种求轨迹方程的方法 称为定义法．
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程
【解析】 若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋ |PB|＝2a(a＞0，且a为常数)， 所以命题甲是命题乙的必要条件． 若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，且a为常数)，不能推出P 点的轨迹是椭圆． 这是因为：仅当2a＞|AB|时，P点的轨迹是椭圆； 而当2a＝|AB|时，P点的轨迹是线段AB； 当2a＜|AB|时，P点无轨迹． 所以命题甲不是命题乙的充分条件． 综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件． 【答案】 B
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第 二 章 2．椭圆的标准方程 圆 锥 曲 线 与 方 程 焦点在x轴上 标准方程
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证明：连接B1D1.∵P，N为中点，
∴PN∥B1D1.又∵B1D1∥BD， ∴PN∥BD.又∵PN不在平面 A1BD内，∴PN∥平面A1BD.同理， 连接B1C，可证MN∥平面 A1BD.∵PN∩MN＝N，∴平面 PMN∥平面A1BD.
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6. 如图所示，B为△ACD所在平面外
一点，且BA＝BC＝BD，M、N、
△BCD的重心．求证：PQ∥平面ACD.
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证明：如图，取BC的中点E， ∵P是△ABC的重心，连接AE， 则AE必过点P， 且AE∶PE＝3∶1，
连接DE，
∵Q是△BCD的重心，
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则 DE 必过点 Q，且 DE∶QE＝3∶1， AE DE 3 ∴ PE＝QE＝1， ∴PQ∥AD. 又∵PQ⊄平面 ACD，AD⊂平面 ACD， 根据线面平行的判定定理得，PQ∥平面 ACD.
G分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心． 求证：平面MNG∥平面ACD.
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证明：如图连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、 CD于P、F、H.
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∵M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心， BM BN BG 则有 MP＝NF＝GH＝2，连接 PF、FH、PH，有 MN∥ PF.又 PF⊂平面 ACD，MN⊄平面 ACD， ∴MN∥平面 ACD，同理 MG∥平面 ACD， MG∩MN＝M， ∴平面 MNG∥平面 ACD.
条相交直线 与 另
一个平面平行， 则 这两个平面平行
a∥α b∥α
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1．直线与平面平行的判定定理在使用时要注 意线在面外，这一条件易被忽视． 2．平面与平面平行的判定定理中的平行于一 个平面内的“两条相交直线”是必不可少的． 3．面面平行的判定定理充分体现了等价转化
思想，即把面面平行转化为线面平行．
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1．利用直线与平面平行判定定理来证明线面平行， 关键是寻找面内与已知直线平行的直线，常利用平行 四边形、三角形中位线、平行公理等． 2．常见的面面平行的判定方法
(1)利用定义：两个平面没有公共点．
(2)归纳为线面平行． ①平面α内的所有直线(任一直线)都平行于β，则 α∥β； 返回
②判定定理：平面 α 内的两条相交直线 a、b 都平行于 β， a⊂α b⊂α a∩b＝P⇒α∥β，五个条件缺一不可． a∥β b∥β 应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a、b.
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[一点通]
利用判定定理证明线面平行，关键是
在平面内找一条直线与已知直线平行，由于两条直线 首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面 与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行， 就可用线面平行的判定定理推出结论，这个证明线面 平行的步骤可概括为过直线，作平面，得交线，若线 线平行，则线面平行．
即可． 返回
[精解详析]
(1)连接B1D1，
∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，
∴EF∥B1D1 而BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E、F、B、D四点共面． (2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. (4分) (5分) (2分)
又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB. (7分)
图形
文字 平面外一条直线 与 此平面内一直
符号
线平行 ，则该直
线与此平面平行
a⊄α b⊂α⇒a∥α a∥b
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2011年10月16日，在日本举行的世界体操锦标赛 上，中国男子体操队在男团夺冠后，队长陈一冰在吊 环比赛中获得冠军，这是他第四次获得世锦赛吊环冠
军．吊环项目对运动员双臂力量要求很高，所有动作
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[一点通]
两个平面平行的判定定理是确定面面
平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理 所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平 行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．
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5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N， P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面 MNP∥平面A1BD.
2．已知m、n表示两条直线，α、β、γ表示平面，有下列 命题： ①若α∩γ＝m，β∩γ＝n且m∥n，则α∥β； ②若m、n相交，且都在α、β外，m∥α，m∥β，n∥α，
n∥β，则α∥β；
③若m∥α，m∥β，则α∥β； ④若m∥α，n∥β且m∥n，则α∥β. 其中的真命题是________． 返回
解析：借助三棱柱模型，可知①不正确；②符合面
平面，则这两个平面平行．
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[思路点拨]
定定理入手分析．
可由线面、面面平行的定义及判
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[精解详析]
①错，应为一平面内两相交直线与另
一平面平行；②当两平面相交时，一面内也有无数条直 线均与另一平面平行，②也不对；③中任意直线都与另 一平面平行，也有两相交直线与另一平面平行，故③为 真；④为两平面平行的判定定理，故④也为真．
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[例3]
(12分)如图，在正方体ABCD
—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别
是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：(1)E、F、B、D四点共面； (2)平面MAN∥平面EFDB. [思路点拨] 解答本题第(1)问，只需证BD∥EF即
可．第(2)问，只需证MN∥平面EFDB，AM∥平面EFDB
面平行的判定定理，③④中α与β可能相交．
答案：②
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[例2]
如图，P是▱ABCD所在平面外
一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：
AF∥行，可先在平面内找到一
条直线，证明它与已知直线平行．本题根据中点首先联想
到中位线，即找到PC中点G，可得▱AEGF，故问题得证．
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[精解详析]
设 PC 的中点为 G，连接 EG，FG.
1 ∵F 为 PD 的中点，∴GF∥CD 且 GF＝2CD. ∵AB∥CD，AB＝CD，E 为 AB 的中点， ∴GF∥AE，GF＝AE， ∴四边形 AEGF 为平行四边形，∴EG∥AF. 又∵AF⊄平面 PEC， EG⊂平面 PEC， ∴AF∥平面 PEC.
知识点一
理解教材新知
知识点二
2.2
第 二 章
考点一
2.2. 1& 2.2. 2
把握热点考向
考点二 考点三
应用创新演练
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门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边 转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，
它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边
所在平面(墙面)存在不变的位置关系．
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(3)化归为线线平行：平面α内的两条相交直线与
平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(证明后
可用) (4)利用平行平面的传递性：两个平面同时和第 三个平面平行，则这两个平面平行．
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均由双臂支撑完成．“水平十字”是吊环的标志性动 作，要求运动员在双臂支撑下，在空中将身体舒展， 所形成的平面与地面平行，且身体躯干与双臂要形成 返回
“十字”形，且需静止两秒以上．在比赛中，裁判
只要观察运动员双臂、躯干是否与地面平行，即可 判断该动作是否标准．
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问题1：上述问题中给出了判断两面是平行的一种怎
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问题1：上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？
提示：平行．
问题2：若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出 一种方法吗？ 提示：可以，只需在面内找一条与面外直线平行的直 线即可． 问题3：若一直线与平面内的直线平行，一定有直线与 平面平行吗？
提示：不一定，要强调线在面外．
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表示 定理 直线与平 面平行的 判定定理
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3．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的 中点，求证：BD1∥平面AEC.
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证明：连接BD交AC于点O，连接
EO.∵O为矩形ABCD对角线的交点， ∴DO＝OB.又∵E为DD1的中点， ∴BD1∥EO.∵BD1⊄平面AEC， EO⊂平面AEC，∴BD1∥平面AEC.
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4．已知空间四边形ABCD，P、Q分别是△ABC和
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连接DF，MF.∵M、F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.
∴MF∥AD，MF＝AD. ∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF. 又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE， ∴AM∥平面BDFE. (11分) (9分)
又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB. (12分)
[答案]
③④
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[一点通]
判断或理解两个平面平行或线面平行
时，一是注意每个定理成立的条件．如面面平行中强
调在一个面内两相交线，线面平行中强调线在面外．
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1．能保证直线a与平面α平行的条件是 A．b⊂α，a∥b
(
)
B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b 解析：由线面平行的判定定理可知，D正确． 答案：D 返回
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[例1]
下列命题真命题序号为________．
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，
则这两个平面平行； ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行， 则这两个平面平行； ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面， 则这两个平面平行； ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个
样的方法？ 提示：在一个平面内找两条相交线，分别平行于另 一个平面即可． 问题2：若一个平面内有两条甚至无数条直线平行于
另一个平面，那么这两个平面平行吗？
提示：不一定，也可能相交．
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表示 位置 平面与平 面平行的 判定定理