高中数学易错题汇编

f 1(b) a f (a) b 。
【练】（1）（99 全国高考题）已知 f (x) ex ex ，则如下结论正确的是（） 2
A、 f x 是奇函数且为增函数
B、 f x 是奇函数且为减函数
C、 f x 是偶函数且为增函数
答案：A
D、 f x 是偶函数且为减函数
5
（2）（2005 天津卷）设 f 1 x 是函数 f x 1 ax ax a 1 的反函数，则使 f 1 x 1 成立的 x 的 2
【例】已知函数
在区间
上的最大值是 2，求实数 a 的值.
答案：
.
【例】已知函数 f (x) a(cos2 x sin x cos x) b .
（1）求函数 f (x) 的对称轴方程和对称中心坐标； （2）当 x [0, ] 时， f (x) 的值域是[3, 4], 求 a, b 的值.
2
答案：（1）
1 x
1 sin x cos x
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数 【易错点 6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
例.函数 f
x
2x2
log2 2x1
x
1 或x 2
1 2
的反函数为
f
1
x
，证明 f 1
x
是奇函数且在其定
义域上是增函数。
常见错误：当集合用特征性质描述法表示时，把代表元素看错；忽视空集；忽略集合中元素的互异性； 集合运算出错。 【易错点 1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
例1、 设 A x | x2 8x 15 0 ， B x | ax 1 0 ，若 A B B ，求实数 a 组成的集
合的子集有多少个？
x
1 x
2 x
2 x
【易错点分析】解答本题时易由 y g x 与 y f 1 x 1 互为反函数，而认为 y f 1 x 1 的
反函数是
y
f
x 1 则
y
gx =
f
x 1 =
1 2 x 1 1 x 1
3 2x x
而错选 A。
解析：由
f
x
1 2x 1 x
得
f
1 x
1 x
从而
2 x
f
x
在
,
b a
b a
,
上为增函数，在
0,
b a
b a
,
0
上为减函数,在叙
述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”.
【练】（1）（潍坊市统考题）f x ax 1 x a 0 （1）用单调性的定义判断函数 f x 在 0,
ax
上的单调性。（2）设 f x 在 0 x 1的最小值为 g a ，求 y g a 的解析式。
子集共有 23 8 个。
【练】已知集合 A x | x2 4x 0 、 B x | x2 2a 1 x a2 1 0 ，若 B A，则
实数 a 的取值范围是
。答案： a 1 或 a 1。
【例】已知集合
，若
，则实数 m 的值为
.
答案：0，1 或-1
【例】设集合
集合
，则
.
答案：
y
f
1
x
1
1
2
x 1 1
2x 1 x
再求
y f 1 x 1 的反函数得 g x 2 x 。正确答案：B
1 x
【知识点分类点拔】函数 y f 1 x 1 与函数 y f x 1 并不互为反函数，他只是表示 f 1 x
中 x 用 x-1 替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设 y f x 1 则 f 1 y x 1，
【思维分析】可求 f 1 x 的表达式，再证明。若注意到 f 1 x 与 f x 具有相同的单调性和奇偶性，
只需研究原函数 f x 的单调性和奇偶性即可。
2 x 1
2 x1
2 x1
解析： f x log22x1 log22x1 log22x1 f x ，故 f x 为奇函数从而 f 1 x 为
答案：（1）函数在
1 a
,
为增函数在
0,
1 a
为减函数。（2）
y
g
a
2 a
1 a
a
0 a
1 1
（2）（2001 天津）设 a 0 且 f
x
ex a
a ex
为 R 上的偶函数（。1）求 a 的值（2）试判断函数在
高中数学易错易混易忘题分类汇编
“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何 解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学 生在考试中常见的 66 个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、 难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在， 另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风 破浪，实现自已的理想报负。 一、集合部分
例、试判断函数 f x ax b a 0,b 0 的单调性并给出证明。
x
【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义
x1 D, x2 D f x1 f x2 f x1 f x2 中的 x1, x2 的任意性。以及函数的单调区间必是
例. f
x
a2x 1 1 2x
是R
上的奇函数，（1）求 a
的值（2）求的反函数
f
1
x
【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
解析：（1）利用 f x f x 0 （或 f 0 0）求得 a=1.
（2）由 a
1即
f
x
2x 2x
1 1
，设
y
f
x ,则 2x
（2）应用 f 1(b) a f (a) b 可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和
函数值要互换。
【练】（2004 全国理）函数 f x x 1 1 x 1 的反函数是（）
A、 y x2 2x 2 x 1 B、 y x2 2x 2 x 1
C、 y x2 2x x 1 D、 y x2 2x x 1
,
0
上分别为减函数.
【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应 引起足够重视。
（2）单调性的定义等价于如下形式： f x 在a,b 上是增函数 f x1 f x2 0 ， f x 在
x1 x2
f a,b 上是减函数
函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。
解析：由于 f x f x 即函数 f x 为奇函数，因此只需判断函数 f x 在 0, 上的单调性
即 可 。 设 x1 x2 0
，
f
x1
f
x2
x1
x2
ax1x2 b x1x2
由 于 x1 x2 0
故当
x1, x2
b a
例、已知 x 2 2 y2 1,求 x2 y2 的取值范围
4 28
[1, ]
3
2
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 x 2 2 y2 1对 x、y 的限制，
4
显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1， 2 y 2 。此外本题还可通过三角换元
；（2）
.
【 例 】 已 知 函 数 f (x) 1 x3 a2x2 ax b ， 当 x 1 时 函 数 f (x) 的 极 值 为 7 ， 则
3
12
f (2)
．
5
答案：
3
【例】过点
与曲线 S：
相切的切线的方程为
.
答案：
答案：
.
【易错点 2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
（2）函数 f x 具有奇偶性，则 f x f x或 f x f x 是对定义域内 x 的恒等式。常
常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练】判断下列函数的奇偶性：
① f x 4 x2 x2 4 ② f x x 1 1 x ③ f x 1 sin x cos x
答案：B 【易错点 4】求反函数与反函数值错位
例、已知函数 f x 1 2x ，函数 y g x 的图像与 y f 1 x 1 的图象关于直线 y x 对
1 x
称，则 y g x 的解析式为（）
3
A、 g x 3 2x B、 g x 2 x C、 g x 1 x D、 g x 3
变式 1：设集合
集合
，则
.
答案：
变式 2：设集合
为
.
答案：4
变式 3：设集合
集合
，则
的子集个数
集合
，则
.
答案：
二、基本初等函数与导数 常见错误：对函数定义域关注不够；对函数性质掌握不准,特别是函数的局部性质.
【例】函数
的单调减区间是（ ）
1
答案：A 变式：已知函数
答案：
在
上单调递增，那么 a 的取值范围是 .
,
时
f
x1
f
x2
0 ，此时函数
f
x
在
b a
,
上增函数，同理可证
函数 f
x 在 0,
b a
上为
减函
数。又由
于函数
为奇函
数，故函
数在
b a