江西省南昌八中二十三中十三中2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题 含解析

2018-2019学年江西省南昌八中、二十三中、十三中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.以下命题中真命题的序号是（ ）①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥； ④当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆． A. ①④ B. ②③④C. ①②③D. ①②③④【答案】A 【解析】 【分析】利用棱柱，棱锥和球的有关概念对命题进行判断即可.【详解】①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱，只有平行于底面的平面截棱柱分成的两部分一定是棱柱，正确.②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故不正确；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体不一定是棱锥，由三棱锥的定义可知：其余各面都是共有同一个顶点的三角形的多面体，故不正确；④当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆，正确． 综上可得：只有①④正确． 故选：A ．【点睛】本题考查棱柱，棱锥的定义、球的性质，属于基础题.2.水平放置的ABC △的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为AB 的长为（ ）B. C. 2 D. 8【解析】 【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ． 【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =， 所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选：B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半.3.如果直线a ∥直线b ，且a ∥平面α，那么b 与a 的位置关系是（ ） A. 相交B. b a ∥C. b a ⊂D. b a ∥或b a ⊂【答案】D 【解析】试题分析：如果，则或，故选D ．考点：空间中线面的位置关系．4.设α、β是两个平面，a 、b 是两条直线，下列推理正确的是（ ）A. a b a b αα⎫⇒⎬⎭B. a a a b b αβαβ⊂⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭C. a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭D. a b a b αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭【答案】B 【解析】根据空间线面位置关系的定义，判定定理和性质进行判断． 【详解】对于A ，若a α⊂，结论错误， 对于B ，根据线面平行的性质定理可知B 正确；对于C ，由α，β平行可知a ，b 没有公共点，故a ，b 平行或异面，故C 错误； 对于D ，若α，β相交，a ，b 均与交线平行，显然结论不成立，故D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查线线，线面，面面位置关系的判定及性质，属于基础题.5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积和为（ ）A. 2+B. 42C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】首先将三视图还原几何体，然后利用几何体的表面积公式可得到结果． 【详解】由几何体的三视图可知该几何体为：此四棱锥的三个侧面都为直角三角形．故11122222222S =⨯⨯++⨯⨯4=+故选：B ．【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图,考查空间想象能力，属于中档题.6.在长方体1111ABCD A B C D -中，O 是DB 的中点，直线1A C 交平面1C BD 于点M ，则下列结论正确的是（ ） ①1C 、M 、O 三点共线； ②1C 、M 、A 、C 四点共面； ③1C 、O 、1B 、B 四点共面； ④1D 、D 、O 、M 四点共面．A. ①②③B. ①②③④C. ①②D. ③④【答案】C 【解析】 【分析】根据公理3和异面直线的判定定理可得结果．【详解】∵O AC ∈，AC ⊂平面1ACC A ，∴O ∈平面11ACC A ， ∵O BD ∈，BD ⊂平面1C BD ，∴O ∈平面1C BD ， ∴O 是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点；同理可得，点M 和1C 都是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点，根据公理3可得1C 、B ，D 在平面11ACC A 和平面1C BD 的交线上，因此①正确． ∵11AA BB ，11BB CC ，∴11AA CC ∥,1AA ，1CC 确定一个平面，又1M A C ∈，1AC ⊂平面11ACC A ，∴M ∈平面11ACC A ，故②正确． 根据异面直线的判定定理可得1BB 与1C O 为异面直线， 故1C 、O 、1B 、B 四点不共面，故③不正确． 根据异面直线的判定定理可得1DD 与MO 为异面直线， 故1D 、D 、O 、M 四点不共面，故④不正确．故选：C ．【点睛】本题考查点共线，点共面的判断，考查异面直线判定定理的应用，属于基础题.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正弦值为（ ）【答案】B 【解析】 【分析】首先求出BE ，AE ，由CD AB ，得BAE ∠是异面直线AE 与CD 所成角（或所成角的补角），利用余弦定理可得答案．【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， ∵E 为棱1CC 的中点，∴BE ==3AE ===，∵CDAB ，∴BAE ∠是异面直线AE 与CD 所成角（或所成角的补角），2224952cos 22233AB AE BE BAE AB AE +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，∴sin BAE ∠==．∴异面直线AE 与CD 故选：B ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角.8.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A. B. 4C. 223+D. 443+【答案】D 【解析】 【分析】由三视图还原几何体可知该四棱锥为正四棱锥，底面ABCD 为边长为2的正方形，由几何体的表面积公式计算即可得到答案．【详解】由三视图可知该几何体为为正四棱锥：底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．故12242242S =⨯+⨯⨯⨯=+ 故选：D ．【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查几何体的表面积的计算方法，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.9.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则点1A 到平面11AB D 的距离是（ ） A.23B.43C.169D.49【答案】A 【解析】 【分析】计算11AB D ∆的面积，根据111111A AB D A A B D V V --=可得点1A 到平面11AB D 的距离．【详解】11AB D ∆中，11AB AD =，11B D =∴11AB D ∆的边11B D 2=， ∴11AB D 13232222S ∆==， 设1A 到平面11AB D 的距离为h ，则11113322A AB D hV h -=⋅⋅=， 又111111111113A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅111112323=⨯⨯⨯⨯=，∴123h =，解得23h =．故选：A ．【点睛】本题涉及点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，也可以根据等积法把点到平面的距离归结为一个容易求得的几何体的体积.10.一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 24B. 48C. 72D. 96【答案】B 【解析】如图长方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是,''AB C D 中点，该几何体是此长方体被 面'A ECF 所截左边的部分，其体积为长方体体积的一半，即1644482V =⨯⨯⨯=，故选B ．11.已知ABC △的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A. 22π B. 743πC. 24πD. 36π【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC △的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．【详解】在ABC △中，∵2AB =，4AC =，BC =AB AC ⊥， 则斜边BC 的中点O '就是ABC △的外接圆的圆心， ∵三棱锥O ABC -的体积为43， 11424323OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，R == 球O 的表面积为2424R ππ=． 故选：C ．【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.12.如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP AC ⊥；②//EP BD ；③//EP 面SBD ；④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为（ ）A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④【答案】A 【解析】连接,A C B D 相交于点O ,连接,E M E N .在①中,由正四棱锥S A B C D -,可得SO ⊥底面,,.,A B C D A CB DS O A C S O B D O A C ⊥∴⊥⋂=∴⊥面SBD .,,E M N 分别是,,BC CD SC 的中点,//,//,,EM BD MN SD EM MN N ∴⋂=∴平面//EMN 平面,SBD AC ∴⊥平面,EMN AC EP ∴⊥,故①正确;在②中,由异面直线的定义可知,EP 和BD 是异面直线,不可能//EP BD ,因此不正确;在③中,由①可知,平面EMN //平面SBD ,//EP ∴平面SBD ,因此正确;在④中, 由①同理可得,EM ⊥平面SAC ,若EP ⊥平面SAC ,则//EP EM ,与EP EM E ⋂=相矛盾,因此当P 与M 不重合时,EP 与平面SAC 不垂直,即不正确.故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为_____cm ．【答案】13 【解析】试题分析：正三棱柱111ABC A B C -的一个侧面11AA BB , 由于三个侧面均相等，沿着三棱柱的侧面绕行两周可以看成六个侧面并排成一平面，所以对角线的长度就是最短路线，求得最短距离2212513d =+=cm 。