重庆南开中学高一 下 数学
2024届重庆市南开中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试题含解析
2024届重庆市南开中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．432．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 16进制 0123456789ABCDEF10进制12345678910 11 12 13 14 15现在，将十进制整数2019化成16进制数为（ ） A ．7E 3B ．7F 3C ．8E 3D ．8F 33．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有21I I >D ．对任意的点P ，有31I I >4．已知向量()a ab ⊥+，2b a =，则a ，b 的夹角为（ ） A ．23π B ．34π C ．56π D ．π5．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F ，若1AD =，2AB =，3BD =，则AF BD ⋅=( )A ．32B ．1-C ．33D ．23-6．已知函数f （x ）2233x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC =3CD ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO =x AB +(1-x)AC ，则x 的取值范围是 ( ) A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．102⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．103⎛⎫- ⎪⎝⎭， 8．圆被轴所截得的弦长为（ ） A ．1B ．C ．2D ．39．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标．下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二 季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015年第二季度与 2015 年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A ．2015年第三季度环比有所提高 B ．2016年第一季度同比有所提高 C ．2017年第三季度同比有所提高D ．2018年第一季度环比有所提高10．在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，77a =，则4a =( ) A ．4B ．4-C ．5D ．5-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
重庆南开中学高一数学下期末综合复习试题
重庆南开中学高一数学下期末综合复习试题部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑重庆南开中学高一下期末数学试卷<考试时间：120分钟满分150分）一、选择题：<本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）b5E2RGbCAP1. 下列说法中正确的是<）.(A>若∥，则与方向相同(B>若||＜||，则＜(C>起点不同，但方向相同且模相等的两个向量相等(D>所有的单位向量都相等2. 已知sin+cos=,且，则tan=( >.(A> (B> (C> (D>3. 若为平行四边形的中心，，，则等于<）.(A> (B> (C> (D>4. =<）.(A> (B>(C> (D>5. 已知的周期为1，最大值与最小值的差是3，且函数的图象过点，则函数表达式为<）.<A）<B）<C）<D）6. 把函数的图象经过变化而得到的图象，这个变化是( >.<A）向左平移个单位<B）向右平移个单位<C）向左平移个单位<D）向右平移个单位7. (>=( >.(A>cos (B>-cos (C> sin (D>cos8. 若，且，则可以是<）.<A）|sin| <B）cos<C）sin2<D）sin||9. 已知|cos|=cos,|tan|=-tan,则的取值范围是( >.<A）<B）<C）<D）10. 下列各函数中，最小正周期是的函数是<）.(A> (B> (C> (D>11、△ABC中,||=5,||=8,·=20,则||为< ）p1EanqFDPwA. 6B. 7C. 8D. 912．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是< ）DXDiTa9E3dA. B. C.D.二、填空题<本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．方程x2－2ax＋a＋=0，有二实根α、β，则<α－1）2＋<β－1）2的最小值为。
重庆知名中学2024年高一下学期3月月考数学答案
重庆南开中学校高2026级数学测试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，1sin 4B =，则b =（ ）A.B.12C. 2D. 【答案】B 【解析】【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件，求得结果. 【详解】根据正弦定理可得sin sin a bA B=， 即11124b=，解得12b =， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用正弦定理解三角形，属于基础题目. 2.已知向量1(2BA =,1),2BC则∠ABC = A. 30 B. 45C. 60D. 120【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意，得cos BA BC ABC BA BC⋅∠==，所以30ABC ∠=°，故选A ．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为||||cos a b a b θ⋅＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ≤≤ ；（2）由向量的数量积的性质知|a ，，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．△3. 下列各式中不能．．化简为PQ的是（ ） A. ()AB PA BQ ++B. PA AB BQ +−C. QC QP CQ −+D. ()()AB PC BA QC ++−【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.【详解】对于A ：()AB PA BQ PA AB BQ PQ ++=++=，故A 不合题意；对于B ：PA AB BQ PB BQ +−=−，故B 满足题意；对于C ：QC QP CQ QC CQ PQ PQ +++=−=，故C 不合题意；对于D ：()()AB PC BA QC BA AB PC CQ PQ ++−=+++=，故D 不合题意.故选：B4. 已知单位向量a ，b满足0a b ⋅= ，若向量c =+ ，则sin ,a c ＝（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】计算出a c ⋅ ，及c ，从而利用向量余弦夹角公式计算得到cos ,a c = ，再利用同角三角函数平方关系求出sin ,a c.【详解】因为a ，b是单位向量，所以1ab == ，又因为0a b ⋅= ，c =，所以3c = ，)2a c ab ⋅=⋅+=⋅=，所以cos ,a c a c a c⋅==⋅因为[],0,πa c ∈，所以sin ,a c 故选：B ．5. 若平面向量a ，b满足2a b a b ==⋅= ，则对于任意实数λ，()1a b λλ+− 的最小值是（ ）A.B.C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】设向量,a b夹角为θ，设()a b + 与(1)a b λλ+− 的夹角为γ，利用1cos2ab a b θ==和()(1)46a b a b a b λλ +⋅+−=+⋅= ，得到(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+−=，进而得到()1+−λλa b 的最小值【详解】由题意得，设向量,a b夹角为θ，则1cos2ab a b θ==， ()(1)46a b a b a b λλ +⋅+−=+⋅= ，设()a b + 与(1)a b λλ+−的夹角为γ， ∴(1)cos 6a b a b λλγ+⋅+−= ，222212a b a b a b +=++⋅=，∴(1)cos a b λλγ+− ，0,2πγ∈，(1)a b λλ+−≥ 故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于利用1cos2ab a b θ==， 得到()(1)46a b a b a b λλ +⋅+−=+⋅=，关键点在于根据()a b + 与(1)a b λλ+−的夹角γ，得出()1+−λλa b 的最小值，难度属于中档题6. 如图，在平行四边形ABCD 中，12DE EC =，F 为BC 的中点，G 为EF 上的一点，且79AG AB mAD =+ ，则实数m 的值为A.23B.13C. 13−D. 23−【答案】A 【解析】 【分析】可根据条件得出11,32DE AB BF AD ==，并可设(1)AG AE AF λλ=+−，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出21(1)()322AG AB AD λλ=−++ ，从而根据平面向量基本定理即可得出27139122m λλ −= =+，解出m 即可． 【详解】解：12DE EC =，F 为BC 的中点， 1,3DE AB =∴ 12BF AD = ，设(1)AG AE AF λλ=+−()(1)()AD DE AB BF λλ++−+ 11(1)32AD AB AB AD λλ ++−+211322AB AD λλ =−++，又79AG AB mAD =+ ，27139122m λλ −= ∴ =+，解得23m =.故选：A.【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题．7. ABC ∆所在平面内一点P 满足22sin cos CP CA CB θθ=⋅+⋅ ，若2PA BP =，则cos 2θ=（ ）A.B. C.13D. 13−【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，用,CA CB 作为基底表示出CP.即可求得22sin ,cos θθ，由余弦二倍角公式即可求得cos 2θ.【详解】ABC ∆所在平面内一点P ，2PA BP =所以CP CB BP =+13CB BA =+()13CB CA CB =+−2133CB CA +=因为22sin cos CP CA CB θθ=⋅+⋅所以2212sin ,cos 33θθ== 由余弦二倍角公式可得cos 2θ=22211cos sin 333θθ−=−= 故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，用基底表示向量形式，余弦二倍角公式的简单应用，属于基础题.8. 已知函数()22sin cos 4cos 1f x x x x =+−，若实数a 、b 、c 使得()()3af x bf x c −+=对任意的实数x 恒成立，则2cos a b c +−的值为（ ）A.12B.32C. 2D.52【答案】B 【解析】【分析】设()()21f x x ϕ=++，得到()()221f x c x c ϕ+=+++，根据题意转化为)()()()cos 2sin 2sin 2cos 230a b c x c x a b ϕϕ−+++−−=，由此得出方程组cos 20sin 2030a b c b c a b −== −−=①②③，分0b =和sin 20c =，两种情况讨论，即可求解. 【详解】设()()22sin cos 4cos 1sin 22cos 2121f x x x x x x x ϕ=+−=++=++，可得()()221f x c x c ϕ+=+++，其中02πϕ<<，且tan 2ϕ=，因为实数,,a b c 使得()()3af x bf x c −+=对任意的实数x 恒成立，()()sin 2sin 223x x c a b ϕϕ+−+++−=恒成立，()()()sin 2sin 2230x x c a b ϕϕ+−+++−−=恒成立，)()()()cos 2sin 2sin 2cos 230a b c x c x a b ϕϕ−+−++−−=由上式对任意x ∈R 恒成立，故必有cos 20sin 2030a b c b c a b −== −−=①②③， 若0b =，则由式①知0a =，显然不满足式③，所以0b ≠， 所以，由式②知sin 20c =，则cos 21c =±， 当cos 21c =时，则式①，③矛盾.所以cos 21c =−，由式①，③知32a b =−=，所以32cos 2a b c +−=. 故选：B.【点睛】知识方法：有关三角函数综合问题的求解策略：1、根据题意问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 已知a 、b 、c均为非零向量，下列命题错误的是（ ）A. R λ∃∈，()a b a b λ+=⋅B. ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 可能成立 C. 若a b b c ⋅=⋅，则a c =D. 若1a b ⋅=，则1a = 或1b =【答案】ACD 【解析】【分析】利用平面向量积的定义可判断A 选项；利用特例法可判断BCD 选项.【详解】()+a b λ 仍是向量，a b ⋅不是向量，A 错；不妨取()1,1a =，()2,2b = ，()3,3c = ，则()()()43,312,12a b c ⋅⋅== ，()()1212,12a b c a ⋅⋅==，此时()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，B 对；若()1,0b = ，()3,2a = ，()3,3c = ，则3a b b c ⋅=⋅= ，但a c ≠，C 错；若()2,1a = ，()1,1b=− ，则1a b ⋅=，但1a > ，1b > ，D 错.故选：ACD. 10. 若直线()00x ky k +=≠与函数()()()22112sin 21xx x f x −−=+图象交于不同的两点A ，B ，已知点()9,3C ，O 为坐标原点，点(),D m n 满足DA DB CD +=，则下列结论正确的是（ ）A. ()()11f x f x +=−−B. 3CO OD =C. 3n m =D. 80CA CB DA DB ⋅−⋅=【答案】CD 【解析】【分析】首先判断()f x 的奇偶性，即可判断A ，从而得到A 、B 两点关于原点对称，再根据平面向量的坐标运算求出m 、n ，即可判断B 、C ，设()00,A x y ()00x ≠，则()00,B x y −−，根据数量积的坐标运算判断D.【详解】对A ，因为()()()()22112sin 21cos 22121xxxxx x f x −−−==++定义域为R ，则()()()1121cos 22121x x x f x ++−++=+，()()()()()()111121cos 2221cos 22112121xx xx x x f x f x −−+−−+−−−−+−−==−=−+++，故A 错误；对B ，由()()110f x f x ++−−=，所以()()0f x f x +−=，所以()f x 为奇函数， 又直线()00x ky k +=≠与函数()f x 图象交于不同的两点A ，B ， 则A 、B 两点关于原点对称，且A 、B 的中点为坐标原点O ，所以()22,2DA DB DO m n +==−− ，又()9,3CD m n =−− ，DA DB CD += ， 所以2923m m n n −=− −=−，解得31m n ==，所以()3,1D ，则()3,1OD = ，又()9,3CO =−− ，所以3CO OD =−，故B 错误；对C ，又133n m ==，故C 正确；对D ，不妨设()00,A x y ()00x ≠，则()00,B x y −−，所以()009,3CA x y =−− ，()009,3CB x y =−−−− ， ()003,1DA x y =−− ，()03,1CB x y =−−−− ，所以CA CB DA DB ⋅−⋅ ()()()()()()()()0000000099333311x x y y x x y y −−−+−−−−−−−−−−−222200008199180x y x y =−+−−+−+=，故D 正确.故选：CD11. 已知()()20f x ax bx c a ++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题正确的是（ ）A. 方程()f f x x = 也一定没有实数根B. 若0a >，则不等式()f f x x > 对一切实数都成立C. 若a<0，则必存在实数0x ，使()00f f x x > 成立D. 若0a b c ++=，则不等式()f f x x < 对一切实数都成立 【答案】ABD【解析】【分析】依题意可得函数()f x 的图象与直线y x =没有交点，所以()(0)f x x a >>或()(0)f x x a <<恒成立，从而得到()()f f x f x x >> 或()()f f x f x x << 恒成立，然后再逐一判断即可得出答案. 【详解】因为方程()f x x =无实数根，即函数()f x 的图象与直线y x =没有交点， 所以()(0)f x x a >>或()(0)f x x a <<恒成立.因为()()f f x f x x >> 或()()f f x f x x << 恒成立， 所以()f f x x = 没有实数根，故A 正确；若0a >，则不等式()()f f x f x x >> 对一切实数x 都成立，故B 正确； 若a<0，则不等式()f f x x < 对一切实数x 都成立， 所以不存在实数0x ，使()00f f x x > ，故C 错误；若0a b c ++=，则()101f =< ，可得a<0 ，因此不等式()f f x x < 对一切实数都成立，故D 正确； 故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量a ，b 满足4a = ，()1,2b = ，a 与b 的夹角为π3，则a 在b 上的投影向量为_____（用坐标表示）．【答案】 【解析】【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量是)π1cos 41,232b a b ⋅⋅=⋅=，故答案为：. 13. 如图，在ABC 和AEF △中，B 是EF 的中点，2AB EF ==，3CACB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于______.【答案】13【解析】【分析】由题设得27AB AB AC BE AB C BF A +=+⋅+⋅⋅，由AC AB BC −=求AC AB ⋅ ，又()AB BE AB BF ⋅=⋅− ，即可得112EF BC ⋅=，进而求EF 与BC 的夹角的余弦值. 【详解】由图知： AE AB BE =+ ，AF AB BF =+，∴2()()7AB AE AC AF AB AB BE AB B AC A F BE AB B B A F B AC AC ⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅++++=⋅⋅，又2222()29AC AB AC AC AB AB BC −=−⋅+== ，且3CA =，2AB =， ∴2AC AB ⋅=，∴1AB A F C BE B =⋅+⋅，而()AB BE AB BF ⋅=⋅− ，即1()12BF AC AB EF BC ⋅−=⋅= ， 又2EF =，3CB =∴1cos ,3EF BC <>= .故答案为：13. 【点睛】关键点点睛：根据几何图形，结合向量加减法的几何应用及数量积的运算律，得到1()12BE BF BF AC AB AB A E C F BC =⋅−=⋅=⋅+⋅，进而求向量夹角余弦值.14. 已知平面向量1e ，2e ，3e ，p ，满足1231e e e === ，120e e ⋅= ，1p ≤ ，则()()12p e p e −⋅−+ ()()()()2331p e p e p e p e −⋅−+−⋅−的最大值为______.【答案】5+【解析】【分析】先将所求向量式转化变形，参变向量分离，再由变形向量式的几何意义判断最值状态，最后坐标运算求解最值.【详解】设()()()()()()122331M p e p e p e p e p e p e =−⋅−+−⋅−+−⋅−，则()()()()21223311231233M p e e p e e p e e p e e e e e e =−+⋅++⋅++⋅+ ⋅+⋅+⋅()()212312323132e e e e e p e e e p e ⋅+⋅+=−++⋅+⋅()()22123123123231333e e e e e e e e e e p e e ++ ++=−−+⋅+⋅+⋅()()23222212312311231231232333e e e e e e e e e e e e e e e e e e p ⋅+⋅++++ ++=−−+ ⋅⋅+⋅+⋅21213132323133e e e e e e e e e p ++=−+− ⋅+⋅+⋅设(,)OP p x y ==，120e e ⋅= ，不妨设11(1,0)OE e == ，22(0,1)OE e == ， 33(cos ,sin )OE e θθ== ，[0,2)θπ∈，1233e e e OG ++=，即G 为123E E E 的重心. 则221233e e e p PG ++−=， 点P 位于圆上或圆内，故当P 在射线GO 与圆周交点时，2PG 最大，即()21OG +最大时.()22123312(1cos ,1sin )sin cos 311311333e e e e M e OG e θθθθ⋅+ +++∴≤++−=++− +⋅ ⋅2sin cos 3113θθ+ =+−由sin cos θθ≤+≤23115M ≤−=+. 当且仅当4πθ=时，M取到最大值5+.故答案为：5+.【点睛】向量式的最值问题求解，要重视三个方面的分析：一是其本质上与函数的最值求解一致，变形时要搞清参变向量，从而把握变形方向；二是要重视向量本身数形兼具的特点，利用几何意义求解最值；三是坐标应用，向量坐标化将问题转化为函数最值问题求解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，在△OAB 中，G 为中线OM 上一点，且2OG GM =，过点G 的直线与边OA ，OB 分别交于点P ，Q .（1）用向量OA ，OB 表示OG；（2）设向量43OA OP = ，OB nOQ =，求n 的值.【答案】（1）1133OA OB +；（2）53【解析】【分析】（1）根据23OG OM = ，结合向量线性运算，再用OA ，OB表达OM 即可；（2）用OP ，OQ 表达OG ，结合,,P G Q 三点共线即可求得n .【小问1详解】∵G 中线OM 上一点，且2OG GM =，.的为∴()22213333OG OM OA AM OA AB ==×+=+()21113333OA OB OAOA OB =+×−=+； 小问2详解】∵43OA OP = ，OB nOQ = ，1133OG OA OB =+， ∴111443333393n n OG OA OB OP OQ OP OQ =+=×+=+，又G ，P ，Q 三点共线， ∴4193n +=，解得53n =，故n 的值为53. 16. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+.（1）求ACCB的值； （2）已知(1,cos )A x ，(1cos ,cos )B x x +，[,0]3x π∈−，若函数2()(2)3f x OA OC m AB =⋅−+最大值为3，求实数m 的值.【答案】（1）2；（2）12−. 【解析】【分析】(1) 化简得2BC CA =，即得AC CB的值；（2）先求出2()cos 2cos 1f x x m x =−+，再换元利用二次函数的图像和性质求实数m 的值.【详解】（1）由题意知，32OC OA OB =+ ，即2()OC OB OA OC −=−，所以2BC CA =，即2AC CB=. （2）易知(1,cos )OA x = ，(1cos ,cos )OB x x =+ ，(cos ,0)AB x =，则2(1cos ,cos )3OCx x =+ ，cos AB x = ， 所以2()cos 2cos 1f x x m x =−+， 令cos t x =，则2()21g t t mt =−+，1[,1]2t ∈，其对称轴方程是t m =. 当34m ≤时，()g t 的最大值为(1)1213g m =−+=，解得12m =−；【的当34m >时，()g t 的最大值为11()1324g m =−+=，解得74m =−（舍去）. 综上可知，实数m 的值为12−.【点睛】本题主要考查向量的线性运算和平面向量的数量积，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，60ABC ∠= ，E 是AD 的中点.（1）记BD m = ，BA n =且228m n −=，求m ，n 值；（2）记()12BC AD λλ=<< ，F 是线段CD 上一动点，且CD CF λ=，求22BE BF λ⋅− 的取值范围.【答案】（1）2n =，m =（2）15,2 −【解析】【分析】（1）由BD BA AD =+，将两边平方，结合数量积的运算律及定义得到方程，解得即可； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出数量积，再根据对勾函数的性质计算可得. 【小问1详解】依题意BD BA AD =+，所以()22222BD BA ADBA BA AD AD =+=+⋅+，即2222cos 60BD BA BA AD AD =+⋅°+ ，即2224m n n =++，又228m n −=，解得2n =，m =（负值舍去）； 【小问2详解】过点A 作AO BC ⊥，如图建立平面直角坐标系，因为()12BC AD λλ=<<，2AD =， 所以()1,0B λ−，()1,0C λ+，)()1A λ−，)()1E λ−，)()1D λ−，所以)()1BEλλ=−，)()11CD λλ=−−，()2,0BC λ=，因为CD CF λ=，所以1CF CD λ=所以()21122,0BF BC CF λλλλλλ −−+=+=+= ，所以2221222BE BF λλλλ⋅−+=−−()2313125λλλλλ−=−+=+−，令()32f x x x=+，()1,2x ∈， 设()12,1,2x x ∈且12x x <，则()()()121212121212233322x x f x f x x x x x x x x x −−=+−+=− ，当12,x x ∈ 时，12312x x <<，则12230x x −<，又120x x −<， 所以()()120f x f x −>；当12,2x x ∈时，12342x x <<，则12230x x −>，又120x x −<， 所以()()120f x f x −<；所以()f x在上单调递减，在上单调递增， 又()15f =，()1122f =，f =1152<<， 所以()112f x∈，所以31255,2λλ+−∈−，即22BE BF λ⋅−的取值范围为15,2 .18. 如图，A ､B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），且AOB θ∠=（θ为锐角）.点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M .（1）求OA AB ⋅（结果用θ表示）； （2）若60θ=①求CA CB ⋅的取值范围：②设(01)OM tOB t <<= ，记()COMBMA S f t S = ，求函数()f t 的值域. 【答案】（1）22sin 2OA AB θ⋅=− （2）①[]0,3；②()0,2 【解析】【分析】（1）根据数量积的定义以及几何意义结合图形分析运算； （2）①根据数量积结合三角函数运算求解；②结合图形分析可得⋅=⋅COMBMAS OM CMS MB AM，根据向量的相关知识运算整理，再结合函数单调性与最值，运算求解.【小问1详解】2()1cos 12sin 2OA AB OA OB OA OA OB θθ⋅=⋅−=⋅−=−=−【小问2详解】①()()2⋅=−⋅−=⋅−⋅−⋅+ CA CB OA OC OB OC OA OB OA OC OC OB OC .设BOC α∠=.由题意得2π0,3α∈，则2πc 1,=os cos ,3,12αα +⋅= ⋅⋅==OA OB OA OC OC OB OC所以3π31cos cos cos cos 2322ααααα⋅=−+−=−+−CA CB33313πcos sin .222226ααααα=−+=−−=+ 因为2π0,3α∈，则ππ5π,666α +∈所以πcos 6α+∈ ，则[]0,3CA CB ⋅∈ ；（2）设(01)AM AC λλ=<<，则()1OM OA AM OA AC OA OC tOB λλλ=+=+=−+=， 所以1t OC OB OA λλλ−=− ，由1OC = 得11t OB OA λλλ−−=， 即221121OA t t OB λλλλλλ−−+−×××⋅=，整理得212t t t λ−+=−， 所以22111CM t AM t t λλ−−==−+， 所以22221111COM BMA OM CM S t t t tS t t t t t MB AM⋅−+==×=−−+−+⋅. 即()()2222221(01),1111t t t t t f t t f t t t t t t t ++−=<<==+−+−+−+.()22421(11),11,311122aat a a g a a a a −=−<<=+=++++ −+令()12,1,1∀∈−a a ，令12<a a()()()()()()1212121222221212434411=,3333−− −=+−+ ++++a a a a a a g a g a a a a a ∵()()22121212330,0,30++>−<−>a a a a a a ，则()()120g a g a −<，即()()12g a g a <∴()2413=++ag a a 在()1,1−上单调递增，则()()0,2∈g a 所以函数()22(01)1t tf t t t t +=<<−+值域是()0,2.19. 如图所示，ABC 为等边三角形，AB =I 为ABC 的内心，点P 在以I 为圆心，1为半径的圆上运动.（1）求出()()()222PA PB PC ++ 的值.（2）求PA PB ⋅的范围.（3）若()0,,xPA yPB z C x y z P ∈++=R ，当x y最大时，求zx y +的值.【答案】（1）51 （2）[]11,3−− （3）35【解析】【分析】（1）以I 为原点，IA 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示，依题意点P 在圆221x y +=上，设()cos ,sin P θθ，即可表示PA ，PB，PC ，根据平面向量模的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得；（2）由（1）知π4sin 73PA PB θ⋅=−−−，根据正弦函数的性质计算可得；（3）根据平面向量线性运算的坐标表示得到cos 422sin x y z x y z θθ = −− = ++，再根据同角三角函数的基本关系，得到2225556660x y z xy xz yz ++−−−=，又0y ≠，两边同除2y ，令x m y =，zn y=，将原式化为()225665650n m n m m −++−+=，再根据0∆≥求出m 的取值范围，即可得解；【小问1详解】以I 为原点，IA 为y 轴建立平面直角坐标系如图所示． 由正弦定理得ABC 外接圆半径142R ==，则()0,4A，进而可得()2B −−，()2C −．因为点P 在以I 为圆心，1为半径的圆上运动，故设()cos ,sin P θθ，则()cos ,4sin PA θθ=−−，)cos ,2sin PB θθ=−−−，()cos ,2sin PCθθ=−−− ，所以()()()222PA PB PC ++()()()()()222222cos 4sin cos 2sin cos 2sin θθθθθθ+−++++++()223cos sin 4851θθ++=． 【小问2详解】由（1）知π2sin 74sin 73PA PB θθθ⋅−−=−−−，又因为[]πsin 1,13θ −∈−，所以π114sin 733θ−≤−−−≤−， 即[]11,3PA PB ⋅∈−−.【小问3详解】因为0xPA yPB zPC =++)()()()cos ,422sin z y x y z x y z x y z θθ−−++−−−++，所以cos 422sin x y z x y z θθ =−− = ++， 代入22sin cos 1θθ+=整理得2225556660x y z xy xz yz ++−−−=，(),,x y z ∈R ， 显然0y ≠，两边同时除以2y ，得222225556660x z x xz zy y y y y++−−−=， 令x m y =，zn y=，则225556660m n m mn n ++−−−=， 即()225665650n m n m m −++−+=， 所以()()22Δ66455650m m m =+−××−+≥，即2310m m −+≤，m ≤≤，所以x y （即m此时Δ0=，所以335m n +=， 所以335m z y +=，x my =，所以33355m yz x ymy y +==++. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，将问题转化为三角函数及不等式问题.。
重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期阶段测试数学试题
22．如图所示，在等腰直角VOAB 中， AOB π ,OA 2, M 为线段 AB 的中点，点 P,Q 2
分别在线段 AM , BM 上运动，且 POQ π ，设 AOP . 4
(1)设 PM f ，求 的取值范围及 f ；
(2)求△OPQ 面积的最小值.
试卷第 4 页，共 4 页
6
A． 7 8
B． 7 8
C． 15 16
D． 15 16
6．在等腰△
ABC
中，∠BAC＝120°，AD
平分∠BAC
且与
BC
相交于点
D，则向量
uuur BD
在
uuur BA
上的投影向量为（
）
A．
3
uuur BA
2
B．
3
uuur BA
4
C．
3
uuur BA
2
D．
3
uuur BA
4
7．在平面四边形 ABCD 中， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点.若 AB 2 ， CD 3 ，且
6
,
4
B．
4
,
6
C．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
,
6
D．
0,
4
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．
uuur AB
uuuur AM
uuuur BM
B．零向量与任意向量共线
C．互为相反向量的两个向量的模相等
D．若向量
r a
，
r b
满足
ar
r 1， b
4 ，则 3
ar
r b
5
10．已知△ ABC 的重心为 O，边 AB，BC，CA 的中点分别为 D，E，F，则（ ）
2023-2024学年重庆市南开中学高一(下)段考数学试卷(3)(含答案)
2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）段考数学试卷（3）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z =3−2i ，则z 的实部与虚部的和为( )A. −1B. 1C. 5D. −52.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos2A >cos2B ”是“a <b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知向量a ，b 满足a ⋅b =10，且b =(4,−3)，则a 在b 上的投影向量为( )A. (8,−6)B. (−8,6)C. (−85,65)D. (85,−65)4.在复平面内，复数z =|3+4i|7−i 对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.碧津塔是著名景点，某同学为了测量碧津塔ED 的高，他在山下A 处测得塔尖D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进24.4米到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为60°，塔底点E 的仰角为30°，那么碧津塔高约为( 3≈1.7, 2≈1.4)( )A. 37.54B. 38.23C. 39.53D. 40.526.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ba +c +ca +b ≥1，则角A 的取值范围是( )A. (0,π6]B. [π6,π2)C. (0,π3]D. [π3,π)7.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：e ix =cosx +isinx ，其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是( )A. e πi =1B. |e π2i −e θi |(θ∈R)的最大值为2C. 复数e π4i在复平面内对应的点位于第二象限D. 若z 1=e π3i ，z 2=e θi在复平面内分别对应点Z 1，Z 2，则△OZ 1Z 2面积的最大值为328.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosB b +cosC c =23sinA 3sinC，cosB +3sinB =2，则a +c 的取值范围是( )A. (32, 3]B. (32,3]C. [32, 3]D. [32,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题一、单选题 1．已知复数52iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2 C ．i - D ．i【答案】A【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解. 【详解】()()()()52i 52i 52i 2i 2i 2i 5z --====-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：A.2．若向量a ，b 满足||2a =，||2b =，2a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B ．2C ．23D ．4【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值. 【详解】由题意可得()22222222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+=.故选：B.3．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解． 【详解】解：根据祖暅原理，①由12S S ，得到12V V =，∴必要性成立，②由12V V =，则1S ，2S 不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，∴充分性不成立，12V V ∴=是12S S 的必要不充分条件，故选：B ．4．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a =，AC b =，则AE =（ ）A ．1132a b +B ．1142a b +C ．1152a b +D ．1162a b +【答案】D【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】解：由题意得：11111112223262AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+， 故选：D.5．现将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 46x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】()sin 2f x x =向右平移6π个单位长度得sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：sin()3y x π=-，所以()sin()3g x x π=-故答案为：A6． ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，则 ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】C【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得222sin sin sin +<B C A ，进而得到2220-+<c a b ，再利用余弦定理判断.【详解】解：因为在 ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，所以()2222cos 12cos 12sin --->C A B ，化简得222sin sin sin +<B C A ， 即2220-+<c a b ，所以222cos 02-=+<a c b A bc， 因为,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 ABC 的形状为钝角三角形，故选：C7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是( )A ．1723,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．75,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据0>ω，[]0,2x π∈，得,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图像，确定23ππω-的位置范围即可求出ω的范围﹒【详解】∵0>ω，[]0,2x π∈，∴,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则如图，2275363233ππωπωππωπ⎧-⎪⎪⇒<⎨⎪-<⎪⎩﹒故选：D ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过1A ，E ，F 三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为1V ，()212V V V <，则12:V V =（ ）A ．519B ．524C ．717D ．724【答案】C【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案. 【详解】由于11////EF AC AC ，所以11,,,E F C A 共面， 111BEFB AC ，所以111BEF B A C -是台体，设正方体的边长为2，111111117111122222322223BEF B A C V -⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以127737172223V V ==⨯⨯-.故选：C二、多选题9．下列关于复数z 的运算结论，正确的有（ ） A ．2z z z ⋅= B ．22z z = C ．1212z z z z ⋅=⋅ D ．1212z z z z +≤+【答案】ACD【分析】设出复数直接计算可得.【详解】记111222i i i z a b z a b z a b =+=+=+，，，则i z a b =- 则222(i)(i)=z z a b a b a b z ⋅=+-+=，A 正确； 因为2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，故B 错误； 因为12112212121221(i)(i)=()i z z a b a b a a b b a b a b ⋅=++-++，所以2222222222121212122112122112()()z z a a b b a b a b a a a b a b b b ⋅=-++=+++ 又22222222222212112212122112()()z z a b a b a a a b a b b b ⋅=++=+++，故C 正确； 222222212121212121212()()22z z a a b b a a b b a a b b +=+++=+++++2222222221211221122()2()()z z a b a b a b a b +=++++++因为2222222222221122121221122()()2a b a b a a a b a b b b ++=+++ 22221212121212122222a a a a b b b b a a b b ≥++=+所以1212z z z z +≤+，D 正确. 故选：ACD10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12CC =，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有( )A ．11AB 与FG 共面 B ．AE 与11AC 异面C ．1AG ∥平面AEFD ．该正四棱柱外接球的表面积为8π【答案】ABC【分析】证明11//A B FG 即可判断A ；连接11AC A C 、，证明AE 与11A C 分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断B ；取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE ，证明1//A G //CH EI 即可判断C ；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D ．【详解】①1//DD 1CC ，且11,DD CC F =是1DD 中点，G 是1CC 中点， 1//FD ∴1GC ，且11FD GC =，∴四边形11C D FG 是平行四边形，//FG ∴1111,//C D C D 1111,//A B A B ∴11,FG A B ∴与FG 共面，故A 正确；②连接111,//AC AC AA 、111,,CC AA CC =∴四边形11ACC A 为平行四边形， 11//A C ∴AC ，ACAE A =，故AE 与11A C 不平行，而AE ⊂平面11,ABCD AC ⊂平面1111D C B A ，平面//ABCD 面1111D C B A ， 11AC ∴和AE 互为异面直线，故B 正确；③取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE . 1//AA 111,,DD AA DD H =是1AA 中点，F 是1DD 中点，//AH ∴DF ，且,AH DF =∴四边形ADFH 是平行四边形， I ∴是DH 的中点，又E 是CD 中点，∴在CDH △中，//EI CH ．1//AA 111,,CC AA CC H =是1AA 中点，G 是1CC 中点， 1//A H ∴1,,CG A H CG =∴四边形1A HCG 是平行四边形，//CH ∴1A G ，/EI /∴1,A G EI ⊂平面1,AEF AG ⊄平面1//,AEF A G ∴平面AEF ，故C 正确．④设该四棱柱外接球半径为R ，则22222(2)11246R R =++⇒=， 故该正四棱柱外接球的表面积为246R ππ=，故D 错误． 故选：ABC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的有( )A ．若4b =，3sin 4A =，3sin 5B =，则5a = B ．若2bc a =，则3A π≥C ．若4b =，60A =︒，5a =则△ABC 有唯一解 D．若a =23A π≤ 【答案】ACD【分析】根据正弦定理可解A ，根据余弦定理和基本不等式可判断BD ，根据余弦定理解三角形可判断C ．【详解】A 选项：根据正弦定理得，43sin 53sin sin sin 45a b b a A A B B=⇒=⋅=⨯=，故A 正确；B 选项：根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，∵2bc a =， ∴22222cos a b c a A =+-，∴222222222221cos 2222b c a bc a a a A a a a +---===， ()0,A π∈，0,3A π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，故B 错误；C 选项：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即212516242c c =+-⨯⋅⋅，即2490c c --=，方程Δ0>，设方程两根为12c c 、，∵1290c c =-<，124c c =，∴方程只有一个正根，即c 边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C 正确； D 选项：根据余弦定理得，2222cos a b cbc A =+-，∵a = ∴2222cos b c bc A =+-⎝⎭， ∴22222222126261()cos 22()2222b c b c b c bc bc bc b c A bc bc b c bc bc bc +-++==--=-++，当且仅当b ＝c 时取等号，∵()0,A π∈，203A π∴<，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知平面向量满足1a =，2b =，22c b a b a --=-，则以下说法正确的是（） A ．2b a = B ．13a b +≤≤C ．若0a b ⋅=，则c a -的最大值是D ．c a ⋅的取值范围是[]4,5- 【答案】BCD【分析】由题意当2b a =时，4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐标运算表示出42c a -=结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量c 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.【详解】A 选项：当2b a =时， 22=0c b a b a --=-，即4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -是否成立，故A 错误；B 选项：3a b a b ++=≤，||||||||1a b a b +≥-=，B 选项正确： 对于C,因为0a b ⋅=，故以向量a ，b 起点为坐标原点，a 方向为y 轴正方向，b 方向为x 轴正方向，建立坐标系,则()0,1a =，()2,0b =，设(),c x y =， 由()22c a b b a -+=-， 得()()22228x y -+-=，设2x θ=+，2y θ=+，[0,2]θπ∈ ， ()(),12,1c a x y θθ-=-=++，则42c a -=其中2cos ))θθθθθϕ+=+=+，(sin ϕϕ== ，故θθ+≤2πθϕ+=时取等号，故410c a -≤C 选项正确；D 选项：以b ，2a 邻边作平行四边形OADB 为菱形，2,OA a OB b == ， 2AB b a =-，2OD b a =+，设OC c = ，由题目条件，可知点C 的轨迹是以D 为圆心，2r b a AB =-=为半径的圆． 设AOD θ∠=，则4cos OD θ=，4sin AB θ=，所求的cos c c a θ⋅=，即为c 在a 上的投影， 如图所示，延长OA 交点C 的轨迹于F ,作DE AF ⊥ , 当C 为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，()2maxcos 4cos 4sin c a OE BF OD r θθθ⋅=+=+=+22154sin sin 14(sin )524θθθ⎡⎤⎡⎤=-++=--+≤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=，当1sin 2θ=时取等号， 同理，可得()22mincos 4cos 4sin 4sin 44sin c dOD r θθθθθ⋅-=-=-+=-2154(sin )424θ⎡⎤=-++≥-⎢⎥⎣⎦，当sin 1θ= 时取等号，故[]4,5c a ⋅∈-，故D 选项正确， 故选：BCD三、填空题13．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边长，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C ________．【答案】18【分析】由正弦定理得到::4:5:6a b c =，设ABC 的三边分别为4,5,6，结合余弦定理，即可求解.【详解】由sin :sin :sin 4:5:6A B C =，由正弦定理可得::4:5:6a b c =， 可设ABC 的三边分别为4,5,6a b c ===，由余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯， 故答案为：18.14．如图，△ABC 中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 的中点，则AM CN ⋅=_________．【答案】－1【分析】用AB AC 、作为基底表示出AM CN 、即可根据数量积的运算律计算． 【详解】()()()()111224AM CN AB AC CB CA AB AC AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅-- ()()()()()22211112||2|||414444AB AC AB AC AB AC AC =+⋅-=-=⨯-=⨯-=-． 故答案为：－1．15．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm ，下底面直径为34 cm ，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为23π的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_________2cm (结果保置π)．【答案】705π【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算． 【详解】如图为圆台轴截面：如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为19r =，下底面半径为217r =，1112323r l r ππ==，2222323r l r ππ==， 则扇环面积为：()()()222222112211213333179624r l rl r r r r r r ππππππ-=⋅-⋅=-=-=，则新灯罩所需环保材料的面积为：()22162462481705cm r πππππ+=+=．故答案为：705π．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，2AD CD =，若2BD =，则△ABC 的面积的最大值为_________． 33【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角A ,在ABD △中由余弦定理求出AD AB ⋅的最大值，从而得出答案.【详解】由()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=可得2222cos cos c b a ac C c A +-=+即22cos cos cos bc A ac C c A =+,即22sin sin cos sin sin cos sin cos B C A A C C C A =+ 由0C π<<则sin 0C ≠，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+= 即2sin cos sin B A B =,由0B π<<则sin 0B ≠, 1cos 2A =, 又0A π<<,所以3A π=在ABD △中, 2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅所以22222224233333AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅≥⋅⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以6AB AC ⋅≤，当且仅当23AB AC =时等号成立. 由13333sin 62442ABCSAB AC A AB AC =⋅=⋅≤⨯=所以△ABC 的面积的最大值为332故答案为：332四、解答题17．已知z 为虚数，z 为z 的共轭复数，满足2i 3z z =⋅-，其中i 为虚数单位． (1)求z z ⋅ (2)若5mz -m 的值． 【答案】(1)5 (2)5m =【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据2i 3z z =⋅-，利用复数相等求解； （2）先化简5mz 5mz 为纯虚数求解. 【详解】(1)解：设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由题意得：()()2i i i 3a b a b +=--，即22i 3i +=-+a b b a ，则232a b b a =-⎧⎨=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩， 所以()()2i 2i 5⋅=---+=z z ；(2)∵()552552i 2i ⎫⎫=--=--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭mz m m m ， 且5mz 为纯虚数， ∴252050m m ⎧-=⎪⎪⎨⎫⎪-≠⎪⎪⎪⎝⎭⎩，∴m =18．已知平面直角坐标系xOy 中，有三个不同的点A ，B ，C ，其中()0,2A ，()3,1B ，(),C x y ． (1)若2AC BC =，求点C 的坐标；(2)若CA CB ⊥，且OC AB =，求OC AB ⋅． 【答案】(1)()6,0； (2)0﹒【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C 的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解． 【详解】(1)∵(),2AC x y =-，()3,1BC x y =--，∴()()23622210x x x AC BC y y y ⎧=-=⎧⎪=⇒⇒⎨⎨-=-=⎪⎩⎩，即C 的坐标为()6,0C ．(2)∵(),2CA x y =--，()3,1CB x y =--，由2222·0332010CACBx y x y OC AB x y ⎧=⎧+--+=⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩， 解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，又∵A ，B ，C 为三个不同的点，13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3OC =，()3,1AB =-， ∴0OC AB ⋅=．19．已知平面向量()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()y f x =图象的对称轴；(2)若方程()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()62k x k Z ππ=+∈ (2)()1,2m ∈【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π+的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得()y f x =与y m =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的交点，即可得解；【详解】(1)解：因为()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，且()f x a b =⋅，所以()()()cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =⋅=-++22cos sin cos x x x x =-+cos 22x x =12cos 222x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()262x k k Z πππ+=+∈时，解得()62k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴()62k x k Z ππ=+∈． (2)解：当02x π<<时，72666x πππ<+<， 令2662x πππ<+≤，解得06x π<≤，即函数在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，令72266x πππ<+<，解得62x ππ<<，即函数在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()02sin 16f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，即()y f x =与y m =有两个不同的交点， ∴()1,2m ∈．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 20a B A =． (1)求角B 的大小；(2)给出三个条件：①b =②3a c +=+③cos sin c C A =，从中选出两个作为已知条件，求△ABC 的面积． 【答案】(1)6B π=【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；（2）选①②利用余弦定理可求出ac ，再由面积公式求解；选①③由余弦定理及正弦定理转化为关于c 的方程求解即可得c ，再得出a ，由三角形面积公式求解；选②③由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出ac ，由面积公式求解.【详解】(1)∵sin 2sin 0a B A =，∴2sin cos sin 0a B B A =∴2cos 0ab B =，从而()cos B 0πB =∈， ∴6B π=(2)若选①②：已知b =3a c +=+1）可知6B π=，由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∴()223a c ac +-=，即((2323ac +-=．解得ac =1sin 2ABCSac B ==若选①③：已知b =sin sin c C A =．由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∵sin sin c C A =，∴2c a =．∴43230c c +-=，即(30c c c +=∴c =∴3a =，∴1sin 2ABCSac B ==若选②③：已知3a c +=sin sin c C A = ∵sin sin c C A =，∴2c a =．23a c c a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩3c a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴1sin 2ABCSac B ==21．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，2km AB BC AC ===，D 是BC 中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，△CDF 拟建成技术保障区，四边形AEDF 拟建成病房区，△BDE 拟建成医疗功能区，DE 和DF 拟建成专用快速通道，90EDF ∠=︒，记CDF θ∠=(1)若30θ=︒，求病房区所在四边形AEDF 的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E -D -F 的路程最短？最短路程是多少？ 【答案】53(2)45θ=︒，最短路程326【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，DCF 是直角三角形、BDE 是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；（2）在△BDE 中和△CDF 中分别表示出DE 、DF ，表示出快速通道E -D -F 的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值. 【详解】(1)30θ=︒，则Rt DCF △中，1DC =，12CF =，3DF =； BDE 为等边三角形，1BD DE BE ===，DE AC ∥，四边形AEDF 为直角梯形，其面积为：13353122AEDP S ⎛=+= ⎝⎭(2)在△BDE 中，由正弦定理：()()sin60sin 30sin 90DE BD BEθθ==︒︒+︒- 在△CDF 中，由正弦定理；()sin60sin sin 120DF CF CDθθ==︒︒-所以()()sin603sin 30DE θ︒==︒+()()sin603sin 120DF θ︒==- ()()()()33311sin 120sin 30E D F l θθ--⎫==+⎪⎪︒-︒+⎝⎭()()()()()31sin cos sin 120sin 303333sin cos 2sin 30sin 12022332sin cos sin21θθθθθθθθθθθ++⎫︒-+︒+++==⎪⎪︒+︒-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭sin cos 2sin 1,24t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，则22sin cos 1t θθ=- ()23333122331122t l t t tθ++==-⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭在1,2t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，所以当2t =即45θ=︒时，取最小值326l =-.22．如图，圆柱1OO 的轴截面ABCD 为正方形，2AB =，EF 是圆柱上异于AD ，BC 的母线，P ，Q 分别为线段BF ，ED 上的点．(1)若P ，Q 分别为BF ，ED 的中点，证明：//PQ 平面CDF ； (2)若1BP DQ CFPF QE DF==≤，求图中所示多面体FDQPC 的体积V 的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值12．【分析】（1）连接CE ，根据圆柱的性质可得四边形BEFC 为平行四边形，即可得到P 为CE 的中点，从而得到//PQ CD ，即可得证；（2）设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可得到2sin CF θ=，2cos DF θ=，再根据比例关系，表示出DCF S △，PCF S △，表示出三棱锥Q CFD -与三棱锥Q PCF -的高，根据锥体的体积公式得到22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，令tan ,01x x θ=<≤，则1141132CDFPQx x V x x x x ++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再令113u x x =++≥，根据函数的性质求出最大值；【详解】(1)证明：如图连接CE ，根据圆柱的性质可得//BC EF 且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形， 因为P 为BF 的中点，所以P 为CE 的中点，又Q 为ED 的中点，所以//PQ CD ， 因为PQ ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ， 所以//PQ 平面CDF ，(2)解：Rt CDF 中，设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin CF θ=，2cos DF θ=，所以2sin tan 12cos BP DQ CF PF QE DF θθθ====≤， 所以12sin cos sin 22DCFS CF DF θθθ=⋅==， 1112sin 2sin 2tan 12tan 1tan 1PCFBCF SSθθθθθ=⋅=⨯⨯⨯=+++设三棱锥Q CFD -高为h ，设三棱锥Q PCF -高为s ， 由比例关系，可知tan 2tan tan 1tan 1h EF θθθθ=⋅=++，21ta 1co n 1tan s s DF θθθ=⋅=++ 所以，12sin 2tan 33tan 1Q CFDCFD V S h θθθ-=⋅=+，()212sin 233tan 1Q PCF PCF V S s θθ-=⋅=+22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭ ∵22tan sin 2tan 1θθθ=+∴()()222tan tan tan 1431tan (tan 1)CDFPQV θθθθθ++=++ ∵设tan ,01x x θ=<≤∴()()()222111441133112CDFPQ x x x x x V x x x x x x ++++==⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令113u x x=++≥，当且仅当1x =时取等号，则()()244411311313CDFPQ u u V u u u u u===-+--又CDFPQ V 关于u 在[)3,+∞上单调递减，∴当3u =，即1x =，即45θ=︒时，CDFPQ V 取到最大值12．。
重庆市南开中学数学高一下期末经典练习题(培优练)
一、选择题1．(0分)[ID ：12708]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 2．(0分)[ID ：12702]已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．(0分)[ID ：12686]我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 21B 31C ．232D 33+5．(0分)[ID ：12680]已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 26．(0分)[ID ：12679]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 7．(0分)[ID ：12632]有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．158．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生10．(0分)[ID ：12651]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上11．(0分)[ID ：12643]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>12．(0分)[ID ：12726]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．15813．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1014．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ） A ．68B ．67C ．61D ．6015．(0分)[ID ：12634]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．60二、填空题16．(0分)[ID ：12828]已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22nn n S a =-，则n S =__________．17．(0分)[ID ：12823]设a ＞0，b ＞033a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__．18．(0分)[ID ：12788]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 19．(0分)[ID ：12771]已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 20．(0分)[ID ：12762]若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．21．(0分)[ID ：12741]已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．22．(0分)[ID ：12729]若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____． 23．(0分)[ID ：12769]设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．24．(0分)[ID ：12767]设,x y 满足约束条件210,{0,0,0,x y x y x y --≤-≥≥≥若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b+的最小值为_________．25．(0分)[ID ：12748]已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .三、解答题26．(0分)[ID ：12925]如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，且2AE EB =，M 是线段CE 上一动点.（1）若M 是线段CE 的中点，AM mAB nAD =+，求m n +的值； （2）若9,43AB CA CE =⋅=，求()2MA MB MC +⋅的最小值. 27．(0分)[ID ：12922]已知关于x 的不等式2320,08kx kx k +-<≠ （1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值． （2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． 28．(0分)[ID ：12915]已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为3-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程．29．(0分)[ID ：12861]已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 30．(0分)[ID ：12843]设函数2()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）设,,A B C 为ABC 的三个内角，若1cos 3B =，124C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且C 为锐角，求sin A ．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．A4．C5．D6．C7．C8．C9．C10．A11．A12．D13．C14．B15．B二、填空题16．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中17．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信19．如果l⊥αm∥α则l⊥m或如果l⊥αl⊥m则m∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l⊥αm∥α则l⊥m正确；（2）如果20．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值21．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命22．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题23．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则24．【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由得平移直线由图象可知当过时目标函数的最大值为即则当且仅当即时取等号故的最小值为考点：1利用可行域求线性目标函数的最值；2利用基本不等式求最值【方法点晴】25．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.2．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．3．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当2AC BC ==时，取等号．∴121)12S =⨯+++⨯=故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．5．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.6．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列7．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项. 点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．C解析：C【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.10．A解析：A【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ，故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A.点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．11．A解析：A【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A . 12．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构13．C解析：C【解析】【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形．【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形； ②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．14．B解析：B【解析】【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案．【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩； 所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ．【点睛】 本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.15．B解析：B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯= 本题正确选项：B【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.二、填空题16．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中解析：*2()n n S n n N =∈【解析】分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，11122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2nna 是首项为1公差为12的等差数列，从而得到()112n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得11122a a =-，解得12a = ，当2n ≥ 时，由22n n n S a =-），得11122n n n S a ---=-，两式相减得()()1112222,n n n n n n n a S S a a ---=-=--- 整理得111222n n n n a a ---=，且111,2a = ∴数列{}2n n a 是首项为1公差为12的等差数列， ()111,22n n a n ∴=+- 可得()112,n n a n -=+ 所以()12221222.n n n n n n S a n n -⎡⎤=-=+-=⋅⎣⎦ 点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合17．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：【解析】由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则233,1a b ab =⋅∴=则 111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113【解析】 试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19．如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 或如果l ⊥αl ⊥m 则m ∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 正确；（2）如果解析：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.20．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值 解析：-8【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42x x x ππ∴∴设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值21．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命 解析：2a ≤-或1a =【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.【详解】若命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真；则10a -≥，解得：1a ≤，若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真，则()24420a a ∆=--≥， 解得：2a ≤-或1a ≥，若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =，故答案为2a ≤-或1a =【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.22．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题解析：3+【解析】【分析】 由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】解：x 1>，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++--33≥=，（当且仅当13x =+取等号） 故答案为3．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题． 23．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则 解析：2n+1【解析】 由条件得111112222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．24．【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由得平移直线由图象可知当过时目标函数的最大值为即则当且仅当即时取等号故的最小值为考点：1利用可行域求线性目标函数的最值；2利用基本不等式求最值【方法点晴】 解析：9【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析： 由()0,0z ax by a b =+>>得a z y x b b=-+，平移直线,a z y x b b =-+由图象可知，当a z y x b b=-+过()1,1A 时目标函数的最大值为1，即1z a b =+=，则1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 441452549b a b a a b a b =+++≥+⋅=+=，当且仅当4b a a b =，即122b a ==时，取等号，故14a b+的最小值为9．考点：1、利用可行域求线性目标函数的最值；2、利用基本不等式求最值．【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题．含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键．25．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质解析：22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】【详解】因为函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线，所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得20m <<， 所以实数m 的取值范围为22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 【考点】二次函数的性质．三、解答题26．（1）43；（2）754- 【解析】【分析】【详解】 （1）因为M 是线段CE 的中点， 所以()11112222AM AC AE AD AB AE =+=++ 112151223262AB AB AD AB AD =+⋅+=+， 故514623m n +=+=. （2）1,3CA AB AD CE CB BE AD AB =--=+=--22114()333CA CE AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=--⋅--=+⋅+ ⎪⎝⎭ 2213AB AD =+ 22221194333AB AD AD +=⨯+= ||4, 4AD AD BC =⇒==故5CE =； 设ME t =，则()505MC t t =-≤≤，()()222MA MB MC ME EA ME EM MC +⋅=+++⋅()()33535ME MC t t t t =⋅=--=-为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即52t =时，()7524MA MB MC +⋅=-. 所以()2MA MB MC +⋅的最小值为754-. 27．（1）18k =；（2）(3,0)- 【解析】【分析】（1）根据关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到32-和1是方程23208kx kx +-=的两个实数根，再利用韦达定理求解. （2）根据关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ．又因为0k ≠ ，利用判别式法求解.【详解】（1）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以32-和1是方程23208kx kx +-=的两个实数根， 由韦达定理可得338122k--⨯=，得18k =． （2）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ． 因为0k ≠所以220,30k k k <⎧⎨=+<⎩，解得30k -<<， 故k 的取值范围为(3,0)-．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.28．（1）()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）增区间是()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称轴为()122k x k ππ=+∈Z 【解析】【分析】（1）由周期求得ω，再由函数图象上的最低点的纵坐标为﹣3求得A ，则函数解析式可求；（2）直接利用复合函数的单调性求函数f （x ）的单调递增区间，再由2x 32k πππ+=+求解x 可得函数f （x ）的对称轴方程．【详解】 （1）因为()f x 的最小正周期为π因为，0>ω，2T ππω==，∴22πωπ==．又函数()f x 图象上的最低点纵坐标为3-，且0A >∴3A =∴()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）由222,232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ， 可得5,1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z 可得()f x 单调递增区间()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 由232x k πππ+=+，得()122k x k ππ=+∈Z ． 所以函数()f x 的对称轴方程为()122k x k ππ=+∈Z ． 【点睛】 本题考查函数解析式的求法，考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的性质，是基础题． 29．（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）113n n n T +=-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件得()241n n S a =+，由1n =得1a ，当2n ≥时，()21141n n S a --=+，两式作差得2211422n n n n n a a a a a --=+--，整理得12n n a a --=，由等差数列公式求通项即可；（Ⅱ）由()1213n n b n =-⋅，利用错位相减即可得解. 试题解析：（Ⅰ） 21n a S =， ()241n n S a ∴=+．当1n =时，()21141S a =+，得11a =．当2n ≥时，()21141n n S a --=+， ()()()2211411n n n n S S a a --∴-=+-+，2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，()12121n a n n ∴=+-=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213n nb n =-⋅， ()231111135213333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——① ()()2311111113232133333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——② ①–②得()231211111221333333n n n T n +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⋅ ⎪⎝⎭ ()21111113322113313n n n ++-=+⨯--⋅-， 化简得113n n n T +=-． 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()1213n n b n =-⋅， 设()()()()111112112323333n n n n n b n An B A n B An A B -⎡⎤=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅⎣⎦， 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩()()()()1111111211133333n n n n n nb n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅， ∴()120112111111111223113333333n n n n n n T b b b n n -+⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++⋅⋅⋅+=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.30．（1）π（2）减区间为ππk π,k π44⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（3 【解析】【分析】 ()1利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论． ()2利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的单调递减区间．()3利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，求得sinA 的值．【详解】() 1函数()2π11cos2x 1f x cos 2x sin x cos2x sin2x 322222-⎛⎫=++=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故它的最小正周期为2ππ2=．()2对于函数()1f x 2=+，令ππ2k π2x 2k π22-≤≤+，求得ππk πx k π44-≤≤+， 可得它的减区间为ππk π,k π44⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．()3ABC 中，若1cosB 3=，sinB ∴==．若C 11f sinC 2224⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，sinC 2∴=，C 为锐角，πC 3∴=．()ππ11sinA sin B C sinBcoscosBsin 33323∴=+=+=⋅+=． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．。
2020-2021学年重庆市南开中学高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年重庆市南开中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2x,−3)且a ⃗ //b ⃗ ，则x =( )A. −3B. −34C. 0D. 342. 已知复数z 满足z(1−2i)=3−i ，则复数z 的虚部为( )A. −iB. iC. −1D. 13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“acosB =bcosA ”是“△ABC是等边三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13a ⃗ +23b ⃗ B. 13a ⃗ +12b ⃗ C. 12a ⃗ +14b ⃗ D. 14a ⃗ +12b ⃗ 5. 在△ABC 中，面积S =a 2−(b −c)2，则sinA =( )A. 1517B. 817C. 1315D. 13176. a ，b 是空间两条不相交的直线，那么过直线b 且平行于直线a 的平面( )A. 有且仅有一个B. 至少有一个C. 至多有一个D. 有无数个7. 平面向量a ⃗ =(sinθ,2)，b ⃗ =(1,−cosθ)，已知|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b⃗ |，则tan2θ=( ) A. 3B. 43C. 34D. −438. 如图所示，在四边形ABCD 中，△ABD 是边长为4的等边三角形，AC =2√13，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−t)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (t >1)，则OD =( )A. 52 B. 2√2 C.3 D. √139. 已知△ABC 面积为12，BC =6，则下列说法正确的是( )A. 若cosB =2√55，则sinA =35 B. sin A 的最大值为1213 C. c b +b c 的值可以为92D. cb +2bc 的值可以为92二、多选题（本大题共3小题，共15.0分）10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是( )A. 若a >b ，则sinA >sinBB. 若a =4，b =5，c =6，则△ABC 为钝角三角形C. 若a =4，b =10，A =π6，则符合条件的三角形不存在 D. 若bcosC +ccosB =asinA ，则△ABC 为直角三角形11. 已知直线a ，b 和平面β，γ，下列说法中不正确的有( )A. 若a//β，a ⊂γ，β∩γ=b ，则a//bB. 若a//β，b//β，则a//bC. 若a 与b 为异面直线，且a//β，a//γ，b//β，b//γ，则β//γD. 若a//b ，b//γ，则a//γ12. 已知直角三角形ABC 斜边AC =10，直角边AB =6，动点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−24，下列说法正确的是( ) A. |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为10 B. |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为6 C. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为24 D. 存在D 点满足DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知M(−2,7)、N(10,−2)，点P 是线段MN 上的点，且PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为______．14. 多项式x 2+1在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后x 2+1=(x +i)(x −i)，则在复数范围内多项式x 2−4x +5分解成一次因式乘积的结果为______． 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，cosB =513，则a+b c=______．16. 如图所示四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AD ⊥AB ，AB =AD =12CD =1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，O ∈面ABCD ，PO//平面MBD ，则O 点轨迹长度为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.三棱锥P−ABC，PA=4，BC=6．(1)该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出；(2)若PB中点为M，AC中点为N，MN=4，求异面直线PA与BC所成角的余弦值．18.已知|b⃗ |=2|a⃗|=2，a⃗，b⃗ 夹角为60°，(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗+λb⃗ )．(1)求实数λ的值；(2)求|a⃗+λb⃗ |．19.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱DD1，AB的中点．(1)平面PQC与直线AA1交于R点，求AR的值；A1R(2)M为线段CC1上靠近C点的四等分点，求证：BM//面PQC．20.在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且有a=2．在下列条件中选择一个条件完成该题目：①cosC+(cosB−√3sinB)cosA=0；②2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC．(1)求A的大小；(2)求2b−c的取值范围．21.如图所示，在△ABC中，BD=AC=2AD，CD=2，E为CD中点，直线AE与BC边交于点F．(1)若AC=BC，求AB长度；(2)求AF长度范围．22.有一鱼池，其中有两条边l1，l2成定角120°，现要在距离A点1米处的地方钉一粒钉子D，然后过D拉一条浮漂隔离线BC，使△ABC内无浮漂，便于观赏鱼类．B，C两点分别固定在两边l1，l2上．(1)若∠BAD=60°，求△ABC面积的最小值；(2)若无论怎么拉浮漂隔离线BC，总能使得△ABC的面积不低于2√3，求∠BAD的取3值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平面向量共线的坐标表示．属于基础题．根据平面向量的共线定理的坐标表示(x1y2−x2y1=0)代入即可求解．【解答】解：∵a⃗=(1,2)，b⃗ =(2x,−3)且a⃗//b⃗ ，∴1×(−3)−2×(2x)=0，∴x=−3，4故选B．2.【答案】D【解析】解：复数z满足z(1−2i)=3−i，∴z(1−2i)(1+2i)=(3−i)(1+2i)，化为5z=5+5i，∴z=1+i，则复数z的虚部为1，故选：D．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出复数z的虚部．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由acosB=bcosA得sinAcosB=sinBcosA，即tanA=tanB，在三角形内A=B，则△ABC是等腰三角形，不一定是等边三角形，即充分性不成立，若“△ABC是等边三角形，则A=B，此时acosB=bcosA成立，即“acosB=bcosA”是“△ABC是等边三角形”的必要不充分条件，故选：B．根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用正弦定理进行转化是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查向量的加法和数乘运算，属于基础题．可画出图形，根据条件及向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可用a ⃗ ,b ⃗ 表示出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】 解：如图，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，M 是AB 的中点，N 是CM 的中点；∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14a ⃗ +12b ⃗ ． 故选：D ．5.【答案】B【解析】 【分析】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．根据三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，由已知的面积利用完全平方公式化简后，利用余弦定理变形，两面积相等利用同角三角间的基本关系即可求出sin A 的值． 【解答】解：根据S =12bcsinA ，又a 2=b 2+c 2−2bccosA ，则S =a 2−(b −c)2=a 2−b 2−c 2+2bc =−2bccosA +2bc ，所以−2bccosA+2bc=12bcsinA，化简得：sinA=−4cosA+4①，又sin2A+cos2A=1②，联立①②，解得：sinA=817．故选：B．6.【答案】B【解析】解：∵a，b是空间两条不相交的直线，∴a，b的位置关系有两种：即平行或异面．若a，b平行，那么过直线b且平行于直线a的平面有无数个；若a，b异面，如图，在b上任取一点O，过O作c//a，则b，c确定平面α，∴a//α，那么过直线b且平行于直线a的平面只有1个．故过直线b且平行于直线a的平面至少有一个．故选：B．空间中两直线不相交，则两直线可能平行，也可能异面，然后分a，b平行和异面讨论．本题考查了直线与平面平行的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．7.【答案】D【解析】解：平面向量a⃗=(sinθ,2)，b⃗ =(1,−cosθ)，已知|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，∴a⃗⋅b⃗ =0，sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−43，故选：D．由题意可得a⃗⋅b⃗ =0，求得tanθ=2，再利用二倍角的正切公式，求得tan2θ的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，二倍角的正切公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵CA⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−t)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(2−t)(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λt AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵B ，O ，D 三点共线，∴λ(t −2)−λt =1，∴λ=−12，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13， ∴在△AOD 中，∠ADO =60°，AD =4，AO =√13， ∴由余弦定理得：AO 2=AD 2+OD 2−2AD ⋅ODcos60°， ∴13=16+OD 2−4OD ， 解得：OD =1(舍去)或OD =3， 故选：C ．由题意可知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λt AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由B ，O ，D 三点共线可得λ(t −2)−λt =1，所以λ=−12，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13，在△AOD 中由余弦定理即可求出OD 的长． 本题主要考查了平面向量基本定理，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．9.【答案】A【解析】解：如图所示，过A 点作AD ⊥BC 于D ，S △ABC =12BC ⋅AD =12，BC =6，∴AD =4，又AD =ABsinB =ACsin∠ACD ， 若cosB =2√55，则AB =AD sinB=4√5，BD =ABcosB =8，∴CD =BD −BC =2，∴AC =√AD 2+CD 2=2√5，∴S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sinA =12，∴sinA =35， 故选项A 正确；由S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sinA =12，得sinA =24AB⋅AC ，当sin A 取最大值时，AB ⋅AC 取最小值，AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2，当D 在线段BC 上时，BD +CD =BC =6， ∴AB 2⋅AC 2=(16+BD 2)(16+CD 2)，令BD =t +3，则CD =3−t ，t ∈(−3,3)， AB 2⋅AC 2=[16+(t +3)2][16+(t −3)2]=(t 2−9)2+32(t 2−9)+32×18+162，∴当t 2=0时，AB 2⋅AC min 2=252，即sin A 的最小值为2425>1213，故选项B 错误；假设cb +bc =92，得c b =±√654+94，不妨取c b =√654+94，由选项B ，AB 2=16+(t +3)2，t ∈(−3,3)， ∴c 2b 2=AB 2AC 2=16+(t+3)216+(t−3)2=1+1225t+t−6，其中25t +t ∈(−∞,−343)∪(343,+∞)， ∴c 2b 2≤1+12343−6=134<(√654+94)2，假设不成立， 故选项C 错误； cb +2b c=92时，c b =12或cb =4，由c 2b 2=1+1225t+t−6=14或16，又b 2c 2∈(413,1)∪(1,134)，无解，故选项D 错误． 故选：A ．由已知条件可将选项A 、B 的问题利用面积桥和边的关系进行推导，对于选项C 、D ，可利用反证法进行推导证明．本题考查了解三角形，以及三角函数的灵活运用．10.【答案】ACD【解析】解：对于A ：若a >b ，所以2RsinA >2RsinB ，整理得sinA >sinB ，故A 正确；对于B：根据a=4，b=5，c=6，利用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab =18>0，所以最大角C<π2，故△ABC为锐角三角形；故B错误；对于C：由于a=4，b=10，A=π6，利用正弦定理：asinA=bsinB，整理得sinB=54>1，故不存在这样的三角形，故C正确；对于D：若bcosC+ccosB=asinA，整理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，故sin(B+ C)=sinAsinA，故sinA=1(0舍去)，故△ABC为直角三角形，故D正确．故选：ACD．直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形形状的判定求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于A：a//β，a⊂γ，β∩γ=b，由线面平行的性质，则a//b，故A正确；对于B：a//β，b//β，则a//b或a和b相交，或异面，故B错误；对于C：a与b为异面直线，且a//β，a//γ，b//β，b//γ，根据面面平行的判定定理的推论，则β//γ，故C正确；对于D：当a//b，b//γ，则a//γ或a⊂γ内，故D错误；故选：BD．直接利用线面平行的判定和性质的应用，面面平行的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质的应用，面面平行的判定和性质的应用，主要考查学生对空间问题的应用，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：已知直角三角形ABC斜边AC=10，直角边AB=6，∴由勾股定理可得BC2=AC2−AB2，∴BC=8．以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，如图：则C(0,8)，A(6,0)，B(0,0)，设D(x,y)，可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −8)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −6,y)，∵动点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−24，∴(x,y −8)(x −6,y)=−24，即x 2−6x +y 2−8y =−24，整理得(x −3)2+(y −4)2=1，所以点D 的轨迹为以(3,4)为圆心，1为半径的圆，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)． |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2x −6)2+4y 2=2√(x −6)2+y 2，等价于点D 到点(6,0)的距离， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |max =10，故选项A 正确； BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −6,y)，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x −6)2+y 2， ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =6，故选项B 正确；AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6(6−x)=36−6x ，当x =2时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值24，故选项C 正确； 假设存在点D ，使满足DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则D 为△ABC 的重心， ∴D(2,83)，不满足方程(x −3)2+(y −4)2=1，所以假设不成立，故选项D 错误； 故选：ABC ．由题干可得到动点D 的轨迹为圆，再由向量的坐标表示对选项逐一判断即可． 本题考查了向量的坐标表示以及向量的模长公式的应用．13.【答案】(2,4)【解析】解：设P(x,y)，则PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(10−x,−2−y)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,7−y)， ∵PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{10−x =−2(−2−x)−2−y =−2(7−y)， ∴{x =2y =4∴P 点的坐标为(2,4)．故答案为：(2,4)先写出2个向量的坐标，利用2个向量相等，则他们的坐标对应相等．本题考查两个向量相等的条件，两个向量相等时，他们的坐标相等，考查计算能力．14.【答案】(x −2+i)(x −2−i)【解析】解：∵x 2+1=(x +i)(x −i)，∴x 2−4x +5=x 2−4x +4+1=(x −2)2+1=(x −2+i)(x −2−i)． 故答案为：(x −2+i)(x −2−i)．把已知二次三项式配方变形，结合x 2+1=(x +i)(x −i)得答案． 本题考查复数的运算，把已知二次三项式配方变形是关键，是基础题．15.【答案】2【解析】解：因为cosA =35，cosB =513，所以sinA =√1−cos 2A =45，sinB =√1−cos 2B =1213，可得sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =45×513+35×1213=5665， 由正弦定理可得a+b c=sinA+sinB sinC=45+12135665=2．故答案为：2．利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，sin B 的值，利用两角和的正弦公式可求sin C 的值，进而根据正弦定理，即可计算得解．本题主要正弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数的化简和求值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】3√24【解析】解：延长AB 至E ，使得AE =DC ，且AE//DC ，连接EC取BE 的中点F ，作BD//FG ，交BC 于点H ，DC 于G ，连接PG ，因为AB=AD=12CD，所以AB=BE，此时在△AFP中，有AM=2MP，AB=2BF，所以PF//MB，又面PFG//平面MBD，所以O的轨迹为GH，因为BF//DG，BD//GF，所以四边形BFGD是平行四边形，所以DG=BF=12AB=12，所以∠HFB=∠DBA=45°，在△BEC中，BE=CE，CE⊥BE，所以∠HBF=45°，在△BHF中，∠BHF=180°−∠HFB−∠HBF=90°，又BF=12，所以HF=√24，所以GH=GF−HF=BD−HF=√2−√24=3√24．故答案为：3√24．延长AB至E，使得AE=DC，且AE//DC，连接EC，取BE的中点F，作BD//FG，交BC于点H，DC于G，连接PG，由线面平行的判定定理可得面PFG//平面MBD，进而可得O的轨迹为GH，在计算，即可得出答案．本题考查立体几何中的轨迹问题，解题中需要熟悉几何体的特征，属于中档题．17.【答案】解：(1)该棱锥的6条棱中，共有3对异面直线，分别是PA与BC，PB与AC，PC与AB．(2)如图，取AB中点O，连接OM，ON，因为PB中点为M，AC中点为N，所以OM//PA，ON//BC，所以异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角，PA=4，BC=6．所以OM=2，ON=3，又MN=4，在△MON中，由余弦定理可得cos∠MON=OM2+ON2−MN22OM⋅ON =4+9−162×2×3=−14，所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为14．【解析】(1)由异面直线的定义即可求解；(2)取AB中点O，连接OM，ON，可得异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角，利用余弦定理即可求得异面直线PA与BC所成角的余弦值．本题主要考查异面直线及其所成的角，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵|b⃗ |=2|a⃗|=2，a⃗，b⃗ 夹角为60°，(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗+λb⃗ )．∴(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗+λb⃗ )=a⃗2+(λ+1)a⃗⋅b⃗ +λb⃗ 2=1+(λ+1)⋅1⋅2⋅cos60°+4λ=0，求得λ=−25．(2)|a⃗+λb⃗ |=√(a⃗+λb⃗ )2=√a⃗2+2λa⃗⋅b⃗ +λ2b⃗ 2=√1+2λ⋅1⋅2⋅cos60°+λ222=√1+2λ+4λ2=√215．【解析】(1)由题意利用两个向量垂直的性质，求得λ的值．(2)由题意利用求向量的模的方法，计算求得结果．本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模，属于中档题．19.【答案】(1)解：延长CQ和DA交于E，连接PE，交A1A于R，即平面PQC与直线AA1交于R点，因为Q为AB中点，AQ//DC，所以A为ED中点，于是AR=12⋅PD=12⋅12⋅D1D=14⋅D1D=14⋅A1A，所以ARA1R =13；(2)证明：取PC中点N，DC中点G，连接NG，NM，因为MN//CG，且MN=CG，CG//BQ，且CG=BQ，所以MN//BQ，且MN=BQ，所以四边形MNQB为平行四边形，所以BM//NQ，又因为BM⊄平面PQC，NQ⊂平面PQC，所以BM//面PQC．【解析】(1)延展平面PQC，确定AR14⋅A1A即可；(2)只须证明BM平行于平面PQC内直线NQ即可．本题考查了正方体截面问题，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．20.【答案】解：(1)若选①，cosC+(cosB−√3sinB)cosA=0，整理可得cosC+ cosAcosB=√3sinBcosA，所以−cos(A+B)+cosAcosB=√3sinBcosA，可得sinAsinB−cosAcosB+ cosAcosSB=√3sinBcosA，可得sinAsinB=√3sinBcosA，由于sinB≠0，可得tanA=√3，又0<A<π，∴A=π3．若选②，2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC，根据正弦定理化简得：2a2=b(2b−c)+c(2c−b)，即a2=b2+c2−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =12，又0<A<π，∴A=π3．(2)因为A=π3，a=2，由正弦定理bsinB =csinC=√32=4√33，可得b=4√33sinB，c=4√33sinC，可得2b−c=4√33(2sinB−sinC)=4√33[2sin(A+C)−sinC]=4√33(2sinAcosC+2cosAsinC−sinC)=4cosC，又B+C=2π3，在锐角△ABC中，可得π6<C<π2，可得0<cosC<√32，所以2b −c ∈(0,2√3).【解析】(1)若选①，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA =√3，结合范围0<A <π，可得A 的值；若选②，利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a ，b 及c 的关系式，再利用余弦定理表示出cos A ，把得到的关系式代入求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数； (2)由正弦定理可得b =4√33sinB ，c =4√33sinC ，利用三角函数恒等变换的应用可求2b −c =4cosC ，根据C 的范围，利用余弦函数的性质即可求解．此题考查了正弦、余弦定理以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．21.【答案】解：(1)设AD =x ，所以BD =AC =BC =2AD =2x ，AB =3x ， 所以cos∠ACB =AC 2+BC 2−AB 22AC⋅BC=(2x)2+(2x)2−(3x)22⋅2x⋅2x=−18，又CD =2，BD =2AD ，所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=49 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，可得4=49⋅4x 2+49⋅4x 2⋅(−18)+19⋅4x 2， 所以x =√2，可得AB =3√2．(2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠CAB =θ，AD =x ， 因为E 为CD 中点，AD =13AB ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为B 、F 、C 三点共线， 所以12λ+16λ=1，可得λ=32，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+2⋅34⋅14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=94x 2+94x 2cosθ+94x 2=4516x 2+94x 2cosθ，因为cosθ=AD 2+AC 2−CD 22AD⋅AC=5x 2−44x 2，所以AF =√4516x 2+94x 2⋅5x 2−44x 2=√458x 2−94， 又{ x +2x >22x −x <2， 所以23<x <2， 所以AF ∈(12,92).【解析】(1)设AD =x ，可得BD =AC =BC =2AD =2x ，AB =3x ，由余弦定理可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方利用平面向量数量积的运算可求AB 的值． (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠CAB =θ，AD =x ，可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE⃗⃗⃗⃗⃗ =12λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于B 、F 、C 三点共线，可得λ=32，利用余弦定理可得AF =√458x 2−94，又{ x +2x >22x −x <2，即可得解AF 的取值范围． 本题主要考查了余弦定理，平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．22.【答案】解：(1)设AB =c ，AC =b ，因为∠BAD =π3，所以∠CAD =π3， 所以S △ABC =S △ABD +S △ACD ，可得12bcsin2π3=12csin π3+12bsin π3， 所以bc =b +c ≥2√bc ，可得bc ≥4， 所以S △ABC =12bcsin2π3=√34bc ≥√3，当b =c =2时等号成立．(2)设∠BAD =θ，所以∠CAD =2π3−θ，因为S △ABC =S △ABD +S △ACD ， 所以12bcsin2π3=12csinθ+12bsin(2π3−θ)≥12⋅2√sinθ⋅sin(2π3−θ)⋅bc ，所以bc ≥163sinθsin(2π3−θ)=83[cos(2π3−θ)−cos2π3]=43(−cos2θ+√3sin2θ+1)， 所以S △ABC =12bcsin2π3≥√34⋅43(−cos2θ+√3sin2θ+1)≥2√33， 所以−cos2θ+√3sin2θ≥1，所以√32sin2θ−12cos2θ=sin(2θ−π6)≥12，所以2θ−π6∈[π6,5π6]，即θ∈[π6,π2]，所以∠BAD取值范围为[π6,π2 ].【解析】(1)设AB=c，AC=b，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解．(2)由题意可得∠CAD=2π3−θ，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，利用三角形的面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换可得sin(2θ−π6)≥12，利用正弦函数的性质即可求解∠BAD取值范围．本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．。