导数的分类讨论
第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)
第3讲导数中含参问题的分类讨论(解析版)第3讲导数中含参问题的分类讨论(解析版)在数学中，导数是研究函数变化率的重要工具之一。
在第2讲中，我们已经学习了导数的基本定义和求法，并且在一些具体的例子中进行了应用。
而在本讲中，我们将进一步讨论导数中含参问题的分类。
一、常函数的导数首先，我们来看一类比较简单的情况——常函数的导数。
常函数指的是函数中的自变量对应的函数值都是一个常数。
例如，函数f(x) = 2是一个常函数，因为对于任意的x值，f(x)的值都是2。
那么，对于常函数来说，它的导数是多少呢？我们回顾一下导数的定义：当x的增量趋于0时，函数f(x)的增量与x的增量之比的极限，即为f(x)的导数。
而对于常函数来说，不管x 的取值如何变化，函数f(x)的值都保持不变，因此其导数为0。
所以，对于常函数 f(x) = c 来说，它的导数始终等于0。
二、幂函数的导数接下来，我们来看一类更为常见的函数——幂函数的导数。
幂函数指的是函数中的自变量的幂次不同，例如 f(x) = x^2 和 f(x) = x^3 均为幂函数。
那么，对于幂函数来说，它的导数又是怎样计算的呢？我们可以利用导数的定义来计算幂函数的导数。
假设 f(x) = x^n ，其中n是正整数。
我们固定x的值，令x的增量为h，那么 f(x) 的值就会增加到 f(x+h)。
接下来，我们计算 f(x+h) 与 f(x) 之差与 h 之比的极限。
根据幂函数的性质，我们可以展开计算，并通过化简得到幂函数的导数公式。
通过计算可以得出以下结论：当n为正整数时，幂函数 f(x) = x^n 的导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。
例如，当n=2时，即为二次函数，导数为 f'(x) = 2 * x^(2-1) = 2x。
当n=3时，即为三次函数，导数为 f'(x) = 3 * x^(3-1) = 3x^2。
三、三角函数的导数另外一个常见的函数类型是三角函数。
导数中如何分类讨论
导数中如何分类讨论在微分学中，导数是一个非常重要的概念，描述了函数在其中一点的变化率。
导数的分类讨论主要有以下几种情况：1.右导数和左导数：对于函数在其中一点的导数来说，如果左极限和右极限都存在且相等，则这个导数称为右导数和左导数。
如果左右导数相等，则称为函数在这一点处可导。
否则，函数在这一点处不可导。
2.一阶导数：函数的一阶导数描述的是函数的瞬时变化率，也就是在特定点的切线斜率。
如果函数在其中一点可导，则这一点的一阶导数存在。
通过函数的一阶导数，可以推断出函数的增减性、极值点和拐点等信息。
3.高阶导数：函数的高阶导数描述的是函数的瞬时变化率的变化率，即变化率的二阶或更高阶的导数。
高阶导数主要用于研究曲线的弯曲程度、拐弯点等。
如果函数的一阶导数存在，且一阶导数也再次可导，则可以得到函数的二阶导数。
以此类推，得到三阶导数、四阶导数，依此类推。
4.导数的连续性：对于函数的导数，我们可以考虑导数本身在其中一区间上的连续性。
如果导数在其中一区间上连续，则称该函数在该区间处可导。
连续导数的函数是很常见的类型，如多项式函数、三角函数等。
但也有一些函数在一些点处的导数不连续，如绝对值函数在零点处。
5.可导函数的性质：对于可导函数而言，还有一些特殊的性质可以讨论。
例如，连续函数的定义域上的导函数在整个区间上是无穷可微的。
光滑函数是指具有任意阶导数的函数。
对于光滑函数而言，它的导数在整个定义域上是无穷可微的。
在实际问题中，导数的分类讨论可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
通过分析导数的分类情况，可以确定函数的增减性、极值点和拐点等重要信息，从而为更深入的研究函数提供了基础。
同时，导数的分类讨论也有助于我们理解函数之间的关系和运算法则，如链式法则、乘积法则和商法则等。
综上所述，导数的分类讨论在微分学中是非常重要的。
对函数的导数进行分类讨论，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，并进一步研究更复杂的数学问题。
第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)
导数中含参问题的分类讨论本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰，侵权必究或知识导航★ 1.-次型导函数一次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式，或者说导函数中，除去里面的一次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (x) = ax + b；f (a:) = (ax + b) e x ; f' (a;) = 口“ * " (z > 0)X★ 2.二次型导函数二次型导函数：二次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式，或者说导函数中，除去里面的二次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (a:) = ax2 +bx + c；f (x) = (ax2 +bx + cj e x ; f (x) —* 况* ° (a； > 0)注：以上a尹0，若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型；★ 3 .含参函数单调性的分类讨论(1)先确定导函数是一次型还是二次型，一次型按照一次型的讨论方式讨论;①判断是否有根，没有根会出现恒成立状况；②求出导函数的根，判断根是否在定义域内，不在定义域会出现恒成立问题；③根在定义域内，穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；(2)若是二次型，先判断二次型函数是否有根，没有根会出现恒成立状况；①如果二次型函数有根，就先求出根(能因式分解就因式分解)；②判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系)；③如果两根全在定义域，那么确定两根大小关系；④穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；★ 4.拟合函数(1)拟合函数是指，根据散点图，拟合出函数的解析式，这里考虑到的点越多，拟合的解析式就越精确.(2 )在求导中，我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的，如：f' (x) = e x—2 ; (/ (x) = (a; — a) (In x — S),这种类型的导函数，我们判断原函数的单调性比较麻烦，所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了；(3)在单调性讨论中，拟合的形式比较简单，只需要参考两个关键点就可以了，分别是：①等于0的解，②所需拟合函数单调性；例如：f (a；) = e x -2，①当 / (a:) = 0 时，c = ln2 :② f (时=e x -2单调递增；则，我们也可以找到一个具有相同性质的一次函数，所以f (x) = 可以拟合成f' {x) — x — \n.2 ;再如：寸(x) = (a; — a) (In a: — 3),只需要讨论g = In r - 3这部分就可以了，此函数可以拟合成：y = x-^(x>0)；则寸(c) = (z — a) (Ina: — 3)可以拟合成(/ (x) = (x — a) (x — e3) (z > 0).知识札记歩经典例题考点1 一次型含参导函数的分类讨论已知函数f(x) = lnx + --l ^R)，讨论函数六z)的单调性. X解答：由题意知该函数的定义域为(0, +8)，且/ (^) = - - 4 = 与凸从而当a W0时，/(苛>0,则,(z)在(0,+8)上单调递增当a > 0时(1 )若z € (0,a)，则「(r) < 0,从而/(a:)在(0,a)上单调递减(2)若z€(a,+8),则f(z)>0,从而f(3!)在(a,+8)上单调递增综上所述，当aWO时，义时在(0,+8)上单调递增；当a>0时，山z)在(0,a)上单调递减，在(a, +oo)上单调递增讨论函数f(x)=ax-inx的单调区间.解答：函数，(z)的定义域是(0,+8) m—，若aWO,则/ (x) <。
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
一．含参数导数问题的分类讨论问题求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★例1已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 ★★例2已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+--=（a>0）求函数的单调区间★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
。
练习：已知函数当时，讨论的单调性.二．已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；．例4.已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________．练习：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．恒成立分参例1：设函数f (x )＝kx 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数k 的值为________．练习： 当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2] D ．[－4，－3]。
导数专题——3 导数的分类讨论
导数专题分类讨论考纲要求考试内容要求层次了解理解掌握导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念√导数的几何意义√导数的运算根据导数定义求函数cy=，xy=，2xy=，3xy=，xy1=，xy=的导数√导数的四则运算√简单的复合函数（仅限于形如)(baxf+）的导数√导数公式表√导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）√函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）√利用导数解决某些实际问题√知识框图讲义导航 考点 总题数 例题 练习A 练习B 练习C 作业 一次型 3 1 0 0 1 1 二次型 16 4 3 4 3 2 分式指对 1133221知识点一. 为什么要分类讨论？1. 利用导数求单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数'()f x ，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）； （3）由'()0f x >（或0<）解出相应的x 的取值范围．当'()0f x >时，()f x 在相应的区间内是单调增函数； 当'()0f x <时，()f x 在相应的区间内是单调减函数． 一般需要通过列表，写出函数的单调区间．2. 为什么要分类讨论？在利用导数解决函数的单调性与极值、最值问题时，一般含有参数的导数往往需要分类讨论． 原因在于，求单调区间的第（3）步中会去解一个含参的不等式． 或者，是题目给出的是区间端点含有参数．二. 如何进行分类讨论？1. 先明确是哪类不等式，不同类型的不等式，分类讨论的策略不同！考试中常碰到的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、指数不等式2. 再观察一下区间（定义域）和参数范围．3. 结合导函数图象，开始讨论不同类型不等式的讨论策略： （1）一元一次不等式型：①参数在一次项系数上：如：'()e (1)0x f x ax =+>，R x ∈，R a ∈（i ）当0a =时，'()10f x =>，()f x 增区间为R ；（ii ）当0a >时，由'()0f x >，得1x a >-，()f x 增区间是1()a -+∞，；由'()0f x <，得1x a <-，()f x 减区间是1()a-∞-，．（ii ）当0a <时，由'()0f x >，得1x a <-，()f x 增区间是1()a -∞-，；由'()0f x <，得1x a >-，()f x 减区间是1()a-+∞，．②参数在常数项上：如：'()e ()0x f x x a =+>，0x >，a ∈R （i ）当0a时，'()0f x >恒成立，()f x 增区间为(0)+∞，；（ii ）当0a <时，由'()0f x >，得x a >-，()f x 增区间为()a -+∞，； 由'()0f x <，得x a <-，()f x 增区间为()a -∞-，． （2）一元二次不等式型：①参数在二次项系数：第一种，能因式分解型；如：'()(1)()0f x a x x a =+->，x ∈R ，a ∈R当0a =时，'()0f x =恒成立，()f x 为常函数； 当0a >时，由'()0f x >，得1x <-或x a >，()f x 的增区间是(1)-∞-，，()a +∞，； 由'()0f x <，得1x a -<<，()f x 的减区间为(1)a -，． 当0a <时，（i ）1a =-，2'()(1)0f x x =-+且不恒为0，()f x 减区间为()-∞+∞，； （ii ）1a <-时，由'()0f x >，得1a x <<-，()f x 的增区间是(1)a -，； 由'()0f x <，得x a <或1x >-，()f x 的减区间是()a -∞，，(1)-+∞，． （iii ）10a -<<时，由'()0f x >，得1x a -<<，()f x 的增区间是(1)a -，; 由'()0f x <，得1x <-或x a >，()f x 的减区间是(1)-∞-，，()a +∞，． 注：分类可以有层次感，在大类下还可以再分小类，这样逻辑比较清晰严谨，不易混乱．第二种，不能因式分解型；如：2'()10f x ax x =++>，x ∈R ，a ∈R当0a =时，由'()10f x x =+>，得1x >-，()f x 的增区间是(1)-+∞，； 由'()10f x x =+<，得1x <-，()f x 的减区间是(1)-∞-，当0a >时，14a ∆=-（i ）当0∆时，即14a2'()10f x ax x =++恒成立且不恒为0，()f x 的增区间是()-∞+∞，； （ii ）当0∆>时，即104a <<由2'()10f x ax x =++>，得x 或x >()f x 的增区间是(-∞，)+∞;由2'()10f x ax x =++<x <()f x 的减区间是．当0a <时，140a ∆=->由2'()10f x ax x =++>x <<()f x 的增区间是．由'()0f x <，得x x >()f x 的减区间是(-∞，)+∞． ②参数不在二次项系数上：第一种，能因式分解型如：'()(1)()0f x x x a =-->，x ∈R ，a ∈R 当1a =时，2'()(1)0f x x =-恒成立且不恒为0，()f x 增区间为()-∞+∞，； 当1a >时，由'()0f x >，得1x <或x a >，()f x 增区间为(1)-∞，，()a +∞，； 由'()0f x <，得1x a <<，()f x 减区间为(1)a ，． 当1a <时，由'()0f x >，得x a <或1x >，()f x 增区间为()a -∞，，(1)+∞，； 由'()0f x <，得1a x <<，()f x 减区间为(1)a ，． 第二种，不能因式分解型如：2'()10f x x ax =++>，x ∈R ，a ∈R 24a ∆=-当240a ∆=-，即22a -时，2'()10f x x ax =++≥恒成立且不恒为0，()f x 增区间是()-∞+∞，． 当240a ∆=->，即2a >或2a <-时，由2'()10f x x ax =++>，得242a a x ---<或242a a x -+->()f x 增区间是24()2a a ----∞，，24()2a a -+-+∞，；由'()0f x <，得224422a a a a x ----+-<<()f x 减区间是2244()22a a a a ----+-，． （3）分式不等式型这种类型往往可以转化为一元二次不等式型解决．（4）指数不等式型如：'()e 0x f x a =+>，x ∈R ，a ∈R 当0a时，'()0f x >恒成立，()f x 增区间为()-∞+∞，；当0a <时，由'()e 0x f x a =+>，得ln()x a >-，()f x 增区间为(ln())a -+∞，； 由'()0f x <，得ln()x a <-，()f x 减区间为(ln())a -∞-，（5）对数不等式型如：'()ln 0f x x a =+>，0x a >∈R ，由'()0f x >，得e a x ->，()f x 增区间是(e )a -+∞，； 由'()0f x <，得0e a x -<<，()f x 减区间是(0e )a -，．核心问题1 分类讨论：一次型设函数()e (0)kxf x x k =≠，求函数()f x 的单调区间．【解析】由()(1)0kxf x kx e '=+=得1(0)x k k=-≠若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；核心问题2 分类讨论：二次型设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠．求函数()f x 的单调区间与极值点．【解析】2()3()(0)f x x a a '=-≠当0a <时，由()'0f x >，函数()-+f x ∞∞在（，）上单调递增，此时函数()f x 没有极值点．当0a >时，由(=0f x'）得x a =± 当(,)x a ∈-∞-时，()0f x '>函数()f x 单调递增；当(,)x a a ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；此时，x a =-是()f x 的极大值点，x a =是()f x 的极小值点． 已知函数22()(23)e ()x f x x ax a a x =+-+∈R ，其中a ∈R 当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值． 【解析】22'()(2)24xf x x a x a a e ⎡⎤=++-+⎣⎦．令'()0f x =，解得2x a =-，或2x a =-由32a ≠知，22a a -≠- 以下分两种情况讨论．若23a >，则2a -＜2a -．当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表：x (),2-∞- 2-()2,2a a -- 2a - ()2.a -+∞ ()'f x+ 0 - 0 + ()f x增函数极大值减函数极小值增函数所以()f x 在(2)(2)a a -∞--+∞，，，内事增函数，在(22)a a --，内时间函数． 函数()f x 在2x a =-处取得极大值()2f a -，且2(2)3a f a ae --= 函数()f x 在2x a =-处取得极小值(2)f a -，且2(2)(43)a f a a e --=- 若23a <，则2a -＞2a -，当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表： x(),2a -∞-2a -()2,2a a --2a -()2,a -+∞()'f x+ 0 - 0 + ()f x增函数极大值减函数极小值增函数所以()f x 在(2)(2)a a -∞--+∞，，，内是增函数，在(22)a a --，内是减函数； 函数()f x 在2x a =-处取得极大值(2)f a -，且2(2)(43)a f a a e --=-； 函数()f x 在2x a =-处取得极小值(2)f a -，且2(2)3a f a ae --=．设函数1()ln f x x a x a x=--∈R ，，讨论的单调性． 【解析】的定义域为令()21g x x ax =-+，其判别式，∆当0∆>故上单调递增． ()f x ()f x (0,).+∞22211'()1a x ax f x x x x-+=+-=2 4.a =-||2,a f x ≤≤≥时0,'()0,af x ≤≤≥时()(0,)f x +∞在当0∆>的两根都小于0，在上，，故上单调递增．当0∆>的两根为， 当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．已知函数2()ln(1)2kf x x x x =+-+（0k ≥）．求()f x 的单调区间．【解析】(1)()1x kx k f x x+-'=+，(1,)x ∈-+∞当0k =时，()1x f x x'=-+ 所以，在区间(1,0)-上，()0f x '>； 在区间(0,)+∞上，()0f x '<故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞当01k <<时，由(1)()01x kx k f x x+-'=<+ 得10x =，210kx k-=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)kk-+∞上，()0f x '>； 在区间1(0,)kk-上，()0f x '< 故()f x 的单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)kk-． 当1k =时，2()1x f x x'=+ 故()f x 的单调递增区间是(1,)-+∞当1k >时，由(1)()01x kx k f x x+-'==+ 得11(1,0)kx k-=∈-，20x = 所以，在区间1(1,)kk--和(0,)+∞上，()0f x '>； 在区间1(,0)kk-上，()0f x '< 故()f x 的单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)kk-．核心问题3 分类讨论：分式与指对数型已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间． 2a <-时,>0,g(x)=0a <-时,>0,g(x)=0(0,)+∞'()0f x >()(0,)f x +∞在2a >时,>0,g(x)=0221244a a a a x x --+-==10x x <<'()0f x >12x x x <<'()0f x <2x x >'()0f x >()f x 12(0,),(,)x x +∞12(,)x x【解析】242(1)(2)(1)()(1)x x b x f x x ---⨯-'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--． 令()0f x '=，得1x b =-．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：x(1)b -∞-， 1b - (11)b -， (1)+∞，()f x ' - 0 +-当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：x(1)-∞， (11)b -， 1b - (1)b -+∞，()f x ' - + 0 -所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减．当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减． 当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．已知函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ．若存在区间M ，使()f x 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围． 【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x-'=-=． ① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减． ② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=． x ，()f x 和()f x '的情况如下：x 1(0,)a1a 1(,)a +∞ ()f x ' -+()f x↘↗故()f x 的单调减区间为1(0,)a ；单调增区间为1(,)a+∞． ()g x 的定义域为R ，且 ()e 3ax g x a '=+． 当0a >时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意．① 当0a =时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．② 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-． x ，()g x 和()g x '的情况如下表： x 0(,)x -∞ 0x 0(,)x +∞ ()g x ' -+()g x↘↗当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增， 由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意． 综上，a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞．已知函数ln ()()a xf x a x+=∈R ，求()f x 的单调区间． 【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，21(ln )()x a f x x-+'=， 令()0f x '=得1a x e -=． 当1(0,)a x e -∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当1(,)a x e -∈+∞时，()0f x '<，()f x 是减函数；课堂练习【A 】已知函数1()ln 1a f x x ax x-=-+-()a ∈R ，当a ⩽ 12时，讨论()f x 的单调性．【解析】因为1()ln 1af x x ax x-=-+- 所以222111()a ax x af x a x x x--+-'=-+=- (0,)x ∈+∞ 令2()1h x ax x a =-+- (0,)x ∈+∞（1）当0a =时，()1h x x =-+ (0,)x ∈+∞所以，当(0,1)x ∈时，()0h x >此时，()0f x '<，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <此时()0f x '>，函数()f x 单调递增（2）当0a ≠时，由()0f x '=， 即 210ax x a -+-=，解得 1211,1x x a==- 当12a =时，12x x =，()0h x >，此时()'0f x ≤，函数()f x 在()0,+∞上单调递减． 当102a <<时，1110a->>(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减；1(1,1)x a ∈-时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增；1(1,)x a∈-+∞时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减③当0a <时，由于110a-<(0,1)x ∈时，()0h x >，此时()0f x '<，函数()f x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，()0h x <，此时()0f x '>，函数()f x 单调递增综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；当12a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a <<时，函数()f x 在（0，1）上单调递减；函数()f x 在1(1,1)a -上单调递增； 函数()f x 在1(1,)a-+∞上单调递减设函数2e ()1axf x a x =∈+R ，．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间．【解析】因为2e (),1axf x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+． （Ⅰ）当1a =时， 2e ()1xf x x =+，222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+，所以(0)1,f = (0)1f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=． ……4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax ax ax x a f x ax x a x x -+'==-+++， …5分 （1）当0a =时，由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >．所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增， 在区间(0,)+∞单调递减．…6分（2）当0a ≠时， 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……7分①当01a <<时，此时0∆>．由()0f x '>得211a x --<，或211ax +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<． 所以函数()f x 单调递增区间是211()a ---∞和211)a+-+∞，单调递减区间221111(a a --+-． ……9分②当1a ≥时，此时0∆≤．所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞． …10分③当10a -<<时，此时0∆>．由()0f x '>得221111a ax a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<，或211ax a-->．所以当10a -<<时，函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)aa--+∞，单调递增区间221111(,)a a a a+---．……12分④当1a ≤-时， 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞．已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+．()a ∈R ．（I ）当0a =时，求曲线()y f x =在(e (e))f ，处的切线方程（e 2.718...=）；（II ）求函数()f x 的单调区间．【解析】（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+．………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………………………………8分 ②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x <所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； …………………………………………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减………已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1(1))f ，处的切线与坐标轴围成的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值．【解析】（Ⅰ）22()e xx ax a f x x-+'=， ………………3分当2a =时，2222()e xx x f x x-+'=， 12122(1)e e 1f -+'=⨯=，(1)e f =-，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-， ………………5分 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-， ………………6分所以，所求面积为122e 2e 2⨯⨯-=． ………………7分 （Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根， ………………8分则240,0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩………………9分 所以4a >． ………………10分设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点，则12x x a +=，12x x a =， ………………11分因为，512()()e f x f x =，所以，1251212e e e x x x a x a x x --⨯=， ………………12分 即1225121212()e e x x x x a x x a x x +-++=，225e e a a a a a-+=，5e e a =，解得，5a =，此时()f x 有两个极值点， 所以5a =．（2019年东城二模文）已知函数1()2ln 2f x x x x x=--+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：(1)()0x f x -≥.【解析】（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞，(1)0f =.2211'()2(1ln )112ln f x x x x x=+-+=++. '(1)2f =. 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-. 即22y x =-.…………….5分 （Ⅱ）记21()12ln g x x x =++. 33222(1)(1)'()x x g x x x x+-=-=. 由'()0g x =解得1x =．()g x 与'()g x 在区间(0,)+∞上的情况如下：x(0,1) 1(1,)+∞'()g x-0 +()g x↘ 极小 ↗所以()g x 在1x =时取得最小值(1)2g =．所以21()12ln 20g x x x=++≥>.所以'()0f x >. 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. 又由(1)0f =知，当01x <<时，()0f x <，10x -<，所以(1)()0x f x ->； 当1x >时，()0f x >，10x ->，所以(1)()0x f x ->. 所以(1)()0x f x -≥. ………………………………13分（2017年丰台期末理）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(0,0)处有相同的切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[]1,2上的最小值．【解析】（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=． (2)因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=． (4)因为()f x 与()g x 的图象在（0，0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =． 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 21()2g x x x =+， 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )x x xh x x b x x b '=+-+=+-． ………………．6分 (1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1，2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； (7)(2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ………………．8分 ①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1，2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -． (9)②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>， 以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ………………．11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -． (12)综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -，当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -． (13)课堂练习【B 】已知函数（其中a b ，为常数且）在处取得极值． （I ）当时，求的单调区间；（II ）若在(0e]，上的最大值为，求的值． 【解析】（I ）因为所以………………2分 因为函数在处取得极值……………3分当时，，，随的变化情况如下表：1(1,)+∞极大值极小值………………5分所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ………………6分（II ）由（I ）可得 12b a =--因为2()ln (21)f x x ax a x =+-+ ，22(21)1'()ax a x f x x-++=(21)(1)ax x x --= 令， ………………7分 因为在 处取得极值，所以 当时，在上单调递增，在上单调递减 2()ln f x x ax bx =++0a ≠1x =1a =()f x ()f x 1a 2()ln ,f x x ax bx =++1()2f x ax b x'=++2()ln f x x ax bx =++1x =(1)120f a b '=++=1a =3b =-2231()x x f x x-+'='(),()f x f x x x 1(0,)2121(,1)2'()f x +-+()f x ()f x 1(0,)21+∞（，）1(,1)2()0f x '=1211,2x x a==()f x 1x =21112x x a=≠=102a<()f x (0,1)(1,e]所以在区间上的最大值为，令，解得………………9分 当， 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得而 所以，解得 ………………11分 当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增 所以最大值1可能在或处取得 而所以，解得，与矛盾 ………………12分 当时，在区间上单调递增，在单调递减， 所以最大值1可能在处取得，而，矛盾综上所述，或． ………………13分设函数321()(0)()213f x x ax ag x bx b =->=+-，，当121=-=b a 时，求函数()()f x g x +在区间[3]t t +，上的最大值． 【解析】记()()()h x f x g x =+，当121a b =-=时，()3113h x x x =--．由（II ）可知，函数()h x 的单调递增区间为()(),1,1,-∞-+∞;单调递减区间为()1,1-． ①当31t +<-时，即4t <-时，()h x 在区间[],3t t +上单调递增，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()()()33211333138533h t t t t t t +=+-+-=+++; ②当1t <-且131t -≤+<，即42t -≤<-时，()h x 在区间[),1t -上单调递增，在区间[]1,3t -+上单调递减，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()113h -=-； 当1t <-且31t +≥，即21t -≤<-时，t+3<2且h （2）=h （-1），所以()h x 在区间[],3t t +的最大值为()113h -=-；()f x (]0,e (1)f (1)1f =2a =-0a >2102x a=>112a <()f x 1(0,)2a 1(,1)2a(1,e)12x a=e x =2111111()ln()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-11e 2a ≤<()f x (0,1)1(1,)2a 1(,e)2a 1x =e x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=1e 2a =-211e 2x a <=<21e 2x a=≥()f x (0,1)(1,e)1x =(1)ln1(21)0f a a =+-+<12a e =-2a =-③当11t -≤<时，321t +≥>，()h x 在区间[),1t 上单调递减，在区间[]1,3t +上单调递增，而最大值为()h t 与()3h t +中的较大者．由()()()()3312h t h t t t +-=++知，当11t -≤<时，()()3h t h t +≥，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()32133853h t t t t +=+++;……13分④当1t ≥时，()h x 在区间[],3t t +上单调递增，所以()h x 在区间[],3t t +上的最大值为()32133853h t t t t +=+++．………………………………………………14分已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求在区间[23]，上的最大值和最小值． 【解析】()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-．当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--， 即 6350x y +-=． （Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式为8a =∆．（ⅰ）当0a ≤时，()0f x '≥，所以在区间(2,3)上单调递增，所以在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． （ⅱ）当0a >时，令()0f x '=，得 121a x =，或221a x =+ ()f x 和()f x '的情况如下：x 1(,)x -∞1x12(,)x x 2x2(,)x +∞()f x ' + 0 -+ ()f x↗↘↗故()f x 的单调增区间为2(,1)a -∞-，2(1,)a ++∞；单调减区间为22(1a a+．① 当02a <≤时，22x ≤，此时在区间(2,3)上单调递增，所以在区间[2,3] 上的最小值是7(2)23f a =-；最大值是(3)73f a =-． ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x所以在区间[2,3]上的最小值是 252()33a af x a =--．因为 14(3)(2)3f f a -=-， 所以 当1423a <≤时，在区间[2,3]上的最大值是(3)73f a =-；当1483a <<时，在区间[2,3]上的最大值是7(2)23f a =-．③ 当8a ≥时，1223x x <<≤，此时在区间(2,3)上单调递减，所以在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-；最大值是7(2)23f a =- 综上，当2a ≤时，在区间[2,3]上的最小值是723a -，最大值是73a -； 当1423a <≤时，在区间[2,3]上的最小值是5233a a a --，最大值是73a -； 当1483a <<时，在区间[2,3]上的最小值是5233a a a --，最大值是723a -； 当8a ≥时，在区间[2,3]上的最小值是73a -，最大值是723a -．设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．【解析】（1） ……………………………2分在上存在单调递增区间存在的子区间，使得时在上单调递减，即 解得当时，在上存在单调递增区间 …………………………6分（2）令 即220x x a -++=()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ax x x x f 22131)(23++-=)(x f ),32(+∞a 20<<a )(x f ]4,1[316-)(x f a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=)(x f ),(+∞32∴),32(+∞),(n m ),(n m x ∈0>)('x f )('x f ),(+∞32032>∴)('f 0292)32('>+=a f 91->a ∴91->a )(x f ),(+∞320=)('x f 20<<a； 则 x ，'()f x ，()f x 的情况如下 x1()-∞，x1x 12(,)x x2x2(,)x +∞'()f x- 0 + 0 -)f x （减极小增极大减在上单调递减，在上单调递增在上单调递增，在上单调递减 …………………………………8分所以的最大值为， ………………………10分 解得 ……………………13分 已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在2[]a a ，上的最大值． 【解析】（Ⅰ）∵2()ln (2)f x x ax a x =-+-， ∴函数的定义域为(0,)+∞． ………………1分∴2112(2)(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-+---+'=-+-==． ………………3分 ∵()f x 在1x =处取得极值，即(1)(21)(1)0f a '=--+=，∴1a =-． ………………5分 当1a =-时，在1(,1)2内()0f x '<，在(1,)+∞内()0f x '>，∴是函数()y f x =的极小值点． ∴1a =-． ………………6分（Ⅱ）∵2a a <，∴01a <<． ………………7分2112(2)(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-+--+'=-+-==-∵ x ∈(0,)+∞， ∴10ax +>，∴()f x 在1(0,)2上单调递增；在1(,)2+∞上单调递减， ………………9分28111a x +-=28112ax ++=∴)(x f ),(),,(+∞-∞21x x ),(21x x 20<<a 4121<<<∴x x ∴)(x f ),(21x ),(42x )(x f )(2x f 0622714<+-=-a f f )()( 31634084-=-=∴a f )(212==x a ,310)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为①当102a <≤时， ()f x 在2[,]a a 单调递增， ∴32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-； ………………10分②当21212a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即1222a <<时，()f x 在21(,)2a 单调递增，在1(,)2a 单调递减，∴max 12()()ln 21ln 22424a a af x f -==--+=--； ………………11分 ③当212a ≤，即212a ≤<时，()f x 在2[,]a a 单调递减，∴2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-． ………………12分综上所述，当102a <≤时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-； 当1222a <<时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当22a ≥时，函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+- 设函数()0)(2>+=a bx axx f ． （1）若函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-，求a b ，的值； （2）若函数)(x f 在区间(11)-，内单调递增，求b 的取值范围； （3）在（1）的条件下，若00()P x y ，为函数bx axx f +=2)(图像上任意一点，直线l 与)(x f 的图像切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】（1）222')()()(b x x b a x f +-=由题意得⎩⎨⎧-=-=-2)1(0)1('f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+-210)1()1(2ba b b a ，所以⎩⎨⎧==14b a ……………………………3分 （2）)0()()()(222'>+--=a b x b x a x f 当0)(0'≤≤x f b 时，，函数)(x f 在区间()1,1-内不可能单调递增 (4)当0>b 时，22')())(()(b x b x b x a x f +-+-=则当),(b b x -∈时，0)('>x f ，函数)(x f 单调递增，故当且仅当⎩⎨⎧≥≤-11b b 时，函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增，即1≥b 时，函数)(x f 在()1,1-内单调递增．故所求b 的取值范围是[)+∞,1 ………………………………………………8分 （3）直线l 在点P 处的切线斜率2202022020)1(814)1(44)('+++-=+-==x x x x x f k (10)令,1120+=x t 则10≤<t 所以21)41(84822--=-=t t t k故当41=t 时，21min -=k ；1=t 时，4max =k所以直线l 的斜率的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,21课堂练习【C 】已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ，求()f x 的单调区间．【解析】2()(21)f x ax a x '=-++(1)(2)ax x x--=(0)x >． ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞．②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a．③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a．已知函数()e (1)axaf x a x=⋅++，其中1a-．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．【解析】（Ⅰ）当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-． 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=．（Ⅱ）2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x ++-'=，0x ≠．当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间．④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． 已知函数21()e ()(0)kx f x x x k k-=+-<．（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为R ．221'()e ()e (21)e [(2)2]kx kx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e (2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<．令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=． 当2k =-时，22'()2e (1)0x f x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,)．当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下： x2(,)k-∞2k2(,1)k- 1- (1,)-+∞'()f x+-+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的单调递增区间是2(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是2(,1)k-． 当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：x(,1)-∞-1- 2(1,)k-2k2(,)k+∞ '()f x+-+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k-． （Ⅱ）当1k时，()f x 的极大值等于23e -． 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值．当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， 令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）．当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-．因为 2e e k -<，1102k <-<，所以 2e 1e 2k k --<．因为 221e 3e 2--<，所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -．综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -．已知函数x a x x f ln )(2-=（R a ∈）．（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1)+∞，上是增函数； （Ⅱ）求)(x f 在[1e]，上的最小值． 【解析】（Ⅰ）证明：当2=a 时，x x x f ln 2)(2-=，当),1(+∞∈x 时，0)1(2)(2>-='xx x f ，所以)(x f 在),1(+∞上是增函数． ………………5分（Ⅱ）解：)0(2)(2>-='x xax x f ，当[1,e]x ∈，222[2,2e ]x a a a -∈--．若2≤a ，则当x ∈[1,e]时，0)(≥'x f ，所以)(x f 在[1,e]上是增函数，又1)1(=f ，故函数)(x f 在[1,e]上的最小值为1．若22e a ≥，则当x ∈],1[e 时，0)(≤'x f ， 所以)(x f 在[1,e]上是减函数，又(e)f =2e a -，所以)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -． 若222e a <<，则当21ax <≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数； 当e 2ax <≤时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数． 又()ln 2222a a a a f =-， 所以)(x f 在[1,e]上的最小值为ln 222a a a-． 综上可知，当2≤a 时，)(x f 在[1,e]上的最小值为1；当222e a <<时，)(x f 在[1,e]上的最小值为ln 222a a a-当22e a ≥时，)(x f 在[1,e]上的最小值为2e a -．…设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （1）求()f x 的单调区间；（2）当02a <<时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[03]，上的最小值． 【解析】（1）()f x 定义域为(1,)-+∞．12(2)()2(1)11x x f x x x x +'=+-=++．令()0f x '>，则2(2)01x x x +>+，所以2x <-或0x >． 因为()f x 的定义域为(1,)-+∞，所以0x >．令()0f x '<，则2(2)01x x x +<+，所以20x -<<． 因为()f x 的定义域为(1,)-+∞，所以10x -<<． 所以函数的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(1,0)-．（2）()(2)2ln(1)g x a x x =--+ （1x >-）．2(2)()(2)11a x ag x a x x x--'=--=++．因为0<a<2，所以20a ->，02aa>-． 令()0g x '> 可得2ax a >-．所以函数()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,)2a a+∞-上为增函数． ①当032a a <<-，即302a <<时， 在区间[03]，上，()g x 在(0,)2a a -上为减函数，在(,3)2aa-上为增函数．所以min 2()()2ln 22a g x g a a a==---． ②当32a a ≥-，即322a ≤<时，()g x 在区间(03)，上为减函数． 所以min ()(3)632ln 4g x g a ==--．综上所述，当302a <<时，min 2()2ln 2g x a a=--； 当322a ≤<时，min ()632ln 4g x a =--． （2019年朝阳一模理）已知函数ln()()ax f x x= (R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+；（Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．【解析】（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x -'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分 （Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞．不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==． 当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：x (,1)-∞-1-(1,0)-()g x ' ＋ 0－ ()g x↗极大值↘所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：xe (0,)ae a e(,)a+∞()f x ' ＋ 0－ ()f x↗极大值↘此时()f x 有极大值e ()eaf a=，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x e (,)a-∞e a e (,0)a()f x ' － 0＋ ()f x↘极小值↗此时()f x 有极小值e ()eaf a =，无极大值．……………………………………………….13分课后作业习题1.（2017年东城区期末）设函数()ln(1)()1axf x x a x =+-∈+R ． （Ⅰ）若(0)f 为()f x 的极小值，求a 的值；（Ⅱ）若()0f x >对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的最大值．【解析】（Ⅰ）的定义域为．因为， 所以．因为(0)f 为()f x 的极小值， 所以，即． 所以．此时，．当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以在处取得极小值， 所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，在上为单调递增函数， 所以，所以对(0,)x ∈+∞恒成立．()f x (1,)-+∞()ln(1)1axf x x x =+-+21'()1(1)af x x x =-++'(0)0f =21001(01)a -=++1a =2'()(1)xf x x =+(1,0)x ∈-'()0f x <()f x (0,)x ∈+∞'()0f x >()f x ()f x 0x =1a =1a =()f x [0,)+∞()(0)0f x f >=()0f x >。
帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论
帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论在导数的学习中，我们经常会遇到各种不同的函数和问题，为了更好地理解和解决这些问题，我们需要进行分类讨论。
下面将介绍导数中常见的五种分类讨论，并探讨每种分类讨论的应用。
一、基本函数的导数基本函数是指一些常见的函数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
对于这些函数，我们可以通过公式或运用基本性质来求导数。
例如，对于常数函数f(x) = c，其导数为f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
基本函数的导数可以通过记忆公式或基本性质来求解，这是导数求解中最基础的分类讨论。
二、复合函数的导数复合函数是指由两个或多个函数相互组合而成的函数。
对于复合函数的导数求解，我们可以运用链式法则。
链式法则指出，若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是两个可导函数，则复合函数y的导数可以表示为y'=f'(g(x))*g'(x)。
通过链式法则的应用，我们可以将复合函数的导数求解转化为求两个基本函数的导数，从而简化导数的计算。
三、隐函数的导数隐函数是指由一个关系式所定义的函数，其自变量和因变量的关系并不明显。
对于隐函数的导数求解，我们可以运用隐函数求导法。
隐函数求导法是一种通过求全微分和利用导数的定义来求解隐函数的导数的方法。
具体而言，我们可以将隐函数的方程两边求导，并利用导数的表示推导出隐函数的导数表达式。
隐函数的导数求解不仅可以帮助我们理解隐函数的性质，还可以解决一些与隐函数相关的问题。
四、参数方程的导数参数方程是指用参数的形式表示的函数。
对于参数方程的导数求解，我们可以运用参数方程的求导法。
参数方程的求导法是一种通过将参数作为自变量，并利用导数的定义和基本性质来求解参数方程的导数的方法。
具体而言，我们可以将参数方程中的每个参数视为独立的变量，然后对每个参数分别求导得到参数方程对应的导数表达式。
导数问题的常见分类讨论策略
导数问题的常见分类讨论策略导数是高考必考查的一个模块，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，常常需要进行分类讨论，如何分类讨论？常见的有哪些类型？本文来支支招。
1.导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系的讨论例1、已知，求函数在区间[0，1]上的最小值。
解析：，由①当在区间[0，1]上是减函数，此时在区间[0，1]上的最小值是②当在区间[0，1]上是增函数，在区间[0，1]上的最小值是③当所以当时，函数取得极大值，又，因此当时，在区间[0，1]上的最小值是，当时，在区间[0，1]上的最小值是。
综上，当时，在区间[0，1]上的最小值是；当时，在区间[0，1]上的最小值是。
评析：当求出的导数为零的点不能确定是否在给定区间内时，常常要分零点在区间的左侧、右侧（这两种情况函数一般是单调函数）和在区间内（此时函数一定有极值）三种情况讨论。
2、对代数式正负的讨论例2、设函6570，求函数的单调区间。
解析：，当，所以函数的单调增区间是；，所以函数的单调减区间是当，所以函数的单调减区间是；，所以函数的单调增区间是。
评析：研究函数的单调性时，常常需要解不等式，当不等式两边同除一个代数式时，要分此式为正、为0和为负三种情况分别讨论。
3、对判别式的讨论例3、已知函数，讨论的极值。
解析：函数的定义域为设方程的判别式 =。
Ⅰ、当 =时，恒成立，不存在极值。
Ⅱ、当 =时，恒成立，不存在极值。
Ⅲ、当 =时，方程有两个不同的实根当x变化时，、的变化情况如下表：递增递减递增由表知，当时，取得极大值，当时，取得极小值。
评析：当函数求导后能转化为二次函数或二次不等式问题，它们对应的二次方程是否有解不能确定时，往往要对判别式进行讨论，此时要特别注意，当判别式 =0时，虽然导数为0有根，但根的左右两侧符号相同，不存在极值。
4、对两根大小的讨论例4、已知函数，试讨论函数的单调性。
解析：的定义域为，方程①当时，由，所以函数在上是增函数；，所以函数在上是减函数。
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
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导数的分类讨论
导数是研究函数图像和性质的重要工具，分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”
数学思想方法：数形结合。
分类讨论
夯实基础：
1 解不等式
()(1)0x a x -->
2解不等式(1)(1)0ax
x -->
3已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是
类型一：由导函数的图像引起的分类
1 已知函数32
3
()(2)632f x ax a x x =-++- （1）当2a >时，求函数()f x 极小值；
（2）试讨论曲线()y f x =的单调性。
小结：
自测：1 讨论函数
32
11
()(1)
32
f x x a x ax
=-++的单调性
2 讨论函数
32
()23(1)63
f x ax a x x a
=-+++的单调性
3已知函数
32
11
()3
32
a
f x x x ax
+
=-++在（2，+ ∞）是增函数，求
a的取值范围
类型二：由定义域引起的分类： 1 讨论函数
()ln f x x a x =+的单调性
自测：1 讨论函数
()ln f x ax x =+的单调性
类型三：判别式引起的分类讨论
1 讨论函数()ln a f x x x x =-+的单调性
2讨论函数
1
()ln
f x x a x
x
=++的单调性
3 讨论函数
1
()ln
f x ax x
x
=++
的单调性。