人教版通用2015届高三理科数学二轮专题整合选修部分3份
(完整word版)2015年高考数学全国卷2理试题及答案word,推荐文档
2015年高考理科数学试卷全国卷II 、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1 . 已知集合A{2,1,0,1,2}B x (x1)(x 2 0 ,则AI B ( )A . A1,0B.0,1 C . 1,0,1 D . 0,1,22 . 若a为实数且(2ai)(a2i)4i，则a( )A 1 B.0 C. 1 D . 23 •根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图。
以下结论不正确的是( )A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 已知等比数列a n满足a i=3, a1a3a5=21，则a3a5a7( )A. 21 B . 42 C . 63 D . 841 log2(2 x),x 1,5. 设函数f (x) x1, f( 2) f (log212)( )2 ,x 1,A. 3 B . 6 C . 9 D . 126. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )7.过三点 A(1,3), B(4,2) , C(1, 7)的圆交y 轴于M N 两点，贝U | MN | (A . 2 6B . 8C . 4、6D . 108•右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入 a,b 分别为14,18，则输出的a ()A . 0B . 2C . 4D . 1411 .已知A , B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上, ?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°,贝U E 的离心率为( )A . 5B . 2C ..3 D . 212 .设函数f '(x)是奇函数f (x)(x R)的导函数，f ( 1)0 ,当x 0时，xf (x) f (x) 0,则使得f (x) 0成立的x 的取值范围是(已知A, B 是球O 的球面上两点,AOB 90 ,C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC 体积的最大值为36,则球 36 B.64 C.144 O A . 10.如图，长方形ABCD 的边ABO 是AB 的中点，点P 沿着边BC , 动，记BOP x .将动P 到A 、 O 的表面积为 D.256 2, BC 1,CD 与DA 运B 两点距离之禾口表示为 x 的函数f (x)，则y f(x)的图像大致 为(16 .设S n 是数列a n 的前n 项和，且a 1 1 , a n1S n S n 1，则S n ______________三、解答题ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分 BAC , ABD 面积是ADC 面积的2 倍.18 •(本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A , B 两地区分别随机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图， 并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)4-■r6 7 8A . ( ,(1,0)U(1,) C. (, 1)U( 1,0)D . (0,1)U(1,) 、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分r r13 .设向量a , b 不平行，向量a b 与a 2b 平行，则实数14 .若x ，y 满足约束条件x y 10,x 2y 0,，则z x y 的最大值为 x 2y 2 0,15. (a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幕项的系数之和为32,则 a17 .(本题满分12分)(I)sin B sin C(n)若 AD 1 , DC求BD 和AC 的长.g(n)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级” •假设两地区用户的评价结果相互独立•根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.19.(本题满分12 分)如图，长方体ABCD A3GD,中，AB=16, BC=10, AA 8 ,点E , F分别在A1B1 , C1D1上，AE DiF 4•过点E , F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ；(n)求直线AF与平面所成角的正弦值.2 2 220. (本题满分12分)已知椭圆C:9x y m (m 0),直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A , B，线段AB的中点为M•(I)证明：直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；(n)若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边3形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.21. (本题满分12分)设函数f(x) e mx x2 mx .(I)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0,)单调递增；(n)若对于任意为兀[1,1]，都有f(xj f(X2) e 1，求m的取值范围.22 .(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD 交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点.AG(I)证明：EF//BC ;(n) 若AG等于eO的半径，且AE MN 2、3，求四边形EBCF的面积.23 .(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程x tCOS ,在直角坐标系xoy中，曲线G：( t为参数，t 0)，其中0 ，在y tsin ,以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: 2sin ，曲线Q2 3cos：(I).求C2与G交点的直角坐标；(n) •若C2与C1相交于点A , C3与G相交于点B，求AB 的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设a, b,c,d均为正数，且a b c d，证明：(I)若ab cd，贝U 、a . b 、c 、d ；(n)j a j b J C J d是a b c d的充要条件.1. A【解析】由已知得B x 2 x 1 ,故AI B 1,0，故选A . 考点：集合的运算.2. B考点：等比数列通项公式和性质. 5. C7. C2 2(x 1) (y 2) 25，令 x 0,得 y2J 6 2，所以MN4后，故选C.参考答案【解析】由已知得k AB1 _2 73 ,k C BT13，所以 k AB k CB 1，所以 AB CB ,即 ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2),半径为5 ,所以外接圆方程为2【解析】由已知得4a (a 4)i4i ，所以 4a 0,a 2 44，解得a 0考点：复数的运算. 3. D【解析】由柱形图得，从 份负相关，故选 D. 考点：正、负相关. 4. B2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年 【解析】设等比数列公比为 q ，则 a i2ag4ag21，又因为a 1 3，所以q 42解得q 2，所以a 3 a 5 a 7(a i a 32a 5)q42，故选 B.【解析】 由f( 2)1 log2 43 又 log 212f (log 2 12) 2log21212砚266，故f( 2) f (log9，故选C.考点：分段函数. 6. D【解析】由三视图得, 在正方体ABCD截去四面体 A A 1B 1D 1 ,如图所示，，设正方体棱长为 a，则 V A A I B 1D 11 3 1 3丄a 3丄a 3,故剩余几何体体积 2 6为 a 31a 36所以截去部分体积与剩余部分体1—,故选 5考点：三视图. 积的比值为D. 1A 1B 1C 1D 1中，考点：圆的方程. 8. B 【解析】程序在执行过程中, a 2； b 2，此时 a 考点：程序框图. 9. C 【解析】如图所示，当点a ,b 的值依次为a 14 , b 18 ； b b 2程序结束，输出a 的值为2,故选B . 4 ； a 10 ； a 6 ； 大，设球0的半径为R , C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 1R 3 6此时 V O ABC V C AOB [R 22 O ABC 的体积最 36，故R 6，则 球O 的表面积为S 4 R 2144 ，故选C. 考点：外接球表面积和椎体的体积. 【解析 】 由已知得，当点P 在BCPA PB「tan 2x 4 tanx ；当点P 在CD 边上运动时，即 3 ,x4时,2PA PB (宀 1)2 (" 2 1) 1，当 x —时, 2 PA PB 2 2 ；当点P 在AD 边上运动时，即3 4 时，PA PB tan 2 x 4 tanx ,从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 2对称，且 考点：函数的图象和性质. 11 . D 【解析】设双曲线方程为 2 x ~~2ay 2 b 2 1(a ABM1200如图所示，|AB BM , MN x 轴，垂足为N ，在Rt BMN 中，BN | a ,MN | J3a，故点M的坐标为M(2a, J3a)，代入双曲线方程得a2 b2 a2 c2，即c2 2a2，所以e 2，故选D.考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.12. AI【解析】记函数g(x) ,贝y g'(x) xf (x)2f (x),因为当x 0时，x xxf'(x) f (x) 0，故当x 0时，g'(x) 0,所以g(x)在(0,)单调递减；又因为函数f(x)(x R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)单调递减，且g( 1) g(1) 0 •当0 x 1 时，g(x) 0，则f(x) 0 ；当x 1 时，g(x) 0，则f(x) 0,综上所述，使得f(x) 0成立的x的取值范围是(，1)U(0,1)，故选A. 考点：导数的应用、函数的图象与性质.13 .a b与a 2b平行，所以ab k(a 2b),则1考点：向量共线.14.【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为yx z,当z取到最大时，直线y x z的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到D(1」)，则z x y的最大值为-.2 2考点：线性规划.【解析】试题分析：由已知得(1 x) 1 4x 6x 4x x ,故(a x)(1 x)的展开式中x的奇k'所以2k,【解析】因为向量15. 3数次幕项分别为4ax , 4ax3, x , 6x3, x5,其系数之和为4a 4a 1+6+1=32,解得a 3.考点：二项式定理.1,S nn考点：等差数列和递推关系.理得2 2 2 2 2AB 2AC 3AD BD 2DC 6 •由（I ）知 AB 2AC ，所以 AC 1 .18.【解析】（I ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下B 地冈4fi35 1 56 46 4 26 2 4 5 5 6 S 8 6 4 3 1 35 4699 2 &6 $ 1 8 71 ? 1 75 S 291 3通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值;16. 【解析】由已知得a n 1 S n 1 S n S n 1 S n ，两边同时除以S i 11Sn ，得— S n 11S n故数列— 是以 1为首项， 1为公差的等差数列，则S n1 (n 1)所以17.【解析】（I ） S ABD〔AB AD sin BAD , S ADC2 i ACAD sin CAD , 因为S ABD 2S ADC,BADCAD ，所以AB 2AC .由正弦定理可得sin Bsin CACAB因为 S ABD : S ADCBD : DC ，所以 BD . 2 .在 ABD 和 ADC 中, 由余弦定AB 2AD 2 BD 2 2ADBD cos ADB,AC 2 AD 2 DC 2 2AD DC cos ADC .1,A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散. （n）记C A1表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”C A2表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；C B 1表示事件：“ B 地区用户满意度等级为不满意”；C B 2表示事件：“ B 地区用户满意度等级为满意”则 C A 1 与 C B 1 独立，C A 2 与 C B 2 独立，C B 1 与 C B 2 互斥，C C B1C A1 UC B2C A2 .P(C) P(C B1C A1 UC B2C A2)P(CB1CA1) P(CB2CA2)P(C BI )P(C AI ) P(C B 2)P(C A 2).由所给数据得 C A 1 , C A 2 , C B 1 , C B 2发生的概率分别为16 204 10 2 0 ' 2 0 呀•故 P (C A 1)=20，，P(C B 2)=20，A(10,0,0) , H (10,10,0) , E(10,4,8) , F (0,4,8) uuu，FE (10,0,0)，uuur HE(0, 6,8).设 r n n （x, y,z ）是平面EHGF 的法向量，贝U r n uuu FE UL UT0,即0,10x6y 0,8z 所以可取0,，P(C B 1)= 1020P(C A 2)=—20r UUUT n (0, 4,3) •又 AF (r UUUT10,4,8)，故 cos n, AFn| AF4 ” 5--- .所以直线AF 与15平面所成角的正弦值为4\5 1520.【解析】（I ）设直线l :y kx b (k 0,b0) ，A （为，yj ， B(x 2, y )，将 y kxb2 2 2 2 2 2 29x y m 得(k 9)x 2kbx b m 0 ，故9by M kx M b 斗•于是直线OM 的斜率k °M k 2 9线OM 的斜率与I 的斜率的乘积为定值.(n)四边形 OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m ,m)，所以1不过原点且与3C 有两个交点的充要条件是 k 0 , k 3 •9由(I)得 OM 的方程为y- x .设点P 的横坐标为 X P .由y9x,kk小 22 29x y m ,2 m ^k® •解得 k i 4 -7 , k 2 4 .7 •因为 k i 0,k i 3, i 1, 2，所以当 I 3(k9)的斜率为4 17或4 J 时，四边形OAPB 为平行四边形.21 •【解析】(I) f '(x) m(e mx 1) 2x • 若m0，则当x (,0)时， —mxe1, f '(x)；当 x (0,mx /)时，e1,f '(x)0 •若m0，则当x (,0)时， mxe 1, f '(x)；当 x (0,mx A)时，e1,f '(x)0 •所以， f (x)在(,(0)单调递减,在 (0, )单调递增.(n)由(I)知，对任意的 m , f (x)在［1,0］单调递减，在［0,1］单调递增，故f (x)在kb k 2y MX M9，即k oM k 9 •所以直k2Xpk 2m 29k 281 '即—m — •将点(m,m)的坐标代入直线I 的方程得b 3、.k 2 9 3m(3 k) 3因此x M3)•四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段3(k 2 9)AB 与线段OP 互相平分,即x P2x M• 于是km 3 <k 2 9x 0处取得最小值•所以对于任意治兀［1,1］, f(xj f(X2) e 1的充要条件是:f(1 )f(°) e 1,即me m e1，①，设函数f( 1I) f(0) e 1,m e m e1,g'(t)e t 1 •当t 0 时，g'(t)；当t:0时，g'(t)0 . f在(0,）单调递增.又g（11) 0, g(1)e1 2 e 0,故当m [1,1]时，g(m) 0 , g(m)0, 即①式成立.当mg(m)0 ,即e m m e 1 ；当m1时寸，g( m) 0，即et [ 1,1]时，g(t) 0 .当1时,取值范围是[1,1].g（t）在（，0）单调递减,mmg(t) e t t e 1，则由g（t）的单调性,e 1 .综上，m的ABC是等腰三角形,AC相切于22.【解析】（I）由于因为e O分别与AB、EF//BC .（n）由（I）知，AE AF , AD 弦，所以O在AD上•连接OE , OMADE、F两点，BC，所以AD是所以AEAF，故ADCAB的平分线.又EF •从而EF，故AD是EF的垂直平分线，又，则OE AE •由AG等于eO的半径得EF是eO的AO 2OE,所以OAE 300.所以ABC和AEF都是等边三角形.因为AE 2「3，所以AO 4 , OE 2.1因为OM OE 2, DM —MN .3 ,2 所以OD 1 .于是AD 5, AB .所31以四边形EBCF的面积丄2(2「3)16 3【解析】（I）曲线23.x2C2的直角坐标方程为x22y 曲线C3的直角坐标方程为y22、、3X 0 •联立2x2xy2 2y y22、3X0,0,解得2所以C2与G交3点的直角坐标为（0,0）和（—3 ,-）2 2(n)曲线 C i 的极坐标方程为( R, 0)，其中 0因此A 得到极坐标AB 2sin 2A /3COS4 sin( —)，当34 .24.【解析】(I)因为,b)2 a b 2 ab , (、、C 、、d)2 C d cd ，由题设a b C d , ab cd ，得(、a、b)2 (、c ,d )2. 因此 jajb VC jd .(n) (i)若a b C d ，则(a b)2(C d)2 .即(ab)2 4ab(Cd)24cd .因为 a b C d ，所以 ab cd ，由(I)得 .a 、、b .. C .. d . (ii) 若、a. b 、、c 、、d , 贝U( •、. a . b)2(、、c . d )2, 即 a b 2.0b Cd2. cd .因为a b C d ,所以 ab cd,于是(ab)2 (a b)2 4ab (C d )2 4cd (C d)2 .因此 a b C d ，综上，的充要条件.为(2sinB 的 极坐标 为 (2 3 cosAB取得最大值，最大值为。
2015年高考新课标全国二卷数学理科(高清图文重做版)
2
2
22Βιβλιοθήκη ������ ������ 3������ 42 4
������
������ 4
������ 2
3������ 4
������
������ 4
������ 2
3������ 4
������
������ 4
������ 2
3������ 4
������
A B C D ABM （11）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， 为等腰三角 形，且顶角为 120 ，则 E 的离心率为 （A） 5 （B）2 （C） 3 （D） 2
第Ⅱ卷
二、 填空题：本大题共 4 小题。每小题 5 分 （13）设向量 a，b 不平行，向量 λa+b 与 a+2b 平行，则实数 λ=________.
x y 1 0, （14）若 x，y 满足约束条件 x 2 y 0, 则 z=x+y 的最大值为_________. x 2 y 2 0,
f ( x1 )-f ( x2 ) e 1，求 m 的取值范围。
（22） （本小题满分 10 分）选秀 4-1：集合证明选就爱 那个 如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点， O 与 ABC 的 底边 BC 交与点 M，N 两点，与底边上的高 AD 交与点 G，且与 AB，AC 分别 相切于点 E，F 两点。 （Ⅰ）证明：EF//BC； （Ⅱ）若 AG 等于 O 的半径，且 AE MN 2 3 ，求四边形 EBCF 的面积。 （23） （本小题满分 10 分）秀 4-4：坐标系与参数方程
2 ，求 BD 和 AC 的长。 2
（18） （本小题满分 12 分） 某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用 户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ） 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两 地区满意度评分的平绝值机分散成都（不要求计算出具体值，给出结论即可） ； A 地区 4 5 6 7 8 9 （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级; 满意度评分 低于 70 分 70 分至 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地 区用户的评价结果相互独立， 根据所给的数据，以事件发生的频率作为相应事件 发生的概率，求 C 的概率。 （19） （本小题满分 12 分） 如图， 长方体 ABCD- A1B1C1D1 中， AB=16， BC=10， AA1=8， 点 E， F 分别在 A1B1 ， B 地区
2015届高考理科数学二轮复习：提能专训2 数形结合思想Word版含解析
提能专训(二) 数形结合思想一、选择题1．(2014·锦州质检)设全集U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x x －2<0，B ＝{x |2x <2}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[答案] B[解析] A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x x －2<0＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x <2}＝{x |x <1}，则题图中阴影部分表示的集合为A ∩∁R B ＝{x |0<x <2}∩{x |x ≥1}＝{x |1≤x ＜2}．2．(2014·唐山二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( )A ．－32B ．－22C.32 D.22[答案] B[解析] 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3π4－5π12＝2π3，∴ω＝2πT ＝3，∴f (x )＝sin(3x ＋φ)，代入点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝0，则可取φ＝－π4.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝sin 5π4＝－22. 3．(2014·临沂4月质检)当a >0时，函数f (x )＝(x 2－ax )e x 的图象大致是()[答案] B[解析] f (x )＝(x 2－ax )e x ，∵e x >0，∴当x ∈(0，a )时，f (x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f (x )>0，且增长很快．当x ∈(－∞，0)时，f (x )>0，由于e x 的影响，增长很慢．分析选项知，应选B.4．(2014·郑州质检二)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2，2]D ．[2,4][答案] B[解析] 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．5．(2014·云南统检)已知圆M 经过双曲线S ：x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M 在双曲线S 上，则圆心M 到双曲线S 的中心的距离为( )A.134或73B.154或83C.133D.163 [答案] D[解析] 依题意可设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)．若圆M 经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F 与右顶点A 为例，由|MA |＝|MF |知，x 0＝3＋52＝4，代入双曲线方程可得y 0＝±473，故M 到双曲线S 的中心的距离|MO |＝x 20＋y 20＝163.若M 经过双曲线的不同侧的焦点与顶点时，结合图形知不符合．故选D.6．(2014·衡水一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ，b >0)的最大值是12，则a 2＋b 2的最小值是( )A.613B.365C.65D.3613 [答案] D[解析] 作出可行域可得，z ＝ax ＋by 在x －y ＋2＝0与3x －y －6＝0的交点(4,6)处取最大值，即4a ＋6b ＝12.化简，得2a ＋3b ＝6，又∵(a 2＋b 2)(22＋32)≥(2a ＋3b )2，则a 2＋b 2≥3613.7．对于图象Γ上的任意点M ，存在点N ，使得OM →·ON →＝0，则称图象Γ为“优美图象”．下列函数的图象为“优美图象”的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝log 3(x －2)C ．y ＝2x D ．y ＝cos x[答案] D[解析] 在y ＝2x ＋1图象上取点M (0,2)，因为y ＝2x ＋1>0，所以在y ＝2x ＋1图象上不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排除A ；在y ＝log 3(x －2)图象上取点M (3,0)，因为x >2，所以在y ＝log 3(x －2)图象不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排除B ；在y ＝2x 图象上取点M (1,2)，在y ＝2x 图象上不存在点N ，使OM →·ON→＝0，排除C.故选D. 8．过顶点在原点、焦点在x 轴正半轴上的抛物线C 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|BF |＝2|AF |＝6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝x [答案] A[解析] 如图，设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，分别过A ，B 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C ，D ，分别过点A ，F 作AM ⊥BD ，FN ⊥BD ，垂足分别为M ，N ，根据抛物线定义知|AC |＝|AF |＝3，|BD |＝|BF |＝6，所以|BM |＝3，|BN |＝6－p .易知△AMB ∽△FNB ，故|BM ||BN |＝|AB ||BF |，即36－p ＝96，解得p ＝4，故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，故选A.9．(2014·唐山期末)f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] B[解析] 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2si n πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3>2，g (－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f (x )＝2sinπx －x ＋1的零点个数为5.10．(2014·安阳调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3.若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数f (x )的图象恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 [答案] B[解析] 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，g (x )＝k (x ＋1)(k >0)的图象，若直线y ＝kx ＋k (k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，结合图象可得：k PB ≤k ＜k P A ，∵k P A ＝12－(－1)＝13，k PB ＝13－(－1)＝14，∴14≤k ＜13，故选B.11．(2014·兰州、张掖联合诊断)设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件则称f (x )为闭函数：①f (x )是D 上的单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．现已知f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12 B ．(－∞，1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D ．(－1，＋∞)[答案] A[解析] 如图，函数的定义域为x ∈－12，＋∞，显然在定义域上函数f (x )单调递增，依题可知，在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上，方程x －k ＝2x ＋1有两个不同的解，结合图象易得实数k 的取值范围为－1<k ≤－12.12．(原创题)已知集合A ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝π24－x 2，B ＝{(x ，y )|y＝tan 2x }，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集个数为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 [答案] D[解析] 集合A 表示圆心为(0,0)，半径为π2且在x 轴上方的半圆(包括与x 轴的两个交点)，因为函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象(如图所示)，由图知，函数y ＝π24－x 2与y ＝tan 2x 的图象有4个交点．因为C ＝A ∩B ，所以集合C 有四个元素，故集合C 的子集个数为24＝16.故选D.二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[答案] (－13,13)[解析] 由题意知，当且仅当圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1时，圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，此时有d ＝|c |122＋52<1，解得c ∈(－13,13)．14．(2014·山西四校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x (x ≤0)，x (x >0)，g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________．[答案] (－∞，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪[1，＋∞)[解析] 要使函数g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点，只需要函数f (x )的图象与函数y ＝x2＋b 的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象并观察得，要符合题意，须满足b ≥1或b ＝12或b ≤0.15．(2014·温州十校联考)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO→＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________． [答案] 12[解析] 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.∵CO→＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，∴O 在边AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|C O →|最小，|C O →|min ＝12.三、解答题16．(2014·浙江抽测)已知抛物线C ：y ＝x 2.过点M (1,2)的直线l 交C 于A ，B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与在点B 处的切线交于点P .(1)若直线l 的斜率为1，求|AB |的值； (2)求△P AB 的面积的最小值．解：(1)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的方程为y＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝x 2消去y 解得，x 1＝1＋52，x 2＝1－52. 所以|AB |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋52－1－52＝10. (2)易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋2，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)＋2，y ＝x 2消去y 整理得， x 2－kx ＋k －2＝0，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝k －2，又y ′＝(x 2)′＝2x ，所以抛物线y ＝x 2在点A ，B 处的切线方程分别为y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22.得两切线的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k －2.所以点P 到直线l 的距离d ＝|k 2－4k ＋8|2k 2＋1. 又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·k 2－4k ＋8.设△P AB 的面积为S ，所以S ＝12|AB |·d ＝14((k －2)2＋4)3≥2(当k＝2时取得等号)．所以△P AB 面积的最小值为2.17．(2014·皖南八校二联)已知函数f (x )＝ax ＋1＋ln x x ，其中a∈R .(1)若f (x )在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数g (x )＝xf (x )有唯一零点，试求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a ＋1－ln x x 2＝ax 2－ln x ＋1x 2， 又∀x >0，f ′(x )≥0，∴ax 2－ln x ＋1≥0，∀x >0，∴a ≥ln x －1x 2，令h (x )＝ln x －1x 2，则h ′(x )＝1x ·x 2－2x (ln x －1)x 4＝3－2ln x x 3＝0有根：x 0＝e 32，x ∈(0，x 0)，h ′(x )>0，函数h (x )单调增；x ∈(x 0，＋∞)，h ′(x )<0，函数h (x )单调减；∴a ≥h (x )max ＝h (x 0)＝12e 3；故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e 3，＋∞. (2)由题g (x )＝xf (x )＝ax 2＋x ＋ln x ＝0，即a ＝－x －ln x x 2有唯一正实数根，令φ(x )＝－x －ln x x 2，即函数y ＝a 与函数y ＝φ(x )有唯一交点， φ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1x x 2－(－x －ln x )2x x 4＝x －1＋2ln x x 3. 再令R (x )＝x －1＋2ln x ，R ′(x )＝1＋2x >0，∀x >0，R (x )为增函数，且易得R (1)＝0.∴当x ∈(0,1)时，R (x )<0，φ′(x )<0，函数φ(x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，R (x )>0，φ′(x )>0，函数φ(x )单调递增．即φ(x)≥φ(1)＝－1，又当x→0时，φ(x)→＋∞，而当x→＋∞时，φ(x)→0且φ(x)<0，故满足条件的实数a的取值范围为：{a|a≥0或a＝－1}．。
2015届高三人教A版理科数学二轮复习课件2-1-2
基 础 记 忆 提 能 专 训
[二轮备考讲义]
热 点 盘 点
[二轮备考讲义]
第二部分 专题一 第2讲
第 1页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
基 础 记 忆 提 能 专 训
第二部分 二轮知识专题大突破
热 点 盘 点
[二轮备考讲义]
第二部分 专题一 第2讲
第 2页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
基 础 记 忆 提 能 专 训
专题一
热 点 盘 点
常以客观题形式考查的几个问题
[二轮备考讲义]
第二部分 专题一 第2讲
第 3页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
基 础 记 忆 提 能 专 训
第二讲
热 点 盘 点
平面向量、复数、程序框图及合情推理
(1)顺序结构：如图(1)所示．
提 能 分 专题一 第2讲
第14页
名师伴你行 · 高考二轮复习 · 数学（理）
(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．
基 础 记 忆
(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．
提 能 专 训
热 点 盘 点
[二轮备考讲义]
第二部分 专题一 第2讲
基础知识不“背死”，就不能“用活”！
基 础 记 忆
1．掌握两个定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一 一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共
提 能 专 训
热 点 盘 点
线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题4_第1讲_等差数列和等比数列(含答案)
第1讲 等差数列和等比数列考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列热点一 等差数列例1 （1）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7（2）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是________． 思维启迪 (1)利用a 1＋a 7＝2a 4建立S 7和已知条件的联系；(2)将a 3，a 6的范围整体代入． 思维升华 (1)等差数列问题的基本思想是求解a 1和d ，可利用方程思想； (2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a nm －n(m，n ∈N *)；④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)． (3)等差数列前n 项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决．（1）已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64（2）在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( ) A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0 B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0 C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0 D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0热点二 等比数列例2 （1）(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝__________. （2）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n 等于( )A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －1思维启迪 (1)列方程求出d ，代入q 即可；(2)求出a 1，q ，代入化简． 思维升华 (1){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m q n －m ；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)．(2)等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.（1）已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8（2）在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7热点三 等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. （1）求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；（2）将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．思维启迪 (1)利用方程思想求出a 1，代入公式求出a n 和S n ；(2)将恒成立问题通过分离法转化为最值． 思维升华 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便． (2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求证：1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算．2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3．等差、等比数列的单调性 （1）等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值． d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值． d ＝0⇔{a n }为常数列． （2）等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4．常用结论（1）若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．（2）若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n }仍为等比数列．（3）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…，成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)q a 2－a 1＝q .（4）等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等比数列，其公差为q k . 等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列，公差为k 2d . 5．易错提醒（1）应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．（2）三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac.真题感悟1．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．32．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 押题精练1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 013<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则a 2 013>0 D ．若a 4>0，则a 2 014>02．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n .若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰好是等比数列{b n }的前三项．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，(T n ＋32)k ≥3n －6恒成立，求实数k 的取值范围．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84D ．1892．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( ) A ．27 B ．36 C ．45D ．543．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．64．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014等于( )A ．16B ．－16C ．6D ．－66．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )， Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( ) A ．2 011 B ．－2 011 C ．0 D ．1 二、填空题7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝________.8．(2014·广东)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______. 9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________. 10．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________. 三、解答题11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.（1）求数列{b n }的通项公式；（2）数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．12．若数列{b n }对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列，如数列{c n }，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n －9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n＋a n ＋1＝2n .（1）求证：{a n }为准等差数列； （2）求{a n }的通项公式及前20项和S 20.13．(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．例1 (1)C (2)(－3,21) 变式训练1 (1)A (2)C 例2 (1)1 (2)D 变式训练2 (1)D (2)B 例3 解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－(12)m ]1－12＝8[1－(12)m ]，∵(12)m 随m 增加而递减，∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值范围为(6，＋∞)． 变式训练3 (1)解 ∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a na n －1＝2，∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.(2)证明 b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝log 222n ＋1－2×log 222n＋3－2＝(2n －1)(2n ＋1)，1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)<12(n ∈N *)． 即1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．C 2．8 1．C 2．(－8，－7)3．解 (1)当n ≥2时，由题设知4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4，∴a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，∵a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2.∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3， 由条件可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1，∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. ∵等比数列{b n }的公比q ＝a 5a 2＝2×5－13＝3，∴等比数列{b n }的通项公式为b n ＝3n .(2)T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32，∴(3n ＋1－32＋32)k ≥3n －6对任意的n ∈N *恒成立，∴k ≥2n －43n 对任意的n ∈N *恒成立，令c n ＝2n －43n ，c n －c n －1＝2n －43n －2n －63n －1＝－2(2n －7)3n ，当n ≤3时，c n >c n －1；当n ≥4时，c n <c n －1.∴(c n )max ＝c 3＝227，∴k ≥227.CDCBDA 7．3 8．50 9．6 10．2×⎝⎛⎭⎫32n －1 ⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2 (n ≥2)11．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以b n ＝b 1·q n －1＝54·2n －1＝5·2n －3，即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3.(2)证明 由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列．12．(1)证明 ∵a n ＋1＋a n ＝2n ，① ∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2.②由②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)， ∴{a n }是公差为2的准等差数列． (2)解 已知a 1＝a ，a n ＋1＋a n ＝2n (n ∈N *)， ∴a 1＋a 2＝2，即a 2＝2－a .∴由(1)可知a 1，a 3，a 5，…，成以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…，成以2－a 为首项，2为公差的等差数列．∴当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋(n2－1)×2＝n －a ，当n 为奇数时，a n ＝a ＋(n ＋12－1)×2＝n ＋a －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数.S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20) ＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×(1＋19)×102＝200.13．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题2_第3讲_导数及其应用(含答案)
①ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx；
②ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；
③ʃf中a<c<b)．
（2）微积分基本定理：
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a).
思维启迪(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．
思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．
A．2B．4C．2 D．4
思维启迪(1)利用微积分基本定理先求出a，再求分段函数的函数值；(2)利用图形将所求面积化为定积分．
思维升华(1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数．
(2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限．同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出．
(2)求导函数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题8_第3讲_分类讨论思想(含答案)
第3讲 分类讨论思想1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 2．分类讨论的常见类型（1）由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． （2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．（3）由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（4）由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．（5）由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．（6）由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 3．分类讨论的原则 （1）不重不漏．（2）标准要统一，层次要分明．（3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 4．解分类问题的步骤（1）确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论． （2）对所讨论的对象进行合理的分类．（3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决． （4）归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例1 （1）(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．（2）在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >3，2x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23B ．1716C ．32D ．1（2）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列 B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 例2 （1）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0，x ≤2表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点)．（2）设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为________．思维升华 求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．（1）已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( )A ．－12B ．12C ．0D ．－12或0（2）设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．热点三 由参数引起的分类讨论例3 (2014·四川改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．思维升华 一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．已知函数g (x )＝axx ＋1(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．（1）若函数g (x )过点(1,1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； （2）判断函数f (x )的单调性．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论． 常见的分类讨论问题有：（1）集合：注意集合中空集∅的讨论．（2）函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a >1和0<a <1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．（3）数列：由S n 求a n 分n ＝1和n >1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论． （4）三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．（5）不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论． （6）立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；（7）平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．（8）排列、组合、概率中的分类计数问题． （9）去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．真题感悟1．(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( )A ．5B ． 5C ．2D ．12．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2014·广东)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( ) A ．60 B ．90 C ．120 D ．130 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1， x ≥0，(a ＋2)e axx <0为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－2,0) C ．[－1,0) D ．[－1，＋∞)2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或123．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．64．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( ) A ．1或3 B ．1或4 C ．2或3 D ．2或4 5．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .6．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性．例1 (1)a ≤2 (2)32或6 变式训练1 (1)C (2)D例2 (1)20 (2)12或32 变式训练2 (1)D (2)2或72例3 解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .变式训练3 解 (1)因为函数g (x )过点(1,1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2(x ＋1)2＝x ＋3(x ＋1)2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0,0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(x >－1)， 所以f ′(x )＝1x ＋1＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝x ＋1＋a (x ＋1)2.①当a ≥0时，因为x >－1，所以f ′(x )>0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．②当a <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x >－1，得－1<x <－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x >－1，得x >－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a <0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减， 在(－1－a ，＋∞)上单调递增． BCD CCCD5．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘q ，得 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (q ＝1)，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).6．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ －a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．。
2015年高考数学(理)真题分项解析：专题16+选修部分
专题十六 选修部分1.【2015高考北京，理11】在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为 ．【答案】1【解析】先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d .考点定位：本题考点为极坐标方程与直角坐标方程的互化及求点到直线距离，要求学生熟练使用极坐标与直角坐标互化公式进行点的坐标转化及曲线方程的转化，熟练使用三个距离公式，包括两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线的距离.【名师点睛】本题考查极坐标基础知识，要求学生使用互化公式熟练进行点的坐标转化及曲线方程的转化，然后利用点到直线距离公式求出距离，本题属于基础题，先把点的极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，最后求点到直线的距离. 2.【2015高考湖北，理15】（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC= .【答案】21 【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线， 由切割线定理知，)(2BC PB PB PC PB PA +=⋅=，因为3BC PB =， 所以224PB PA =，即PB PA 2=，第15题图APBC由PAB ∆∽PCA ∆，所以21==PA PB AC AB . 【考点定位】圆的切线、割线，切割线定理，三角形相似.【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．3.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A B 两点，则||AB = . 【答案】52由两点间的距离公式得52)223223()2222(||22=+++=AB . 【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离.【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错. 4.【2015高考重庆，理14】如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若P A =6，AE =9，PC =3，CE :ED =2:1，则BE =_______.题（14）图EDPCBAO【答案】2【解析】首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3CE ED ==，再相交弦定理有AE EB CE ED ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 【考点定位】相交弦定理，切割线定理.【名师点晴】平面几何问题主要涉及三角形全等，三角形相似，四点共圆，圆中的有关比例线段（相关定理）等知识，本题中有圆的切线，圆的割线，圆的相交弦，由圆的切割线定理和相交弦定理就可以得到题中有关线段的关系． 5．【2015高考重庆，理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)π【解析】直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化.【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．6．【2015高考重庆，理16】若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =_______. 【答案】4a =或6a =-【解析】由绝对值的性质知在1x =-或x a =时()f x 可能取得最小值，若(1)215f a -=--=，32a =或72a =-，经检验均不合；若()5f a =，则15x +=，4a =或6a =-，经检验合题意，因此4a =或6a =-. 【考点定位】绝对值的性质，分段函数.【名师点晴】与绝对值有关的问题，我们可以根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把问题转化为不含绝对值的式子（函数、不等式等），本题中可利用绝对值定义把函数化为分段函数，再利用函数的单调性求得函数的最小值，令此最小值为5，求得a 的值．7.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为 74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 .【考点定位】极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想．【名师点睛】本题主要考查正弦两角差公式，极坐标方程化为普通方程，极坐标化平面直角坐标，点到直线的距离，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于容易题，解答此题在于准确把极坐标问题转化为平面直角坐标问题，利用平面几何点到直线的公式求解． 8. 【2015高考广东，理15】（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .【答案】8．【解析】如下图所示，连接OC ，因为//OD BC ，又BC AC ⊥，所以OP AC ⊥，又O 为AB 线段的中点，所以1122OP BC ==，在Rt OCD ∆中，122OC AB ==，由直角三角形的射影定理可得2OC OP OD =⋅即222812OC OD OP===，故应填入8．【考点定位】直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，直角三角形的射影定理运用，属于中档题，解答平面几何问题关键在于认真审题分析图形中的线段关系，适当作出辅助线段，此题连接OC ，则容易得到Rt OCD ∆，并利用直角三角形的射影定理求得线段OD 的值．9.【2015高考天津，理5】如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为( ) （A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52【答案】A【解析】由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.【考点定位】相交弦定理.【名师点睛】本题主要考查相交弦定理、数形结合思想、数学计算能力.应用相交弦定理及，得到相应线段的关系：,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，再利用线段三等分析点的性质，结合图形，进行适当的转化，进行运算，体现数学基本思想：数形结合.是基础题.10.【2015高考安徽，理12】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 . 【答案】6【考点定位】1.极坐标方程与普通方程的转化；2.圆上的点到直线的距离.【名师点睛】对于极坐标与参数方程的问题，考生要把握好如何将极坐标方程转化成普通方程，抓住核心：222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，普通方程转化成极坐标方程，抓住核心：222,tan yx y xρθ+==.圆上的点到直线的距离最大值或最小值，要考虑到圆的半径加上（或减去）圆心到直线的距离.11.【2015高考新课标2，理22】选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ； （Ⅱ） 若AG 等于O的半径，且AE MN ==，求四边形EBCF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；． 【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，12DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，AB =．所以四边形EBCF的面积221122⨯⨯=【考点定位】1．等腰三角形的性质；2、圆的切线长定理；3、圆的切线的性质． 【名师点睛】平面几何中平行关系的证明往往有三种方法：①由垂直关系得出；②由角的关系得出；③由平行关系的传递性得出；除了用常规方法求面积外，通过割补法，将所求面积GAEFONDB CM转化为易求面积的两个图形的和或者差更简洁．【2015高考上海，理3】若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ．【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵【名师点睛】线性方程组的增广矩阵是线性方程组另一种表示形式，明确其对应关系即可解决相应问题.即11112211211222221122+++++++++n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b =⎧⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩对应增广矩阵为{11121121222212n nn n nnn a a a b a a a b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12.【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值． 【答案】（Ⅰ）(0,0)和3)2；（Ⅱ）4．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为cos ,)αα．所以2sin cos AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．【名师点睛】（Ⅰ）将曲线2C 与1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立2C 与1C 和3C 与1C 的极坐标方程，求得,A B 的极坐标，由极径的概念将AB 表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区．13．【2015高考新课标2，理24】（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >>>+是a b c d -<-的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）因为2a b =++，2c d =++，由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>+>（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>．（ⅱ）若>，则22>，即a b ++>c d ++．因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，>是a b c d -<-的充要条件．【考点定位】不等式证明．【名师点睛】>+22>，展开结合已知条件易证；（Ⅱ）充要条件的证明需要分为两步，即充分条件的证明和必要条件的证明．证明的关键是寻找条件和结论以及它们和已知之间的联系． 15. 【2015江苏高考，21】A （选修4—1：几何证明选讲）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D求证：ABD ∆∽AEB ∆【答案】详见解析 【解析】试题分析：利用等弦对等角，同弧对等角，得到ABD E ∠=∠,又公共角BAE ∠，所以两三角形相似试题解析：因为C AB =A ，所以D C ∠AB =∠． 又因为C ∠=∠E ，所以D ∠AB =∠E ， 又∠BAE 为公共角，可知D ∆AB ∽∆AEB ． 【考点定位】相似三角形【名师点晴】1.判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”． 2.借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．21.B （选修4—2：矩阵与变换）A（第21——A 题）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.【答案】1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦,另一个特征值为1．从而矩阵A 的特征多项式()()()21fλλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量 【名师点晴】求特征值和特征向量的方法 (1)矩阵a b c d ⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦的特征值λ满足()0()()0a b f a d bc cd λλλλλ--==⇒---=--，属于λ的特征向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足x x A y y λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2)求特征向量和特征值的步骤： ①解()0a bf c dλλλ--==--得特征值； ②解()0()0a x by cx d y λλ--=⎧⎨-+-=⎩，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．21. C （选修4—4：坐标系与参数方程） 已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=，求圆C 的半径.【解析】试题分析：先根据222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径.试题解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系x y O ．圆C的极坐标方程为240ρθθ⎫+-=⎪⎪⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=， 即()()22116x y -++=，所以圆C． 【考点定位】圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化【名师点晴】1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行． 21.D （选修4—5：不等式选讲） 解不等式|23|3x x ++≥【答案】153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或【解析】试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可试题解析：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-．综上，原不等式的解集是153x x x ⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭或．【考点定位】含绝对值不等式的解法【名师点晴】①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．16.【2015高考福建，理21】选修4-2：矩阵与变换已知矩阵2111,.4301 A B⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(Ⅰ)求A的逆矩阵1A-；(Ⅱ)求矩阵C，使得AC=B.【答案】(Ⅰ)312221⎛⎫-⎪⎪-⎝⎭； (Ⅱ)32223⎛⎫⎪⎪--⎝⎭．【考点定位】矩阵和逆矩阵．【名师点睛】本题考查逆矩阵和逆矩阵的性质，是通过伴随矩阵和矩阵的乘法求解，属于基础题，注意运算的准确性．17.【2015高考福建，理21】选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为13cos(t)23sinx ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线lsin()m,(m R).4pq-=?(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即2，=解得m=-3±【考点定位】1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可 18.【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值；(Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值． 【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ)87．【解析】(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c =++++?-++=++，当且仅当a xb -＃时，等号成立，又0,0a b >>，所以|a b |a b +=+,所以(x)f 的最小值为a bc ++,所以a b c 4++=．(Ⅱ)由(1)知a b c 4++=，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥⨯⨯⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即222118497a b c ++?.当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立所以2221149a b c ++的最小值为87.【考点定位】1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．【名师点睛】当x 的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如()f x x a x b =+++的函数的最小值，以及解析式形如()f x x a x b =+-+的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．19．【2015高考陕西，理22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ； （II ）若D 3DC A =，C B =，求O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3．又C D B ⊥E ，所以C D D 90∠B +∠E B =，从而C D D ∠B =∠BE . 又AB 切圆O 于点B ，得D D ∠BA =∠BE ，所以C D D ∠B =∠BA . （II ）由（I ）知D B 平分C ∠BA ，则=3BA ADBC CD=,又BC，从而AB =，所以4AC ==，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=6ADAB AE =， 故D D 3E =AE -A =，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.【名师点晴】本题主要考查的是直径所对的圆周角、弦切角定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识． 20.【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I）(223x y +=；（II ）()3,0． 【解析】试题分析：（I ）先将ρθ=两边同乘以ρ可得2sin ρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则C P =，再利用二次函数的性质可得C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22+x y =，所以(22+3x y =.(II)设1(32P +，又，则|PC |==， 故当0t =时，C P 取最小值，此时P 点的直角坐标为()3,0.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质. 【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数的几何意义和二次函数的性质，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．21．【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II +的最大值． 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4．故max4=.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式和柯西不等式，属于容易题．解题时一定要注意不等式与方程的区别，否则很容易出现错误．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．用柯西不等式证明或求最值要注意：①所给不等式的形式是否与柯西不等式的兴致一致，若不一致，需要将所给式子变形；②等号成立的条件． 22.【2015高考新课标1，理22】选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于E .（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线；（Ⅱ）若OA =，求∠ACB 的大小. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE =DC ，OE =OB ，利用等量代换可证∠DEC +∠OEB=90°，即∠OED =90°，所以DE是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE =1,由OA =得，AB =，设AE =x ，由勾股定理得BE =，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE =，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ， 连结OE ，∠OBE =∠OEB ，∵∠ACB +∠ABC =90°，∴∠DEC +∠OEB =90°， ∴∠OED =90°，∴DE 是圆O 的切线. ……5分（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =，BE =， 由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =，解得x ACB =60°. ……10分【考点定位】圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.23.【2015高考新课标1，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN的面积.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积.【考点定位】直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.24.【2015高考新课标1，理24】选修4—5：不等式选讲已知函数=|x +1|-2|x-a |，a >0.（Ⅰ）当a =1时，求不等式f (x )>1的解集；（Ⅱ）若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】（Ⅰ）当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x-1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<. ……5分 （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函数多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题，若绝对值中未知数的系数相同，常用绝对值不等式的性质求最值，可减少计算.25.【2015高考湖南，理16】16.（1）如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明： （1）180MEN NOM ∠+∠=； （2）FE FN FM FO ⋅=⋅【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先根据垂径定理可得90OME ∠=， 90ENO ∠=，再由四边形的内角和即可得证；（2）由（1）中的结论可得O ，M ，E ，N 四点共圆，再由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅ 试题解析：（1）如图a 所示， ∵M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，∴OM AB ⊥，ON CD ⊥，即90OME ∠=， 90ENO ∠=，180OME ENO ∠+∠=，又四边形的内角和等于360，故180MEN NOM ∠+∠=；（2）由（I ）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅【考点定位】1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.【名师点睛】本题主要考查了圆的基本性质等知识点，属于容易题，平面几何中圆的有关问题是高考考查的热点，解题时要充分利用圆的性质和切割线定理，相似三角形，勾股定理等其他平面几何知识点的交汇.（Ⅱ）已知直线5:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2） 设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值.【答案】（1）0222=-+x y x ；（2）18.的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1821==⋅|t |t |MB||MA|.【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易题，在方程的转化时，只要利用θρcos =x ，θρsin =y 进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程，实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极坐标与参数方程中同样适用.（Ⅲ）设0,0a b >>，且11a b a b+=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）将已知条件中的式子可等价变形为1=ab ，再由基本不等式即可得证；（2）利用反证法，假设假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，可求得10<<a ，10<<b ，从而与1=ab 矛盾，即可得证试题解析：由abb a b a b a +=+=+11，0>a ，0>b ，得1=ab ，（1）由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ；（2）假设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 得10<<a ，同理10<<b ，从而1<ab ，这与1=ab 矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能成立.【考点定位】1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.【名师点睛】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解，第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
PB 9．如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PA 1 PC 1 BC ＝2，PD＝3，则AD的值为________．
解析
∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，
PB PC BC ∴△PCB∽△PAD.∴PD＝ PA ＝AD. PB 1 PC 1 BC 6 ∵ PA ＝2，PD＝3，∴AD＝ 6 . 答案 6 6
8．如图，⊙O 的割线 PBA 过圆心 O，弦 CD 交 PA 于点 F，且△COF∽△PDF， 若 PB＝OA＝2，则 PF＝________.
解析
由相交弦定理可得 BF· AF＝DF· CF，
4
CF OF 由△COF∽△PDF 可得PF＝DF， 即得 DF· CF＝PF· OF.∴BF· AF＝PF· OF， 即(PF－2)· (6－PF)＝PF· (4－PF)，解得 PF＝3. 答案 3
选修 4-1
几何证明选讲
A 组(供高考题型为填空题的省份使用) 1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90° ，且 AB＝6，AC＝4，AD＝12，则 BE＝________.
解析
∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90° ，
∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8 2. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC， AB BE AB· CD 6×8 2 ∴AD＝CD，∴BE＝ AD ＝ 12 ＝4 2. 答案 4 2
11．如图，已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 3 cm，4 cm，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D，则 BD＝________cm.
目录
选修 4-1 选修 4-4 选修 4-5 几何证明选讲 ................................................................................................................ 1 坐标系与参数方程 ...................................................................................................... 13 不等式选讲 .................................................................................................................. 21
解析
由切割线定理知，C2＝PA· PB，解得 PC＝2 3.连接 OC，又 OC⊥PC，
PC· OC 2 3×2 故 CD＝ PO ＝ 4 ＝ 3. 答案 3
6．如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D，若 AB ＝5，BC＝3，CD＝6，则线段 AC 的长为________．
解析
由切割线定理，得 CD2＝
BD· AD.
3
因为 CD＝6，AB＝5，则 36＝BD(BD＋5)， 即 BD2＋5BD－36＝0， 即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以 BD＝4. AC CD 因为∠A＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是CB＝BD . CD 6 9 所以 AC＝BD · BC＝4×3＝2. 答案 9 2
2
Hale Waihona Puke 解析如图，连接 OA，OB，∠PAO＝∠PBO＝90° ，
∵∠ACB＝120° ， ∴∠AOB＝120° .又 P，A，O，B 四点共圆，故∠APB＝60° . 答案 60°
5．如图，点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上，且 PB＝OB＝2，PC 切圆 O 于 C 点， CD⊥AB 于 D 点，则 CD＝________.
7．如图，在△ABC 中，∠C＝90° ，∠A＝60° ，AB＝20，过 C 作△ABC 的外接 圆的切线 CD，BD⊥CD，BD 与外接圆交于点 E，则 DE 的长为______．
解析
由题意，得弦切角∠BCD＝∠A＝60° ，∠ACB＝∠D＝90° ，
∴△ABC∽△CBD. ×20cos 60° AB AC CB· AC 20sin 60° ∴CB＝CD，CD＝ AB ＝ ＝5 3. 20 CD2 5 32 又 ∵ CD 与 圆 相 切 ， ∴ CD2 ＝ DE· DB ， 则 DE ＝ DB ＝ CBsin 60°＝ 25×3 ＝5. 20×sin 60° ×sin 60° 答案 5
10．如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，延长 BC 到 D 使 BC＝CD，过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB＝6，ED＝2，则 BC＝________.
解析
C 为 BD 中点，且 AC⊥BC，故△ABD 为等腰三角形．AB＝AD＝6，
AE AC ∴AE＝4，DE＝2，又AC＝AD⇒AC2＝AE· AD＝4×6＝24，AC＝2 6， 在△ABC 中，BC＝ AB2－AC2＝ 36－24＝2 3. 答案 2 3
a 又 CD＝2，AB∥DC，CB⊥AB， ∴四边形 EBCD 是矩形． a 在 Rt△ADE 中，AD＝a，F 是 AD 的中点，故 EF＝2. 答案 a 2
4.如图，已知 PA，PB 是圆 O 的切线，A，B 分别为切点，C 为圆 O 上不与 A，B 重合的另一点，若∠ACB＝120° ，则∠APB＝________.
2．如图，A，E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC＝4，AD⊥BC，垂足为 D， BE 与 AD 相交于点 F，则 AF 的长为________．
解析
如图，连接 CE，AO，AB.根据 A，E 是半圆周上的两个三等分点，BC
为直径，可得∠CEB＝90° ，∠CBE＝30° ，∠AOB＝60° ，故△AOB 为等边三
1
3 角形，AD＝ 3，OD＝BD＝1，∴DF＝ 3 ，
2 3 ∴AF＝AD－DF＝ 3 . 答案 2 3 3
a 3．如图，在直角梯形 ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝2，点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF＝________.
解析
a 连接 DE，由于 E 是 AB 的中点，故 BE＝2.