第一节不定积分的概念与性质16958
第四章第1节不定积分的概念与性质
3、积分曲线,积分曲线族； 4、平行； 5、连续；
6、2
x
5 2
C；
7、
2
x
3 2
C；
5
3
8、 x 3 3 x 2 2 x C ； 32
9、 x 3
2
5
x2
2
3
x2
x
C、
35 3Biblioteka 10、2x
4
3
x2
2
5
x2
C.
35
30
二、1、 x arctan x C ；
3、 x sin x C ； 2
即F (x) G(x) C
结论2 若F (x)是f (x)的一个原函数，则
F (x) C为f (x)的全体原函数。
5
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
5、4( x 2 7) C ； 74 x
5(2) x 2、2x 3 C ；
ln 2 ln 3 4. (cot x tan x) C ；
6、tan x arc cot x C .
三、 y ln x C .
31
结论 每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数.
26
一、填空题：
练习题
1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意
两个的差是一个______；
2、 f ( x)的________称为 f ( x)的不定积分；
不定积分的概念与性质
(sec x ) sec x tan x
( 11 ) csc x cot x d x csc x C (csc x ) csc x cot x
10
( 12 )
( 13 )
dx 1 x
2
arcsin
xC
(arcsin
x )
x )
1 1 x
问题: (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
,则
结论：(1) 若 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数 (C为任意常数).
(2) 若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数,
则 F ( x ) G ( x ) C , （C 为任意常数）
熟记基本积分公式 分项积分
常用恒等变形方法
加项减项 利用三角公式, 代数公式 ,
22
g ( x )] d x
2
f ( x )d x
g ( x )d x
( x )d x k f ( x )d x （ k 是 常 数 ， k 0 )
3 1 x
2
例 求积分 (
解
1 x )d x
2
)d x .
2
(1
3
3 x
2
2 1 x2Βιβλιοθήκη 1 1 xdx 2
1 1 x
2
dx
3 arctan x 2 arcsin x C
12
例 求积分
解
2
x x x
2 e 5 2 dx
第一节-不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质教学目的：使学生了解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。
教学重点：原函数与不定积分的概念。
教学难点：原函数的求法。
教学内容：一、原函数与不定积分的概念定义1 如果对任一I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。
2211)1ln([x x x +='++，即)1ln(2x x ++是211x +的原函数。
原函数存在定理：定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。
评注：⑴如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
⑵如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()( （C 为常数）⑶ 如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。
定义2 若函数F (x ),是f (x ) 在区间I 上,的一个原函数，则表达式()F x C +（其中C 为任意常数）称为()f x 在区间I 上的不定积分, 记作⎰dx x f )(. 其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
例1：因为 23)3(x x ='， 得 ⎰+=C x ds x 332例2：因为，0>x 时，x x 1)(ln ='；0<x 时，xx x x 1)(1])[ln(='--='-，得 x x 1)||(ln ='，因此有⎰+=C x dx x||ln 1例3：设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
5不定积分
(1,+∞) 内 [ln( x + x + 1]′ =
2
1
2
ln( x + x + 1是
2
1 x +1
2
x +1 ( . 在 1,+∞) 内的一个原函数
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一个函数具有原函数时, 一个函数具有原函数时,它的原函数 不止一个 .
定理1(原函数存在性定理 如果函数f(x)在区间 上连 在区间I上连 定理 原函数存在性定理) 如果函数 原函数存在性定理 在区间 则在区间I上存在可导函数 使对任意x∈ 都有 续,则在区间 上存在可导函数 则在区间 上存在可导函数F(x),使对任意 ∈I,都有 使对任意 F′(x)=f(x)． ． 定理2 在区间I上的一个原函数 定理 设F(x)是f(x)在区间 上的一个原函数 则在区间 是 在区间 上的一个原函数,则在区间 I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如 的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任 上 的所有原函数都可以表示成形如 为任 意常数)的形式 意常数 的形式 . 已知F(x)是f(x)的一个原函数 故F′(x)=f(x)． 的一个原函数,故 证 (1)已知 已知 是 的一个原函数 ． 又[F(x)+C]′= F′(x)= f(x), ′ 所以F(x)+C是f(x)的一个原函数． 是 的一个原函数． 所以 的一个原函数
y = x2 + 1
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三、 不定积分的性质
d (1) [∫ f ( x)dx] = f ( x)或d[∫ f ( x)dx] = f ( x)dx; dx (2)∫ F′( x)dx = F( x) + C, C为任意常数 . (3)∫ [αf ( x) + βg( x)]dx = α∫ f ( x)dx + β ∫ g( x)dx,
不定积分的概念与性质
定义： 如果在区间I 内， 可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 即
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 或 f ( x )dx 在区间 内原函数.
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
1
C
5 1 2
例2. e x 3 x dx (3e) x dx
1 (3e) C ln 3e 1 x x 3 e C ln 3 1
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
第一节 不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质一．原函数与不定积分的概念1.原函数的概念引例 设x x f cos )(=',求)(x f . 解 因为x x cos )(sin =',所以c x x f +=sin )(.此时称x sin 为x cos 的一个原函数.定义 如果在区间I 上,可导函数)(x F 的导函数为)(x f ,即I x ∈∀,有 )()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)则称)(x F 为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的一个原函数.如x arctan 是211x +的原函数;211x +是)1ln(2x x ++的原函数.什么样的函数具有原函数呢?有定理(原函数存在定理) 连续函数必有原函数.即如果函数)(x f 在区间I 上连续,则在区间I 上存在可导函数)(x F ,使得对I x ∈∀,有 )()(x f x F ='即)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数.其证明见289P . 注意 (1)由原函数的定义可知:如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数,则C x F +)(也是)(x f 的原函数,即)(x f 若有原函数,则)(x f 有无限多个原函数.(2)设)(x F 和)(x Φ都是)(x f 在区间I 上的原函数,则)(x F =C x +Φ)(.事实上 0)()()()(])()([=-=Φ'-'='Φ-x f x f x x F x x F所以)(x F C x =Φ-)(,即)(x F =C x +Φ)(.2.不定积分的概念 定义 在区间I 上, )(x f 的原函数的全体,称为)(x f (或))(dx x f 在区间I 上的不定积分,记作⎰dx x f )(.其中:‘⎰’——积分符号; )(x f ——被积函数;dx x f )(—被积表达式;x ——积分变量.显然,如果)(x F 是)(x f 的一个原函数,则 ⎰dx x f )(C x F +=)(.因此,求)(x f 的不定积分归结于求)(x f 的一个原函数)(x F .如x arctan 是211x +的一个原函数,所以 ⎰+=+C x dx x arctan 112. 又如211x +是)1ln(2x x ++的一个原函数,则=+⎰dx x 211C x x +++)1ln(2.例1 求⎰dx x 1.解 当),0(+∞∈x 时,x x 1)(ln =',所以C x dx x +=⎰ln 1. 当)0,(-∞∈x 时, x x 1])[ln(='-,所以C x dx x +-=⎰)ln(1. 综上,有 C x dx x +=⎰ln 1.例2 设,2cos )(sin x x f ='求)(x f .解 ,c o s 21)(s i n 2x x f -='故221)(t t f -='.因为 2321)32(t t t -='- 所以332t t -是221t -的一个原函数,故 ⎰+-=-C t t dt t 3232)21( 即)(x f =C x x +-332. 例3 设曲线过点)2,1(,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解 设曲线方程为)(x f y =,则x dxdy 2=. 所以C x y +=2.又2|1==x y ,所以C +=12,从而1=C .故所求曲线方程为12+=x y .3.不定积分与微分的关系(1)⎰=dx x f dx x f d )()( 或⎰=')(])([x f dx x f ; (2)⎰+=C x F x dF )()( 或⎰+='C x F dx x F )()(. 即先积后微,形式不变;先微后积,添个常数.二.基本积分表1.⎰+=C kx kdx (k 是常数);2.⎰++=+C x dx x 111μμμ (1-≠μ); 3. C x dx x +=⎰ln 1; 4. ⎰+=+C x dx x arctan 112; 5.⎰+=-C x dx x arcsin 112; 6.⎰+=C x xdx sin cos ;7.⎰+=C x xdx cos sin ; 8.⎰⎰+==C x xdx dx x tan sec cos 122; 9.⎰⎰+-==C x xdx dx x cot csc sin 122;10.⎰+=C x xdx x sec tan sec ;11.⎰+-=C x xdx x csc cot csc ; 12.⎰+=C e dx e x x ; 13.⎰+=C a a dx a x x ln ; 14.⎰+=C chx shxdx ;15.⎰+=C shx chxdx .例4 ⎰⎰+==C x dx x dx x x 2725272.三.不定积分的性质性质1 ⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. 性质2 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( (k 是常数).例5 求dx xx ⎰-23)1(. 解 原式⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=dx xdx x dx xdx dx x x x 221133)133( C xx x x +++-=1ln 3322. 例6 ⎰⎰++=+==C e C e e dx e dx e xx x x x x 12ln 2)2ln()2()2(2. 例7 ⎰⎰⎰++=+++=+++dx x x dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222 ⎰⎰++=++=C x x dx x dx x arctan ln 1112. 例8 ⎰⎰⎰++-=++-=+dx xx dx x x dx x x )111(11)1(1222424 C x x x ++-=arctan 313.例9 ⎰⎰+-=-=C x x dx x xdx tan )1(sec tan 22.例10 ⎰⎰⎰+-=-=-=C x x dx x dx x dx x )sin (21)cos 1(212cos 12sin2. 例11 ⎰⎰⎰+-====C x xdx dx x dx x x cot 4csc 4sin 142cos 2sin 12222.例12 ⎰⎰⎰+=+=dx x x dx x x x x dx x x )sec (csc sin cos sin cos sin cos 122222222C x x +-=cot tan .。
4.1 不定积分的概念与性质
11
නcsc cot d = − csc + ;
(12)
13
第一节 不定积分的概念与性质
第一节 不定积分的概念与性质
නe d = e + ;
+ ;
න d =
ln
(14)
නsinh d = cosh + ;
(15)
නcosh d = sinh + .
= ln | | +
第一节
第一节 不定积分的概念与性质
不定积分的概念与性质
第四章
第四章 不定积分
不定积分
(4)
(5)
1
න
d = arctan + ;
2
1+
1
න
d = arcsin + ;
1 − 2
(6)
නcos d = sin + ;
(7)
නsin d = − cos + ;
第一节 不定积分的概念与性质
′ = 2的积分曲线族
第四章 不定积分
例4 质点在距地面0 处以初速0 铅直上抛, 不计阻力, 求其运动规律.
解
取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上,
质点抛出时刻为 = 0, 此时质点位置为0 , 初速为0 .
设时刻质点所在位置为 = (), 则
不定积分.
′ () = ()
න()d = () +
积 被
分 积
号 函
数
第一节 不定积分的概念与性质
被
积
表
达
式
积
分
变
量
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二、不定积分的几何意义
设函数 f (x) 在某区间上的一个原函数为 F ( x) ，则 y F(x) 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而
y F( x) c 的图象显然可由这条曲线沿 o y 轴向上
时刻 t 的速度 v v(t) ，要求物体的运动方程：
s s(t) 。这类问题在数学中归结为求导运算
的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。
一、原函数与不定积分的概念
1.原函数：
设
是定义在某区间上的已知函数，如果
x 存在一个函数 F(x) ，使对于该区间任意 ，
都有关系式：
F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx
§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、不定积分的性质 四、基本积分公式 五、不定积分的求法
前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基 本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问 题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数 的导数或微分，求此函数。
例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意
1 x
dx
因为 ln | x | 1 ( x 0),
x
所以ln | x | 是 1 的一个原函数, 从而有 x
1 x
dx
ln
|
x
|
c
结论
（1）求函数 f ( x) 的 不定积分就是求 f ( x) 的全体原函数，实际上只需求出它的一个原 函数，再加上一个常数 C 即可。
（2）检验积分结果正确与否的方法是：积 分结果的导函数等于被积函数。
(7) sin xdx cos x C;
(8) sec2 xdx tan x C;
(9) csc2 xdx cot x C;
基 本
(10)
sec x tan xdx sec x C;
积 (11) csc x cot xdx csc x C;
基 (2)
x dx
x 1
1
C
( 1);
本 积 分
(3)
(4)
dx x
ln |
x
|
C;
1
1 x2dx
arctan
x
C
arccot
x
C;
表
(5)
1 dx arcsinx C arccos x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是 f (x) 的全部积分曲线 所组成的积分曲线族。其方程为 y F(x) c .
如下图所示：
y
斜率 f ( x)
0
x
y F(x) c y F(x)
x
例4 设曲线通过点（1, 2），且其上任一点处的切 线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
5
解 x2 xdx x 2dx
根据幂函数的积分公式
所以显然 x 5，x5 1 ，x5 3 ，x5 c
都是 5x 4 的一个原函数。
★ 由此不难得出：
（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。
（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。
（3）若 F (x)为
的一个原函数，则 F(x) C
表示 的所有原函数。
2. 不定积分的定义：
设 F (x)是 在区间I上的一个原函数，则函
成立，则称函数 F(x) 为函数
在该区间上
的一个原函数。
例 sin x cos x , x (,),
sin x 是 cos x 在I (,)上的一个原函数。
又因为： (x5 ) 5x 4
(x5 3) 5x4
(x5 1) 5x 4
(x5 c) 5x4
所以 cos x 是 sin x 的一个原函数，从而有
sin xdx cosx C
例2
求
1 1 x2 dx
解： 因为 (arctanx) 1 1 x2
所以 arctanx 是 1 的一个原函数，从而有
1 x2
1
1 x2 dx arctanx c
例3 求
(1) [ f ( x)dx] f ( x) 或 d[ f ( x)dx] f ( x)dx (2) F (x)dx F(x) c 或 dF(x) F(x) c
定理2 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 是常数，k 0)
定理3 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
数
的全体原函数 F (x) C（c为任意常数）
称为 在该区间I上的不定积分。
记为 f ( x)dx. 即：
f ( x)dx F( x) C
被被
积积 积
分函 表
符数 达
号
式
积 分 变 量
任 意 常 数
3.如何求不定积分
例1 求 sin xdx
解： 因为 ( cosx) sin x
分 表
(12)
(13)
e xdx e x C;
a
xdx
ax ln a NhomakorabeaC;(14) shxdx chx C;
(15) chxdx shx C.
五、 不定积分的求法：
1.直接积分法（直接利用基本积分公式与性质求积分）
例5 求下列函数的不定积分
(1) x2 xdx.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 f ( x) 2x,
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
三、不定积分的性质
定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即
推论
n
n
fi (x)dx fi (x)dx
i 1
i 1
四、基本积分公式
积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一 个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。
将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理） 可以得出基本积分公式（基本积分表）。
(1) kdx kx C (k是常数);