广义二值形态算子的研究

ｍａ ｉ ｌ ： ｍｙ ０ ０ ７ １ ｊ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ． ｒ
４ ６ ４
Hale Waihona Puke 长 春 工 业 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
第３ ４卷
由于结 构元 素一 般都 为有 限集 ， 则设 集 合
Ａ一 ｛ ａ １ ， ａ ２ ， …， ａ ｝
一
胀， 这两 种基 本 的运算 都 具有平 移 不变 性 ， 广义 的
ｔ ｈｒ ｅ ｓ ｈｏ ｌ ｄ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｒ ａ ｎｋ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏｎ， ｔ ｈｅ ｂ ｉ ｎ ａ ｒ ｙ ｍｏｒ ｐｈ ｏｌ ｏｇ ｉ ｃ ａ ｌ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏｒ ｍｓ ａ ｒ ｅ ｅ ｘ ｔ ｅ ｎ ｄｅ ｄ． Ｗ ｅ ｈｏ ｐ ｅ ｔ ｈｅ
的性 质依 赖 于 结
则
ｒ （ ｘ （ 口 ｌ ＋ ＾ ） ， … ， ｔ ｘ （ ｎ ＋ ） ）＝ ＝ ＝１
令 ｈ 一ｈ ＋ａ可得 ：
［ ，
（ Ｘ） ］ 。 一 根据 集合 平移 性
ｔ ｘ （ ｎ ＋ ｈ 一 口 ）一 ｔ ｘ（ 口 。 ＋ ｈ）
｛ ∈ ： （ （ 吼 ＋ 一ａ ） ， …， ｔ ｘ （ ｎ ， Ｉ ＋ 一ａ ） ）一 １ ）
（
…， Ｕ ｎ ） 一［ ∑“ ≥５ ］
秩 函数有 如下 基本 性质 ： １ ） 当ｓ 一１时 ， 则 有
ｒ 】 （ ｚ ‘ １ ， Ｕ ２ ， … ， “ ）一 甜 １＋ Ｕ ２＋ … ＋ Ｕ
［ ． （ Ｘ） ］ 一 ， （ Ｘ ）
因此 ． 具 有平 移不 变性 。
２ ） 当 ｓ — 时 ， 则有
即 为 自对 偶 函数 ， 此 时 称 为 中值 函数 ， 记 为
ｒｍ 。
（ Ｘ ）一
对 于二值 图像 ｘ， 结构 元 素 Ａ， 将 结构 化 映射
．
｛ ｈ Ｅ ： （ （ ｎ １ ＋ ａ＋ ＾ ） ， …， ｔ ｘ （ ＋ ａ＋ ＾ ） ）一 １ ）
中 的布尔 函数 ｂ用 秩 函数 ｒ 代替 ， 则有
其 中
Ａ ＝ ： ＝｛ ａ ＋ａ ｌ ａ Ｅ Ａ） Ｘ一 。一 ｛ —ａ ｌ ｚ Ｅ Ｘ） 证 明 由定 义 得 ：
，
。
若 为奇数 ， 取 ｓ 一 ＋１ ／ Ｚ ， 则有
ｒ （ Ｕ １ ， “ ２ ， … ， “ ）一 ｒ （ ｌ ， “ ２ ， … ， Ｕ ）
于集 合 ｛ ０ ， １ ｝ 的 变量 称 为 布 尔 变 量 。将 由 ｛ ０ ， １ ｝ 到｛ ０ ， １ ｝ 的 映射 ｂ ： ｛ ０ ， １ ） ” 一｛ ０ ， １ ） 称 为 元 布 尔 函 数 。对 于给定 的 Ｓ Ｅ｛ ０ ， １ ， ２ ， …， ） ， 定义 ７ ２ 元 布 尔 函数 ：
ｉ 一１
ｉ一 １， ２， … ， ｎ
称 其 为秩 函数 。令
“ 一 ｔ ｘ （ 口 ＋ ）
ｉ一 １， ２， … ，
则有 ：
［
即：
（ ｘ） ］ 一
｛ ｈ Ｅ Ｅｄ ： ｒ （ ￡ ｘ（ 口 １ ＋ｈ ） ， …， ｔ ｘ（ ｎ ＋ ｈ ） ）一 １ ）
为平 移矢 量 。 证 明 由定 义可得 ：
［ ， （ Ｘ） ］ 。一
｛ ｈ∈ Ｅ ｄ： ｒ （ ￡ ｘ （ ａ １ ＋九 ） ， …， ｔ ｘ （ ａ ＋ ） ）： ＝ ＝１ ）
根 据集 合 的平移 性得 ： ［ ， ，（ ｘ） ］ 一
｛ 口＋ ｈ Ｅ Ｅｄ ： ｒ （ ￡ ｘ（ ａ １ ＋ ） ， …， ｔ ｘ（ ｎ ＋ ＾ ） ）一 １ ）
收 稿 日期 ：２ ０ １ ３ － ０ ４ — ２ ６
质布 尔 函数描 述 二值 形 态 变 换 的形式 ， 为 扩展 二
值形 态变 换提 出 了一种 新 的途 径 。文 中将在 此基
础上 ， 用秩 函数 取 代 结 构 化 映射 。 ］ ， ， 中 的布 尔 函数 ， 则 有
ｇ ＇ Ａ ． （ Ｘ） 一｛ ｈ∈ ： （ ｔ ｘ （ 日 １ ＋ ） ， …ｔ ｘ （ ＋ ） ）一 １ ）
式中： Ｘ ——二 值 图像 ；
Ａ —— 结构 元 素 。
二值 图像 Ｘ 的特征 函数
， 、
ｆ １ ，
∈ Ｘ
ｌ ０ ， Ｘ Ｘ
基 金 项 目 ：中 南 民族 大 学 研 究 生 学 术 创 新 基 金 资 助 项 目 （ ２ Ｏ １ ３ ｓ ｙ ｃ ｘ ｊ ｊ Ｏ ８ ７ ） 作 者 简 介 ：罗 ￣ ［ （ １ ９ ８ ７ －） ， 男， 土家族 ， 湖北鹤峰人 ， 中 南 民族 大 学 硕 士研 究 生 ， 主 要 从 事 数 学 应 用 方 法 与 图 像 处 理 方 向研 究 ， Ｅ －
ｒ （ Ｕ １ ， Ｕ ２ ， … ， ）
３）
性质 ２ 对 于给定 的秩 函数 ｂ ， 结构 元 素与 二
“ １‘Ｕ ２‘… 。Ｕ ｎ
值 图像 之 间具 有 以下平 移 的关 系 ， 即有 ：
，
（ Ｘ ）一 ，
（ Ｘ一 。 ）
ｒ （ ｚ ‘ １ ， Ｕ ２ ， … ， 甜 ）＝ ｒ ， 广 １ （ Ｕ １ ， ２ ， … ， ）
究。
Ａ 和秩 函数 ｒ ， ， ， ， 关 于二值 图像 ｘ 具 有 平移 不
变性 ， 即有 ：
，
， ｒ ｔ
（ Ｘ ）一 ［ ’
ａ Ｅ
（ ｘ） ］
ｌ 预 备 知 识
数 学形 态学 的基 本定 理最 终被 简化 到完 备格 结 构 ］ ， 使 得 完 备 格结 构 成 为 图 像 空 间最 基 本 的代 数结 构 ， 格 的完 备 性 理论 则 成 为 形 态 分 析 方 法最 为重 要 的理论 基础 。结 构形 式最 为简 单 的布 尔格 是 只含有 ０和 １ 两 个元 素 的集合 ｛ ０ ， １ ｝ ， 取 值
二 值形 态变 换 也应 该 具 有 平 移 不 变 性 ， 则 可 以证 明 。 也具 有平 移不 变性 。 性质 １ （ 平移 不变 性 ） 对 于给 定 的结 构 元 素
Ｃ ａ ｒ ｄ （ Ａ）
式中： Ｃ ａ ｒ ｄ — —集 合 的势 。 通过 调节 中秩 函数 ｒ 阈值 Ｓ的大 小 ， 扩 展 出具有 形 态变 换 形 式 的 广义 二 值 形 态 算 子 ， 将 有 助于广 义 二值形 态 理论 的建 立 以及 新 算法 的研
ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｍｏ ｒ ｐ ｈ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ａ ｌ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ａ ｄ ｊ ｕ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｅ ｒ ａ ｎ ｋ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｌ ｄ ｃ ａ ｎ ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ａ ｎ
Ｓｔ ｕ ｄ ｙ ｏｎ ｇ ｅｎ ｅｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｂｉ ｎ ａｒ ｙ ｍｏ ｒ ｐｈ ｏｌ ｏ ｇ ｙ ｏ ｐ ｅｒ ａ ｔ ｏ ｒ
ＬＵｏ Ｊ ｉ ｎ ｇ ， ＺＨＡＮＧ Ｙｕ
（ Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎｄ Ｓｔ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ，Ｓ ｏｕ ｔ ｈ — Ｃｅ ｎｔ ｒ ａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ Ｎａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｉ ｔ ｉ ｅ ｓ，Ｗ ｕ ｈ ａ ｎ ４ ３ ０ ０７ ４，Ｃｈ ｉ ｎａ ）
ｉ ｎｎ ｏｖ ａ ｔ ｉ ｖｅ ｉ ｄ ｅ ａ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈｅ ｓ ｏ ｆ ｍｏｒ ｐｈ ｏｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ａ ｌ ｏ ｐｅ ｒ ａ ｔ ｏｒ ｓ ａ ｎｄ ａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｉ ｔ ｈｍ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ：ｍ ｏ ｒ ｐｈ ｏｌ ｏ ｇｉ ｃ ａ ｌ ｄ ｉ ｌ ａ ｔ ｉ ｏｎ ｓ；ｍｏ ｒ ｐ ｈｏ ｌ ｏｇ ｉ ｃ ａ ｌ ｅ ｒ ｏｓ ｉ ｏ ｎ；ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｍｏ ｒ ｐｈｏ ｌ ｏ ｇｙ；ｒ ａ ｎ ｋ ｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏｎ ．
０ 引 言
数学 形 态学 对 于二值 图像 的研究 是基 于 图像
集合 表示 的 。二 值形 态 变换 是通 过将 二 值 图像 与 在其 中移动 的结 构 元 素 进 行 交 、 并 等 集 合 运 算 实 现 的 。但 是 ， 随着 形 态学 应用 领域 的不 断 发展 ， 在 很 多实 际 问题 中 ， 数 学 形 态 学所 定 义 的形 态 算 子 不 能满 足应 用领 域 的需求 ， 因此 ， 需要 扩 展二值 形 态算 子 。文 献Ｅ ｌ ｉ 从 代 数理 论 的角 度 研 究 了布 尔 函数 与形 态算 子 之 间 的 关 系 ， 给 出 了选 取 适 当性
二值 形 态 变换 理论 ， 以期 为形 态算 子 的应 用 以及新 算法 的研 究提供 新 的思路 。
关 键词 ：形 态腐 蚀 ；形 态膨 胀 ；广 义形 态 变换 ；秩 函数 中图分 类 号 ：Ｔ Ｐ ７ ５ １ 文献标 志 码 ： Ａ 文 章编 号 ：１ ６ ７ ４ — １ ３ ７ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ４ ６ ３ — ０ ７
Ｂ ｏ ｏ ｌ ｅ ａ ｎ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｍａ ｐ ｐ ｉ ｎ ｇ ａ ｒ ｅ ｒ ｅ ｐ ｌ ａ ｃ ｅ ｄ ｂ ｙ ｔ ｈ ｅ ｒ ａ ｎ ｋ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｂ ｙ ｃ ｈ ｏ ｏ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ
第３ ４卷 第 ４期
２ ０ １ ３年 Ｏ ８月 Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｃ
长 春 工 业 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）