2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期开学考试数学(理)试题
黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
大庆实验中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题1.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,6P -到原点的距离为（ ） A. 9 B. 33 D. 22【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中两点间的距离公式求解. 【详解】()()2221263OP =++-=故选：B【点睛】本题主要考查了空间中两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知()2sin 2xf x x e =+，则()f x '=（ ）A. 22cos 22x x e +B. 2cos 2x x e +C. 22sin 22x x e +D. 2sin 2x x e +【答案】A 【解析】 【分析】根据导数公式及法则求解.【详解】因为()2sin 2xf x x e =+，所以()22cos22'=+xf x x e .故选：A【点睛】本题主要考查了导数的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,4,9-关于y 轴的对称点为（ ） A. ()1,4,9--B. ()1,4,9--C. ()1,4,9-D.()1,4,9--【答案】C 【解析】 【分析】根据空间点的对称性求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于y 轴的对称，把x 变为-x ，z 变为-z ，y 不变， 所以点()1,4,9-关于y 轴的对称点为()1,4,9- 故选：C【点睛】本题主要考查了空间中两点间的对称，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4.已知命题:p x R ∀∈，20x >﹔命题0:q x R ∃∈，0lg sin 0x >，则下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∨C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧【答案】C 【解析】 【分析】先判断命题p ，命题q 的真假，再利用复合命题的结论判断. 【详解】由指数函数的值域知，命题p 是真命题，因为00,sin [1,1]∈∈-x R x ，所以0lgsin 0≤x ，命题q 是假命题，则P ⌝ 是真命题， 所以p q ∧⌝是真命题. 故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.1211x x >⎧⎨>⎩是121221x x x x +>⎧⎨>⎩成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质可知1211x x >⎧⎨>⎩能推出121221x x x x +>⎧⎨>⎩,利用取特殊值法可知121221x x x x +>⎧⎨>⎩推不出1211x x >⎧⎨>⎩,从而得到结论. 【详解】解:当1211x x >⎧⎨>⎩时,由不等式的性质知121221x x x x +>⎧⎨>⎩成立;当121221x x x x +>⎧⎨>⎩时,取1214,2x x ==,则1211x x >⎧⎨>⎩不成立,所以1211x x >⎧⎨>⎩是121221x x x x +>⎧⎨>⎩成立的充分不必要条件.故选:A .【点睛】本题考查了不等式的基本性质和四种条件的判定,属基础题. 6.曲线2y x 和23y x =+围成的封闭面积是（ ）A.323 B.283C. 10D.313【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出直线与曲线所围成的封闭图形 ，利用定积分求出面积.【详解】直线与曲线所围成的封闭图形如图阴影部分,两个交点坐标分别为()()1,1,3,9- ，其面积为：()()2223133132232333|3311x x dx x x dx x x x -⎛⎫+-=-++=-++= ⎪--⎝⎭⎰⎰ 故选：A【点睛】本题主要考查了利用定积分求曲边梯形的面积，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于基础题.7.已知空间向量()1,2,3a =-，()3,2,x b =-，若a b ⊥，则x 的值为（ ） A.43B.73C.103D.113【答案】B 【解析】 【分析】根据a b ⊥，则0a b ⋅=求解【详解】因为向量()1,2,3a =-，()3,2,x b =-， 又因为a b ⊥，所以3430⋅=--+=a b x . 解得x =73. 故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8.命题“x R ∀∈，2420x x -+≥”的否定是（ ）A. 0x R ∃∈，200420x x -+≥B. 0x R ∃∈，200420x x -+<C. x R ∀∈，2420x x -+<D. x R ∀∈，2420x x -+≤【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断，要注意既要否定结论，也要转化量词. 【详解】因为命题“x R ∀∈，2420x x -+≥”根据命题的否定的定义所以命题“x R ∀∈，2420x x -+≥”的否定是0x R ∃∈，200420x x -+<故选：B【点睛】本题主要考查了命题的否定，还考查了理解辨析的的能力，属于基础题.9.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，则异面直线1D B 与1B M 所成角的余弦值为（ ）A.1515B. 1515-C.153D. 153-【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，从而得到相应向量的坐标，再利用线线角的向量法求解.【详解】以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AB =1 则B (1,1,0)，C (0,1,0)，M (12,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)， 所以，()11,1,1,=-D B 与11,0,12⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B M ， 设异面直线1D B 与1B M 所成角为θ ，111111|15cos cos ,15|||||B M B MB M D B D B D B θ===⋅ . 故选：A【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.已知双曲线的标准方程为22221x y a b -=，过双曲线的左焦点作斜率为33的直线，恰好与圆222x y a +=相切，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 12y x =±B. 2y x =±C. y x =D.y =【答案】D 【解析】 【分析】先通过焦点设出直线方程，再利用直线恰好与圆222x y a +=相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】设左焦点为()1,0F c - ，则直线方程)y x c =+ ，即30y -+= ，因直线恰好与圆222x y a +=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，a = ，所以2c a==，所以ba=所以双曲线的渐近线方程为y = 故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.函数()xf x e kx =-，当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则k 的取值范围是（ ）A. 1k ≤B. k 2≤C. k e ≤D. 1k e≤【答案】C【解析】 【分析】将当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，转化为x ek x≤ ()0,x ∈+∞时恒成立，再令()xe g x x=，用导数法求()g x 最小值即可.【详解】因为函数()xf x e kx =-，当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，所以xe k x≤ ()0,x ∈+∞时，恒成立，令()xe g x x =，()()21x e x g x x-'=， 当1x < 时，()0g x '<，当1x > 时，()0g x '>， 所以当1x =时()g x 取得最小值e. 所以k e ≤. 故选：C【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12.椭圆()32122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222,:100x y C c d c d -=>>的焦点相同，1F ，2F 分别为左焦点和右焦点，椭圆1C 和双曲线2C 在第一象限的交点为P ，若12F PF θ∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则下列选项中正确的是（ ）A .2212cos sin 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 2212tan 121e e θ⎛⎫ ⎪⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭D. 2212tan 121e e θ⎛⎫ ⎪⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先根据椭圆与双曲线的定义求得12,PF PF ，再在12F PF ∆中，利用余弦定理，化简变形求解. 【详解】设12,PF m PF n == ，根据题意，22m n am n c +=⎧⎨-=⎩，解得m a c n a c =+⎧⎨=-⎩，在12F PF ∆中，设122F F f = ， 由余弦定理得()22222cos fm n nm θ=+- ，所以()()()()22242cos f a ca c a c a c θ=++--+-，()222222cos f a c a c θ=+--， 2222121211112cos e e e e θ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭， ()()22121121cos 1cos e e θθ=-++，所以2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的定义和余弦定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13.抛物线214y x =的准线方程是___________________. 【答案】1y =- 【解析】 【分析】将214y x =化成抛物线的标准方程24x y =，利用抛物线的性质求解即可． 【详解】由214y x =得：24x y =，所以24p =，即：12p =所以抛物线214y x =的准线方程为：12py =-=-．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．14.已知x ，y 满足线性约束条件301010x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.【答案】1； 【解析】 【分析】根据约束条件画出可行域，平移目标函数所在的直线，找到最优点，将最优点的坐标代入目标函数求解.【详解】根据约束条件画出可行域，如图所示：平移目标函数2z x y =+所在的直线，最优点A (0,1 )，所以min 2011=⨯+=z 故答案为：1【点睛】本题主要考查了线性规划，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于基础题. 15.计算2214x dx --=⎰__________．【答案】433π+【解析】分析：根据定积分的几何意义，将定积分化为两个区域的面积求解． 详解：令24y x =-，可得224(0)x y y +=≥，表示以原点为圆心，半径为2的圆的上半部分．结合图形可得所求定积分为Rt AOB ∆和扇形AOC 的面积之和（如图），且Rt AOB ∆中，2,60OA AOB =∠=︒，扇形AOC 中，120AOC ∠=︒．故214x dx --=2114313(2)233ππ⨯⨯⨯=+点睛：求定积分的方法有两种，一是根据微积分基本定理求解；二是根据定积分的几何意义求解，特别是对于被积函数中含有根号形式的定积分，一般要根据几何意义转化为图形的面积求解．16.已知函数()1sin 2sin 2f x x x =-，且对于任意的1x ，224,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，()()1212f x f x x x λ-<-恒成立，则λ的取值范围是________.【答案】[)2,+∞ 【解析】 【分析】先求导()2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48⎛⎫'=-=--=-- ⎪⎝⎭f x x x x x x ，确定函数的单调性，然后不妨设1x ，224,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且12x x > ，将()()1212f x f x x x λ-<-恒成立，去绝对值转化为()()1122λλ-<-f x x f x x 恒成立，令()()λ=-g x f x x ，转化为()g x 是减函数，通过()()0λ''=-≤g x f x 恒成立求解.【详解】因为函数()1sin 2sin 2f x x x =-， 所以()2219cos 2cos 2cos cos 12cos 48⎛⎫'=-=--=-- ⎪⎝⎭f x x x x x x ， 因为24,33ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ， 所以1cos [1,]2t x =∈-- ，所以()[0,2]'∈f x ， 所以()f x 在24,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数， 不妨设1x ，224,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且12x x > ， 因为()()1212f x f x x x λ-<-恒成立，所以()()()1212λ-<-f x f x x x 恒成立，所以()()1122λλ-<-f x x f x x 恒成立，令()()λ=-g x f x x ，因为()g x 是减函数，所以()()0λ''=-≤g x f x ，恒成立，所以()219cos 2cos 2cos 48λ⎛⎫'≥=-=-- ⎪⎝⎭f x x x x 恒成立， 因为()[0,2]'∈f x所以2λ≥.故答案为：[)2,+∞【点睛】本题主要考查了导数法研究不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17.已知函数()32134132f x x x x =--+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[]25x ∈-，时，求函数()f x 的最大值和最小值. 【答案】（1）单调递增区间是(),1-∞-和()4,+∞；单调递减区间是()1,4-（2）最大值为196，最小值为533-. 【解析】【分析】（1）先求导，()()()41f x x x '=-+，则0f x 的解集对应的是增区间，0f x 的解集对应的是减区间.（2）根据（1）知，当[]2,1x ∈--时，0f x ，当[]1,4x ∈-时，0f x ，当[]4,5x ∈时，0f x ，求出极值点，再加上端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值.【详解】（1）()()()41f x x x '=-+，当1x <-或4x >时，0f x ，当14x -<<时，0f x ，所以函数()f x 单调递增区间是(),1-∞-和()4,+∞，函数()f x 单调递减区间是()1,4-.（2）由（1）知，当[]2,1x ∈--时，0f x ， 当[]1,4x ∈-时，0f x ，当[]4,5x ∈时，0f x ，所以()123f -=，()1916f -=，()5343f =-，()8956f =-， 当1x =-时，函数()f x 的最大值为196，当4x =时，函数()f x 的最小值为533-. 【点睛】本题主要考查了导数法研究函数的单调性与最值问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.18.（1）证明不等式1x e x ≥+.（2）证明：当0x ≥时，不等式2112x e x x ++≥恒成立. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）构造函数()1xf x e x =--，若证不等式1x e x ≥+成立，则 ()min 0f x ≥，用导数法求()1x f x e x =--的最小值即可.（2）构造函数()2112xg x e x x =---，若证0x ≥时，不等式2112x e x x ++≥恒成立，则()min 0g x ≥，用导数法求()2112x g x e x x =---最小值即可. 【详解】（1）因为不等式1x e x ≥+成立，所以10x e x -->成立，令()1xf x e x =--， 所以()1xf x e '=-， 当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，所以0x =是函数()f x 的极小值点，即()()00f x f ≥=，所以1x e x ≥+.（2）要证0x ≥时，不等式2112x e x x ++≥恒成立，只需0x ≥时，不等式21102x e x x ---≥恒成立， 令()2112x g x e x x =---， ()1x g x e x '=--，由（1）可知，()0g x '≥，所以函数()g x 在[)0,+∞单调递增，即()()00g x g ≥=， 所以2112x e x x ++≥. 【点睛】本题主要考查了导数法证明不等式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.已知抛物线()220y px p =>上一点(0,M x 到焦点F 的距离032x MF =. （1）求抛物线的标准方程；（2）过点()20N ，的直线交抛物线与A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点C （异于点N ），使得NCA NCB ∠=∠，如果存在，请求出定点C 的坐标，如果不存在请说明理由.【答案】（1）24y x =（2）存在，()2,0C - 【解析】【分析】（1）根据00322x p MF x =+=，求得0x p =，得到点(,M p ，再代入抛物线方程求解.（2）设过点()2,0N 的直线方程为2x ky =+，与联立抛物线得：2480y ky --=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，(,0)C m ，根据NCA NCB ∠=∠，则两直线的斜率互为相反数，即CA CB 0k k +=，再由12120y y x m x m+=--求解. 【详解】（1）因为00322x p MF x =+=，所以0x p =，点(,M p ，代入抛物线方程得，282p =，解得2p =，所以抛物线方程是24y x =.（2）设过点()2,0N 的直线方程为2x ky =+，与抛物线方程联立得：2480y ky --=， 124y y k +=，128y y =-，设点()11,A x y ，()22,B x y ，(,0)C m ，112x ky =+，222x ky =+，因为NCA NCB ∠=∠，所以CA CB 0k k +=， 即12120y y x m x m+=--， 1212022y y ky m ky m+=+-+-， 所以()()1212220ky y m y y +-+=，所以()420k m +=，由于k 具有任意性，所以2m =-，即()2,0C -.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.如图所示在四棱锥P ABCD -中，下底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为以AD 为斜边的等腰直角三角形，4AB =，若点E 是线段PD 上的中点.（1）证明//PB 平面EAC .（2）求二面角P AC E --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）根据F 为BD 的中点，E 为PD 的中点，有//EF PB ，再根据线面平行的判定理证明.（2）取AD 中点O ，由平面PAD ⊥平面ABCD ，得OP ⊥平面ABCD ，即OM ，OD ，OP 俩俩垂直，以OM ，OD ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 的一个法向量，平面PAC 的一个法向量，再利用面面角的向量法求解.【详解】（1）连结AC ，BD 相交于点F ，连结EA ，BC ， F 为BD 的中点，E 为PD 的中点，所以//EF PB ，又因为PB ⊄平面EAC ，EF ⊂平面EAC ，所以//PB 平面EAC .（2）取AD 中点O ，BC 中点M ，连结OP ，OM ，OP AD ⊥，OM BC ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD ，即OM ，OD ，OP 两两垂直.以OM ，OD ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示：()002P ,,，()0,-2,0A ，()4,2,0C ，()0,1,1E ，()0,2,2AP =，()4,4,0AC =，设平面PAC 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111220440y z x y +=⎧⎨+=⎩， 令z 1=1，()11,1,1=-n ，()0,3,1AE =，()4,4,0AC =，设平面PAC 的法向量为()2222,,n x y z =，则2200n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222230440y z x y +=⎧⎨+=⎩， 令z 2=1()2,1,1,3=-n ， 所以121212533cos ,==n n n n n n . 二面角P AC E --的平面角的余弦值为533.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理，二面角的求法，还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()ln xe f x x x x=-+. （1）求函数()f x 的最小值；（2）若()230x xf x e bx --≤恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）1e +（2）[)2,e -+∞【解析】【分析】（1）先求导()()()21x x x e f x x -+'=，再求极小值点，从而求得最小值.（2）先将()230x xf x e bx --≤恒成立，转化为()2ln xe b x x x≥--，0x >恒成立，令()()2ln xe g x x x x=--，用导数法求()g x 的最大值即可. 【详解】（1）因为()ln xe f x x x x=-+. 所以()()()21x x x e f x x -+'=，当()0,1x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>函数()f x 单调递增，所以当1x =时，函数()f x 取得最小值为()11f e =+.（2）因为()230xxf x e bx --≤恒成立， 所以()2ln 0xx x x e bx ---≤，0x > 恒成立， 所以()2ln xe b x x x≥--，0x >恒成立，令()()2ln xe g x x x x=--， ()()()221xx e x g x x --'=， 令()2x u x x e =-，()2'=-x u x e ，当0n 2<<x l 时，()0u x '>，当n 2>x l 时，()0u x '<所以当2x ln =时，()u x 取得最大值，所以()()ln 22ln 220u x u ≤=-<，所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<函数()g x 单调递减，所以当1x =为函数()g x 取得最大值()12=-g e ，所以()12b g e ≥=-，所以b 取值范围是[)2,e -+∞.【点睛】本题主要考查了导数法求函数最值，证明不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆与y 轴正半轴交于点M ，且12MF F ∆是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点2F 任作一直线交椭圆于A ，B 两点，平面上有一动点P ，设直线PA ，2PF ，PB 的斜率分别为1k ，k ，2k ，且满足122k k k +=，求动点P 的轨迹方程.【答案】（1）22143x y +=（2）点P 的轨迹的方程为4x = 【解析】【分析】（1）根据焦点12MF F ∆，得到,,a b c 的关系求椭圆的方程.（2）当过点2F 的直线斜率存在时，设直线方程为()1'=-y k x ，与椭圆方程联立，得()22223484120'''+-+-=k x k x k ，因为直线PA ，2PF ，PB 的斜率分别为1k ，k ，2k ，且满足122k k k +=， 所以有001020010221y y y y y x x x x x --⨯=+---，再利用韦达理化简求解.注意斜率不存在的情况的分析. 【详解】（1）因为12MF F ∆是边长为2的等边三角形，所以2,2a b a ===， 所以椭圆标准方程为22143x y +=. （2）当过点2F 的直线斜率存在时，设直线方程为()1'=-y k x ， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ， 联立方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩'， 得()22223484120'''+-+-=k x k x k ， 由韦达定理得，2122834'+='+k x x k ，212241234'-='+k x x k ， 因为122k k k +=， 所以001020010221y y y y y x x x x x --⨯=+---， 所以()()2000022665443434'-+=-''++y k x x x k k ， 即()()()000410'---=x k x y ，所以04x =或()001'=-y k x （舍去），②当过点2F 的直线斜率不存在时，即为1x =，此时331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可知直线04x =上任意一点亦满足条件.所以动点P 的轨迹的方程为4x =.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及其应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
黑龙江省大庆中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
大庆中学2019—2020学年度上学期期末考试高二年级理科数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( ) A.1122i + B.1122i - C. 1122-+i D. 1122i -- 【答案】A 【解析】由()1i 1z +=，得()()11i 1111i,i 1i 1i 1i 2222z z -===-∴=+++-，故选A. 2.设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合关系来判断条件．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若//,//,m n αα则//m n B. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n α D. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系． 此处有视频，请去附件查看】5.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.14B.8π C.12D.4π 【答案】B【【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 6.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B. -4C. 4D. -3【答案】B 【解析】 【分析】根据秦九韶算法先将多项式改写成如下形式：()()()()()4012016f x x x x x x =+++++，将2x =-代入并依次计算0v ，1v ，2v 值，即可得到答案【详解】多项式()()()()()542420164012016f x x x x x x x x x x =++++=+++++，当2x =-时，01v =，12v =，24v =-，故选B ．【点睛】本题考查的知识点是秦九韶算法，其中熟练掌握秦九韶算法的运算法则，是解答本题的关键，属于中档题.7.已知数列{}n a 中，114a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2020a 的值是（ ） A.43B.14C. -3D.15【答案】B 【解析】 【分析】写出数列的前几项，可发现数列有周期，周期为3，则20201a a =.的【详解】因为114a =，111(2)n n a n a -=-≥， 所以2143a =-=-，314133a =+=，431144a =-=，⋯， 可知数列的取值有周期，周期为3， 所以2020114a a ==， 故选：B【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，属于容易题. 8.2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） A. 3- B. 2-C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【详解】的展开式通项为：，由2100r -=得=5r ，所以的常数项系数为；由2102r -=-得4r =，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是,故选D.【此处有视频，请去附件查看】9.已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A.92B. 9C. 5D.52【答案】A 【解析】 【分析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值.【详解】Q 定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+… 当且仅当4m nn m=时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92.故选A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.10.将函数()()()()sin 220f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移4π个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ等于（ ） A. 6π-B.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值.【详解】()()()sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭Q , 将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈，得()116k k Z ϕπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<Q ，2k ∴=，6π=ϕ. 故选：B.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11.《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A. 240种 B. 188种 C. 156种 D. 120种【答案】D 【解析】当E,F 排在前三位时，2231223()N A A A ==24,当E,F 排后三位时，122223322()()N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时，112232322()N C A A A ==24，N=120种，选D.12.抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB+=，在ABF ∆中222AB AF BF=+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF=++2()AF BF AF BF=+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即3AF BF AB +≤，所以3MN AB≤，故选B ． 考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知向量,a b r r夹角为45︒，且1,2a a b =-=r r r b =r __________．【答案】【解析】试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 【此处有视频，请去附件查看】14.不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共10只，从中任意摸出一只小球得到是黑球的概率为25．则从中任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为 ． 【答案】【解析】试题分析：这属于古典概型问题，设其中有黑球x 只，则有2105x =，4x =，故白球有6只，任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为1124662101315C C C C +=. 考点：古典概型.15.在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积3V =，则CD =______．【答案】【解析】 【分析】设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，连接MN,可知球心O 在MN 上，连接CN,DN,OA,OD,设2CD x =，根据勾股定理，得方程，进而问题得解.【详解】设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，连接MN,由题目中已知条件可知，MN 分别为CD ，AB 的垂直平分线，故四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，连接CN,DN,OA,OD ，设四面体A BCD -的外接球半径为r，由3433V r π==，得r = 设2CD x =，在Rt OAN V中，1ON ===， 在Rt ADN V中，DN =在Rt DMN V 中，MN ==所以1OM MN ON =-=，在Rt ODM V 中，222OM OD DM =-，由)2212x =-，解得x =所以CD =故填：【点睛】本题考查了几何体的外接球的有关问题，关键是确定球心在几何体中的位置，根据已知条件，结合几何体的半径和表面积或体积公式求解.16.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．【答案】()⋃+∞【解析】分析：设出双曲线的左焦点，令x=﹣c ，代入双曲线的方程，解得A ，B 的坐标，讨论∠DAB 为钝角，可得DA AB⋅u u u v u u u v＜0，或∠ADB 为钝角，可得DA AB ⋅u u u v u u u v＜0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围．详解：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 1（﹣c ，0），令x=﹣c ，可得y==±2b a ， 可得A （﹣c ，2b a ），B （﹣c ，﹣2b a），又设D （0，b ），可得AD u u u r =（c ，b ﹣2b a），AB u u u r =（0，﹣22b a），DB uuu r =（﹣c ，﹣b ﹣2b a ）， 由△ABD 为钝角三角形，可能∠DAB 为钝角，可得AD AB ⋅u u u v u u u v＜0，即为0﹣22b a•（b ﹣2b a ）＜0，化为a ＞b ，即有a 2＞b 2=c 2﹣a 2，可得c 2＜2a 2，即e=ca，又e ＞1，可得1＜e ，可能△ADB 中，∠ADB 为钝角，可得AD AB ⋅u u u v u u u v＜0，即为c 2﹣（2b a +b ）（2ba﹣b ）＜0，化为c 4﹣4a 2c 2+2a 4＞0， 由e=ca，可得e 4﹣4e 2+2＞0，又e ＞1，可得e综上可得，e 的范围为（1．+∞）．故答案为()⋃+∞点睛：(1) 本题考查双曲线的离心率的范围及向量数量积的坐标表示. 意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理运算能力.（2）本题的关键是转化ABD ∆为钝角三角形，这里是利用数量积AD AB ⋅u u u v u u u v＜0转化的，比较简洁高效.三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18—22题每小题12分，共70分）17.已知以点(1,2)A -为圆心圆与直线1:270l x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于,M N两点.（1）求圆A 的方程；（2）当||MN =l 的方程. （用一般式表示） 【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=；（2）20x +=或3460x y -+= 【解析】 【分析】（1）由点到直线的距离公式求出圆的半径，再求出圆的方程即可；（2）由||MN =A 到直线MN 的距离为d ，再结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】解：（1）由题意知：点()1,2A -到直线270x y ++=的距离为圆A 的半径R ，∴R ==∴圆A 的方程为：()()221220x y ++-=；（2）设圆心()1,2A -到直线MN 的距离为d ，由垂径定理及勾股定理知：1d ===, 又直线过点(2,0)B -， 当动直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，显然满足题意；当动直线l 的斜率存在时，设动直线l 的方程为：()2y k x =+，由点()1,2A -到动直线l 的距离为11=，解得：34k =， 此时直线l 的方程为：3460x y -+=，综上，直线l 的方程为：3460x y -+=或20x +=.【点睛】本题考查了点到直线的距离，主要考查了垂径定理及勾股定理，重点考查了直线的一般式方程，属中档题.18.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且满足sin cos 0a B A -=，4a =.（1）求A ∠；（2）若D 是BC 中点，3AD =，求ABC ∆面积.【答案】（1）3A π=；（2. 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简sin cos 0a B A =即可求得tan A ，从而可求A 的值．．2．在ABC V 中由余弦定理列方程．在ABD V 中利用余弦定理列方程．在ACD V 中利用余弦定理列方程．联立可得10bc =的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】： （1）sin cos 0a B A = ，2sin sin 2sin cos 0R A B R B A =则sin 0A A = ，tan A =3A π∴=（2）方法一：在ABC V 中，222222cos a b c bc BAC b c bc =+-∠=+-即2216b c bc +=+ .在ABD V 中222229413cos 223212AD BD AB c c ADB AD BD +-+--∠===⋅⨯⨯，同理ACD V 中222229413cos 223212AD CD AC b b ADC AD CD +-+--∠===⋅⨯⨯，而ADB ADC π∠+∠=，有cos cos 0ADC ADB ∠+∠=， 即222213130261212b c b c --+=⇒+=.联立得162610bc bc +=⇒=，11=sin 1022ABC S bc BAC ∠=⨯=V . 方法二：又222221cos 1622b c a A b c bc bc +-==⇒+-=① 2AB AC AD +=uu u v u u u vu u u v222294AB AC AB AC AD ++⋅==u u u v u u u v u u u v u u u vu u u v 22222cos 9364c b bc Ab c bc ++=⇒++=②②-①得10bc =11=sin 1022ABC S bc A =⨯=V方法三：（极化式）()()cos 945AB AC AB AC A AD DB AD DB ⋅==+⋅-=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 510cos AB AC A∴==u u u v u u u v1=sin 2ABC S AB AC A ∴=V u u u v u u u v 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列(*)n N ∈，24a =，且21+a 是1a 与3a 的等差中项． I.求数列{}n a 的通项公式；II.设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111=++++L L n nT S S S S ，证明：12n T ≤<． 【答案】I.()*2n n a n N =∈；II.见解析 【解析】【分析】I.根据等差中项性质得到()21321a a a +=+，再根据等比数列通项公式构造方程求得q ，从而可求得通项公式；II.根据n a 求得n b ，利用等差数列求和公式得到n S ；再根据裂项相消法求得n T ，根据2011n <≤+证得结论.【详解】I.由题意得：()21321a a a +=+设数列{}n a 公比为q ，则()22221a a a q q +=+，即22520q q -+= 解得：12q =（舍去）或2q = 则212a a q == ()1*12n n n a a q n N -∴==∈ II.由I.得：2log 2n n b n ==，可知{}n b 为首项为1，公差为1的等差数列则()()1122n n n b b n n S ++== ()1211211nS n n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪++⎝⎭ 1111111122121222334111n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2011n <≤+Q 21221n ∴≤-<+ 即12n T ≤<【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前n 项和问题，关键是能够确定需求和的数列的通项公式符合裂项相消法的形式，从而使问题得以解决.20.已知动圆P 过点(1,0)F 且和直线l ：1x =-相切．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）已知点(1,0)M -，若过点F 的直线与轨迹E 交于A ，B 两点，求证：直线MA ，MB 的斜率之和为定值．【答案】（1）24y x =；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义知，点P 的轨迹为抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹方程；（2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立直线与抛物线，利用韦达定理、斜率公式，即可证明结论．【详解】由题意得：圆心P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离， ∴圆心P 的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，设圆心P 的轨迹方程为22y px ＝（0p ＞）， ∵12p =， ∴2p =．∴圆心P 的轨迹方程为：24y x =；（2）证明：设直线AB 的方程为1x my =+，11()A x y ，，22()B x y ，，联立直线与抛物线可得2440y my --=，∴124y y m +=，124y y =-， ∴()()()12121212121401111MA MB y y y y y y k k x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+=+==++++， 即直线MA ，MB 的斜率之和为定值．【点睛】本题考查轨迹方程的求法以及直线与圆锥曲线的位置关系，求轨迹方程常用的方法有直接法、相关点法等，解决直线与圆锥曲线的位置关系常用代数法，属于常考题.21.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ．60DAB ∠=o ．2AD =．1AM =．E 为AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ．（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）3π 【解析】【分析】 ()I 利用CM 与BN 交于F ，连接EF ．证明//AN EF ，通过直线与平面平行的判定定理证明//AN 平面MEC ；()II 对于存在性问题，可先假设存在，即假设x 在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断． 【详解】()I CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以//AN EF ．又EF ⊂平面MEC ，AN ⊂平面MEC ，所以//AN 平面MEC ．()II 由于四边形ABCD 是菱形，60DAB o ∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又四边形ADNM 是矩形，面ADNM ⊥面ABCD ，DN ∴⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，E ，0，0)，(0C ，2，0)，P 1-，)h ，CE =u u u v ，2-，0)，(0EP =u u u v ，1-，)h ，设平面PEC 的法向量为1(n x =u v ，y ，)z ．则11·0·0CE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，∴200y y hz -=-+=⎪⎩，令y =，∴ 1(2n h =u v，又平面ADE 的法向量2(0n =u u v ，0，1)，1cos n ∴<u v，12212·12n n n n n >===u v u u v u u v u v u u v，解得7h =， Q1>， ∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判断以及二面角的应用，考查存在性问题，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．利用空间向量法求二面角的一般方法，属于中档题.22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的下顶点为P ，如图所示，点M 为直线2x =上的一个动点，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 垂直于OM ，且与C 交于A ，B 两点，与OM 交于点N ，四边形AMBO 和ONP ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）2【解析】【详解】（1）因为1,2⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以221112a b +=，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为1222a b ab ⨯⨯== 解得222,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y += （2） 由（1）可知()1,0F ，设()()()11222,,,,,M t A x y B x y ，则当0t ≠时，:2t OM y x =，所以2AB k t=-， 直线AB 的方程为()21y x t =--，即()2200x ty t +-=≠， 由()2221220y x tx y ⎧=--⎪⎨⎪+-=⎩得()222816820t x x t +-+-=， 则()()()()22242164882840t t t t ∆=--+-=+>， 21212221682,88t x x x x t t-+==++，)2248tABt+==+，又OM=，所以)22122441288t tS OM ABt t++=⨯==++，由()212y xtty x⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得244Nxt=+，所以2221421244St t=⨯⨯=++，所以212224284tS St t+=⨯==<++，当0t=，直线:1l x=，AB=1122S==2111122S=⨯⨯=，122S S=，所以当0t=时，()12max2S S=.点睛：在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.。
黑龙江省大庆中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题
绝密★启用前 黑龙江省大庆中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( ) A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 2．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 5．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是○……………○……○……………○…… A ．14 B ．8π C ．12 D ．4π 6．用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ） A ．2 B ．-4 C ．4 D ．-37．已知数列{}n a 中，114a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2020a 的值是（ ）A ．43 B ．14 C ．-3 D ．158．2521(2)(1)x x +-的展开式的常数项是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．39．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n +的最小值为（ ）.A ．92 B ．9 C ．5 D ．5210．将函数()()()()sin 220f x x x ϕϕϕπ=++<<的图象向左平移4π个单位后，得到函数的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则ϕ等于（ ）A ．6π-B ．6πC ．4πD ．3π11．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ）A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种12．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ） A B C D 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,2a a b =-=r r r ，则b =r __________． 14．不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共10只，从中任意摸出一只小球得到是黑球的概率为25．则从中任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为 ． 15．在四面体A BCD -中，2AB AC AD BC BD =====，若四面体A BCD -的外接球的体积3V =，则CD =______． 16．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________． 三、解答题 17．已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于,M N 两点. （1）求圆A 的方程； （2）当||MN =l 的方程. （用一般式表示） 18．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且满足sin cos 0a B A =，4a =. （1）求A ∠； （2）若是BC 中点，3AD =，求ABC ∆面积.○…………外…………………○…………※※在※※装※※订※※线※※○…………内…………………○…………19．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列(*)n N ∈，24a =，且21+a 是1a 与3a 的等差中项． I.求数列{}n a 的通项公式； II.设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111=++++L L n n T S S S S ，证明：12n T ≤<． 20．已知动圆P 过点(1,0)F 且和直线l ：1x =-相切． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）已知点(1,0)M -，若过点F 的直线与轨迹E 交于A ，B 两点，求证：直线MA ，MB 的斜率之和为定值．21．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠=o ，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点组成的四边形的面积为2√2，且经过点(1,√22).（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x=2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和ΔONP的面积分别为S1，S2，求S1S2的最大值.参考答案1．A【解析】由()1i 1z +=，得()()11i 1111i,i 1i 1i 1i 2222z z -===-∴=+++-，故选A. 2．B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3．B【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】 22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4．B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．5．B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .6．B【解析】【分析】根据秦九韶算法先将多项式改写成如下形式：()()()()()4012016f x x x x x x =+++++，将2x =-代入并依次计算0v ，1v ，2v 的值，即可得到答案【详解】多项式()()()()()542420164012016f x x x x x x x x x x =++++=+++++，当2x =-时，01v =，12v =，24v =-，故选B ．【点睛】本题考查的知识点是秦九韶算法，其中熟练掌握秦九韶算法的运算法则，是解答本题的关键，属于中档题.7．B【解析】【分析】写出数列的前几项，可发现数列有周期，周期为3，则20201a a =.【详解】 因为114a =，111(2)n n a n a -=-≥， 所以2143a =-=-，314133a =+=，431144a =-=，⋯， 可知数列的取值有周期，周期为3， 所以2020114a a ==， 故选：B【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，属于容易题.8．D【解析】【详解】的展开式通项为：，由2100r -=得=5r ，所以的常数项系数为；由2102r -=-得4r =，所以的项系数为，所以的展开式的常数项是,故选D.9．A【解析】【分析】 根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】Q 定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+… 当且仅当4m n n m =时等号成立， 即42,33m n ==时取得最小值92. 故选：A【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.10．B【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简，并求出平移变换后的函数解析式，由变换后的函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得出ϕ的表达式，结合ϕ的范围可求出ϕ的值. 【详解】 ()()()sin 222sin 23f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭Q , 将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后， 所得图象的函数解析式为()52sin 22sin 2436g x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于函数()y g x =的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则()5226k k Z ππϕπ⨯++=∈， 得()116k k Z ϕπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，0ϕπ<<Q ，2k ∴=，6π=ϕ. 故选：B.【点睛】 本题考查利用三角函数的对称性求参数值，同时也考查了三角函数图象的平移变换，根据对称性得出参数的表达式是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11．D 【解析】当E,F 排在前三位时，2231223()N A A A ==24,当E,F 排后三位时，122223322()()N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时，112232322()N C A A A ==24，N=120种，选D.12．B 【解析】 【详解】试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =+，则1112MN AA BB AB AB +=⋅2AF BF AB +=，在ABF ∆中222AB AF BF =+22cos3AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2()2AF BF+-23()4AF BF =+，所以22()43AF BF AB+≤，即3AF BF AB +≤，所以3MN AB ≤，故选B ．考点：抛物线的性质． 【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系．13．【解析】 试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数. 14．【解析】试题分析：这属于古典概型问题，设其中有黑球x 只，则有2105x =，4x =，故白球有6只，任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为1124662101315C C C C +=. 考点：古典概型. 15．【解析】 【分析】设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，连接MN,可知球心O 在MN 上，连接CN,DN,OA,OD,设2CD x =，根据勾股定理，得方程，进而问题得解. 【详解】设CD 的中点为M ，AB 的中点为N ，连接MN,由题目中已知条件可知，MN 分别为CD ，AB 的垂直平分线，故四面体A BCD -的外接球球心O 在线段MN 上，连接CN,DN,OA,OD ，设四面体A BCD -的外接球半径为r ，由343V r π==，得r = 设2CD x =，在Rt OAN V 中，1ON ===，在Rt ADN V 中，DN =在Rt DMN V 中，MN ==所以1OM MN ON =-=，在Rt ODM V 中，222OM OD DM =-，由)2212x =-，解得x =所以CD =故填：【点睛】本题考查了几何体的外接球的有关问题，关键是确定球心在几何体中的位置，根据已知条件，结合几何体的半径和表面积或体积公式求解.16．()⋃+∞【解析】分析：设出双曲线的左焦点，令x=﹣c ，代入双曲线的方程，解得A ，B 的坐标，讨论∠DAB 为钝角，可得DA AB ⋅u u u v u u u v ＜0，或∠ADB 为钝角，可得DA AB ⋅u u u v u u u v＜0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围．详解：设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 1（﹣c ，0），令x=﹣c ，可得y==±2b a ， 可得A （﹣c ，2b a ），B （﹣c ，﹣2b a），又设D （0，b ），可得AD u u u r =（c ，b ﹣2b a），AB u u u r =（0，﹣22b a），DB uuu r =（﹣c ，﹣b ﹣2b a ），由△ABD 为钝角三角形，可能∠DAB 为钝角，可得AD AB ⋅u u u v u u u v＜0，即为0﹣22b a•（b ﹣2b a ）＜0，化为a ＞b ，即有a 2＞b 2=c 2﹣a 2，可得c 2＜2a 2，即e=ca，又e ＞1，可得1＜e ，可能△ADB 中，∠ADB 为钝角，可得AD AB ⋅u u u v u u u v＜0，即为c 2﹣（2b a +b ）（2b a﹣b ）＜0， 化为c 4﹣4a 2c 2+2a 4＞0， 由e=ca，可得e 4﹣4e 2+2＞0，又e ＞1，可得e综上可得，e 的范围为（1）∪．+∞）．故答案为()⋃+∞点睛：(1) 本题考查双曲线的离心率的范围及向量数量积的坐标表示. 意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理运算能力.（2）本题的关键是转化ABD ∆为钝角三角形，这里是利用数量积AD AB ⋅u u u v u u u v＜0转化的，比较简洁高效.17．（1）22(1)(2)20x y ++-=；（2）20x +=或3460x y -+= 【解析】 【分析】（1）由点到直线的距离公式求出圆的半径，再求出圆的方程即可；（2）由||MN =A 到直线MN 的距离为d ，再结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】解：（1）由题意知：点()1,2A -到直线270x y ++=的距离为圆A 的半径R ，∴R ==∴圆A 的方程为：()()221220x y ++-=； （2）设圆心()1,2A -到直线MN 的距离为d ，由垂径定理及勾股定理知：1d ===, 又直线过点(2,0)B -，当动直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，显然满足题意； 当动直线l 的斜率存在时，设动直线l 的方程为：()2y k x =+， 由点()1,2A -到动直线l 的距离为11=，解得：34k =，此时直线l 的方程为：3460x y -+=，综上，直线l 的方程为：3460x y -+=或20x +=. 【点睛】本题考查了点到直线的距离，主要考查了垂径定理及勾股定理，重点考查了直线的一般式方程，属中档题. 18．（1）3A π=；（2. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简sin cos 0a B A =即可求得tan A ，从而可求A 的值．（2）在ABC △中由余弦定理列方程，在ABD V 中利用余弦定理列方程，在ACD V 中利用余弦定理列方程，联立可得10bc =的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】： （1）sin cos 0a B A = ，2sin sin 2sin cos 0R A B R B A =则sin 0A A =，tan A =3A π∴=（2）方法一：在ABC V 中，222222cos a b c bc BAC b c bc =+-∠=+-即2216b c bc +=+ .在ABD V 中222229413cos 223212AD BD AB c c ADB AD BD +-+--∠===⋅⨯⨯， 同理ACD V 中222229413cos 223212AD CD AC b b ADC AD CD +-+--∠===⋅⨯⨯， 而ADB ADC π∠+∠=，有cos cos 0ADC ADB ∠+∠=，即222213130261212b c b c --+=⇒+=.联立得162610bc bc +=⇒=，11=sin 102222ABC S bc BAC ∠=⨯⨯=V . 方法二：又222221cos 1622b c a A b c bc bc +-==⇒+-=①2AB AC AD +=u u u v u u u vu u u v222294AB AC AB AC AD ++⋅==u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22222cos 9364c b bc Ab c bc ++=⇒++=②②-①得10bc =11=sin 102222ABC S bc A =⨯⨯=V 方法三：（极化式）()()cos 945AB AC AB AC A AD DB AD DB ⋅==+⋅-=-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v510cos AB AC A∴==u u u v u u u v1=sin 2ABC S AB AC A ∴=V u u u v u u u v 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．I.()*2n n a n N =∈；II.见解析 【解析】 【分析】I.根据等差中项性质得到()21321a a a +=+，再根据等比数列通项公式构造方程求得q ，从而可求得通项公式；II.根据n a 求得n b ，利用等差数列求和公式得到n S ；再根据裂项相消法求得n T ，根据2011n <≤+证得结论. 【详解】I.由题意得：()21321a a a +=+ 设数列{}n a 公比为q ，则()22221a a a q q+=+，即22520q q -+= 解得：12q =（舍去）或2q = 则212a a q== ()1*12n n n a a q n N -∴==∈ II.由I.得：2log 2nn b n ==，可知{}n b 为首项为1，公差为1的等差数列则()()1122n n n b b n n S ++== ()1211211nS n n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪++⎝⎭ 1111111122121222334111n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2011n <≤+Q 21221n ∴≤-<+ 即12n T ≤< 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前n 项和问题，关键是能够确定需求和的数列的通项公式符合裂项相消法的形式，从而使问题得以解决.20．（1）24y x =；（2）详见解析.【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义知，点P 的轨迹为抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹方程； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，联立直线与抛物线，利用韦达定理、斜率公式，即可证明结论． 【详解】由题意得：圆心P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，∴圆心P 的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，设圆心P 的轨迹方程为22y px ＝（0p ＞）， ∵12p=， ∴2p =．∴圆心P 的轨迹方程为：24y x =；（2）证明：设直线AB 的方程为1x my =+，11()A x y ，，22()B x y ，，联立直线与抛物线可得2440y my --=，∴124y y m +=，124y y =-，∴()()()12121212121401111MA MBy y y y y y k k x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+=+==++++， 即直线MA ，MB 的斜率之和为定值． 【点睛】本题考查轨迹方程的求法以及直线与圆锥曲线的位置关系，求轨迹方程常用的方法有直接法、相关点法等，解决直线与圆锥曲线的位置关系常用代数法，属于常考题. 21．（1）详见解析；（2）3π【解析】 【分析】()I 利用CM 与BN 交于F ，连接EF ．证明//AN EF ，通过直线与平面平行的判定定理证明//AN 平面MEC ；()II 对于存在性问题，可先假设存在，即假设x 在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断． 【详解】()I CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形， 所以F 是BN 的中点． 因为E 是AB 的中点， 所以//AN EF ．又EF ⊂平面MEC ，AN ⊂平面MEC ， 所以//AN 平面MEC ．()II 由于四边形ABCD 是菱形，60DAB o ∠=，E 是AB 的中点，可得DE AB ⊥．又四边形ADNM 是矩形，面ADNM ⊥面ABCD ，DN ∴⊥面ABCD ，如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，E ，0，0)，(0C ，2，0)，P 1-，)h ，CE =u u u v ，2-，0)，(0EP =u u u v，1-，)h ，设平面PEC 的法向量为1(n x =u v，y ，)z ．则11·0·0CE n EP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u v u vu u u v u v ，∴200y y hz -=-+=⎪⎩，令y =，∴ 1(2n h =u v，又平面ADE 的法向量2(0n =u u v，0，1)，1cos n ∴<u v，12212·12n n n n n >===u v u u v u u v u v u u v，解得h =Q 1>，∴在线段AM 上不存在点P ，使二面角P EC D --的大小为3π．【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行的判断以及二面角的应用，考查存在性问题，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．利用空间向量法求二面角的一般方法，属于中档题. 22．（1）x 22+y 2=1（2）√22【解析】试题分析：（1）由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形，其面积为12×2a ×2b =2√2，ab =√2，又(1,√22)在椭圆C 上，所以1a 2+12b 2=1，解方程组得a 2=2，b 2=1（2）先确定面积计算方法：S 1=12OM ×AB ，S 2=12×1×|x N |，再确定计算方向：设M (2,t )，根据两点间距离公式求OM ，根据两直线交点求N 点横坐标，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理求弦长AB ，最后根据S 1S 2表达式形式，确定求最值方法（基本不等式求最值） 试题解析： （1）因为(1,√22)在椭圆C 上，所以1a 2+12b 2=1，又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2√2，所以12×2a ×2b =2√2,ab =√2， 解得a 2=2,b 2=1，所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2019-2020学年黑龙江省大庆高二上学期开学考试数学（理）试题
2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．设,,a b c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．11a b< B ．22ac bc <C ．b a a b> D ．2a ab <【答案】A【解析】对于A 选项，通过反比例函数的单调性可说明问题；B 可举出特例；C 原式等价于22b a >不正确；D 等价于a<b ，不合题意. 【详解】设,,a b c 为实数，且0a b >>，构造函数1y x =在x>0时是减函数，故11a b<,故A 正确；当c=0时，22ac bc =，故B 不正确；C. b aa b>等价于22b a >，不合题意；D.2a ab <等价于a<b,不合题意. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了不等式的大小关系的判断，一般比较大小的题目，可以通过不等式的性质来判断大小，也可通过代特值，排除选项；也可构造函数，通过函数的单调性得到大小关系.2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ） A ．19B ．13C ．1D ．72【答案】D【解析】根据正弦定理边化角求解即可. 【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.3．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =( ) A ．20 B ．23C ．24D ．28【答案】D【解析】将已知条件转化为1a d ,的形式，列方程组，解方程组求得1a d ,的值，进而求得10a 的值. 【详解】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得18,4a d =-=，故101983628a a d =+=-+=.故选D.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1a d ,、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1a d ,，进而求得数列其它的一些量的值.5．如图,O 是坐标原点,M ,N 是单位圆上的两点,且分别在第一和第三象限,则|OM ON +|的范围为( )A ．)B ．[0,2)C ．)D ．[1,2) 【答案】A【解析】设OM ON 和的夹角为θ，θ∈π,π2⎛⎤⎥⎝⎦，则cosθ∈[﹣1，0），|OM ON +|2=22OM ON ++2·OM ON =2+2cosθ即可． 【详解】设,OM ON 的夹角为θ,θ∈π,π2⎛⎤⎥⎝⎦,则cos θ∈[-1,0),|OM ON +|2=22OM ON ++2·OM ON =2+2cos θ∈[0,2),故|OM ON +|的范围为). 答案A 【点睛】本题考查了向量模的取值范围的求解，转化为三角函数求最值，属于基础题．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关， 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（ ） A ．192里 B ．48里C ．24里D ．96里【答案】B【解析】由题意可得每天所走的步数构成公比为12的等比数列，利用等比数列前n 项和公式列方程求出首项，进而可得第三天的步数. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成公比为12的等比数列，∴ 由等比数列的求和公式可得：61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得：1192a =， ∴22311192()482a a q ==⨯=，故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，关键是要理解题目的意思，是基础题. 7．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125πD ．都不对【答案】B【解析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】设球的半径为R，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =解得2252R =，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=球. 故选：B 【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8．若在ABC 中，()()()2sin sin sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【解析】因为C A B 、、是三角形的内角，所以有180A B C ︒+=-，即()sin sin A B C +=，再通过三角变换解得cos 0B =，最终得出结果．【详解】()()()2sin sin sin A B A B C +-=，()()()2sin sin sin A B A B A B ⎡⎤+-=+⎣⎦， ()()()2sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤+-+-=⎣⎦， ()()()sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤⎡⎤++--=⎣⎦⎣⎦， ()sin sin cos 0A B A B ⎡⎤+=⎣⎦，因为()sin A B +与sin A 不为0，所以cos 0B =， 即90B ︒=，故选B ． 【点睛】本题考察的是对于解三角形与三角恒等变换的掌握，需要注意的是()()()2sin sin sin 0A B A B A B ⎡⎤+-+-=⎣⎦中的()sin A B +不可以直接消去，要考虑到()sin 0A B +=的情况．9．已知函数f (x )sin(π-x )cos(-x )+sin(π+x )cos π-2x ⎛⎫⎪⎝⎭图象上的一个最低点为A ,离A 最近的两个最高点分别为B 与C ,则·AB AC =( )A ．9+2π9B ．9-2π9 C ．4+2π4D ．4-2π4【答案】D【解析】由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x+π6）﹣12，结合正弦函数图像特点可得A 、B 、C 的坐标，可得向量的坐标，计算可得． 【详解】f (x )sin x cos x-sin 2x=2·sin 2x-1-cos22x2=x+12cos 2x-12=sin π1262x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,因此f (x )最大值为12,最小值为-32. 设A 03,-2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则B 0π1-,22x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,C 0π1,22x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 于是ππ-,2,,222AB AC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故·AB AC =4-2π4.故答案为D. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，涉及图象的性质和向量的数量积的运算，属基础题．平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.10．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】分析：利用面积公式12ABCS absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。
黑龙江省大庆市实验中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含解析
大庆实验中学2019-2020学年度上学期第一次月考高二数学（理）试题一．选择题（本题共12小题，每小题5分） 1.抛物线24y x =-的准线方程为（ ） A. 1y =- B. 1y =C. 1x =-D. 1x =【答案】D 【解析】试题分析：24p =，2p =，焦点在x 轴负半轴上，准线方程为1x =． 考点：抛物线的性质．2.以221412x y -=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A. 221? 1216x y +=B. 221416x y +=C. 221164x y +=D.2211612x y += 【答案】B 【解析】 【分析】由原方程可得221124y x -=，其焦点为()0,4±，顶点为(0,23±，据此可写出所求椭圆方程. 【详解】由原方程可得221124y x -=，所以双曲线的焦点为()0,4±，顶点为(0,23± 椭圆的顶点为()0,4±，焦点为(0,23±， 即23,4c a ==，所以2224b a c =-=所求椭圆方程为221164y x +=，故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，简单几何性质，椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，属于中档题.3.以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0,F ，一个顶点为(0,2)A -，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22122y x -=B. 221412y x -=C. 22144y x -=D.22142y x -= 【答案】C 【解析】试题分析：∵双曲线C 的一个焦点为(0,F ，一个顶点为(0,2)A -，∴2,a c ==∴2b ==，∴双曲线C 的方程为22144y x-=.考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的焦点、顶点.4.已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A. B. 6C. D. 12【答案】C 【解析】 【分析】椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，进而可得△ABC 的周长【详解】椭圆2213x y += ，2a=设直线BC 过椭圆的右焦点F 2，根据椭圆的定义可知：|AB|+|BF 2|=2a=23，|AC|+|F 2C|=2a=23．∴三角形的周长为：|AB|+|BF 2|+|AC|+|F 2C|=4a=43 ．故选：C【点睛】椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1,F 2组成的三角形称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的常用结论有：①|PF 1|+|PF 2|=2a ；②当点P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大；③焦点三角形的周长为2（a+c ）.5.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若3FB d ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. 2]B. 2,)+∞C. (1,3]D.[3,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：设(c,0)F ，(0,)B b ，一条渐近线的方程为0bx ay +=，则22d b b a==+，22FB b c =+因为3FB d 223b c b +≥，所以22222c c a ≥-，所以222a c ≥，所以12e <≤A ．考点：双曲线的简单性质．6.椭圆221259x y +=上一点P 到两焦点距离之积为m ，则当m 取最大值时，P 点是()A. ()5,0和()5,0-B. 5,22⎛ ⎝⎭和5,22⎛- ⎝⎭C. 322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和3,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D. ()0,3和()0,3-【答案】D 【解析】 【分析】设()5cos ,3sin P θθ，利用两点间距离公式表示出到两焦点的距离，将距离之积的最大值转化为关于2cos θ的二次函数的最大值的求解问题，通过确定二次函数取最大值时2cos θ的取值可进一步求得P 点坐标.【详解】由标准方程可知两焦点为：()14,0F -，()24,0F 设()5cos ,3sin P θθ1PF ∴=2PF =12PF PF ∴====[]2cos 0,1θ∈Q ∴当2cos 0θ=时，12PF PF 取最大值m此时sin 1θ=± ()0,3P ∴或()0,3- 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求解距离之积的最值的问题，关键是能够将问题转化为二次函数的最值求解问题，易错点是忽略了余弦函数的范围，造成最值求解错误.7.设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且122PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）A. y =B. y =C. 2y x =D. 4y x =【解析】试题分析：根据题意，三角形F 1F 2P 是以F 1F 2为斜边的直角三角形，设|F 2P|=m ，|F 1P|=2m ，则由双曲线定义可得m=2a ，所以222(2)(4)(2)a a c +=，即225a c =，则2222212b c a c a a a -==-=，故一条渐近线方程是2b y x x a ==． 考点：双曲线的几何性质．8.若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选：D ．9.过双曲线的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则满足条件的A. 4条B. 3条C. 2条D. 无数条【答案】B 【解析】试题分析：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4， ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有2312y -=，∴2y =±，∴直线AB 的长度是4，综上可知有三条直线满足|AB|=4， 故选B ．考点：圆锥曲线综合应用.10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）C.6332D.94【答案】D 【解析】由题意可知：直线AB 的方程为3()34y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D.考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.11.下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1、F 2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则（）A. e 1＞e 2＞e 3B. e 1＜e 2＜e 3C. e 1=e 3＜e 2D. e 1=e 3＞e 2【答案】D 【解析】 【分析】根据正三角形、正方形、正六边形的边长和角度关系可求解出12,MF MF ，根据双曲线定义可求解出离心率，再比较出大小关系.【详解】在①中，连接2MF ，设12122F F MF c ==123MF F π∠=Q 23MF c ∴= ()212331MF MF a c c c ∴-==-=-13131c e a ∴===+- 在②中，连接2MF ，12F F ，设122F F c =()()22221112224MF MF F F c ∴+==，解得：12MF c =又124MF F π∠=Q2222112112122cos MF MF F F MF F F MF F ∴=+-⋅∠，解得：210MF c =211021022222MF MF a c c c -∴-==-= 21022102c e a +∴===- 在③中，连接2MF ，12F F ，设12122F F MF c ==123MF F π∠=Q 23MF c ∴ )212331MF MF a c c c ∴-==-=33131c e a ∴===- 132e e e ∴=>本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够熟练应用双曲线的定义构造关于,a c 的齐次方程.12.已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点F 1,F 2,点P 是两曲线的一个公共点,12,e e 又分别是两曲线的离心率,若PF 1⊥PF 2,则22124e e +的最小值为()A.52B. 4C.92D. 9【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的定义，结合勾股定理可整理得到222122a a c +=，代入22124e e +可整理得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.【详解】由双曲线和椭圆定义可得：1212+=PF PF a ，1222PF PF a -=12PF PF ⊥Q 222124PF PF c ∴+=又()22221212244PF PF aa +=+ 22212224a a c ∴+=，即222122a a c +=2222222222121221122222221212122224559422222a a a a a a c c e e a a a a a a ++∴+=+=+=++≥+= 当且仅当2221221222a a a a =，即12a 时取等号22124e e ∴+的最小值为92本题正确选项：C【点睛】本题考查与椭圆和双曲线离心率相关的最值问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义得到等量关系，从而将所求项化为符号基本不等式的形式.二．填空题（本题共4小题，每小题5分）13.椭圆22194x y +=(x ≥0,y ≥0)与直线x-y-5=0的距离的最小值为__________．【解析】 【分析】画出椭圆的图形以及直线的方程，找出曲线上的点与直线x ﹣y ﹣5=0的距离的最小值即可.【详解】在坐标系中画出椭圆22194x y +=（x≥0，y≥0）与直线x ﹣y ﹣5=0的图形，如图：可知（3，0）到直线x ﹣y+5=0的距离最小，d=3-5=22．故答案为：2 ．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，注意x ，y 的范围，利用数形结合找出点的位置，再利用点到直线的距离公式解出即可．14.若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，则k 的取值范围__________【答案】15,13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】联立直线与双曲线方程，可知二次项系数不为零、判别式大于零、两根之和与两根之积均大于零，据此构造不等式组，解不等式组求得结果.【详解】将2y kx =+代入双曲线方程整理可得：()2214100k x kx ---=设直线与双曲线右支交于两点()()1122,,,x y x y()222122122101640104011001k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪∴⎨+=>⎪-⎪⎪=->-⎩，解得：1k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭本题正确结果：1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据直线与双曲线位置关系求解参数范围的问题，属于基础题.15.过椭圆22221x y a b+=(a >b >0)上的点P 作PM ⊥x 轴于M (M 、P 不重合)，A 1A 2是椭圆的长轴，则122MA MA MP⋅的值是___________.【答案】22a b【解析】 【分析】设(),P x y ，则(),0M x ，分别表示出12MA MA ⋅和2MP ，利用P 满足椭圆方程代入整理消元可得结果.【详解】设(),P x y ，则(),0M x()()2212MA MA x a a x a x ∴⋅=+-=-，22MP y =22222122222222MA MA a x a x a b y b MPb x a⋅--∴===- 本题正确结果：22a b【点睛】本题考查椭圆中的定值求解问题，关键是能够准确表示出所需的线段长度，利用点在椭圆上这一位置关系来进行化简.16.已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，B 为椭圆右顶点，若12PF F ∠平分线与2PF B ∠的平分线交于点(6,6)Q ，则12F BQ F BQ S S ∆∆+= .【答案】36 【解析】试题分析：由题意可知，(6,6)Q 是三角形的旁心，可以判断出(6,6)Q 点在直线x a =上，故6a =，1212111126266362222F BQ F BQ Q Q S S F B y F B y a ∆∆+=+=⨯⨯=⨯⨯⨯=.考点：椭圆焦三角的性质.三．解答题（本大题共6题,解答过程需要写出必要的推理过程）17.已知椭圆方程22143x y +=,左右焦点分别为12,F F(1)求椭圆焦点坐标及离心率;(2)过2F 的直线与椭圆交于两点,A B ,若223AF F B =u u u u r u u u u r，求直线AB 方程.【答案】（1）()11,0F -，()21,0F ；离心率12e =；（2）0y = 【解析】 【分析】（1）根据椭圆标准方程可得,,a b c ，进而得到焦点和离心率；（2）当直线AB 斜率0k =时，易知满足题意；设直线AB 方程：1x my =+，代入椭圆方程整理可得韦达定理形式；将向量的比例关系转化为两点纵坐标的关系，从而构造方程求得结果. 【详解】（1）由椭圆方程知：2a =，3b =221c a b =-∴焦点坐标()11,0F -，()21,0F ；离心率12c e a == （2）①当直线AB 斜率0k =时，23AF =u u u u r ，21F B =u u u u r，满足题意，此时直线为：0y =②设直线AB 方程：1x my =+将1x my =+代入椭圆方程可得：()2234690m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y ，则122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩又223AF F B =u u u u r u u u u r 123y y ∴=- ()212121221423y y y y y y y y +∴=++=-即：22264349334m m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=--+，方程无解 综上所述：直线AB的方程为：0y =【点睛】本题考查椭圆焦点、离心率等定义、焦点分弦成比例的问题的求解，关键是能够根据将向量之间的比例关系转化为交点纵坐标之间的比例关系，从而结合韦达定理构造出方程，解方程求得结果.18.已知双曲线两个焦点分别是())12,F F ，点)P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程;（2）过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线交于,A B 两点，求1F AB ∆的周长. 【答案】（1）221x y -=；（2）12 【解析】 【分析】（1）由2PF x ⊥轴可得21b a=，结合焦点坐标可得c =,a b 的值，得到所求标准方程；（2）根据双曲线渐近线倾斜角可知,A B 均在双曲线右支上，根据双曲线定义可知所求周长等于42AB +，将直线方程代入双曲线方程，利用弦长公式求得AB ，代入得到结果. 【详解】（1）)2F Q，)P2PF x ∴⊥轴 221b PF a∴==且c =又222c a b =+，即220a a +-=，解得：1a = 21b ∴=∴双曲线的标准方程为：221x y -=（2）由（1）知，双曲线渐近线为y x =，倾斜角为45oQ 直线AB 过2F 且倾斜角为60o ,A B ∴均在双曲线的右支上122BF BF ∴-=，122AF AF -= 112244AF BF AF BF AB ∴+=++=+设直线AB方程为：y x =代入双曲线方程得：2270x -+=4AB ∴== 1F AB ∴∆的周长为：114212AF BF AB AB ++=+=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解、双曲线中的三角形周长的求解问题；关键是能够利用双曲线的定义将问题转化为弦长的求解，利用弦长公式求得结果.19.已知两点()()5,0,5,0A B -，直线AM 和直线BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是49- (1)求动点M 的轨迹方程; (2)求AMB ∠最大值时的正切值.【答案】（1）()2291525100x y x +=≠±；（2）125- 【解析】 【分析】（1）设动点(),M x y ，利用斜率乘积为定值可构造出方程，整理可得轨迹方程；（2）利用倾斜角与斜率关系、两角和差正切公式可得94tan 159AM BM AM AM BM AMk k AMB k k k k ⎛⎫-∠=-=-⨯+ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式可得到所求正切值.【详解】（1）设(),M x y ，则5AM y k x =+，5BM yk x =- 22455259AM BMy y y k k x x x ∴⋅=⋅==-+--，整理得：229125100x y += 又M 与,A B 不重合 5x ∴≠±∴点M 的轨迹方程为：()2291525100x y x +=≠±（2）在AMB ∆中，AMB MAB MBA π∠=-∠-∠则tan AM MAB k ∠=，tan BM MBA k ∠=-且49AM BM k k ⋅=- 设0AM k >，则409BM AMk k =-< ()tan tan tan tan 1tan tan 1AM BM AM BMk k MAB MBAAMB MAB MBA MAB MBA k k -∠+∠∴∠=-∠+∠=-=--∠⋅∠+949412259595AM AM AMAM k k k k ⎛⎫=-⨯+≤-⨯⋅=- ⎪⎝⎭（当且仅当49AM AM k k =，即23AM k =时等号成立） tan AMB ∴∠最大值为125- ()0,AMB π∠∈Q 且正切函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增AMB ∴∠取最大值时的正切值为125-由椭圆对称性可知，当0AM k <时，结论依然成立 综上所述，AMB ∠取最大值时的正切值为125-【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解、椭圆中的最值问题的求解；求解椭圆中最值问题的关键是能够用某一个变量表示出所求量，从而配凑出关于该变量的函数的形式，利用函数值域或基本不等式的方式求得最值.20.(2017安徽蚌埠一模)已知椭圆C:2222x ya b+=1(a>b>0)的离心率为154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+215.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=49,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.【答案】(1)216x+y2=1. (2)34.【解析】试题分析：（115可得a=4b，15，然后根据△PF1F2的周长可得b=1，a=4，从而可得椭圆的方程．（2）由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为y=kx+1，由直线与圆相切可得32k2+36k+5=0，从而得到129 8k k+=-，125 32k k=．然后分别求出两切线与椭圆交点的横坐标E x和F x，最后根据斜率公式求解即可．试题解析：(1)由题意得e=22154c a ba a-==，∴a=4b，∴15．∵△PF1F2的周长是8+15∴2a+2c=(24b=8+∴b=1,∴a=4．∴椭圆C的方程为216x+y2=1．(2)由（1）得椭圆的上顶点为M(0,1)，又由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为l：y=kx+1，∵直线y=kx+1与圆T相切，23=，整理得32k2+36k+5=0，∴121295,832k k k k+=-=由1221116y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y整理得(1+1621k)x2+32k1x=0，∴12132116Ekxk-=+．同理可得22232116Fkxk-=+,∴1212129385116411632E F E FEFE F E Fy y k x k x k kkx x x x k k---+=====----⨯．故直线EF的斜率为34．21.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左．右焦点为12,F F，离心率为e.直线:l y ex a=+与x轴，y轴分别交于点,A B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点1F关于直线l的对称点，设AM ABλ=u u u u v u u u v.（1）证明：21e λ=-； （2）若34λ=，12MF F ∆的周长为6；写出椭圆C 的方程； （3）确定λ的值，使得12PF F ∆是等腰三角形.【答案】（1）证明见解析；（2）22143x y +=；（3）当23λ=时，12PF F ∆是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）分别求出,,A B M 坐标，利用向量共线的坐标运算可构造关于λ的方程，整理即可证得结果；（2）利用（1）的结论求得e ，根据焦点三角形周长为22a c +可得到关于,a c 方程，求得,a c 后，根据222b a c =-求得2b ，进而得到椭圆方程；（3）根据1PF l ⊥可知若12PF F ∆为等腰三角形，则需1122PF F F c ==，即点1F 到直线l 距离d c =，利用点到直线距离公式构造方程可求得2e ，根据（1）的结论得到结果.【详解】（1）,A B Q 为l 与,x y 轴的交点 ,0a A e ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，()0,B a由22221y ex a x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2x c b y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2,a b AM c e a ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭u u u u v ，,a AB a e ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u uvAM AB λ=u u u u v u u u v Q 2a a c e eb a aλλ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，整理可得：21e λ=- （2）由（1）得：2314e -=，解得：12c e a ==，即2a c = 12MF F ∆Q 周长为226a c +=，即3a c += 2a ∴=，1c = 2223b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：22143x y +=（3）1PF l ⊥Q 12190PF F BAF ∴∠=+∠o为钝角若12PF F ∆是等腰三角形，则1122PF F F c == 设()1,0F c -到直线l 距离为d ，则需d c =21ec a d e -+=+Q 21ec a c e -+∴=+，即2211e e e -=+，解得：213e =由（1）得：2213e λ=-=∴当23λ=时，12PF F ∆是等腰三角形 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，涉及到椭圆中的证明问题、椭圆标准方程的求解、存在性问题的求解；解决存在性问题的基本步骤是假定存在，进而得到所需的等量关系，利用等量关系建立方程求得结果即可.22.定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如图，椭圆1C 与椭圆2C 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的长轴长是4，椭圆()22222:10y x C m n m n+=>>，短轴长是1，点1F ，2F 分别是椭圆1C 的左焦点与右焦点.（1）求椭圆1C ，2C 的方程；（2）过1F 的直线交椭圆2C 于点M ，N ，求2F MN V 面积的最大值.【答案】（1）22114x y +=（2）12【解析】 试题分析：(1)利用题意结合“相似”的定义设椭圆1C 的半焦距为c ，椭圆2C 的半焦距为c'，由a,b,c的关系可得：椭圆1C 的方程为22x y 14+=，椭圆2C 的方程是22x y 114+=； (2)由题意可得三角形面积的表达式1S MN h 122==，结合均值不等式的结论可得2F MN V 的面积的最大值为12. 试题解析：解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，椭圆2C 的半焦距为'c ，由已知2a =，b m =，12n =， ∵椭圆1C 与椭圆2C 的离心率相等，即'c c a m=，== ∴b na m=，即21bm b an ===，∴1b m ==， ∴椭圆1C 的方程为2214x y +=，椭圆2C 的方程是22114x y +=； （2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为x my =联立：22{41x my y x =+=，得(22410y my +-=，即()2214110m y +-+=，∴()222192441416440m mm∆=-+=->，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y +=1221114y y m =+，∴MN =， 2F MNV 高即为点2F 到直线l：0x my -=的距离h ==∴2F MN V的面积1122S MN h ===，≥==，即m =时，∴12S ≤=，即2F MN V 的面积的最大值为12.。
黑龙江省大庆实验中学2019_2020学年高二数学上学期开学考试试题文
黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题文第Ⅰ卷(选择题 共60分)一．选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 直线12+=x y 的横截距是（ ）A ．1B ．2C ．21D ．21-2. 设10<<<b a ,则下列不等式成立的是（ ）A ．33b a >B ．ba 11< C ．1>b a D ．0)lg(<-a b3. 若135)4sin(=-x π,则=+)4cos(x π（ ） A ．135B ．135-C ．1312D ．1312-4. 要得到函数)34sin(π-=x y 的图象,只需将函数x y 4sin =的图象（ ）A.向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 5. 圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则该圆锥的表面积为（ ）A ．()π13+B ．π4C ．π3D ．π56. 直线)1(1:-=-x k y l 和圆0222=-+y y x 的位置关系是( )A ．相离B ．不确定C ．相交D ．相切7. 设n m ,为两条不同的直线,βα,为两个不重合平面,则下列结论正确的是（ ）[来A.若βαβα//,,m m n ⊂= ,则n m //B.若m n m ⊥=⊥,,βαβα ,则β⊥nC.若βα⊂⊂⊥n m n m ,,,则βα⊥D.若αα⊂n m ，//,则n m //8. 如下图,在正方体1111ABCD A B C D -中,11AA =,,E F 分别是,BC DC 中点,则异面直线1AD 与EF 所成角大小为（ ）A ．60B ．45C ．30D ．909. 在正方体1111D C B A ABCD -中,与直线1AD 垂直的平面是（ ）A ．平面C C DD 11B ．平面11DCB AC ．平面1111D C B AD ．平面DB A 110. 在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若A b CA a sin 2sin=+,则角B=（ ） A ．656ππ或B ．323ππ或C ．6πD ．3π 11. 若直线)0,0(022>>=--n m ny mx 过点)2,1(-,则nm 21+的最小值等于（ ） A ．2 B ．6 C ．12 D ．223+ 12. 数列{}n a 满足n n a a -=+111,28=a ,则=1a （ ） A ．1-B ．21C ．2D ．3 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量)6,8(),2,2(-==,则>=<,cos _________.14. 已知直线01:1=--ay x l 与02:22=++y x a l 垂直,则实数=a _________.15. 如图所示,已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形,且32====PD PC PB PA ,6=AB ,则四棱锥ABCD P -外接球的体积为_________.16. 在锐角ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知3π=B 且1=c ,则ABC ∆面积的取值范围为_________.三．解答题：本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明．．．．,．证明过程或演算步骤．．．．．．．．．. 17．（本小题满分10分）函数)0(3)cos sin 3(sin 2)(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． （I ）求ω的值；（II ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππx 时,求)(x f 的值域．18．（本小题满分12分）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123=S ,且1,,2321+a a a 成等比数列． （I ）求{}n a 的通项公式及n S ； （II ）记nS b nn =,求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）如图,在ABC ∆中,3π=B ,8=AB ,点D 在BC 边上,且2CD =,71cos =∠ADC .（I ）求BAD ∠sin ； （II ）求AC BD ,的长.20．（本小题满分12分）如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,点N M ,分别为线段C B B A 11,的中点．（I ）求证：//MN 平面C C AA 11；（II ）若090=∠ABC ,2==BC AB ,31=AA ,求点1B 到平 面BC A 1的距离．21.（本小题满分12分）已知线段AB 的端点B 的坐标是()8,6,端点A 在圆1622=+y x 上运动,M 是线段AB的中点,且直线l 过定点()0,1.（I ）求点M 的轨迹方程,并说明它是什么图形； （II ）记（I ）中求得的图形的圆心为C ： （i ）若直线l 与圆C 相切,求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于P ,Q 两点,求CPQ ∆面积的最大值,并求此时直线l 的方程．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数,前n 项和为n S ,且满足221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a S .（I ）求n a ； （II ）设()()1111++=+n n n a a b ,设数列{}n b 的前n 项和为n T ,若542mT m n <<-对一切 *∈N n 恒成立,求实数m 的取值范围.大庆实验中学2019-2020学年度 上学期 开学考试答案一．选择题：DDABC CAABD DB 二．填空题：102-0或1 332π )23,83(三．解答题：17．解：（I ）)32sin(23)cos sin 3(sin 2)(πωωωω-=-+=x x x x x f ,π=T ,πωπ=∴22,即1=∴ω．（II ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,32326,6ππππx x ， x y sin = 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2,32ππ上单调递减,在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2π上单调递增 0)32sin(1≤-≤-∴πx ,即0)32sin(22≤-≤-∴πx ,所以)(x f 的值域为[]0,2-.18．解：（I ）设正项等差数列{}n a 的公差为d ,则0>d .123=S ,即12321=++a a a ,1232=∴a ,42=∴a .又1,,2321+a a a 成等比数列,()123122+⋅=∴a a a ,即()14)4(242++⋅-=∴d d ,解得3=d 或4-=d （舍去）,121=-=∴d a a ,故{}n a 的通项公式为23)1(1-=-+=n d n a a n ,且232)(21nn a a n S n n -=+=． （II ）由（I ）知213-==n n S b n n ,2321321)1(31=---+=-∴+n n b b n n ,且121131=-⋅=b , ∴数列{}n b 是以11=b 为首项,23为公差的等差数列,∴数列{}n b 的前n 项和为432)(21n n b b n T n n +=+=. 19.解：（I ）在ADC ∆中,因为71cos =∠ADC ,所以734sin =∠ADC .3sincos 3cos sin )3sin()sin(sin πππ⋅∠-⋅∠=-∠=∠-∠=∠∴ADC ADC ADC B ADC BAD1433237121734=⨯-⨯=. （II ）在ABD ∆中,由正弦定理得373414338sin sin =⋅=∠∠⋅=ADB BAD AB BD . 在ABC ∆中,由余弦定理得492158258cos 222222=⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ,所以7=AC . 20.解：（I ）证明：连接1BC ,由四边形11B BCC 是平行四边形且N 为线段C B 1的中点知,N 为线段1BC ,又M 为B A 1的中点,∴11//C A MN ,又C C AA MN C C AA C A 111111面，面⊄⊂ ,∴//MN 平面C C AA 11； （II ）解：B BB AB BC BB BC AB =⊥⊥11,, ,11A ABB BC 面⊥∴,22322131311111=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=∴∆-BC S V B B A B B A C ,又132121=+=AA AB B A ,13213211=⋅⋅=∴∆BC A S . 设点1B 到平面BC A 1的距离为h ,则h h S V BC A BC A B 31331111=⋅⋅=∆-, 又B B A C BC A B V V 1111--= ,h 3132=∴,13136=∴h ．即点1B 到平面BC A 1的距离为13136.21. 解：（I ）设点M ()y x ,,由B 的坐标是()8,6,且M 是线段AB 的中点知()82,62--y x A ,点A 在圆1622=+y x 上运动,∴A 点坐标满足圆的方程1622=+y x ,即16)82()62(22=-+-y x ,整理得4)4()3(22=-+-y x .这就是点M 的轨迹方程,它是以点)4,3(C 为圆心,2为半径的圆；（II ）（i ）由（I ）知点M 的轨迹方程是以点)4,3(C 为圆心,2为半径的圆：①若直线l 的斜率不存在,则直线1:=x l ,符合题意；②若直线l 的斜率存在,设直线)1(:-=x k y l ,即0:=--k y kx l ,由直线l 与圆C 相切知,圆心到直线l 的距离等于半径,即21432=+--k k k ,解得43=k .此时：l 0343=--y x . 由①②知直线l 的方程为1=x 或0343=--y x .（ii ）若直线l 与圆C 相交于P ,Q 两点,则直线l 的斜率一定存在且不为0,设直线)1(:-=x k y l ,即0:=--k y kx l ,则圆心C 到直线l 的距离1422+-=k k d .又22)4(442212222=-+≤-⋅=-⋅⋅=∆d d d d d d S CPQ ,当且仅当24d d -=,即2=d 时,“=”成立,2=∴d 时,CPQ S ∆有最大值为2,此时21422=+-=k k d ,解得71==k k 或,故CPQ S ∆有最大值为2,此时直线l 的方程为01=--y x 或077=--y x ．22.解：（I ）当2≥n 时,由① 221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a S 知② 21121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--n n a S ,①-②得4221212----+=n n n n n a a a a a ,整理得()()()1112---+=-+n n n n n n a a a a a a ,由{}n a 的各项均为正数知01≠+-n n a a ,从而)2(21≥=--n a a n n ,∴{}n a 是以1a 为首项,2为公差的等差数列,在①中令1=n ,解得11=a .12)1(1-=-+=∴n d n a a n .（II ）由（I）知12-=n a n ,()()()()())111(4114122211111+-=+=+=++=∴+n n n n n n a a b n n n ,)111(41+-=∴n T n . 由0)2)(1(41)111(41)211(411>++=+--+-=-+n n n n T T n n 知,数列{}n T 单调递增,()81)211(411min =-==∴T T n . 又41)111(41<+-=n T n ,4181<≤∴n T . 若542m T m n <<-对一切*∈N n 恒成立,则只需⎪⎩⎪⎨⎧≤<-5418142m m ,解得2545<≤m ,即实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡2545，.。
黑龙江省大庆实验中学高二数学上学期开学考试试题 理
大庆实验中学2015---2016学年度上学期开学考试高二年级数 学（理科）试题一．选择题（共12小题，每题5分） 1．下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2．过点)1,1(),1,1(--B A ，且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是( )． A ．4)1()3(22=++-y x B ．4)1()3(22=-++y x C ．4)1()1(22=-+-y xD ．4)1()1(22=+++y x3．在ABC ∆中，,3222bc c b a ++=则A ∠等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．设公比为)0(>q q 的等比数列}{n a 的前n 项和n S .若23,234422+=+=a S a S ， 则q ＝________. （ ）A ．23 B ． 21C ．2D ．3 5．在ABC ∆中，若abB A =cos cos ，则ABC ∆是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 6．若等差数列{}n a 满足0987>++a a a ，7100a a +<，则当n =________时数列{}n a 的前n 项和最大.（ ）A ．15B ．16C ．8D ．97．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．6 B ．8 C ．10 D ．128. 已知点)3,6(),4,3(B A --到直线01:=++y ax l 的距离相等，则实数a 的值等于( ) A ．97 B ．31- C ．97-或31- D. 97-或31 9. 已知点)3,2(-A ，)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ）A ．),43[]4,(+∞--∞Y B ．),43[]41,(+∞--∞Y C ．]43,4[- D ．]4,43[ 10. 已知点A 是圆0304:22=++++y ax y x C 上任意一点，A 关于直线012=-+y x 的对称点也在圆C 上，则实数a 的值( )A ．10B ． 10-C ．4D ．4-11. 已知一个正四面体纸盒的棱长为62，若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 （ ） A ．1 B ．332 C ．23 D ．2212．数列}{n a 满足=+1n a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤)121(,12)210(,2n n n n a a a a ，若531=a ，则=2015a （ ）A ．51B ．52 C ．53 D ．54 二．填空题（共4小题，每题5分） 13. 已知正数y x ,满足22=+y x ，则xyyx 8+的最小值为__________. 14. 若两圆122=+y x 和25)()4(22=-++a y x 有三条公切线，则常数=a _______15．已知实数,x y 满足2102101x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≤⎩，则|243|-+y x 的取值范围是__________16．如图，等腰梯形ABCD 中,121====BC DC AD AB ，现将三角形ACD 沿AC 向上折起，满足平面⊥ABC 平面ACD ，则三棱锥ABC D -的外接球的表面积为_______三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17.已知ABC ∆中，角A ，B ，C ，所对的边分别是,,a b c ，且()22223a b c ab +-=； （1）求 2sin2BA + （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值。
大庆市实验中2019-2020学年上期高二数学理科期中试卷附答案解析
大庆市实验中学2019-2020学年上期期中考高二数学文科卷一、单选题1．若双曲线221y x m-=的一个焦点为()3,0-，则m =（）A ．22B ．8C ．9D ．642．在直角坐标系xOy 中，点(3,1)M --.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（02θπ≤<），则点M 的极坐标为（）A ．2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4 2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭3．设12,F F 是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且123||5||PF PF =，则12PF F ∆的面积等于()A ．22B ．43C ．6D ．104．若直线2y kx =+和椭圆2221(0)9x y b b+=>恒有公共点，则实数b 的取值范围是()A ．[2,)+∞B ．[2,3)(3,)⋃+∞C ．[2,3)D ．(3,)+∞5．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，若3FA =，1FB =，则p =（）A ．1B ．2C ．32D ．36．过椭圆224520x y +=内一点(1,1)P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（）A ．4590x y +-=B ．5490x y +-=C ．4510x y -+=D ．5410x y --=7．已知抛物线C ：28y x =上一点P ，直线1l ：2x =-，2l ：35300x y -+=，则P 到这两条直线的距离之和的最小值为（）A ．2B ．234C ．163415D ．1834178．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若FOM ∆的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的标准方程为（）A ．22415y x -=B ．222125x y -=C ．22145x y -=D ．2211620x y -=9．设12,x x 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上且122||F F OP =，12PF F ∆的面积为2a ，则双曲线C 的离心率为（）A ．5B ．4C ．2D ．210．已知点P 是椭圆22143x y +=上的一点，点1,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PQ 的最小值为()A ．365B ．62C ．32D ．35411．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且,4,AF BF 成等差数列，则k =（）A ．2或1-B ．1-C ．2D ．15±12．椭圆22:12x C y +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在C 上且直线1PA 斜率的取值范围是[1,2]，那么直线2PA 斜率的取值范围是（）A ．31[,]22--B ．33[,]24--C ．11[,]24--D ．22[,]24--二、填空题13．抛物线22y x =的焦点坐标是____________.14．极坐标方程22cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭表示的图形的面积是________.15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点P 是椭圆上在第一象限上的点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为A ,若2OA b =,则椭圆的离心率为_______.16．已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为________.三、解答题17．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与直线1:l y x =-的一个交点的横坐标为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线2l 与抛物线C 交于A B 、两点，O 为坐标原点，若||3AF =，求AOB ∆的面积.18．以直角坐标系xOy 的坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程是2645sin ρθ=+，曲线C 2的参数方程是22cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，(θ为参数)．(1)写出曲线C 1，C 2的普通方程；(2)设曲线C 1与y 轴相交于A ，B 两点，点P 为曲线C 2上任一点，求|PA |2＋|PB |2的取值范围．19．已知抛物线2:4C y x =，过点()1,0-的直线与抛物线C 相切，设第一象限的切点为P .（1）求点P 的坐标；（2）若过点()2,0的直线l 与抛物线C 相交于两点,A B ，圆M 是以线段AB 为直径的圆过点P ，求直线l 的方程.20．在平面直角坐标系xoy ，曲线1:40C x y +-=，曲线2cos :1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线:0,02l a a πθρ⎛⎫=≥<< ⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于M ，N 两点，求ON OM 的最大值.21．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(2,0)A -,且离心率为22.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆C 交于不同的两点,M N .在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
大庆实验中学2019-2020学年度下学期开学考试
数学（理）试题
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设a ，b ，c 为实数，且a ＞b ＞0，则下列不等式正确的是( )
A.1a <1b B ．ac 2＜bc 2 C.b a >a
b
D ．a 2＜ab 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A
sin 2A
的值为( )
A.19
B.13 C ．1 D.72 3.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n
C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α
D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α
4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝4，S 9＝72，则a 10＝( ) A ．20 B ．23 C ．24 D ．28
5.如图，O 是坐标原点，M ，N 是单位圆上的两点，且分别在第一和
第三象限，则|OM →＋ON →
|的范围为( )
A ．[0，2)
B ．[0，2)
C ．[1，2)
D ．[1，2)
6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里 D ．24里
7.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
8.若三角形ABC 中，sin(A ＋B )sin(A －B )＝sin 2C ，则此三角形的形状是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形 9.已知函数f (x )＝3sin(π－x )cos(－x )＋sin(π＋x )cos 2x π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
图象上的一个最低点为A ，离A 最近的两个最高点分别为B 与C ，则AB →·AC →
＝( )
A ．9＋π29
B ．9－π29
C ．4＋π24
D ．4－π2
4
10.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2
4
，则C ＝( )
A.π2
B.π3
C.π4
D.π6 11.在长方体中，
，
，则异面直线
与
所成角的
余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)06,2πωφ⎛
⎫
<<< ⎪⎝
⎭
的图象经过点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭
.若函 数g (x )＝f (x )－m 在区间,02π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上有唯一零点，则m 的取值范围是( ) A ．(－1，1] B ．{－1}∪11,22⎛⎤
- ⎥⎝⎦
C ．[－2，1)
D ．{－2}∪(－1，1]
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知x >2，求f (x )＝2x ＋1
x －2
的最小值________．
14.过点A(4，1)的圆C 与直线1x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为____． 15.记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________． 16.在底半径为2，母线长为4
柱的表面积
__________.
三．解答题（本题共6道大题，共70分）
17.（本题10分）
已知向量()()sin ,2,cos ,1a b θθ=-=． （1）若//a b ，求tan θ； （2）当,123ππθ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，求()22f a b a b θ=--的最值. 18.（本题12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为,n T 且
11221,1,2a b a b =-=+=.
(1)若335,a b +=求{}n b 的通项公式； (2)若321,T =求3S .
19.（本题12分）
已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边， S 是ABC ∆的面积， ()2
2
4S a b c =--，且6b c +=.
（1）求角A 的大小；
（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.
20.（本题12分）
已知各项均为正数的数列
{}n a 的前n 项和为n S 14
与()2
1n a +的等比中项。
（1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）若,2
n
n n a b =
数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T 。
21.（本题12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；
(2)若圆C 上存在点M ，使2M A M O =，求圆心C 的横坐标
a 的取值范围．
22.（本题12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A PD C --的正弦值．。