高三重点班理科数学本科临界生辅导试题(10)(空间角与空间距离)
高考数学空间角与距离、空间向量及其应用习题WORD版
8.5 空间角与距离、空间向量及其应用基础篇 固本夯基考点一 用向量法证明空间中的平行和垂直1.(2021广东佛山月考,3)直线l ∥α,且l 的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1,12,2),则m=( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.8 答案 C2. (2021合肥八中月考,6)如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a,M,N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M=AN=√2a3,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A.斜交B.平行C.垂直D.不确定 答案 B3. (多选)(2021重庆巴蜀中学月考,11)如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=√3AD=√3AA 1=√3,点P 为线段A 1C(包含线段端点)上的动点,则下列结论正确的是( )A.当A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗ =3A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时,D 1P ∥平面BDC 1B.当A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗ =5A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时,A 1C ⊥平面D 1AP C.∠APD 1的最大值为90° D.AP+PD 1的最小值为√5 答案 AB4.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分)在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=AA 1=1,点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( ) A.当λ=1时,△AB 1P 的周长为定值 B.当μ=1时,三棱锥P-A 1BC 的体积为定值 C.当λ=12时,有且仅有一个点P,使得A 1P ⊥BP D.当μ=12时,有且仅有一个点P,使得A 1B ⊥平面AB 1P 答案 BD4. (多选)(2021山东广饶一中月考)如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=1,点P 在侧面BCC 1B 1(包括边界)上运动,并且总是保持AP ⊥BD 1,则以下四个结论正确的是( )A.V A 1−PAD =13B.点P 必在线段B 1C 上C.AP ⊥BC 1D.AP ∥平面A 1C 1D 答案 BD6.(2022届河北张家口11月阶段测试)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是菱形,∠BAD=45°,PD=AD=5,点E,F 分别在棱AB,PC 上,且AE ∶AB=PF ∶FC=2∶3. (1)证明:PA ∥平面DEF; (2)求四棱锥F-BCDE 的体积.解析 (1)证明:以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,5),D(0,0,0),A (5√22,−5√22,0),∴PA⃗⃗⃗⃗ =(5√22,−5√22,−5).∵AB=AD=5,AE AB =23,∴AE=103. ∵PF FC =23,PC=√PD 2+CD 2=5√2,∴PF=2√2,FC=3√2,则E (5√22,103−5√22,0),F(0,2,3), ∴DE⃗⃗⃗⃗ =(5√22,103−5√22,0),DF⃗⃗⃗⃗ =(2,0,3),设平面DEF 的法向量为n=(x 1,y 1,z 1), ∴{5√22x 1+(103−5√22)y 1=0,2y 1+3z 1=0,取y 1=3√2,则z 1=-2√2,x 1=3√2-4,∴n=(3√2-4,3√2,-2√2),∵n · PA⃗⃗⃗⃗ =5√22×(3√2-4)+(−5√22)×3√2-5×(-2√2)=0,又PA ⊄平面DEF,∴PA ∥平面DEF. (2)设点F 到平面BCDE 的距离为h,则V F-BCDE =13S 四边形BCDE ·h,由(1)知,h=3,又S 四边形BCDE =12×(53+5)×5√22=25√23,∴V F-BCDE =13×3×25√23=25√23. 7.(2021湖北黄石月考,19)如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,PB=4PM,PB 与平面ABCD 成30°角. (1)求证:CM ∥平面PAD; (2)求证:平面PAB ⊥平面PAD.证明 (1)因为PC ⊥平面ABCD,所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角,所以∠PBC=30°.因为PC=2,所以BC=2√3,PB=4.由题意知PC,BC,CD 两两垂直.以C 为坐标原点,以CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,所以C(0,0,0),D(0,1,0),B(2√3,0,0),A(2√3,4,0),P(0,0,2),M (√32,0,32),所以DP ⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2),DA ⃗⃗⃗⃗ =(2√3,3,0),CM⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,0,32),设n=(x,y,z)为平面PAD 的法向量,则{DP ⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DA ⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{−y +2z =0,2√3x +3y =0,令y=2,得n=(-√3,2,1).因为n ·CM⃗⃗⃗⃗⃗ =-√3×√32+2×0+1×32=0,所以n ⊥CM ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又CM ⊄平面PAD,所以CM ∥平面PAD.(2)取AP 的中点E,连接BE,易知E(√3,2,1),则BE⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1).因为PB=AB,所以BE ⊥PA.又因为BE⃗⃗⃗⃗ ·DA ⃗⃗⃗⃗ =(-√3,2,1)·(2√3,3,0)=0,所以BE ⃗⃗⃗⃗ ⊥DA ⃗⃗⃗⃗ ,所以BE ⊥DA,又PA ∩DA=A,所以BE ⊥平面PAD,又因为BE ⊂平面PAB,所以平面PAB ⊥平面PAD.8.(2017天津,17,13分)如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N 分别为棱PA,PC,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,PA=AC=4,AB=2. (1)求证:MN ∥平面BDE; (2)求二面角C-EM-N 的正弦值;(3)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为√721,求线段AH 的长.解析 如图,以A 为原点,分别以AB⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)证明:DE ⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DB ⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-2).设n=(x 0,y 0,z 0)为平面BDE 的法向量,则{n ·DE⃗⃗⃗⃗ =0,n ·DB⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 0=0,2x 0−2z 0=0.不妨设z 0=1,可得n=(1,0,1).又MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-1),可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=0. 因为MN ⊄平面BDE,所以MN ∥平面BDE.(2)易知n 1=(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量.设n 2=(x,y,z)为平面EMN 的法向量,则{n 2·EM⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因为EM⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,-1),MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,-1), 所以{−2y −z =0,x +2y −z =0.不妨设y=1,可得n 2=(-4,1,-2).因此有cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=-√21,于是sin<n 1,n 2>=√10521.所以二面角C-EM-N 的正弦值为√10521.(3)BE⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2).依题意,设AH=h(0≤h ≤4), 则H(0,0,h),进而可得NH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,h),由已知,得 |cos<NH⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗ >|=|NH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√ℎ2+5×2√3=√721,整理得10h 2-21h+8=0,解得h=85或h=12.所以线段AH 的长为85或12.考点二 用向量法求空间角和空间距离1. (2021福建厦门三模,7)如图,在四棱锥P-ABCD 的平面展开图中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,△ADE 是以AD 为斜边的等腰直角三角形,∠HDC=∠FAB=90°,则四棱锥P-ABCD 外接球的球心到平面PBC 的距离为( )A.√305B.√306C.√55D.√56答案 C2.(多选)(2022届广州荔湾调研,11)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ⊥BC,AB=BC=BB 1,O 为A 1C 的中点.点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗ =λBC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ∈[0,1],则( )A.∀λ∈[0,1],都有A 1P ⊥OB 1B.当λ=13时,直线A 1P 与AB 所成的角是30°C.当λ=12时,直线A 1P 与平面A 1B 1C 1所成的角的正切值为√55D.当λ=12时,直线A 1P 与OB 1相交于一点Q,则PQ QA 1=12答案 ACD3.(2020天津,17,15分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CC 1⊥平面ABC,AC ⊥BC,AC=BC=2,CC 1=3,点D,E 分别在棱AA 1和棱CC 1上,且AD=1,CE=2,M 为棱A 1B 1的中点. (1)求证:C 1M ⊥B 1D;(2)求二面角B-B 1E-D 的正弦值;(3)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值.解析 以C 为原点,分别以CA ⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗ ,CC 1⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C 1(0,0,3),A 1(2,0,3),B 1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)证明:C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-2,-2),从而C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2-2+0=0,所以C 1M ⊥B 1D.(2)依题意知,CA ⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)是平面BB 1E 的一个法向量,EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),ED⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DB 1E 的法向量,则{n ·EB 1⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·ED⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y +z =0,2x −z =0.不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos<CA⃗⃗⃗⃗ ,n>=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√66, 于是sin<CA⃗⃗⃗⃗ ,n>=√306.所以二面角B-B 1E-D 的正弦值为√306.(3)AB ⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DB 1E 的一个法向量,于是cos<AB⃗⃗⃗⃗ ,n>=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=-√33.所以直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33.4.(2017山东理,17,12分)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G 是DF⏜的中点. (1)设P 是CE⏜上的一点,且AP ⊥BE,求∠CBP 的大小; (2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C 的大小.解析 (1)因为AP ⊥BE,AB ⊥BE,AB,AP ⊂平面ABP,AB ∩AP=A,所以BE ⊥平面ABP,又BP ⊂平面ABP, 所以BE ⊥BP,又∠EBC=120°,因此∠CBP=30°.(2)以B 为坐标原点,分别以BE,BP,BA 所在的直线为x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,√3,3),C(-1,√3,0),故AE⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-3),AG ⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),CG ⃗⃗⃗⃗ =(2,0,3),设m=(x 1,y 1,z 1)是平面AEG 的法向量.由{m ·AE⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AG ⃗⃗⃗⃗ =0可得{2x 1−3z 1=0,x 1+√3y 1=0.取z 1=2,可得平面AEG 的一个法向量m=(3,-√3,2). 设n=(x 2,y 2,z 2)是平面ACG 的法向量.由{n ·AG⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CG⃗⃗⃗⃗ =0可得{x 2+√3y 2=0,2x 2+3z 2=0.取z 2=-2,可得平面ACG 的一个法向量n=(3,-√3,-2).所以cos<m,n>=m·n |m|·|n|=12. 易知所求角为锐二面角,因此所求的角为60°.综合篇 知能转换A 组考法一 求解直线与平面所成角的方法1.(2022届山东潍坊月考,20)如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=3,点E,F 分别在棱DD 1,BB 1上,且DE ⃗⃗⃗⃗ =12ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ =2FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)证明:A,E,C 1,F 在同一个平面上;(2)设直线AE 与平面BB 1D 1D 所成的角为α,直线AF 与平面BB 1D 1D 所成的角为β,判断α与β的大小关系,并说明理由. 解析(1)证明:在CC 1上取点M,使得CM=2MC 1,连接DM,MF,EC 1, ∵D 1E=2ED,DD 1=CC 1,∴ED=MC 1,又ED ∥MC 1, ∴四边形DMC 1E 为平行四边形, ∴DM ∥EC 1,∵MF ∥DA,MF=DA,∴四边形MFAD 为平行四边形, ∴DM ∥AF,∴EC 1∥AF,∴A,E,C 1,F 在同一个平面上.(2)α>β.理由如下:设BD ∩AC=O,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BB 1⊥平面ABCD,∴AC ⊥BB 1,由题意知四边形ABCD 为正方形,∴AC ⊥BD,∵BB 1∩BD=B,BB 1,BD ⊂平面BB 1D 1D,∴AC ⊥平面BB 1D 1D,连接OE,OF,则α=∠AEO,β=∠AFO,在Rt △AEO 和Rt △AFO 中,AO=√22,AE=√2,AF=√5,则sin α=12>sin β=√1010,∴α>β.2.(2019浙江,19,15分)如图,已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1,平面A 1ACC 1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A 1A=A 1C=AC,E,F 分别是AC,A 1B 1的中点. (1)证明:EF ⊥BC;(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.解析 解法一:(1)证明:连接A 1E,因为A 1A=A 1C,E 是AC 的中点,所以A 1E ⊥AC.又平面A 1ACC 1⊥平面ABC,A 1E ⊂平面A 1ACC 1,平面A 1ACC 1∩平面ABC=AC,所以A 1E ⊥平面ABC.如图,以点E 为原点,分别以射线EC,EA 1为y 轴,z 轴的非负半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.不妨设AC=4, 则A 1(0,0,2√3),B(√3,1,0),B 1(√3,3,2√3),F (√32,32,2√3),C(0,2,0).因此,EF⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,2√3),BC ⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0).由EF ⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗ =0得EF ⊥BC. (2)设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ.由(1)可知BC ⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2√3).设平面A 1BC 的法向量为n=(x,y,z).由{BC ⃗⃗⃗⃗ ·n =0,A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,得{−√3x +y =0,2y −2√3z =0.取n=(1,√3,1), 故sin θ=|cos<EF⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=45.因此,直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35.解法二:(1)证明:连接A 1E,因为A 1A=A 1C,E 是AC 的中点,所以A 1E ⊥AC,又平面A 1ACC 1⊥平面ABC,A 1E ⊂平面A 1ACC 1,平面A 1ACC 1∩平面ABC=AC,所以A 1E ⊥平面ABC,则A 1E ⊥BC.又因为A 1F ∥AB,∠ABC=90°,故BC ⊥A 1F.所以BC ⊥平面A 1EF.因此EF ⊥BC.(2)取BC 的中点G,连接EG,GF,则四边形EGFA 1是平行四边形. 由于A 1E ⊥平面ABC,又因为EG ⊂平面ABC, 故A 1E ⊥EG,所以平行四边形EGFA 1为矩形. 由(1)得BC ⊥平面EGFA 1,且BC ⊂平面A 1BC,则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1,所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上.连接A 1G 交EF 于O,则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角,不妨设AC=4,则在Rt △A 1EG 中,A 1E=2√3,EG=√3.由于O 为A 1G 的中点,故EO=OG=A 1G 2=√152, 所以cos ∠EOG=EO 2+OG 2−EG 22EO·OG =35.因此,直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35.考法二 求解二面角的方法1.(2022届重庆南开中学月考,20)如图,P-ABCD 是一个四棱锥,已知四边形ABCD 是梯形,PD ⊥平面ABCD,AD ⊥CD,AB ∥CD,PD=AD=AB=1,CD=2,点E 是棱PC 的中点,点F 在棱PB 上,PF=12FB. (1)证明:BE ∥平面PAD;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)求平面DEF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.解析 (1)证明:取PD 的中点G,连AG,GE,因为G,E 分别是PD,PC 的中点,所以GE ∥DC,GE=12DC,因为AB ∥DC,AB=12DC,所以GE ∥AB,GE=AB,所以四边形AGEB 为平行四边形,所以BE ∥AG,因为BE ⊄平面PAD,AG ⊂平面PAD,所以BE ∥平面PAD.(2)因为PD ⊥平面ABCD,所以PD ⊥AD,PD ⊥DC,又AD ⊥CD,所以以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则D(0,0,0),B(1,1,0),E (0,1,12),P(0,0,1),则BE⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,12),DP ⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),DB ⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),设平面PBD 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),则{m ·DP⃗⃗⃗⃗ =z 1=0,m ·DB⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1=0,取x 1=1,则y 1=-1,则m=(1,-1,0),设直线BE 与平面PBD 所成角为α,则sin α=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m |BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|m||=|√1+0+14×√1+1+0|=√105,所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为√105.(3)因为PF=12FB,所以PF⃗⃗⃗⃗ =12FB ⃗⃗⃗⃗ ,所以DF ⃗⃗⃗⃗ -DP ⃗⃗⃗⃗ =12(DB ⃗⃗⃗⃗ -DF ⃗⃗⃗⃗ ), 所以DF ⃗⃗⃗⃗ =23DP ⃗⃗⃗⃗ +13DB ⃗⃗⃗⃗ =23(0,0,1)+13(1,1,0)=(13,13,23), 由(2)可知,DE⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12),设平面DEF 的法向量为n=(x 2,y 2,z 2), 则{n ·DF⃗⃗⃗⃗ =13x 2+13y 2+23z 2=0,n ·DE⃗⃗⃗⃗ =y 2+12z 2=0,取z 2=2,则y 2=-1,x 2=-3,则n=(-3,-1,2).易知平面ABCD 的一个法向量为DP⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),设平面DEF 与平面ABCD 所成的锐二面角为β, 则cos β=|n·DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n|·|DP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|√9+1+4×√0+0+1|=√147, 所以平面DEF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为√147.2.(2022届湖南三湘名校、五市十校联考,20)如图,已知E 是平面ABCD 外一点,AD⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗ ,AB ⊥AD,AB ⊥AE.(1)四点C,D,E,F 在同一平面内吗?说明理由; (2)若∠DAE=2π3,AB=BC=2BF,求平面AFC 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值.解析 (1)在同一平面内.理由如下:取AD 的中点G,AE 的中点H,连接CG,FH,GH.则GH ∥DE.∵AD⃗⃗⃗⃗ =2BC ⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗ ,∴AG ⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗ ,AH ⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗ , ∴四边形ABCG 和四边形ABFH 都是平行四边形. ∴CG ∥BA,BA ∥FH,CG=BA,BA=FH,∴CG ∥FH,CG=FH,即四边形CGHF 是平行四边形, ∴FC ∥HG,∴FC ∥ED.∴四点C,D,E,F 在同一平面内. (2)∵AB ⊥AD,AB ⊥AE,AD ∩AE=A,∴BA ⊥平面ADE.以A 为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0).设BF=2,则B(4,0,0),C(4,4,0),F(4,-1,√3),E(0,-2,2√3),∴AC⃗⃗⃗⃗ =(4,4,0),AF ⃗⃗⃗⃗ =(4,-1,√3),BC ⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),BE ⃗⃗⃗⃗ =(-4,-2,2√3). 设m=(x 1,y 1,z 1)和n=(x 2,y 2,z 2)分别是平面AFC 和平面BCE 的法向量,则{m ·AC ⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AF⃗⃗⃗ =0,{n ·BC ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗ =0, ∴{4x 1+4y 1=0,4x 1−y 1+√3z 1=0,{4y 2=0,−4x 2−2y 2+2√3z 2=0.取x 1=√3,x 2=√3,则m=(√3,-√3,-5),n=(√3,0,2), ∴cos<m,n>=m·n |m|·|n|=-√21731.∴平面AFC 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为√21731.3.(2021全国甲理,19,12分)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1.(1)证明:BF ⊥DE;(2)当B 1D 为何值时,面BB 1C 1C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?解析 ∵BF ⊥A 1B 1,B 1B ⊥A 1B 1,BF ∩B 1B=B,∴A 1B 1⊥平面B 1C 1CB,∵AB ∥A 1B 1,∴AB ⊥平面B 1C 1CB, 又∵BC ⊂平面B 1C 1CB,∴AB ⊥BC.以B 为坐标原点,BA,BC,BB 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),F(0,2,1),E(1,1,0),∴BF⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),设B 1D=a(0≤a ≤2),则D(a,0,2),则DE ⃗⃗⃗⃗ =(1-a,1,-2).(1)证明:∵BF⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)·(1-a,1,-2)=0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,∴BF ⊥DE.(2)EF⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),FD ⃗⃗⃗⃗ =(a,-2,1),设平面DFE 的法向量为n=(x,y,z), 则{EF ⃗⃗⃗ ·n =−x +y +z =0,FD⃗⃗⃗⃗ ·n =ax −2y +z =0,不妨设x=1,则y=a+13,z=2−a 3,∴n=(1,a+13,2−a 3).易知m=(1,0,0)是平面BB 1C 1C 的一个法向量.设平面BB 1C 1C 与平面DEF 所成的锐二面角的大小为θ,则cos θ=|cos<m,n>|=|m·n||m|·|n|=√1+(a+13)2+(2−a 3)2=√2(a−12)2+272≤√272=√63(当a =12时取等号),∴sin θ=√1−cos 2θ≥√33,故当a=12,即B 1D=12时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小,最小值为√33.4.(2020课标Ⅲ理,19,12分)如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F 分别在棱DD 1,BB 1上,且2DE=ED 1,BF=2FB 1. (1)证明:点C 1在平面AEF 内;(2)若AB=2,AD=1,AA 1=3,求二面角A-EF-A 1的正弦值.解析设AB=a,AD=b,AA 1=c,如图,以C 1为坐标原点,C 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C 1-xyz.(1)证明:连接C 1F,则C 1(0,0,0),A(a,b,c),E (a,0,23c ),F (0,b,13c ),EA ⃗⃗⃗⃗ =(0,b,13c ),C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b,13c ),得EA ⃗⃗⃗⃗ =C 1F ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此EA ∥C 1F,即A,E,F,C 1四点共面,所以点C 1在平面AEF 内.(2)由已知得A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A 1(2,1,0),AE ⃗⃗⃗⃗ =(0,-1, -1),AF ⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,-2),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2),A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1). 设n 1=(x,y,z)为平面AEF 的法向量,则{n 1·AE⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·AF ⃗⃗⃗ =0,即{−y −z =0,−2x −2z =0,可取n 1=(-1,-1,1).设n 2为平面A 1EF 的法向量,则{n 2·A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,同理可取n 2=(12,2,1). 因为cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=-√77,所以二面角A-EF-A 1的正弦值为√427.5.(2018天津理,17,13分)如图,AD ∥BC 且AD=2BC,AD ⊥CD,EG ∥AD 且EG=AD,CD ∥FG 且CD=2FG,DG ⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M 为CF 的中点,N 为EG 的中点,求证:MN ∥平面CDE; (2)求二面角E-BC-F 的正弦值;(3)若点P 在线段DG 上,且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°,求线段DP 的长.解析 依题意,可以建立以D 为原点,分别以DA⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗ ,DG ⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M (0,32,1),N(1,0,2).(1)证明:DC⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2). 设n 0=(x 0,y 0,z 0)为平面CDE 的法向量,则{n 0·DC⃗⃗⃗⃗ =0,n 0·DE⃗⃗⃗⃗ =0, 即{2y 0=0,2x 0+2z 0=0,不妨令z 0=-1,可得n 0=(1,0,-1).又MN⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−32,1),可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 0=0, 又因为直线MN ⊄平面CDE,所以MN ∥平面CDE.(2)依题意,可得BC⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,0),BE ⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,2),CF ⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2).设n=(x 1,y 1,z 1)为平面BCE 的法向量, 则{n ·BC⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE⃗⃗⃗⃗ =0,即{−x 1=0,x 1−2y 1+2z 1=0,不妨令z 1=1,可得n=(0,1,1). 设m=(x 2,y 2,z 2)为平面BCF 的法向量,则{m ·BC ⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CF⃗⃗⃗ =0,即{−x 2=0,−y 2+2z 2=0,不妨令z 2=1,可得m=(0,2,1). 因此有cos<m,n>=m·n |m||n|=3√1010, 于是sin<m,n>=√1010.所以二面角E-BC-F 的正弦值为√1010.(3)设线段DP 的长为h(h ∈[0,2]),则点P 的坐标为(0,0,h),可得BP ⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,h). 易知,DC⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)为平面ADGE 的一个法向量, 故|cos<BP⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗ >|=|BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√ℎ+5,由题意,可得√ℎ+5=sin 60°=√32,解得h=√33∈[0,2].所以线段DP 的长为√33.6.(2021湖南永州二模,19)在如图所示的圆柱O 1O 2中,AB 为圆O 1的直径,C,D 是AB⏜的两个三等分点,EA,FC,GB 都是圆柱O 1O 2的母线.(1)求证:FO 1∥平面ADE;(2)若BC=FC=2,求二面角B-AF-C 的余弦值.解析 (1)证明:连接O 1C,O 1D,因为AB 为圆O 1的直径,C,D 是AB⏜的两个三等分点,所以∠AO 1D=∠DO 1C=∠CO 1B=60°,又O 1A=O 1B=O 1C=O 1D,所以△AO 1D,△CO 1D,△BO 1C 均为等边三角形,所以O 1A=AD=DC=O 1C,所以四边形ADCO 1是菱形,所以CO 1∥AD,又因为CO 1⊄平面ADE,AD ⊂平面ADE,所以CO 1∥平面ADE.因为EA,FC 都是圆柱O 1O 2的母线,所以EA ∥FC,又因为FC ⊄平面ADE,EA ⊂平面ADE,所以FC ∥平面ADE.又CO 1,FC ⊂平面FCO 1,CO 1∩FC=C,所以平面FCO 1∥平面ADE,又FO 1⊂平面FCO 1,所以FO 1∥平面ADE.(2)因为FC 是圆柱O 1O 2的母线,所以FC ⊥圆柱O 1O 2的底面,所以FC ⊥AC,FC ⊥BC,因为AB 为圆O 1的直径,所以∠ACB=90°,所以直线CA,CB,CF 两两垂直,以C 为原点建立空间直角坐标系如图,则C(0,0,0),A(2√3,0,0),B(0,2,0),F(0,0,2),则AB⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,2,0),AF ⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,0,2),由题知平面ACF 的一个法向量为CB⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),设平面ABF 的法向量为n=(x,y,z), 则{n ·AB⃗⃗⃗⃗ =−2√3x +2y =0,n ·AF ⃗⃗⃗ =−2√3x +2z =0,令x=1,则y=√3,z=√3.∴n=(1,√3,√3).所以cos<CB⃗⃗⃗⃗ ,n>=CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√32√7=√217.由图可知,二面角B-AF-C 的平面角为锐角,所以二面角B-AF-C 的余弦值为√217.考法三 求解立体几何中的探索性问题1.(多选)(2022届山东潍坊月考,12)在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 是正方体的棱上一点,|PB|+|PC 1|=λ,则( )A.当λ=2时,满足条件的点P 的个数为1B.当λ=4时,满足条件的点P 的个数为4C.当λ=4√2时,满足条件的点P 的个数为2D.若满足|PB|+|PC 1|=λ的点P 的个数为6,则λ的取值范围为(2√2,4) 答案 BC2.(2019北京理,16,14分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,AD ⊥CD,AD ∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E 为PD 的中点,点F 在PC 上,且PF PC =13. (1)求证:CD ⊥平面PAD; (2)求二面角F-AE-P 的余弦值; (3)设点G 在PB 上,且PG PB =23.判断直线AG 是否在平面AEF 内,说明理由.解析 (1)证明:因为PA ⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABCD,所以PA ⊥CD, 又因为AD ⊥CD,且AD ∩PA=A,所以CD ⊥平面PAD. (2)过A 作AD 的垂线交BC 于点M. 因为PA ⊥平面ABCD,所以PA ⊥AM,PA ⊥AD.如图,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为E 为PD 的中点, 所以E(0,1,1).所以AE⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1).又PC ⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),AP ⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2), 所以PF⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗ =(23,23,−23),AF ⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗ =(23,23,43). 设平面AEF 的法向量为n=(x,y,z),则{n ·AE⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗ =0,即{y +z =0,23x +23y +43z =0. 令z=1,则y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1). 又因为平面PAD 的一个法向量为p=(1,0,0), 所以cos<n,p>=n·p |n||p|=-√33.由题知,二面角F-AE-P 为锐二面角,所以其余弦值为√33. (3)直线AG 在平面AEF 内.理由:因为点G 在PB 上,且PG PB =23,PB⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-2),所以PG ⃗⃗⃗⃗ =23PB ⃗⃗⃗⃗ =(43,−23,−43),AG ⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗ +PG ⃗⃗⃗⃗ =43,-23,23.由(2)知,平面AEF 的一个法向量为n=(-1,-1,1).所以AG⃗⃗⃗⃗ ·n=-43+23+23=0.所以直线AG 在平面AEF 内. 3.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD,PA=AB,E 为线段PB 的中点,F 为线段BC 上的动点.(1)平面AEF 与平面PBC 是否互相垂直?如果垂直,请证明;如果不垂直,请说明理由; (2)若AB=3,F 为线段BC 的三等分点,求多面体PAEFCD 的体积.解析 (1)平面AEF 与平面PBC 互相垂直.证明:因为PA ⊥底面ABCD,BC ⊂底面ABCD,所以PA ⊥BC.因为底面ABCD 为正方形,所以AB ⊥BC.又PA ∩AB=A,且PA,AB ⊂平面PAB,所以BC ⊥平面PAB.因为AE ⊂平面PAB,所以AE ⊥BC,因为PA=AB,E 为线段PB 的中点,所以AE ⊥PB,又PB ∩BC=B,且PB,BC ⊂平面PBC,所以AE ⊥平面PBC,因为AE ⊂平面AEF,所以平面AEF ⊥平面PBC.(2)因为PA ⊥底面ABCD,E 为线段PB 的中点,所以点E 到底面ABCD 的距离为12PA=32,且V P-ABCD =13×3×3×3=9.当BF=13BC=1时,V E-ABF =13×(12×3×1)×32=34,所以多面体PAEFCD 的体积为V P-ABCD -V E-ABF =9-34=334.当BF=23BC=2时,V E-ABF =13×(12×3×2)×32=32,所以多面体PAEFCD 的体积为V P-ABCD -V E-ABF =9-32=152.综上,多面体PAEFCD 的体积为334或152.B 组1.(多选)(2022届山东枣庄八中10月月考,11)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 在线段B 1C 上运动,则下列结论正确的是( ) A.直线BD 1⊥平面A 1C 1D B.三棱锥D-A 1C 1P 的体积为定值C.异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π6,π2] D.直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为√63答案 ABD2.(多选)(2022届湖北部分重点中学开学联考,12)如图,AE ⊥平面ABCD,CF ∥AE,AD ∥BC,AD ⊥AB,AE=BC=2,AB=AD=1,CF=87,则( )A.BD ⊥ECB.BF ∥平面ADEC.二面角E-BD-F 的余弦值为13D.直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为59答案 BC2. (多选)(2021河北唐山三模,11)将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A-BD-C,如图所示,点E 、F 分别为线段BC 、AD 的中点,则下列说法中正确的是( )A.AC 与EF 所成的角为45°B.EF ⊥BCC.过EF 且与BD 平行的平面截四面体ABCD 所得截面的面积为√2D.四面体ABCD 的外接球的表面积为8π 答案 CD4.(2021北京,17,14分)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为A 1D 1的中点,B 1C 1与平面CDE 交于点F. (1)求证:F 为B 1C 1的中点;(2)若M 是棱A 1B 1上一点,且二面角M-FC-E 的余弦值为√53,求A 1MA 1B 1的值.解析 (1)证明:在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CD ∥C 1D 1,因为CD ⊄平面A 1B 1C 1D 1,C 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1,所以CD ∥平面A 1B 1C 1D 1,又CD ⊂平面CDE,平面A 1B 1C 1D 1∩平面CDE=EF,所以CD ∥EF,则EF ∥C 1D 1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1D 1∥B 1C 1,所以四边形EFC 1D 1是平行四边形,则FC 1=ED 1,又E 是A 1D 1的中点,所以FC 1=ED 1=12A 1D 1=12B 1C 1,即点F 是B 1C 1的中点.(2)以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz.设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1),则C(0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(2,2,2),C 1(0,2,2),D 1(0,0,2),F(1,2,2),E(1,0,2),所以CF ⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2),EF ⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),CM ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-2,2)+λ(0,2,0)=(2,-2+2λ,2). 设平面CEF 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{n 1·CF⃗⃗⃗ =0,n 1·EF ⃗⃗⃗ =0,即{x 1+2z 1=0,2y 1=0,令z 1=1,得x 1=-2,所以平面CEF 的一个法向量为n 1=(-2,0,1).设平面CFM 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则{n 2·CF⃗⃗⃗ =0,n 2·CM ⃗⃗⃗⃗ =0,即{x 2+2z 2=0,2x 2+(−2+2λ)y 2+2z 2=0,令z 2=1,得x 2=-2,y 2=1λ−1,所以平面CFM 的一个法向量为n 2=(−2,1λ−1,1). 因为二面角M-CF-E 的余弦值为√53,所以|n 1·n 2||n 1|·|n 2|=√53,即22√(−2)2+02+12·√(−2)2+(1λ−1)2+12=√53,又0<λ<1,解得λ=12,即A 1M A 1B 1=12. 创新篇 守正出奇创新 立体几何中的轨迹问题1.(2021浙江舟山月考,7)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E 、F 分别是棱AA 1、A 1D 1的中点,点P 为底面ABCD(包括边界)内的一动点,若直线D 1P 与平面BEF 无公共点,则点P 的轨迹长度为( )A.√2+1B.√5C.√2+√32D.√6答案 B2.(多选)(2022届济南历城二中开学考)在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1所在的平面上运动,则下列命题中正确的为( ) A.若总有PA ⊥BD 1,则动点P 的轨迹是一条直线B.若点P 到点A 的距离为√2,则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C.若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1,则动点P 的轨迹是椭圆D.若点P 到直线AD 的距离与到直线CC 1的距离相等,则动点P 的轨迹是双曲线 答案 ABD3.(多选)(2022届广东深圳平冈中学月考,11)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 为棱DD 1的中点,点P 是线段C 1D 上的动点,AA 1=2,则下列选项正确的是( ) A.直线AP 与B 1E 是异面直线 B.点P 到平面AEB 1的距离是一个常数C.过点C 作平面AEB 1的垂线,与平面AB 1C 1D 交于点Q,若C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则Q ∈APD.若平面CDD 1C 1内有一点Q,它到直线CD 的距离与到直线C 1B 1的距离相等,则Q 的轨迹为直线 答案 ABC。
(整理)空间角和距离课后练习
空间角和距离课后练习一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是 （ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a 与平面β所成的角 （ ） A ．与θ相等 B ．与θ互余 C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为 （ ）A ．3π B ．4πC ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG 中必有 （ ） A ．SG ⊥△EFG 所在平面 B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了 （ ） A ．1002米B ．502米C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos 33B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为 （ ）A ．43a B ．43 a C ．23 a D ．46a 9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是 （ ）A ．0＜α＜6πB ．6π＜α＜4π C ．4π＜α＜3π D ．3π＜α＜2π 10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈，〉的大小为（ ）A ．6πB ．65π C ．3π D ．32π 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________． 13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC ，30=∠BAC ，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ．三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ．（1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小．16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N ．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形， SD 垂直于底面ABCD ，SB=3． （1）求证BC ⊥SC ；（2）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．1AB=a,(如图一) 18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=2将△ADC 沿AC折起，使D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点． （1）求证AM //平面BDE ；（2）求二面角A -DF -B 的大小；（3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==)20(<<a ．（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小．参考答案11．750 ,150 12．900 ,300 13．35 14． π32 三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是SC 的中点 ∴BE ⊥SC ∵DE ⊥SC ∴SC ⊥面BDE （2）解：由（1）SC ⊥BD ∵SA ⊥面ABC ∴SA ⊥BD ∴BD ⊥面SAC ∴∠EDC 为二面角E-BD-C 的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=a 2．,2,a SC SBC Rt =∆∴中在,30,0=∠∆∴DCE SAC Rt 中在060,=∠∆∴EDC DEC Rt 中在．16．(12分) (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=， 其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角．∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N P MN PN MN PN PMMNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=． 17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得BC ⊥SC ．证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ，∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ． （2）解：如图2，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上， ∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，l ∴为面ASD 与面BSC 的交线．l ∴,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥图1∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，∴△SDA 是等腰直角三角形．又M 是斜边SA 的中点， ∴DM ⊥SA ．∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影．由三垂线定理得DM ⊥SB ． ∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．解2：如图3，取AB 中点P ，连结MP ，DP ．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角．2321==SB MP ，又,25)21(1,222=+==DP DM∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，︒=∠∴90DMP ∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°． 18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形，∴ 45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，可推得 AC=BC=.2a ∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结E D '， 则 E D '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，∴ E D '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ∴ CA D '∠为二面角γβ--BC 的平面角． 由于 45='∠CA D ， ∴二面角γβ--BC 为45．（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ．∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EO D '∠为二面角β--AC a 的平面角， ∴ EO D '∠ 60=． 在OE D Rt '∆中，a AC E D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a =19．（14分）解法一: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形，∴AM ∥OE ．∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS ⊥DF ．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角．在RtΔASB 中，,2,36==AB AS∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB ∴二面角A —DF —B 的大小为60º．（3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ，∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AF AB = ，∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE 平面ABF ，∴PQ ⊥QF ．在图2图3RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ．∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF ，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+-所以t=1或t=3(舍去),即点P 是AC 的中点．解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系．设N BD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）, ∴)1,22,22(--=NE , 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22∴ =（)1,22,22--∴AM NE =且NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM ．又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF ．（2）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF ．∴AB )0,0,2(-=为平面DAF 的法向量．∵DB NE ⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得 ⊥，⋅，∴NE 为平面BDF 的法向量．∴cos<>⋅=21∴AB 与NE 的夹角是60º．即所求二面角A —DF —B 的大小是60º．（3）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得PF ),1,2,2(t t --=∴BC =（2，0，0） 又∵PF 和BC 所成的角是60º．∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点． 20．(14分) 解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ ，即MNQP 是平行四边形∴MN =PQ 由已知a BN CM ==，1===BE AB CB∴2==BF AC 又21a CP =，21aBQ =， 即2a BQ CP ==∴MN =PQ =22)1(BQ CP +-=22)2()21(a a +-=21)22(2+-a )20(<<a（2）由（Ⅰ），MN =21)22(2+-a ,所以，当22=a 时，MN =22即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22． （3）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵AN AM =，BN BM =，G 为MN 的中点∴AG ⊥MN ，BG ⊥MN ，∠AG B 即为二面角α的平面角,又AG =BG 46=，所以，由余弦定理有314646214646cos 22-=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α, 故所求二面角⎪⎭⎫⎝⎛-=31arccos α。
理科数学一轮复习试题选编：空间角与空间距离(教师)
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编27:空间角与空间距离一、选择题1 ．(2013山东高考数学(理））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94，底面是边长为3的正三角形。
若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ）A ．512π B ．3π C ．4πD ．6π【答案】B 二、填空题 2 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学（理)试题）若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ,那么cos θ等于__________【答案】63【解析】要想是平面与正方体的12条棱所成的角相同,根据平行性可知，只要平面和同一个顶点的三条棱所成的角相同即可,如图可知ADO ∠即为棱与平面所成的角θ，设正方体的棱长为1,则22AO =,2261()22DO =+=.所以123cos 3662AD DO θ====。
3 ．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学(理）试题）已知二面角PQ αβ--为3π，A α∈，B β∈，C PQ ∈,R 为线段AC 的中点，6ACP BCP π∠=∠=，2CA CB ==，则直线BR 与平面α所成角的大小为________。
【答案】4π三、解答题 4 ．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）在如图的多面体中,EF⊥平面AEB，AE EB⊥，//AD EF，//EF BC，24BC AD ==,3EF =，2AE BE ==,G 是BC 的中点。
(Ⅰ） 求证://AB 平面DEG ;(Ⅱ） 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC 。
又∵2BC AD =,G 是BC 的中点, ∴//AD BG ，ADFEB G C∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG∵AB ⊄平面DEG ,DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG (Ⅱ) 解法1HADFEBGC解法2∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB,∴EF AE⊥,⊥,EF BE又AE EB⊥，∴,,EB EF EA两两垂直以点E为坐标原点，,,EB EF EA分别为,,x y z轴建立如图的空间直角坐标系。
高中数学空间角度与距离问题(有答案)
AA 1DCB B 1C 1图选修2-1空间向量与立体几何一、选择题：1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715B ．21C ．178D ．233．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ． 1530 D ．10154．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）A ．515 B ．55 C ．552 D ．1055．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ） A ．a 42B ．a 82 C ．a 423D ．a 226．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 （ ）A ．63B ．33 C ．332 D ．23 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）图图A ．621 B ．338 C ．60210D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32 B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3π B ．6π C ．65π D ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V（ ）A ．66B ．3316 C ．316D ．16二、填空题：11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ． 12． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B 到截面1AEC F 的距离 ．13．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面D B EF 的距离 ．14．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值 ． 三、解答题：15．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小16．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．17．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且P A⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．18．已知棱长为1的正方体A C1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的B DEF的距离；（3）求直线A1D与平面B DEF所成的角．19如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角C—DE—C1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余值.20如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB 中点，点F为PD中点。
高三数学单元练习题(空间角与空间距离)
高三数学单元练习题（空间角与空间距离）班级 姓名 座号一、选择题—A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 、Q 分别是棱AB 、BC 、CD 、CC 1的中点，直线MN 与PQ 所成的度是 （ ） A. 450 B. 600 C. 300 002.四棱锥P-ABCD 底面是正方形，且PA ⊥底面ABCD ，PA=AD ，则异面直线PB 与AC 所成的角为 （ ）A. 450B. 600C. 300 03.已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，1A ，b B ∈1 ，1AA ⊥a ，1AA ⊥b, 1BB ⊥b 且 AB=2，111=B A ，则a 与b 所成的角等于 （ ） A. 450 B. 600 C. 300 04.过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA=AB ，则平面ABP 和平CDP 所成的锐二面角的大小是 （ ） A. 450 B. 600 C. 300 05.把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成060的二面角,则点A 到BC 的距离是 ( ) A. a B.a 26 C.a 33 D.a 415 6.α,β是两个平行平面,βα⊂⊂b a ,,a 与b 之间的距离为1d ,α与β之间的距离为2d ,则: A. 1d =2d B. 1d >2d C. 1d <2d D. 1d ≥2d ( ) 7.在长方体1111D C B A ABCD -中,如果AB=BC=a,a A A 21=,则点A 到直线C A 1的距离为 A.a 362 B.a 263 C. a 332 D. a 362 ( ) 8.在0120的二面角βα--l 外有一点P,若P 到平面α,β的距离分别是5和8,则P 在平面α,β上的射影之间的距离是 ( )A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题9.已知正方体1111D C B A ABCD - 中，E 为AD 的中点，则1ED 与平面C C AA 11所成的角的正弦值是10. △BCD 为正三角形，A 为△BCD 所在平面外一点，且AB=AC=AD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，设EF 与AC 所成的角为α，EF 与BD 所成的角为β，则βα+等于 11. △BCD 为正三角形，A 为△BCD 所在平面外一点，且AB=AC=AD ，若△ABC 的面积与 △BCD 的面积之比为2：3，则面ABC 与面BCD 所成的二面角的度数为12. 在长方体1111D C B A ABCD -中,已知AB=2,11==A A AD ,则直线C B 1与D A 1的距离为 直线AC 与11D B 的距离为 ,点A 到直线C B 1的距离为 ,点B 到平面C AB 1的距离为 ,直线11C B 与1CD 的距离为 .13.已知Rt △ABC 的直角顶点C 在平面α内,斜边AB ∥α,62=AB ,AC,BC 分别和平面α 成045和030角,则AB 到平面α的距离为14. 已知长方体1111D C B A ABCD -中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11D AB 距离是 三、解答题 15.如图，,,,,l A B αβαβαβ⊥=∈∈点A 在直线l 上的射影为1,A 点B 在l 上的射影为1.B已知112,1,AB AA BB ===求： （I ）直线AB 分别与平面,αβ所成角的大小； （II ）二面角11A AB B --的大小。
高中数学高考总复习----空间角、空间距离巩固练习题(含答案解析)
，
又
，
， ，
P M
.
D
C
在
中,
,
, BC=1,
A
B
,
二面角 B-PD-C 的大小为
.
方法二：
解：如图，在平面 ABCD 内，以 C 为原点， CD、CB、CP 分别为 x、y、z 轴，建立空间直角
坐标系 C-xyz，
则
,
过C作
于 M，连接 BM，设
，
z
P M
则 ， ；
， xD
A
○1
C
B y
共线， ，
＝
1y1＝－1)⇒
n1＝(1，－1,1)．
sinθ＝
| ·n1|| ||n1|＝2a\r(2)a×\r(3)＝6)3.
9．【答案】(13，－23，23)或(－13，23，－23)
【解析】
设平面 ABC 的法向量 n＝(x，y,1)， 则 n⊥ 且 n⊥ ， 即 n· ＝0，且 n· ＝0. 即 2x＋2y＋1＝0，4x＋5y＋3＝0，)即 x＝\f(12y＝－1， ∴n＝(12，－1,1)，单位法向量为±n|n|＝±(13，－23，23)．
）
A．是 45°
B．是 60°
C．是 90°
D．随 P 点的移动而变化
3.如图，正三棱柱
的各棱长都 2，E，F 分别是
的中点，则 EF 的长是（ ）
A．2 B.
C.
D.
4.已知正方形 ABCD，沿对角线 AC 将三角形 ADC 折起，设 AD 与平面 ABC 所成角为β，当β取最大值时， 二面角 B－AC－D 的正弦值等于（ ）
则 A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)， ＝(a，a,0)， ＝ (0,2a,2a)，
高中数学·空间角和距离的计算经典习题
tan( + ) 的值是（）.
A. 3 3
4
B. 2 3
5
C. − 8 3
13
D. − 5 3
8
变式 在例 5 的条件下，求二面角 P − PC − B 的平面角的大小.
例 6 如 图 13 −13, 在 三 棱 锥 P − ABC 中，E，D 分别是棱 BC ， AC 的 中 点 ，
PB = PC = AB = 4, AC =
(1)求证：CE / / 平面 PAB； (2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.
3.二面角的计算
例 5 在三棱锥 P − ABC 中，点 P 在底面的射影恰好是等边 ABC 的
边 AB 的中点，且点 P 到底面 ABC 的距离等于底面边长.设 PAC 与底
面所成的二面角的大小为, PBC 与底面所成的二面角的大小为 , 则
A. 3
B. 7
C. 3 7 D. 4
4
4
75
4.如图 13-22，已知 ABC − A1B1C1 是所有棱长均相 等的正三棱柱， E 是棱 AB 的中点， F 是棱 B1C1 的中 点，M 是棱 AA1 上的动点，则二面角 B1 − EM − F 的平面 角的正切B. 2
2
C. 3
4
D. 5
4
5.如图 13-23，已知点 E 是正
方形 ABCD 的边 AD 上一动点（端
点除外），现将 ABD 沿 BE 所在直
线翻折成 ABE, 并连接 AC, AD. 记
二面角 A − BE − C 的平面角的大小
为 (0 ), 则 ( ) .
A.存在 ，使得 BA ⊥ 平面 ADE B.存在 ，使得 BA ⊥ 平面ACD
高三数学高考第二轮复习《空间角与空间距离》试题研究专题讲解
空间角与空间距离本部分知识主要包括异面直线所成角、线线角、线面角、点到面的距离，是新课标考查的重点，其考查题型多为一道客观题加一道解答题，客观题主要考查简单的距离和角的求法，以中档题为主，解答题考查一般以考查空间向量在立体几何中的应用，题目常常为中高档题。
【2010年高考预测】从近几年对这部分知识的考查来看，2010年仍是考查热点，应该是一道客观题加一道解答题，分值应该在15分左右，主要考查空间的各种角和各种距离的求解，同时与探索性、存在性问题相结合的可能性很大。
【例1】（柳州一模）如图，正四棱柱1111D C BA ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（）A ．51 B ．52 C ．53 D ．54【分析】本题主要考察异面直线所成角【解析】选D 因为11//AD BC ,,所以11A BC ∠就是异面直线11AD B A 与所成角，根据所给的长度关系，利用余弦定理可求得其余弦值为45【启迪】求异面直线所成角的关键是做出异面直线所成角的平面角，常用的方法有：1、平移（利用中点）或补形；2、向量法；【变式训练】斜三棱柱111ABC A B C -的各棱均相等，1A 在面ABC 上的射影是AC 的中点O，则直线1OB 与直线1AA 所成角的正切值为( ) A B C D 【解析】选 B 因为11//AA BB ,所以1OB B ∠就是线1OB 与直线1AA 所成角，设所有边长为1，则111,OB BB OB === 【例2】（鄂州二摸）如图，正方形12A BCA 的边长为4,D 是的1A B 中点，E 是2BA 上的点，ABCA 1B 1C 1O将△A 1DC 及△A 2EC 分别沿DC 和EC 折起，使A 1A 2重合于A ，且二面角A —DC —E 为直二面角。
（1）求BE 的长；（2）求AD 与平面AEC 所成角的正弦值。
【分析】本题主要考查在翻折问题中求线面角【解析】(1)∵A 1、A 2重合于A ∴AC ⊥AD ，AC ⊥AE ，故AC ⊥面ADE ∴AC ⊥DE ∵A-DC-E 为直二面角， ∴过A 作AF ⊥CD 于F ，则AF ⊥面CDE ， 故CD 为AC 在面CDE 上的射影，由三垂线定理的逆定理有：CD ⊥DE.在Rt △CAD 中，AD=2，AC=4，∴DC=25，AF=54，又∵CD ⊥DE ，∴在正方体A 1BA 2C 中，△DBE ～△CA 1D 故111=⇒=BE BEBDD A C A .(2)法一：设D 到面AEC 的距离为d ，则由V D —AEC =V A —DEC 有：AF DE CD d AC AE ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅21312131 ∴3×4d=25455⋅⋅ 故352=d ，即点D 到平面AEC 的距离为352.设AD 与平面AEC 所成角为θ，则35sin =θ 法二：由于AC ⊥面ADE ，所以平面AEC ⊥平面ADE ，所以点D 在平面AEC 上的射影在AE 上，所以DAE ∠就是DA 与平面AEC 所成的角。
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高三重点班理科数学本科临界生辅导试题（10）
（内容：空间角与空间距离）
一、选择题
1. 如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1
和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是（ ） A.60° B.45° C.30° D.90°
2.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →
〉的值等于（ ）
A.12
B.21015
C.23
D.1115
3.长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为 （ ） A.
1010 B.3010 C.21510 D.310
10
4.设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是 （ ）
A.
32 B.22 C.223 D.233
二、填空题
5．正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．
6正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45
，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．
7. 如图所示，PD 垂直与正方形ABCD 所在平面，AB =2，E 为PB 的中点，
cos 〈,DP AE 〉=3
,若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴
建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为 .
8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，则点
F 到平面A 1D 1E 的距离为 .
9. 正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为AB ，1CC 的中点，则异面直线
C A 1与EF 所成角的余弦值为
10.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为 . 11. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB=BC=AA 1，∠ABC=90°，
点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是 .
12.如图所示，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是 A 1C 1的中点， 则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为 . 三、解答题
13、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点。
(Ⅰ)求证：EF ∥平面SAD ；(Ⅱ)设SD = 2CD ，求二面角A －EF －D 的大小的余弦值。
14、如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。
（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；
（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的大小的余弦值； （Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离；
A
B
C
D
s
E
F
15、如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，
又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求二面角B AC M --的大小的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积；
16、如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2， AA 1=4， E 是棱CC 1上的点，且BE
⊥B 1C.
（1）求CE 的长；（2）求证：A 1C ⊥平面BED ；（3）求A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值.。