高数B总复习题答案

高数(B)复习题一、 基本题:第八章 向量代数、空间解析几何1、设向量()1,0,2a →=-，23b i j k →→→→=+-.则a →=be →→= ()()1203214a b →→⋅=⨯+⨯+-⨯-=；cos ,a ba b a b→→→→→→⋅⎛⎫===⎪⎝⎭⋅ {}1026,3,3231ij ka b →→→→→⨯=-=--。

所用知识点：设向量()(),,,,,x y z x y z x y z x y z a a i a j a k a a a b b i b j b k b b b →→→→→→→→=++==++=则：1）a →= ,,y x za a a a e a a a →→→→→⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2）x x y y z z a b a b a b a b →→⋅=++； c o s ,a ba ba b→→→→→→⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭⋅3）,,yz xy x z xy z y zxy x z xyzi j ka a a a a a ab a a a b b b b b b b b b ⎧⎫⎪⎪⨯==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭ {},,y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b =---2、以点A (1,2,3), B （-2,0,1），C （3,1,2）为顶点的三角形的面积为2()()()()21,02,133,2,2,31,12,232,1,1A B A C →→=----=---=---=--()10,7,74722AB AC AB AC S AB AC →→→→→→⨯=-⇒⨯=⇒=⨯=所用知识点：以()()(),,,,,,,,x y z x y z x y z A a a a B b b b C c c c 为顶点的三角形面积：1,2S A B A C →→=⋅⨯其中{},,x x y y z z AB b a b a b a →=---，{},,x x y y z z AC c a c a c a →=---3、yoz 坐标面内的抛物线2y z =绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程是2z =绕y轴旋转一周所得的旋转曲面方程是222y x z ==+。

所用知识点：见教材P25，或笔记。

4、曲线2224x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩在xoy 坐标面上的投影曲线的方程是2210x y z ⎧+=⎨=⎩。

所用知识点：1）()()12,,0,,0F x y z F x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去(),0z F x y ⇒=⇒在xoy 平面上投影方程(),00F x y z ⎧=⎨=⎩2）()()12,,0,,0F x y z F x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去(),0x F y z ⇒=⇒在yoz 平面上投影方程(),00F y z x ⎧=⎨=⎩3）()()12,,0,,0F x y z F x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩消去(),0y F x z ⇒=⇒在xoz 平面上投影方程(),00F x z y ⎧=⎨=⎩。

5、过点（1,-2,3）且与平面2320x y z -+-=垂直的直线方程为123231x y z -+-==-。

【解】：1）2320x y z -+-=的法向量为{}2,3,1n →=-，设直线的方向向量为{},,s m n p →=，因为平面与直线垂直，故//n s →→，故可取{}2,3,1s →=-2）直线的对称式（点向式方程）为：123231x y z -+-==- 所用知识点：1、直线方程：（1）对称式（点向式）：设直线的方向向量为{},,s m n p →=，且过点()0000,,M x y z ，则直线方程为000x x y y z z m n p---==； （2）参数式：000x x mty y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩（t 为参数）；t 前面的系数即为方向向量s →的三个坐标{},,s m n p →=（3）一般式：111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩;2、平面与直线关系：设:0Ax By Cz D π+++=; 000:x x y y z z l m n p---==1) //00l n s n s Am Bn Cp π→→→→⇔⊥⇔⋅=⇔++=； 2）//0A B Cl n s n s m n pπ→→→→→⊥⇔⇔⨯=⇔==。

6、过点（2,1，-3）且与直线21213x y z -+==-平行的直线方程为213213x y z --+==-。

【解】：1）21213x y z -+==-的方向向量为{}2,1,3s →=-，设直线的方向向量为{}1,,s m n p →=，因为直线与直线平行，故1//s s →→，故可取{}12,1,3s →=-2）直线的对称式（点向式方程）为：213213x y z --+==-。

所用知识点：直线与直线关系：设0001111:x x y y z z l m n p ---==； 1112222:x x y y z z l m n p ---==1）111121212222////0m n pl l s s s s m n p →→→→⇔⇔⨯=⇔==r ；2）12121212121200l l s s s s m m n n p p →→→→⊥⇔⊥⇔⋅=⇔++=。

7、过点（-1,0,2）且与平面x +2y -3z =0平行的平面方程为2370x y z +-+=。

【解】: 1）230x y z +-=的法向量为{}1,2,3n →=-，设所求平面的法向量为{}1,,n A B C →=，因为平面与平面平行，故1//n n →→，故可取{}11,2,3n →=-2）平面的点法式方程为：()()()11203202370x y z x y z ++---=⇒+-+=。

所用知识点：1、（1）点法式：已知平面的法向量{},,n A B C →=及平面上点()0000,,M x y z ，则该平面方程为：()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=; （2）一般式：0Ax By Cz D +++=;注：三变量x 、y 、z 前面的系数A 、B 、C 即为平面法向量n →的三个坐标{},,n A B C →=; 若,,,A B C D 中有若干个为零（不全为零）则表示平面的特殊位置，具体参见教材。

(3) 截距式：设平面与三个坐标轴的交点坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,a b c ，即与三坐标轴截距分别为a 、b 、c ，则该平面方程为：1x y za b c++=； 2、平面与平面关系：设11111:0A x B y C z D π+++=；22222:0A x B y C z D π+++=1) 111121212222////0A B Cn n n n A B C ππ→→→→⇔⇔⨯=⇔==r ;2) 12121212121200n n n n A A B B C C ππ→→→→⊥⇔⊥⇔⋅=⇔++=；8、过点（0,-3,1）且与直线1223x t y z t =-+⎧⎪=⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是 .【解】：1）直线1223x t y z t =-+⎧⎪=⎨⎪=-⎩的方向向量为{}1,0,2s →=-，设所求平面的法向量为{},,n A B C →=，因为平面与直线垂直，故//n s →→，故可取{}1,0,2n →=-，2）平面的点法式方程为：()()()003210220x y z x z --+++-=⇒-+=。

所用知识点：平面与直线的位置关系，同第5题.9、点（-1,1,0）到平面x +y -z+1=0的距离为3。

所用知识点：平面外一点()000,,M x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离：d =。

110,22020x y L x y z y z L ππ-=⎧--+=⎨++=⎩、设直线:平面：则直线与平面的夹角为 。

【解】：求直线120x y y z -=⎧⎨++=⎩的方向向量：1）{}{}121,1,0,0,1,1n n →→=-=2）{}{}12,,1101,1,1011i j ks m n p n n →→→→→→==⨯=-=--3）平面的法向量：{}2,1,1n →=--4）sin arcsin3n sn sθθ→→→→⋅==⇒= 所用知识点：1、直线的一般式化为对称式将直线的一般式111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩化为对称式的1） 先写出平面的法向量：{}{}11112222,,,,,n A B C n A B C →→==; 2） 求出直线的方向向量{}12,,s m n p n n →→→==⨯；3） 在上述方程中可令x 或y 或z 为一常数（一般令为“0”比较方便），将方程化为二元一次方程求得另二个变量的解，由此得到直线上一点()000,,x y z ； 4） 从而得到直线的对称式方程为：000x x y y z z m n p---==。

2、平面与直线夹角：sin n sn sθ→→→→⋅==第九章多元函数微分法及其应用1、函数ln()arccos2x yz y x -=-+的定义域是(){},,22x y y x x y >-≤-≤。

2、()()(),0,0ln 11limsin(22)cos 2x y x y x y xy →--=-+⋅。

所用知识点： 00型 等价无穷小替换【解】：()()()()()()()(),0,0,0,0,0,0ln 1ln 11lim lim limsin(22)cos sin(22)cos x y x y x y x y x y x y xy x y xy→→→----=⋅+⋅+()()()(),0,000ln 1ln 111limlim lim sin(22)cos0sin 222x y tx y t t x y t t x y t t +=→→→----⋅===-+=()()22,1,01lim1x y xyx y →-=+ 所用知识点： 直接代入法()(),0,0000221lim 4xy tx y t t t =→→→→===-= 所用知识点：0型 含根式利用根式有理化。

3、设22(,)43f x y x xy y =-+，则0(1,2)(1,2)lim8h f h f h→+-= 【解】：()()()221,21,20(1,2)(1,2)lim 1,243468y x y x y y h f h f f x xy y x y h====→+-''==-+=-+=所用知识点：0000000(,)(,)limx x h y y f x h y f x y zxh =→=+-∂=∂；00000(,)(,)limx x h y y f x y h f x y zyh=→=+-∂=∂4、已知函数22(,)f xy x y x y xy +=++，则(,)(,)12f x y f x y y x y∂∂+=-+∂∂ 。