数值计算方法-第二章
数值计算方法
复习：1.数值计算方法的含义 2．误差及误差限 3.误差与有效数字4.数值计算中应注意的问题第二章 插值方法一．插值的含义 问题提出：已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。
说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。
解决方法：构造一个简单函数()P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则用()P x '作为函数值()fx '的近似值。
二、泰勒（Taylor ）插值 1.问题提出：已知复杂函数()y f x =在0x 点的函数值()0f x ，求0x 附近另一点0x h +的函数值()0f x h +。
2.解决方法：构造一个代数多项式函数()n P x ，使得()n P x 与()f x 在0x x =点充分逼近。
泰勒多项式为：()()()()()()()()()200000002!!n nn f x fx P x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-显然，()n P x 与()f x 在0x x =点，具有相同的i 阶导数值（i=0,1,…,n ）。
3.几何意义为：()n P x 与()f x 都过点()()00,x f x ；()n P x 与()f x 在点()()00,x f x 处的切线重合； ()n P x 与()f x 在点()()00,x f x 处具有相同的凹凸性；其几何意义可以由下图描述，显然函数()3f x 能相对较好地在0x 点逼近()f x 。
4.误差分析（泰勒余项定理）：()()()()()()1101!n n n fP x fx x x n ξ++-=-+，其中ξ在0x 与x 之间。
5.举例： 已知函数()f x =()115f 。
数值计算方法第2章2-1节
（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
18
证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
10
2.1.3 区间二分法
定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0， 则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那 个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间 再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此 反复 ，直到求出满足精度要求的近似根。
5
有根区间
介值定理 若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
6
2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可 在(a,b)上任取一点x0作为初始 近似根。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。
第二章 Matlab软件的数值计算方法2
3）三角函数、双曲函数及它们的反函数 ）三角函数、 只用于数值计算外， 除atan2只用于数值计算外，其余的三角函数（如sin）、 只用于数值计算外 其余的三角函数（ ）、 双曲函数（ 双曲函数（如cosh）以及它们的反函数（如asin, acosh） ）以及它们的反函数（ ） 在数值计算和符号计算中使用方法都相同。 在数值计算和符号计算中使用方法都相同。 4）指数、对数函数 ）指数、 数值、符号计算中，函数sqrt, exp, expm的使用方法 数值、符号计算中，函数 的使用方法 完全相同，至于对数函数，符号计算中只有自然对数log， 完全相同，至于对数函数，符号计算中只有自然对数log， 而没有数值计算中的log2, log10。 而没有数值计算中的 。 5） 复数函数 ） conj, real, imag, abs相同，但无求相角的指令。 相同， 相同 但无求相角的指令。 6） 矩阵代数指令 ） diag, triu, tril, inv, det, rank, rref, null, colspace, poly, expm, eig基本与数值计算相同，只有 基本与数值计算相同， 稍微不同。 基本与数值计算相同 只有svd稍微不同。 稍微不同
1.3 符号表达式中自由变量的确定 findsym可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 目的独立自变量的自动认定。 目的独立自变量的自动认定。 findsym(expr) findsym(expr,n) 【例7】对独立自由符号变量的自动辨认。 】对独立自由符号变量的自动辨认。 syms a b x X Y; k=sym('3'); z=sym('c*sqrt(delta)+y*sin(theta)'); EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; findsym(EXPR)
数值计算方法及其应用
数值计算方法及其应用第一章引言数值计算方法是一种基于数学分析和计算机技术的计算方法，是概括了现代计算各个领域的一类方法。
随着计算机技术的不断进步，数值计算方法已经成为了计算机科学中的一个重要领域，涉及到计算机科学、数学、物理、工程等领域。
本文将从数值计算方法的基本概念、数值计算方法算法的分类、数值计算方法的优缺点以及数值计算方法的应用等方面加以探讨。
第二章数值计算方法的基本概念数值计算方法是使用数学方法和数值技术处理各种数学问题的一种方法。
它是一种解决数学问题的有效工具，不同于传统的数学方法，数值计算方法采用的是数值计算机计算技术，使得计算机可以精确计算、预测和模拟各种数学问题，如数值微积分、连续函数数值解、离散方程数值解等。
数值计算方法的核心概念就是数值算法，数值算法是指实现数值计算方法的算法，包括基于数学分析的算法和基于经验数据的算法。
第三章数值计算方法算法的分类数值计算方法算法可以分为以下几类：1.数值微积分算法2.解线性方程组的数值方法3.常微分方程的数值解法4.偏微分方程的数值解法5.数值优化方法6.数值统计算法7.数学模型的数值计算方法第四章数值计算方法的优缺点数值计算方法的优点：1.数值计算方法可以解决非常复杂和高度非线性的数学问题2.数值计算方法无所不能，可做大量的计算3.数值计算方法具有较高的可重复性和可验证性4.数值计算方法可以通过计算机进行高速计算，节省了人力成本和时间成本数值计算方法的缺点：1.数值计算方法的实现程序错误会导致计算结果失真2.数值计算方法对于计算精度的要求很高3.数值计算方法对于计算机硬件和软件的要求也很高第五章数值计算方法的应用数值计算方法已经被广泛应用于各个领域，如：1.科学研究：能够用计算机进行大规模复杂计算，计算机模拟得出科学研究结论，如气象学模拟，生命科学中的反应动力学分析等。
2.工程设计：例如结构力学分析、电路设计、流体力学分析和控制系统等。
3.数据科学：如数据挖掘、计算机视觉、自然语言处理、人脸识别等。
数值计算方法25_ppt [兼容模式]
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L x=y
T
1 . 解 Ly = b b1 y1 = l11
i −1 bi − ∑ lik ⋅ yk k =1 yi =
lii
------(14) i = 2 ,3 , L , n
l11 M O L = li 1 L lii M M O l l l L L n ni nn 1
-------------(7) -------------(8) i = r , r + 1,L , n
8
air = ∑ lik ⋅ lrk = ∑ lik ⋅ lrk + lir ⋅ lrr
k =1 k =1
r −1
由( 6 ) ~ ( 8)式可得 L的元素的计算公式
l11 = a11
ai 1 li 1 = l11
7
aij = a ji
a11 M ar 1 M an 1
L a1 r O M L arr M L anr
L a1 n l11 l11 L lr 1 L ln 1 M M O O M M L arn = lr 1 L lrr lrr L lnr ⋅ O M M O O M M lnn L ann ln 1 L lnr L lnn
29 6 13 174
=L 25 29
12
其次解 Ly = b
y1 =
b1 l11
i −1
( L , b) =
6
7 6 5 6
29 6 13 174
25 29
9 10 9
数学建模第二章
方程的根：实根、虚根。全局的根、 方程的根：实根、虚根。全局的根、局部 的根。单根、重根。 的根。单根、重根。
介值定理 若函数 则方程
] f ( x在 [ a , b连续，且 ) 连续，
f ( a ) f (b ) < 0
f ( x ) = 0 ( a , b内至少有一个实根。 ) 内至少有一个实根。 在
x k +1
f ( xk ) ,k = 0,1,2, L = xk − f ′( x k )
2.1.2 非线性方程求解的MATLAB实现 非线性方程求解的MATLAB实现 MATLAB
MATLAB是matrix laboratory(矩阵实验室 的缩 是 矩阵实验室)的缩 矩阵实验室 软件包是由美国MathWorks公司 写， MATLAB软件包是由美国 软件包是由美国 公司 推出的。目前最为流行的版本MATLAB6.5，其最 推出的。目前最为流行的版本 ， 高版本已达到MATLAB7.7。 高版本已达到 。 对计算机编程与数值计算，之所以感到困难是因 对计算机编程与数值计算， 为受到编程技术与数学算法的制约 MATLAB对于问题的表达方式几乎与问题的数学 对于问题的表达方式几乎与问题的数学 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强， 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强，便 于进行科学工程计算的应用软件。 于进行科学工程计算的应用软件。
模型求解
利用MATLAB软件求解，见MATLAB界面操作 软件求解， 利用 软件求解 界面操作 第二问： 第二问：反复利用递推式可得
xn +1 = (1 + p ) xn − Q = (1 + p ) 2 xn −1 − (1 + p )Q − Q = (1 + p ) n x1 − [(1 + p ) n −1 + (1 + p ) n − 2 + L + (1 + p ) + 1]Q (1 + p ) n − 1 = (1 + p ) n x1 − Q p