第二章 Matlab软件的数值计算方法2

3）三角函数、双曲函数及它们的反函数 ）三角函数、 只用于数值计算外， 除atan2只用于数值计算外，其余的三角函数（如sin）、 只用于数值计算外 其余的三角函数（ ）、 双曲函数（ 双曲函数（如cosh）以及它们的反函数（如asin, acosh） ）以及它们的反函数（ ） 在数值计算和符号计算中使用方法都相同。 在数值计算和符号计算中使用方法都相同。 4）指数、对数函数 ）指数、 数值、符号计算中，函数sqrt, exp, expm的使用方法 数值、符号计算中，函数 的使用方法 完全相同，至于对数函数，符号计算中只有自然对数log， 完全相同，至于对数函数，符号计算中只有自然对数log， 而没有数值计算中的log2, log10。 而没有数值计算中的 。 5） 复数函数 ） conj, real, imag, abs相同，但无求相角的指令。 相同， 相同 但无求相角的指令。 6） 矩阵代数指令 ） diag, triu, tril, inv, det, rank, rref, null, colspace, poly, expm, eig基本与数值计算相同，只有 基本与数值计算相同， 稍微不同。 基本与数值计算相同 只有svd稍微不同。 稍微不同
1.3 符号表达式中自由变量的确定 findsym可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 目的独立自变量的自动认定。 目的独立自变量的自动认定。 findsym(expr) findsym(expr,n) 【例7】对独立自由符号变量的自动辨认。 】对独立自由符号变量的自动辨认。 syms a b x X Y; k=sym('3'); z=sym('c*sqrt(delta)+y*sin(theta)'); EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; findsym(EXPR)
2.2 置换操作 一、子表达式置换操作 [RS,ssub]=subexpr(S,ssub) 【例10】把复杂表达式中所含的多个相同子表达式用一个符 】 号代替，使表达简洁。 号代替，使表达简洁。 clear all syms a b c d W [V,D]=eig([a b;c d]); [RVD,W]=subexpr([V;D],W) RVD = [ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c] [ 1, 1] [ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0] [ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W] W= (d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)
！2 符号对象的操作和转换 2.1 符号表达式的操作 collect expand factor horner numden simplify pretty 最常用的式simple(expr) 最常用的式
【例9】简化 】
f =
3
1 6 12 + 2 + +8 3 x x x
syms x f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3); g1=simple(f) g2=simple(g1) g1 = (2*x+1)/x g2 = 2+1/x
二、通用置换指令 RES=subs(ES,old,new) RES=subs(ES,new) 的置换规则。 【例11】用简单算例演示 】用简单算例演示subs的置换规则。 的置换规则 syms a x;f=a*sin(x)+5; f1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) f1 = a*y+5 f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) f2 = 3^(1/2)+5 f3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) f3 = 6.7321
6.0000
8.4641
7.5000
2.3 符号数值精度控制和任意精度计算 数值计算受字长的限制，每次数值操作都带截断误差， 数值计算受字长的限制，每次数值操作都带截断误差， 任何数值计算不管什么算法都将产生积累误差。 任何数值计算不管什么算法都将产生积累误差。Matlab中每 中每 个算术操作结果的相对精度约为16位数字 位数字。 个算术操作结果的相对精度约为 位数字。但符号计算的结 果是绝对准确的，不包含任何计算误差。 果是绝对准确的，不包含任何计算误差。 double(x) digits(n) xs=vpa(x) xs=vpa(x,n)
f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) f4 = 5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 5.0000 f5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) f5 = 5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 5.0000Leabharlann 6.7321二、函数求极值
1.fmin的命令格式 的命令格式 X=fmin(‘Fun’,x1,x2) 举例35 举例 2.fmins的命令格式 的命令格式 X=fmins(‘Fun’,x0) 举例36 举例
三、函数求零点 命令格式： 命令格式： X=fzero(‘Fun’,x0) 举例37 举例 举例39 举例
[t,y]=ode23(‘fname’,to,tf,yo) 用2阶/3阶龙格 库塔算法解微分方程组 阶龙格-库塔算法解微分方程组 阶 阶龙格
补充： 补充：符号计算
！1、符号对象和符号表达式 、 在MATLAB中，数值和数值变量用于数值的存储和各种 中 数值计算。而符号常数、符号变量、符号函数、 数值计算。而符号常数、符号变量、符号函数、符号操作等 则是用来形成符号表达式，严格按照代数、 则是用来形成符号表达式，严格按照代数、微积分等课程中 的规则公式进行运算，并尽可能给出解析表达结果。 的规则公式进行运算，并尽可能给出解析表达结果。 1.1 符号对象的生成和使用 数值计算中，数值表达式所用的变量必须事先被赋过值， 数值计算中，数值表达式所用的变量必须事先被赋过值， 否则无法计算。 否则无法计算。Symbolic Math Toolbox 2.1版沿用这种模 版沿用这种模 规定：在进行符号运算时， 式，规定：在进行符号运算时， 首先要定义基本的符号对象（可以是常数、变量、 首先要定义基本的符号对象（可以是常数、变量、表达 ），然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式 然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式， 式），然后利用这些基本符号对象去构成新的表达式，进而 从事所需的符号运算。 从事所需的符号运算。
1.2 符号计算中的算符和基本函数 由于matlab中采用了重载技术，使得用来构成符号计算 中采用了重载技术， 由于 中采用了重载技术 表达式的算符和基本函数，无论在形状、名称上， 表达式的算符和基本函数，无论在形状、名称上，还是在使 用方法上，都与数值计算中的算符和基本函数几乎完全相同。 用方法上，都与数值计算中的算符和基本函数几乎完全相同。 1）基本运算符 ） +-*\/ 矩阵 .* ./ .\ 元素对元素 ‘ .’ 矩阵 2）关系运算符 ） 符号对象中没有大于、大于等于、小于、 符号对象中没有大于、大于等于、小于、小于等于的概 而只有是否等于的概念。 念，而只有是否等于的概念。 算符＝＝、～＝分别对算符两边的对象进行相等、 ＝＝、～＝分别对算符两边的对象进行相等 算符＝＝、～＝分别对算符两边的对象进行相等、不等 的比较。当事实为真时，比较结果用1表示 假用0表示 表示， 表示。 的比较。当事实为真时，比较结果用 表示，假用 表示。
【例3】用符号计算验证三角等式。 】用符号计算验证三角等式。 syms fai1 fai2 y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2)) y= sin(fai1-fai2)
【例4】求矩阵的行列式值、逆和特征根 】求矩阵的行列式值、 syms a11 a12 a21 a22 A=[a11,a12;a21,a22] DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A) A= [ a11, a12] [ a21, a22] DA = a11*a22-a12*a21 IA = [ a22/(a11*a22-a12*a21), -a12/(a11*a22-a12*a21)] [ -a21/(a11*a22-a12*a21), a11/(a11*a22-a12*a21)] EA = [ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)] [ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
表2－6 数值分析的部分 － 数值分析的部分MATLAB命令函数 命令函数
数值分析的M|ATLAB命令函数 命令函数 数值分析的 命令函数的格式 fplot(‘fname’,[lb ub]) fmin(‘fname’,[lb ub]) fmins(‘fname’,xo) fminbnd fminsearch fzero(‘fname’,xo) frapz(x,y) diff(x) [t,y]=ode45(‘fname’,to,tf,yo) 描述 绘出上下限之间的函数 寻找上下限内的标量最小值 寻找xo附近的向量最小值 寻找 附近的向量最小值 由一有范围限制的变量找出函数的最小值 由几个变量找出函数的最小值 寻找xo附近的标量函数的零点 解 寻找 附近的标量函数的零点(解) 附近的标量函数的零点 给定数据点x和 计算 计算y=f(x)下的梯形面积 给定数据点 和y,计算 下的梯形面积 积分 数组元素间的差分
a1=[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)] a2=sym([1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]) a3=sym('[1/3,pi/7,sqrt(5),pi+sqrt(5)]') a23=a2-a3 a1 = 0.3333 0.4488 2.2361 5.3777 a2 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), 6054707603575008*2^(-50)] a3 = [ 1/3, pi/7, sqrt(5), pi+sqrt(5)] a23 = [ 0, 0, 0, 189209612611719/35184372088832-pi5^(1/2)]