第1课时 函数及其表示

第2章第1课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题
1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()
A.[2,5]
C．(0,20] D．{2,3,4,5}
解析：函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．
答案： D
2．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：
则方程g[f(x)]＝x的解集为()
A．{1}B．{2}
C．{3} D．∅
解析：当x＝1时，g[f(1)]＝g(2)＝2，不合题意；
当x＝2时，g[f(2)]＝g(3)＝1，不合题意；
当x＝3时，g[f(3)]＝g(1)＝3，符合题意．
答案： C
3．若f(x)对任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝()
A．x－1 B．x＋1
C ．2x ＋1
D ．3x ＋3
解析： ∵2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，① 用－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1，② ①×2＋②得，3f (x )＝3x ＋3， ∴f (x )＝x ＋1. 答案： B
4．已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫0，12的一个映射，则集合A 中的
元素个数最多有( )
A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
解析： ∵A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12，得x ＝7π6，11π
6，∴
A 中最多有5个元素．
答案： B
5．(2010·广东汕头模拟)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭
⎫2
x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝log 2x
B ．f (x )＝－log 2x
C ．f (x )＝2－
x
D ．f (x )＝x －
2
解析： 根据题意知x ＞0，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x . 答案： B
6．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )
解析： 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取1
2t 时，漏斗中液面下落的高度
不会达到漏斗高度的1
2
，对比四个选项的图象可知选B.
答案： B 二、填空题
7．已知f ⎝⎛⎭⎫
2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________. 解析： 令2x ＋1＝t (t ＞1)，则x ＝2t －1，
∴f (t )＝lg
2t －1，f (x )＝lg 2x －1
(x ＞1)． 答案： lg 2
x －1
(x ＞1)
8．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2t x x ＜2
log t (x 2
－1) x ≥2.且f (2)＝1，则f (f (5))的值为________． 解析： 由f (2)＝log t (22－1)＝log t 3＝1， ∴t ＝3，又5＞2，
所以f (f (5))＝f (log 3(5－1))＝f (log 34)＝2×3log 34 ＝2×4＝8. 答案： 8
9．(2010·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________．
解析： ∵1≤f (x )≤3， ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5,1]． 答案： [－5,1] 三、解答题
10．已知f (x )＝x 2＋x ＋1. (1)求f (2x )的解析式； (2)求f (f (x ))的解析式；
(3)证明：对任意x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫－12＋x ＝f ⎝⎛⎭
⎫－1
2－x 总成立． 【解析方法代码108001007】
解析： (1)f (2x )＝(2x )2＋(2x )＋1＝4x 2＋2x ＋1. (2)f (f (x ))＝(f (x ))2＋f (x )＋1 ＝(x 2＋x ＋1)2＋(x 2＋x ＋1)＋1 ＝x 4＋2x 3＋4x 2＋3x ＋3.
(3)证明：f ⎝⎛⎭⎫－12＋x ＝⎝⎛⎭⎫－12＋x 2＋⎝⎛⎭⎫－1
2＋x ＋1 ＝x 2＋3
4
，
f ⎝⎛⎭⎫－12－x ＝⎝⎛⎭⎫－12－x 2＋⎝⎛⎭⎫－12－x ＋1＝x 2＋34. 故对任意x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫－12＋x ＝f ⎝⎛⎭
⎫－1
2－x 总成立． 11．已知某人在2010年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1 000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y (元)与月份序号x 的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．
解析： 列表：
图象：
解析式：y ＝1 000·2x －
1(x ∈{1,2,3,4,5,6})．
其中定义域为{1,2,3,4,5,6}，
值域为{1 000,2 000,4 000,8 000,16 000,32 000}． 对应法则f ：x →y ＝1 000·2x －
1.
12．某公司招聘员工，连续招聘三天，应聘人数和录用人数符合函数关系y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
4x ，1≤x ≤10，2x ＋10，10＜x ≤100，1.5x ，x ＞100，
其中，x 是录用人数，y 是应聘人数．若第一天录用9人，第二天
的应聘人数为60人，第三天未被录用的人数为120人．求这三天参加应聘的总人数和录用的总人数．
【解析方法代码108001008】
解析： 由1＜9＜10，得 第一天应聘人数为4×9＝36(人)． 由4x ＝60，得x ＝15∉[1,10]； 由2x ＋10＝60，得x ＝25∈(10,100]； 由1.5x ＝60，得x ＝40＜100. 所以第二天录用人数为25人．
设第三天录用x 人，则第三天的应聘人数为120＋x . 由4x ＝120＋x ，得x ＝40∉[1,10]； 由2x ＋10＝120＋x ，得x ＝110∉(10,100]； 由1.5x ＝120＋x ，得x ＝240＞100.
所以第三天录用240人，应聘人数为360人．
综上，这三天参加应聘的总人数为36＋60＋360＝456人，录用的总人数为9＋25＋240
＝274人．。