第1课时 函数图象的意义及画法
人教版八年级数学下册第1课时函数的图象及其画法
活动2 探究新知 1．教材P75～76部分内容． 提出问题： (1)一个正方形的边长为x，面积为S，你能写出S关于x的函数解析式吗？ 自变量x的取值范围是多少？ (2)自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定了一 个点(x，S)呢？ (3)你能完成表193吗？并把相应的点转化成坐标，在坐标系中表示出来， 并用线连起来．
活动5 课堂小结
1．函数图象的概念，根据给出的函数图象分析其中的信息，并解答 相应的问题． 2．知道画函数图象的一般步骤，画出给定函数的图象．
四、作业布置与教学反 1思．作业布置
(1) 教材P82～83习题19.1第6，7，9题； 2．教学反思
五、课堂小结
函数的图 象
图象表达的 实际？ (2)小明在书店停留了多少分钟？ (3)本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
解：(1)根据图象，得小明家到学校的路程是1 500 m； (2)根据题意，小明在书店停留的时间从8 min到12 min，故小明在书店停 留了4 min； (3)一共行驶的路程为1 200＋(1 200－600)＋(1 500－600)＝2 700(m)，一 共用了14 min.
列表 描点 连线
注意象：画函数图象时应注意自变量的取值范围，当图象有端点时， 要注意端点是否能取到，能取到的画实心圆点，不能取到的画空心圆 圈．
2．描点法画函数图象的一般步骤： (1)__列__表____：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； (2)__描______：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值 为纵坐点标，描出表格中数值对应的各点； (3)__连__线____：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线 连接起来． 注意：①列表时一定要在自变量的取值范围内取比较合适的关键点；② 连线时不要超出自变量的取值范围．
函数图像画法知识点总结
函数图像是一种在平面上表示函数关系的方法，通过画出函数图像，可以直观地看出函数的性质和特点。
在数学教学中，函数图像的绘制是非常重要的一部分，它帮助学生理解函数的变化规律，并且可以帮助学生更好地理解函数的性质。
在本文中，将对函数图像的画法进行详细的介绍和总结，包括常见的一些函数图像的特点和绘制方法。
一、基本函数图像的特点及绘制方法1. 直线函数 y=ax+b直线函数是最基本的函数之一，其图像在平面直角坐标系中呈直线状。
直线函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b分别是函数的斜率和截距。
当a大于0时，函数图像呈现为向上倾斜的直线；当a小于0时，函数图像呈现为向下倾斜的直线。
绘制直线函数的方法非常简单，只需取两个点就可以确定一条直线。
首先确定直线的截距b，然后再找到直线的斜率a，通过这两个参数就可以确定直线的图像了。
2. 平方函数 y=x^2平方函数是一种非常常见的二次函数，其图像呈现为抛物线形状。
平方函数的一般形式为y=x^2。
平方函数的图像对称于y轴，开口向上。
绘制平方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出平方函数的图像。
3. 开方函数 y=sqrt(x)开方函数是平方函数的反函数，其图像为抛物线的一条分支。
开方函数的一般形式为y=sqrt(x)。
开方函数的图像对称于x轴，开口向右。
绘制开方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=0，1，4，9等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出开方函数的图像。
4. 绝对值函数 y=|x|绝对值函数的图像呈现为一条V形状的曲线。
绝对值函数的一般形式为y=|x|。
绘制绝对值函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出绝对值函数的图像。
以上是一些常见的基本函数的图像特点及绘制方法，通过这些例子可以看出，绘制函数图像的方法主要是通过选取一些关键点来确定函数的图像，然后再通过连接这些点来得到完整的函数图像。
函数的定义与图像的绘制
函数的定义与图像的绘制函数是数学中一个非常重要的概念，也是初中数学的基础知识之一。
理解函数的定义和掌握图像的绘制对于学习数学和解题都有很大的帮助。
本文将以对应标题题型进行举例、分析和说明，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解函数的概念和图像的绘制方法。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
简单来说，函数就是输入和输出之间的一种对应关系。
我们可以用符号来表示一个函数，例如f(x) = 2x，其中f(x)表示函数的输出，2x表示函数的输入。
例如，考虑函数f(x) = 2x，当x取值为1时，函数的输出为2；当x取值为2时，函数的输出为4。
这个函数的定义域是所有实数，值域是所有正实数。
函数的定义域是指函数可以取值的范围，值域是指函数的输出的范围。
二、图像的绘制图像是函数的可视化表示，通过绘制函数的图像，我们可以更直观地理解函数的性质和特点。
绘制函数的图像需要掌握一些基本的方法和技巧。
首先，我们需要确定函数的定义域和值域。
根据函数的定义域和值域，我们可以确定图像的横坐标和纵坐标的范围。
其次，我们可以选择一些特殊的点来绘制图像，例如函数的零点、极值点和拐点等。
通过计算这些点的坐标，我们可以将它们连接起来，得到函数的图像。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以选择x取值为-2、-1、0、1、2等特殊点。
计算这些点的坐标，我们可以得到(-2, 4)、(-1, 1)、(0, 0)、(1, 1)、(2, 4)等点。
将这些点连接起来，我们就可以绘制出函数f(x) = x^2的图像，它是一个抛物线，开口朝上。
三、函数图像的性质通过观察函数的图像，我们可以得到一些关于函数性质的重要信息。
首先，我们可以判断函数的增减性。
如果函数的图像从左往右逐渐上升，那么函数是递增的；如果函数的图像从左往右逐渐下降，那么函数是递减的。
其次，我们可以判断函数的奇偶性。
如果函数的图像关于y轴对称，那么函数是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，那么函数是奇函数。
函数图像的画法
04 利用计算器或软件绘制函 数图像
使用计算器绘制函数图像
确定函数表达式
首先需要确定要绘制的函数表达式， 例如 y = x^2。
选择计算器功能
在计算器上找到绘制函数图像的功能， 通常在科学计算器上会有专门的图形 功能键。
输入函数表达式
将函数表达式输入到计算器的相应位 置。
开始绘图
按下绘图功能键，计算器会自动绘制 出该函数的图像。
函数图像的画法
contents
目录
• 函数图像的基本概念 • 常见函数的图像画法 • 函数图像的变换 • 利用计算器或软件绘制函数图像 • 函数图像的应用
01 函数图像的基本概念
函数图像的定义
函数图像
函数图像是将函数的每一个自变 量x值与对应的因变量y值，用点 表示出来，并将这些点用线连接 起来形成的图形。
二次函数的图像
总结词
抛物线形状
详细描述
二次函数图像是抛物线。根据抛物线的开口方向和顶点位置，二次函数可以分为开口向上、向下、向左和向右四 种类型。在直角坐标系中，二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。
三角函数的图像
总结词
周期性波形
详细描述
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
缺点
需要一定的编程基础，对于初学者来说可能需要一定的学习 成本。另外，软件绘图可能需要较长时间才能掌握其各种功 能和操作技巧。
05 函数图像的应用
在数学中的应用
解析几何
函数图像可以用来表示解析几何中的曲线、曲面等，帮助理解几 何概念和性质。
微积分
函数图像在微积分中用于描述函数的单调性、极值、拐点等，有助 于理解函数的性质和变化规律。
人教版八年级数学下册课件函数的图像函数的图像
Q (升)
Q (升)
Q (升)
Q (升)
40
40
40
40
0 8 t (时) 0 8 t (时) 0 8 t (时) 0 8 t (时
A.
B.
C.
D.
2.最近中旗连降雨雪，德岭山水库水位上涨．如图 表示某一天水位变化情况，0时的水位为警戒水位． 结合图象判断下列叙述不正确的是 （ C ）
（4）张强从文具店回家的平均速度是多少？
用平滑曲线去连接画出的点
（1，1） D.
AB
1注、：已函知数1点图.（1象-1可，能2是）曲是线函，数也y=可kx能的是图直象线上，的也一可点能，是则线段或射线，函数图象的形状取决于函数关系和自变量的取值范围。
请根据图象回答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对
实际问题中的函数图象
思考：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北 京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化．
你从图象中得到了哪些信息？
T/℃ 8
O4
14
-3
24 t/时
从图象中可以看出这一天中任一时刻的气温.
1、画出函数 y = x + 0.5 的图象
解：(1)从函数解析式可以看出，x的取值范围是 全体实数 . 从x的取值范围中选取一些简洁的数值， 算出y的对应值，填写在表格里：
-2
-3
-4
.
图象上的点与函数关系式的关系：
（1）函数图象上的任意点（x，y）中的x、y满足 函数关系式；
（2）满足函数关系式的任意一对（x，y）的值， 所对应的点一定在函数图象上。
判断下列各点是否在函数 y=x+0.5 的图象上？
函数图像ppt课件
03
描点法
根据函数表达式，在坐标 系中逐个描出对应的点(x, y)，然后用平滑的曲线将 这些点连接起来。
计算法
利用数学软件或计算器， 输入函数表达式，自动生 成函数图像。
表格法
根据函数表达式和已知数 据，制作表格，然后在坐 标系中根据表格数据绘制 出函数图像。
函数图像的观察与分析
观察图像形状
通过观察函数的图像，可以初 步判断函数的类型（如一次函 数、二次函数、三角函数等）
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
06
复合函数的图像
复合函数的定义与性质
总结词
理解复合函数的定义与性质是绘制和分 析其图像的基础。
VS
详细描述
复合函数是由两个或多个函数的组合而成 的函数。它具有一些特殊的性质，如复合 函数的导数、极限等。了解这些性质有助 于更好地绘制和分析复合函数的图像。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
二次函数的图像
二次函数的定义与性质
总结词
二次函数的定义、性质和 表达式
二次函数的定义
二次函数是指形式为 y=ax^2+bx+c（其中a、 b、c为常数，且a≠0）的 函数。
二次函数的性质
二次函数具有开口方向、 顶点、对称轴等性质，这 些性质决定了函数图像的 形状和位置。
复合函数图像的绘制
总结词
掌握绘制复合函数图像的方法是理解其性质 和应用的必要手段。
详细描述
绘制复合函数图像需要使用数学软件或绘图 工具，如Matlab、GeoGebra等。在绘制 过程中，需要注意函数的定义域、值域以及 函数的单调性、奇偶性等性质。
数学函数图像知识点总结
数学函数图像知识点总结函数是数学中的一个重要概念，通过函数可以描述各种现象和规律。
函数图像是函数的图形表示，通过函数图像可以直观地理解函数的性质和行为。
在学习数学函数图像时，我们需要掌握一些重要的知识点，包括函数的定义、基本函数图像、函数的性质、函数图像的变换等内容。
本文将围绕这些知识点展开详细的介绍。
一、函数的定义1.1 函数的定义在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
通俗的讲，函数就是一种映射关系，将自变量映射到因变量。
函数的定义可以用一个公式、图形或者文字描述。
函数通常用f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数的一般表示形式为y=f(x)，其中f表示函数名，x表示自变量，y表示因变量。
1.2 函数的性质函数有许多重要的性质，包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。
在图像中，这些性质通常能够直观地表现出来。
- 定义域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域。
在函数图像上，定义域通常可以通过图形的横坐标范围来表示。
- 值域：函数的因变量的取值范围称为函数的值域。
在函数图像上，值域通常可以通过图形的纵坐标范围来表示。
- 奇偶性：函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
- 周期性：具有周期性的函数在一定的距离内重复出现相似的图像。
周期函数的图像通常具有明显的重复性特征。
1.3 常见的基本函数在函数图像中，一些基本函数的图像具有重要的参考意义，这些函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
- 线性函数：线性函数的图像是一条直线，具有固定的斜率和截距。
- 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线，具有一个顶点。
- 指数函数：指数函数的图像是以底数为底的指数幂函数，具有快速增长或者快速衰减的特点。
- 对数函数：对数函数的图像是以底数为底的对数函数，具有反映增长速度缓慢的特点。
函数的图像及解析式
正比例函数
01
图像
正比例函数图像是一条过原点的 直线。
02
03
解析式
性质
$y = kx$，其中$k$是常数且$k neq 0$。
当$k > 0$时，图像位于第一、 三象限；当$k < 0$时，图像位 于第二、四象限。
一次函数
图像
一次函数图像是一条直线。
解析式
$y = ax +
分式
通过分式表示函数关系，如y=1/x。
对数式
通过对数运算表示函数关系，如y=log_a x。
函数解析式的应用示例
线性函数
y=kx+b，用于描述匀速直线运动、 弹簧的伸长量等。
幂函数
y=x^n，用于描述物体随时间加速 或减速运动。
三角函数
y=sin x、y=cos x，用于描述简谐振 动、交流电等周期性现象。
函数的图像及解析式
contents
目录
• 函数图像的绘制 • 函数的解析式 • 函数的性质与图像关系 • 常见函数的图像与解析式 • 函数图像与解析式的应用
01 函数图像的绘制
函数图像的基本概念
01
02
03
函数图像
表示函数中自变量与因变 量之间关系的曲线或曲面。
坐标系
确定函数图像在平面或空 间中的位置和方向。
解析式
以10为底的对数函数为$y = log_{10} x$，以自 然数e为底的对数函数为$y = ln x$。
3
性质
定义域为$(0, +infty)$，值域为$(-infty, +infty)$。
05 函数图像与解析式的应用
解决实际问题
预测模型
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第1课时函数图象的意义及画法
【知识与技能】
学会观察图象，画图象及理解图象所表示的含义.了解图象的意义及其与实际生活的联系和区别.
【过程与方法】
从熟悉的情境出发，经历从图中分析变量之间关系的过程，理解函数图象的意义.会对实际生活中的例子用两变量之间关系的图象进行描述表达，初步认识函数与图象的对应关系.
【情感态度】
渗透数形结合思想，体会到数学来源于实际生活，又应用于生活，培养学生的团结协作精神.
【教学重点】
把实际问题转化为函数图象，再根据图象来研究实际问题.
【教学难点】
从图象中获取信息.
一、情境导入，初步认识
问题1 教材中图19.1-4是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从中获取了哪些信息？
【教学说明】教师依据学生发言情况，总结：气温T是时间t的函数.由图可知：（1）这一天凌晨4时气温最低（-3℃），14时气温最高（8℃）.
（2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时呈下降状态.
（3）可以从图象上看出这一天任一时刻的气温大约是多少.
（4）如果长期观察这样的气温图象，就能得到更多的信息，掌握更多的气温变化.
问题2 教材中图19.1-4反映的是气温与时间之间的函数关系，那么这个函数关系能列式表示吗？
【教学说明】学生讨论后教师归纳：有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是
可以用图象来直观地反映.如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系.
二、思考探究，获取新知
【教学说明】下列问题是为了帮助学生领会和掌握函数图象的意义与画法，注重引导学生观察、归纳、概括和交流，教师重在引导、评点和补充.
问题1 正方形的边长x与面积S的函数关系式是S=x2，其中自变量x的取值范围为x＞0.我们可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系，自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S是否确定了一个点（x，S）呢？填写下列表格并绘制函数图象.
问题2 结合函数、函数图象的定义画出图象.
【教学说明】教师带领学生根据步骤画出图象，并指明画图象时的注意事项，然后引导学生逐步读图象，体会图象的作用.
三、运用新知，深化理解
【教学说明】下面两个问题分别引导学生解决简单的函数应用题和学会函数图象的绘制，教师重在指导，体现学生的操作交流能力并获得实际体验.
问题1如图反映的是一段过程：小明从家里出发去菜
地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y
表示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同一条直
线上.根据图象回答下列问题：
（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多长时间？
（2）小明给菜地浇水用了多少时间？
（3）菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多少时间？
（4）小明给玉米地锄草用了多少时间？
（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
由学生共同得到答案：
（1）菜地离小明家1.1km；小明走到菜地用了15min.
（2）小明给菜地浇水用了10min.
（3）菜地离玉米地0.9km ；小明从菜地走到玉米地用了12min.
（4）小明给玉米地锄草用了18min.
（5）玉米地离小明家2km ，小明从玉米地走回家的平均速度是80m/min.
问题2 画出6y x
（x ＞0）的图象.分小组共同完成，教师场下巡回指导. 列表：
根据表中数值描出点（x ，y ），并用平滑曲线连接这些点，函数
图象如图所示.
【归纳总结】(1)连接各点时一定要用平滑曲线，不要把两点间
画成线段；(2)注意x ＞0，即只画图象在第一象限的部分，但画出的
图象不能在两端加端点，因为图象还可延伸，只是无法一一画出.
【教学说明】下列问题是训练学生阅读图象的能力，教师可灵活运用.
问题3 小明、爸爸、爷爷同时从家中出发向同一目标前进，小明前13
路程步行，后23路程骑车；爸爸前13路程骑车，后23路程步行；爷爷前13路程步行，后23
路程骑车，三人行走的路程与时间的关系可用下面三个图象来表示：
（1）三个图象哪个对应小明、爸爸、爷爷？
（2）他们的家距目的地多远？三人走完全程各用了多少时间？
（3）三个人步行的速度各是多少？ 【分析】解决该题的关键是找准每个人对应的图象，从图中可以看出，乙图前13
的路程比后23的路程速度快，所以乙对应爸爸，而甲和丙比较，前13
的路程甲比丙慢，所以甲对应爷爷，丙对应小明.
【答案】（1）甲对应爷爷，乙对应爸爸，丙对应小明.
（2）他们的家距目的地2400米，爷爷用24分走完了全程，爸爸用20分走完了全程，小明用18分走完了全程.
（3）爷爷步行的速度是50米/分，爸爸步行的速度是100米/分，小明步行的速度是80米/分.
四、师生互动，课堂小结
围绕下面两点，师生交流再归纳.
1.函数图象的画法有哪些步骤与要求？
2.怎样从图象中获取信息？
1.布置作业：从教材“习题19.1”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
本课学习内容是学生熟知的或发生在身边的事实，是现实而有意义的，利于学生联系实际，主动进行观察、实验、猜测、论证、推理与交流等数学活动，教学中引导学生经历把实际问题抽象成图象的过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，在此交流中真正理解函数图象并形成函数思想.。