数值分析第二章小结
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
计算方法 数值分析 第二章考点总结CH.2(1)
1第二章 解线性方程组的直接法解线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎩或写成矩阵式Ax b =其中()1212,(,,,),(,,,)T Tij n n n nA a x x x x b b b b ⨯=== Gauss 消去法（矩阵行变换法）第k 次消元公式()()(1)()()(1)()()/(1,,)(,1,,)(1,,)k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+计算中，中间结果不必保留，进行一次变换后原来存放(1)k A -的单元存放()k A，(1)k b-的单元存放()k b。
因此，我们得到Gauss消去法的算法：2循环：1,2,,k = n-1何时可行？即第k 步 Gauss 消去法可实行，易见充要条件是()0k kk a ≠若A 的各阶顺序主子式 *det()0ij k k a ≠ 1,,1k n =- ，则有：()**()()()1122()det()det() ||k ij k k ij k kk k k kk k kk a a a a a a =⇔≠ 消元过程可进行到 1k n =-。
因此，可以用Gauss 消去法解线性方程组的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0。
最后得到()()() n n n A x b A =是上三角阵()()k k A x b =与Ax b =同解2,,k n =解()()n n A x b=只需递推（回代过程）2211112()/, ,,1(0 = 1)nk k kjj kk j k k k i i i k i k x b ax a k n k k a a =+===-=>=∑∑∏ 当时，规定：3计算量 第k 步消元计算ik m 用(n-k )次除法，算诸()k ij a 用2(-)n k 乘法和2(-) n k 次加减法， 对1,,1k n =- 相加，可得消元过程共需2(1)/3n n -⨯÷次(1)(21)/6n n n -- 右端 (1)()n bb →(1)/2 n n -⨯÷ (1)/2 +n n -－(1)/2 (1)/2 +-n n n n -⨯÷-回代3233 /3/3 /3(1)(25)/6 /3n n n n n n n n +-≈-+≈总数：乘除法加减法矩阵的三角分解（用矩阵乘法分解的观点看Gauss 消去法）对A 作行变换相当于左乘初等矩阵，例如(1)(2)AA →(2)1A L A =其中421131110-1 -01-001n m L m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝ 类似的讨论易知：()()1111 ,,n n n n AL L A b L L b --==1,,100001 00000001 k k k n k L m m k +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭＝第列令()1111111121313212,1= := 110=11n n n n n n n U A A L L U L L L m m m m m m -------=⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上三角阵则单位下三角阵5定理：**(),det()0 1,,1ij n n ij k k A a a k n =≠=- ，则A 可表示为A=LU L ：单位下三角阵，U 上三角阵，且分解唯一。
数值分析(第2章)
2.1.1 求积方法的历史变迁
求积方法源于求曲边图形的面积。 公元前三世纪， 古希腊数学家阿基米德就运用所谓穷竭法计算了一些曲边图形的面积。 其思想是利用曲边图形的内接与外接两个阶梯图形的面积来“穷竭”所给的曲边图形的面 积。穷竭法将面积计算归结为提供曲线的高度，其设计思想淳朴自然，但这种方法要求建 立某种求和公式，而设计这样的求和公式往往是困难的。 微积分的发明使面积计算方法焕然一新。按照微积分基本定理，只要提供被积函数
2.3 Gauss公式
2.3.1 Gauss公式的设计方法
2.3.2 帯权的Gauss公式举例
2.3.1 Gauss公式的设计方法
Newton-Cotes 公式在构造实限用积分区间的等分点作为求积节点，这样做在简化处理 的同时也限制了精度。如果求积节点也可自由选择，即 2.1.2 中机械求积公式中的
作为求积节点构造形如 2.1.2 中求积公式，若这种公式至少有 n 阶精度，则称之为 n 阶 Newton-Cotes公式。特别的，梯形公式
b
a
f x dx
ba f a f b 2 ab , x2 b 作为求积节点构造形如 2
是最简单的 Newton-Cotes 公式。下面再举例说明这种公式的构造。 例 试以 a, b 的二等分点 x0 a, x1
ba ba t ，则 2.1.2 中的机械求积公式可变为 2 2
g t dt 2 g t
1 1 i 0 i i
n
式中节点为
ti
1 2 xi a b ba
这时 2.1.3 中的方程组就表现为较简单的形式。不失一般性，在设计求积公式时，可 以着重考察区间为 1,1 的特殊情形。
数值分析(第2章)
T1
T2
S1
T4
S2
C1
T8
S4
C2
R1
T16
S8
C4
R2
Romberg 算法的加速过程
2.6 数值微分
继续用松弛技术加工二分前后的 Cotes 值C1,C2：
R1 1 C2 C1
显然此结果至少有 5 阶精度，希望选取 使它至少有 6 阶精度，即令它对于 f x6 准确成
立，由此可定出 1/ 63，这样设计出来的求积公式
R1
64 63
C2
1 63
C1
称作 Romberg 求积公式，其复化形式为
G2
f
1 3
f
1 3
对一般区间a,b，应用 2.1.4 中的变换，可得在这种区间上的两点 Gauss 公式：
b a
G2
2
f
b 2
a
b 2
3 a
f
b a 22
b 3
a
2.3.2 带权的Gauss公式举例
考察积分 I b x f xdx ，这里 x 0称为权函数，当 x 1时为普通 a
2.1.1 求积方法的历史变迁
求积方法源于求曲边图形的面积。
公元前三世纪，古希腊数学家阿基米德就运用所谓穷竭法计算了一些曲边图形的面积。
其思想是利用曲边图形的内接与外接两个阶梯图形的面积来“穷竭”所给的曲边图形的面
积。穷竭法将面积计算归结为提供曲线的高度，其设计思想淳朴自然，但这种方法要求建
立某种求和公式，而设计这样的求和公式往往是困难的。
作为例子，Simpson 公式和 Cotes 公式都在精度上获得额外的好处；相反，n 3时的
Newton-Cotes 公式仅具有与 Simpson 公式相当的精度。另外，数值算例同样也说明了这个 事实。
数值分析总结
第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解 直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky 分解）追赶法列主元三角分解法* 2.Gauss 消去法Gauss 主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法） Gauss 顺序消去法3.方程组的性态与误差分析 向量和矩阵的范数（基础知识） 方程组解的相对误差估计 矩阵的条件数 病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。
设B为迭代矩阵，如果||B||<1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)<1更为方便，但此结论仅为充分条件。
如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)<1是否成立。
如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。
②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。
当ρ(B)<1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。
数值分析总结
数值分析复习总结任课教师王建国第二章数值分析基本概念教学内容：1.误差与有效数字误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系；误差的来源和误差的基本特性；误差的计算（估计）的基本方法。
2.算法的适定性问题数值分析中的病态和不稳定性问题；病态问题和不稳定算法的实例分析。
3.数值计算的几个注意问题数值计算的基本概念误差概念和分析误差的定义：设x是精确值，p是近似值，则定义两者之差是绝对误差:a x p∆=-由于精确值一般是未知的,因而Δ不能求出来,但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限|-|x p εε<称为绝对误差限。
相对误差定义为绝对误差与精确值之比ar x∆∆=ar xη∆∆=<称为相对误差限● 误差的来源：舍入误差将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法。
带来舍人误差。
截断误差用数值法求解数学模型时，往往用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差。
● 有效数字对于a=a0 a1 … am . am+1 … am+n(a0≠0) 的近似数， 若|Δ|≤0.5x10-n ，则称a 为具有m+n+1位有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做a 的有效数字。
有效数和可靠数的最末位数字称为可疑数字有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小。
推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。
推论2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下：例:计算y = ln x 。
若x ≈ 20，则取x 的几位有效数字可保证y 的相对误差 < 0.1% ?120.10mn x a a a =±⨯1102m nx x *-∆=-≤⨯120.10mn x a a a =±⨯15()10nr x a -∆≤⨯●数值计算的算法问题“良态”问题和“病态”问题在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δX，对应的参数误差δy也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy很大，则称为病态问题。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。
有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。
即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。
其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。
例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。
2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。
对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。
（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。
数值分析第二章学习小结-
数值分析第⼆章学习⼩结-第2章插值法--------学习⼩结姓名班级学号⼀、本章学习体会1.我的感受：在学习本章之前，我在很多地⽅都见到过涉及到插值法的问题，⽐如中学时见到的类似于“给定两组数据，求⽬标函数”，⽣活中的“由坐⽕车的某两站到站时间估计⽕车到其他站的时间”。
⽽经过了《数值分析》第⼆章“插值法”的学习，我知道了简单估计与科学插值之间的关系以及拉格朗⽇插值、⽜顿插值、分段线性插值、三次样条插值、埃尔⽶特插值这些经典的插值⽅法，我知道了插值法是⾮常系统、科学的数学估计⽅法与⼯科领域的优化⽅法。
2.我的困惑：经过了这⼀章插值法的学习，我知道了拉格朗⽇插值、⽜顿插值等等优秀的插值⽅法，但是针对不同的问题，我们应该如何选择最适合的插值⽅法呢？或者说在不同类型的题⽬中各种插值法的优势是什么？（困惑解答在⼩结思考题处）⼆、本章知识梳理b x a x xc x a x s n j j i i ≤≤-+=∑∑-+,)(1)(313三、本章思考题思考题：在不同类型的题⽬中各种插值法的优势劣势分别是什么？思考：1.拉格朗⽇插值：优点：公式结构整齐紧凑，理论分析⽅便简单；缺点：随着插值点的变化计算量成倍增加，计算变得⼗分繁琐，插值点较多时误差⼤数值不稳定。
插值多项式不能全⾯反映被插值函数的性质，不能满⾜插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与⾼阶导数值相等。
2.⽜顿插值：优点：公式结构整齐紧凑，理论分析⽅便简单并且随着插值点的变化计算仍相对⽐较简单；缺点：插值多项式不能全⾯反映被插值函数的性质，不能满⾜插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与⾼阶导数值相等。
3.埃尔⽶特插值优点：插值函数与被插值函数贴合程度⾼，在插值节点上其⼆者导数值相同；缺点：被插值函数在插值节点的导数值在实例中不易知。
4.分段线性插值优点：计算简洁⽅便，舍⼊误差较⼩，数据稳定性好，易编程缺点：在插值节点处不光滑，不满⾜插值节点处插值函数导数连续。
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第2章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章知识的学习我首先了解到求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。
计算机虽然运行速度很快，但面对运算量超级多的问题，计算机还是需要很长的时间进行运算，所以，确定快捷精确的求解线性方程组的方法是非常必要的。
本章分为四个小节，其中前两节Gauss消去法和直接三角分解法因为由之前《线性代数》学习的一定功底，学习起来还较为简单，加之王老师可是的讲解与习题测试，对这一部分有了较好的掌握。
第三节矩阵的条件数与病态方程组，我Ax 的系数矩阵A与左端向量b的元素往往是通首先了解到的是线性方程组b过观测或计算而得到，因而会带有误差。
即使原始数据是精确的，但存放到计算机后由于受字长的限制也会变为近似值。
所以当A和b有微小变化时，即使求解过程精确进行，所得的解相对于原方程组也可能会产生很大的相对误差。
对于本节的学习掌握的不是很好，虽然在课后习题中对课堂知识有了一定的巩固，但整体感觉没有很好的掌握它。
第四节的迭代法，初次接触迭代法，了解到迭代法就是构造一个无线的向量序列，使他的极限是方程组的解向量。
迭代法应考虑收敛性与精度控制的问题。
三种迭代方法的基本思想我已经掌握了，但是在matlab 的编程中还存在很大的问题。
在本节的学习中我认为我最大的问题还是程序的编写。
通过这段时间的练习，虽然掌握了一些编写方法和技巧。
相比于第一章是对其的应用熟练了不少，但在程序编写上还存在很多问题。
希望在以后的学习中能尽快熟练掌握它，充分发挥它强大的作用。
二、本章知识梳理2.1、Gauss 消去法（次重点）Gauss 消去法基本思想：由消元和回代两个过程组成。
2.1.1顺序Gauss 消去法（对方程组的增广矩阵做第二种初等行变换）定理 顺序Gauss 消去法的前n-1个主元素)(k kk a (k=1,2,```,n-1)均不为零的充分必要条件是方程组的系数矩阵A 的前 n-1个顺序主子式)1,,2,1(0)1()1(1)1(1)1(11-=≠=n k a a a a D kkk kK ΛΛM MΛ消元过程：对于 k=1,2,···,n-1 执行 （1）如果,0)(=ak kk则算法失效，停止计算，否则转入（2）。
（2）对于i=k+1,k+2,···n,计算aa k kkk ikk i m )()(,=n k j i m a a ak kj ik k ij k ij,,1,,)()()1(Λ+=-=+n k i m b b bk k ik k i k i ,,1,)()()1(Λ+=-=+回代过程：a b x n nn n n n )()(/=）（1,,2,1/)()(1)()(⋯--=-=∑+=n n k a x ab x k kk j nk j k kjk k k 2.1.2 列主元素Gauss 消去法（把）（n k k i a k kj ,,1,)(⋯+=中绝对值最大的元素交换到第k 行的主对角线位置）（重点）定理 设方程组的系数矩阵A 非奇异，则用列主元素Gauss 消去法求解方程组时，各个列主元素a (k=1,2,```,n-1)均不为零。
消元过程：对于 k=1,2,···,n-1 执行 （1）选行号k i ，使)()(max k i ni k k k i kka a ≤≤=。
（2）交换A 与b 两行所含的数值。
（3）对于i=k+1,k+2,···n,计算aa k kkk ikk i m )()(,=n k j i m a a ak kj ik k ij k ij,,1,,)()()1(Λ+=-=+n k i m b b bk k ik k i k i,,1,)()()1(Λ+=-=+回代过程：a b x n nn n n n )()(/=）（1,,2,1/)()(1)()(⋯--=-=∑+=n n k a x ab x k kk j nk j k kjk k k 2.2、直接三角分解法2.2.1Doolittle 分解法与Crout 分解法矩阵的三角分解 A=L U L-下三角阵，U-上三角阵 Doolitte 分解:L-单位下三角阵，U-上三角阵 Crout 分解：L-下三角阵，U-单位上三角阵定理 矩阵A 有唯一的Doolitte 分解的充分必要条件是A 的前n-1个顺序主子式不为0。
推论 矩阵A 有唯一的Crout 分解的充分必要条件是A 的前n-1个顺序主子式不为0。
A 的Doolitte 分解的计算公式 对于k=1,2,…,n 计算n k k j u l a u k t tj kt kj kj ,,1,,11Λ+=-=∑-=n k i u u l a l kk k t tk it ik ik ,,1/)(11Λ+=-=∑-=，2.2.2 选主元的Doolitte 分解法定理 若A 非奇，则存在置换阵Q 使QA 能作Doolitte 分解，即 QA=LU 。
其中 L 是下三角，U 是上三角矩阵。
解方程组的选主元Doolitte 分解法步骤为(1)作分解：QA=LU ；(2)求Qb ；(3)解方程 Ly=Qb,Ux=y 。
2.2.3 解三对角线性方程组的追赶法（了解） 2.2.4对称正定矩阵的Cholesky 分解平方根法（矩阵A 的Cholesky 分解）：对于正定矩阵A ，若存在下三角阵，使得TLL A =即：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n ni nn n n n nn n n n n l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a a M ΛO ΛΛΛΛO ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ33323222312111321333231222111212222111211∑-=-=112k j kjkk kk l a l ）（n k k i l l l a l kk k j kj ij ik ik ,,2,1/)(11Λ++=-=∑-=2.3矩阵的条件数与病态方程组2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的的性态 矩阵条件数的定义对于非奇异矩阵A 称量1-A A 为矩阵A 的条件数，记作1)(-=A A A cond常用的条件数为∞-∞∞=1)(A A A cond ；2122)(-=A A A cond矩阵A 的条件数性质（1）对于任何非奇异矩阵A ，)()(,1)(1-=>=Acond A cond A cond ；（2）设A 可逆，k ≠0是常数，则有)()(A cond kA cond =cond(kA)=cond(A)；（3）设A 是非奇异的实对称矩阵，则nA cond λλ12)(=，其中λ1，λn 分别是矩阵A 的最大和最小的特征值；一般对任何可逆矩阵有nA cond λλ12)(≥（4）设A 是正交矩阵，则1)(2=A cond ；（5）若U 是正交矩阵，则222)()()(AU cond UA cond A cond ==；（6）)()()(B cond A cond AB cond ≤。
2.3.2 线性方程组性态的定义设线性方程组b Ax =的系数矩阵A 非奇异，若其条件数相对很大，则称此线性方程组是病态的；若条件数相对较小，则称此线性方程组是良态线性方程组。
2.3.3病态线性方程组的求解（1）先对方程组的形态进行判断；（2）然后求解。
方法有高精度算术运算、平衡方法、残差校正法。
2.4迭代法（重点）凡是迭代法都存在收敛性与精度控制的问题。
2.4.1 迭代法的一般形式与收敛性 1.一般形式：Λ,2,1,0,)()1(=+=+k d GX X k k2.向量序列收敛（极限） （1）定义 按坐标收敛*)(*)(lim lim i k ik k k x x X X =⇔=∞→∞→（2）向量序列收敛的充要条件 按范数收敛*)(*)(*)(lim 0lim lim i k ik k k k k x x X X X X =⇔=-⇔=∞→∞→∞→3.矩阵序列的收敛（极限） ,n m k C A ⨯∈ ],[)(k ijk a A =,,,2,1,,,2,1,lim )(n j m i a a ij k ijk ΛΛ===∞→（1）定义 按坐标收敛,,,2,1,,2,1,lim lim )(n j m i a a A A ij k ijk k k ΛΛ===⇔=∞→∞→；（2）矩阵序列收敛的充要条件 按范数收敛 0lim lim =-⇔=∞→∞→A A A A k k k k4.迭代收敛的条件（1）谱半径：设n*n 矩阵G 的特征值是,21n λλλ⋯，，称i ni G λρ≤≤=1max )(为矩阵G 的谱半径。
（2）迭代收敛的充要条件：o Gkk =∞→lim1)(lim 1)(<⇔=<∞→A O A G k k ρρ（3）迭代的充分条件：1<G（4）迭代终止的条εε<-<---)()1()()1()(k k k k k XX X X X 或)27.2(1)1()()(-*--<-k k k X X GG X X（5）迭代收敛的速度 )(ln )(B B R ρ-=2.4.2 Jacobi 迭代法迭代矩阵形式)(1U L D G J +-=-基本思想：从线性方程组的第i 个方程解出X i (i=1,2,```,n)，将AX=b 转化为同解方程组X=GX+d,从而构造迭代公式。
Jacobi 迭代收敛的条件： 充要条件：1)(<J G ρ 充分条件：a.1<J G ；b.A 为主对角线按行（或列）严格对角占优阵。
引理 严格对角占优阵可逆。
定理 如果方程组(2.2)的系数矩阵A 为主对角线按行（或按列）严格占优阵，则用Jacobi 迭代法求解必收敛。
2.4.3 Gauss-Seidel 迭代（异步迭代法）迭代矩阵形式U D L G G 1)(-+-=重要条件： 1)(<G G ρ充分条件：a.1<G Gb.系数矩阵A 为主对角线按行（或列）严格对角占优阵；c.系数矩阵A 对称正定. 2.4.4 逐次超松弛迭代法（SOR迭代）迭代矩阵形式为：])11[()1(1U D L D G S +-+-=-ωω)(1111)()1()1(∑∑-=+=++--=i j ni j k j ij k j ij i ii k ix a x a b a x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=++-=+=++∑∑)1()()1(111)()1()1(~)1()(1~k i k i k ii j ni j k j ij k j ij i ii k ix x x x a x a b a x ωω 0>ω为实数，称为松弛因子。