数值分析第二章小结
数值分析第二章(研究生)
(x)
( x x ) ( x x ) ( x x )
i0 i k i0 i k i
ni k
n
n d ( x xi ) ( x x k ) ( x x ) i ， ( x k ) dx i0 i k
( x ) y , i 0 , 1 , , n(插值条件 )
i i
这类问题称为插值问题。
( x ) -----f(x)的插值函数, f(x) -----被插值函数 x0 ,x1,x2 ,…,xn -----插值节点， [a,b]称为插值区间
求插值函数的方法称为插值法。 若x∈[a,b]，可计算f(x) 的近似值φ(x), 则 x 称为插值点。
x x i px ( ) y l ( x ) , 其 中 l ( x ) n次拉格朗日插值多项式 kk k x k 0 i 0x k i
n n
又
x x i px ( ) yl ( x ) y [ ] y kk k k x k 0 k 0 k 0 i 0x k i
3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函 数就唯一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
定理
n次拉格朗日插值多项式
n k0
p(x) yl ) yl )yl ) yl ) k k (x 0 0(x 11(x n n(x xx 其 中 lk(x) i i0 x k x i
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
计算方法 数值分析 第二章考点总结CH.2(1)
1第二章 解线性方程组的直接法解线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎩或写成矩阵式Ax b =其中()1212,(,,,),(,,,)T Tij n n n nA a x x x x b b b b ⨯=== Gauss 消去法（矩阵行变换法）第k 次消元公式()()(1)()()(1)()()/(1,,)(,1,,)(1,,)k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+计算中，中间结果不必保留，进行一次变换后原来存放(1)k A -的单元存放()k A，(1)k b-的单元存放()k b。
因此，我们得到Gauss消去法的算法：2循环：1,2,,k = n-1何时可行？即第k 步 Gauss 消去法可实行，易见充要条件是()0k kk a ≠若A 的各阶顺序主子式 *det()0ij k k a ≠ 1,,1k n =- ，则有：()**()()()1122()det()det() ||k ij k k ij k kk k k kk k kk a a a a a a =⇔≠ 消元过程可进行到 1k n =-。
因此，可以用Gauss 消去法解线性方程组的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0。
最后得到()()() n n n A x b A =是上三角阵()()k k A x b =与Ax b =同解2,,k n =解()()n n A x b=只需递推（回代过程）2211112()/, ,,1(0 = 1)nk k kjj kk j k k k i i i k i k x b ax a k n k k a a =+===-=>=∑∑∏ 当时，规定：3计算量 第k 步消元计算ik m 用(n-k )次除法，算诸()k ij a 用2(-)n k 乘法和2(-) n k 次加减法， 对1,,1k n =- 相加，可得消元过程共需2(1)/3n n -⨯÷次(1)(21)/6n n n -- 右端 (1)()n bb →(1)/2 n n -⨯÷ (1)/2 +n n -－(1)/2 (1)/2 +-n n n n -⨯÷-回代3233 /3/3 /3(1)(25)/6 /3n n n n n n n n +-≈-+≈总数：乘除法加减法矩阵的三角分解（用矩阵乘法分解的观点看Gauss 消去法）对A 作行变换相当于左乘初等矩阵，例如(1)(2)AA →(2)1A L A =其中421131110-1 -01-001n m L m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝ 类似的讨论易知：()()1111 ,,n n n n AL L A b L L b --==1,,100001 00000001 k k k n k L m m k +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭＝第列令()1111111121313212,1= := 110=11n n n n n n n U A A L L U L L L m m m m m m -------=⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上三角阵则单位下三角阵5定理：**(),det()0 1,,1ij n n ij k k A a a k n =≠=- ，则A 可表示为A=LU L ：单位下三角阵，U 上三角阵，且分解唯一。
数值分析_第2章
证：由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号，故f ( x) 知 知 单调，再由3。 唯一的 [a, b]，使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一：
。 。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二．收敛性：
mn . n .
◆判定二分次数：
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0，若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶 可导，且满足：
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号（凹凸不变性）；
2。 f '( x)在[a, b]上不为0（单调性）； . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算：
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn
数值分析总结
第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解 直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky 分解）追赶法列主元三角分解法* 2.Gauss 消去法Gauss 主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法） Gauss 顺序消去法3.方程组的性态与误差分析 向量和矩阵的范数（基础知识） 方程组解的相对误差估计 矩阵的条件数 病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。
设B为迭代矩阵，如果||B||<1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)<1更为方便，但此结论仅为充分条件。
如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)<1是否成立。
如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。
②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。
当ρ(B)<1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。
有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。
即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。
其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。
例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。
2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。
对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。
（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。
数值分析第二章学习小结-
数值分析第⼆章学习⼩结-第2章插值法--------学习⼩结姓名班级学号⼀、本章学习体会1.我的感受：在学习本章之前，我在很多地⽅都见到过涉及到插值法的问题，⽐如中学时见到的类似于“给定两组数据，求⽬标函数”，⽣活中的“由坐⽕车的某两站到站时间估计⽕车到其他站的时间”。
⽽经过了《数值分析》第⼆章“插值法”的学习，我知道了简单估计与科学插值之间的关系以及拉格朗⽇插值、⽜顿插值、分段线性插值、三次样条插值、埃尔⽶特插值这些经典的插值⽅法，我知道了插值法是⾮常系统、科学的数学估计⽅法与⼯科领域的优化⽅法。
2.我的困惑：经过了这⼀章插值法的学习，我知道了拉格朗⽇插值、⽜顿插值等等优秀的插值⽅法，但是针对不同的问题，我们应该如何选择最适合的插值⽅法呢？或者说在不同类型的题⽬中各种插值法的优势是什么？（困惑解答在⼩结思考题处）⼆、本章知识梳理b x a x xc x a x s n j j i i ≤≤-+=∑∑-+,)(1)(313三、本章思考题思考题：在不同类型的题⽬中各种插值法的优势劣势分别是什么？思考：1.拉格朗⽇插值：优点：公式结构整齐紧凑，理论分析⽅便简单；缺点：随着插值点的变化计算量成倍增加，计算变得⼗分繁琐，插值点较多时误差⼤数值不稳定。
插值多项式不能全⾯反映被插值函数的性质，不能满⾜插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与⾼阶导数值相等。
2.⽜顿插值：优点：公式结构整齐紧凑，理论分析⽅便简单并且随着插值点的变化计算仍相对⽐较简单；缺点：插值多项式不能全⾯反映被插值函数的性质，不能满⾜插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与⾼阶导数值相等。
3.埃尔⽶特插值优点：插值函数与被插值函数贴合程度⾼，在插值节点上其⼆者导数值相同；缺点：被插值函数在插值节点的导数值在实例中不易知。
4.分段线性插值优点：计算简洁⽅便，舍⼊误差较⼩，数据稳定性好，易编程缺点：在插值节点处不光滑，不满⾜插值节点处插值函数导数连续。
数值分析第二章小结
第2章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章知识的学习我首先了解到求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。
计算机虽然运行速度很快，但面对运算量超级多的问题，计算机还是需要很长的时间进行运算，所以，确定快捷精确的求解线性方程组的方法是非常必要的。
本章分为四个小节，其中前两节Gauss消去法和直接三角分解法因为由之前《线性代数》学习的一定功底，学习起来还较为简单，加之王老师可是的讲解与习题测试，对这一部分有了较好的掌握。
第三节矩阵的条件数与病态方程组，我Ax 的系数矩阵A与左端向量b的元素往往是通首先了解到的是线性方程组b过观测或计算而得到，因而会带有误差。
即使原始数据是精确的，但存放到计算机后由于受字长的限制也会变为近似值。
所以当A和b有微小变化时，即使求解过程精确进行，所得的解相对于原方程组也可能会产生很大的相对误差。
对于本节的学习掌握的不是很好，虽然在课后习题中对课堂知识有了一定的巩固，但整体感觉没有很好的掌握它。
第四节的迭代法，初次接触迭代法，了解到迭代法就是构造一个无线的向量序列，使他的极限是方程组的解向量。
迭代法应考虑收敛性与精度控制的问题。
三种迭代方法的基本思想我已经掌握了，但是在matlab 的编程中还存在很大的问题。
在本节的学习中我认为我最大的问题还是程序的编写。
通过这段时间的练习，虽然掌握了一些编写方法和技巧。
相比于第一章是对其的应用熟练了不少，但在程序编写上还存在很多问题。
希望在以后的学习中能尽快熟练掌握它，充分发挥它强大的作用。
二、本章知识梳理2.1、Gauss 消去法（次重点）Gauss 消去法基本思想：由消元和回代两个过程组成。
2.1.1顺序Gauss 消去法（对方程组的增广矩阵做第二种初等行变换）定理 顺序Gauss 消去法的前n-1个主元素)(k kk a (k=1,2,```,n-1)均不为零的充分必要条件是方程组的系数矩阵A 的前 n-1个顺序主子式)1,,2,1(0)1()1(1)1(1)1(11-=≠=n k a a a a D kkk kK ΛΛM MΛ消元过程：对于 k=1,2,···,n-1 执行 （1）如果,0)(=ak kk则算法失效，停止计算，否则转入（2）。
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第二章小结
对于n 元线性方程组b A =x (*),其中A 为非奇异矩阵,当0det ≠A 时,方程组有唯一的解向量。
求解线性方程组的方法可分为两类：直接法（如克莱姆法则，高斯消去法等）和迭代法（Jacobi 迭代法和GS 迭代法等）。
一 、直接法
1、Gauss 消去法:(1) 顺序Gauss 消去法:将矩阵化为上三角矩阵
(2) 列主元素Gauss 消去法:将增广矩阵],[)()(k k b A 中绝对值最大的元素交换到底k 行的主对角线上。
比较：顺序Gauss 消去法的计算结果数值稳定性没有列主元素Gauss 消去法的好。
2、直接三角分解法：
(1)定义 Doolittle 分解法和Crout 分解法:如果方程组b A =x 的系数矩阵A 可以分解为A=LU,其中L 是下三角矩阵U 是上三角矩阵,这样方程组b A =x 就化为两个容易求解的三角方程组:y U b Ly ==x ,。
定理3 Doolittle 分解法的充要条件是矩阵A 的前n-1阶顺序主子式0≠K D (k 取1,2,3,4...,n-1)
推论 矩阵A 有唯一Crout 分解的充要条件是A 的前n-1阶顺序主子式0≠K D (k 取1,2,3,4...,n-1)
Doolittle 分解计算公式为:
对于k=1,2,3...,n
),...,1,(1
1n k k j u l a u k t tj kt kj kj +=-=∑-=
);,...,2,1(/)(1
1n k n k k i u u l a l kk k t tk it kj ik <++=-=∑-=
则求解下三角方程组y U b Ly ==x 和上三角方程组的计算方程式: ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧--=-===-==∑∑+=-=1
,,2,1,/)(u /),,3,2(11111 n n i u x u y x y x n i y l b y b y ii n i t t it i i nn
n n t i t it i i Crout 分解计算公式为:
对于k=1,2,3...,n
),...,1,(1
1n k k j u l a l k t tk it ik ik +=-=∑-=
);,...,2,1(/)(1
1n k n k k j l u l a u kk k t tj kt kj kj <++=-=∑-=
则求解下三角方程组y b y U L ==x ~
~和上三角方程组的计算方程式: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-===-==∑∑+=-=1
,,2,1,),,3,2()(/1111111 n n i x u y x y x n i l y l b y l b y n i t t it i i n n
ii t i t it i i (2)选主元的Doolittle 分解法
优点:对A 的要求低,只要矩阵A 可逆即可,即只要矩阵A 非奇异便可通过对A 做适当变换就可以了.
二、迭代法
1、思想：通过构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组b A =x 的解向量，通过求迭代矩阵，再通过迭代公式使解向量逐步逼近精确解。
所以迭代法的缺点也很明显，凡是迭代法都存在收敛性与
精度控制的问题。
2、迭代法的一般形式
把系数矩阵分为两个矩阵即P N A -=,
递推公式为:
),2,1,0(,)()1( =+=+k d X G X k k 谱半径：ρ（G ）=//max 1i n
i λ≤≤为迭代矩阵G 的谱半径 定理 对任意矩阵n R d ∈,上述迭代法收敛的充要条件是谱半径
小于1。
矩阵收敛的充分条件：迭代矩阵的某种范数小于1。
（1） Jacobi 迭代法
迭代矩阵:
)(1U L D G J +-=- 迭代公式:
b D x U L D x k k 1)(1)1()(--+++-= Jacobi 迭代法收敛的充要条件:迭代矩阵的谱半径小于1
Jacobi 迭代法收敛的充分条件:矩阵A 是对角线按行或列严格占优势(则A 也是非奇异矩阵)。
Jacobi 迭代法收敛的充分条件:迭代矩阵的某种范数小于1。
（2）GS 迭代法
迭代矩阵:U D L G G 1)(-+-=
迭代公式:
b L D Ux D L x k k 1)(1)1()()(--++++-= GS 迭代法收敛的充要条件:迭代矩阵的谱半径小于1
GS 迭代法收敛的充分条件:矩阵A 是对角线按行或列严格占优势(则A 也是非奇异矩阵)。
GS 迭代法收敛的充分条件：迭代矩阵的某种范数小于1。
（3）SOR 迭代法
迭代矩阵:])11([)1(1D w U D w L G S -++
-=- 迭代公式:)])11[()1(1)1(U D w
D w L x k +-+-=-+ SOR 迭代法收敛的充要条件:迭代矩阵的谱半径小于1
SOR 迭代法收敛的充分条件:矩阵A 是对角线按行或列严格占优势,则用10≤<w 的SOR 方法求解必收敛。
SOR 迭代法收敛的充分条件：如果系数矩阵A 是正定矩阵，则用20<<w 的方法求解必收敛。
总结：很多问题最后都会归结为几个方程组的求解问题，对方程组的求解大学«线性代数»中介绍的克拉默法则条件苛刻，要求前提0≠A ,而且计算量很大，所以克拉默法则是一个效率很低经济效益又很差的算法，在实际中用迭代法解方程组就是一个很现实的方法。
迭代法的解法思想就是用逐次试探方程组的解，当相邻两次的解差值很小到可接受的范围时，此时的解即为最近似解，可以当做方程组的解。