高中数学 1.1.1集合的含义与表示精讲精析 新人教A版必修1
人教版高中必修一1.1.1《集合的含义与表示》课件
新知探索
跟进练习
判断以下元素的全体能否组成集合，并说明理由：
（1） 大于3小于11的偶数；
（能）
理由：大于3小于11的偶数有4、6、8、10，其对象是确定的。
（2） 我国的小河流；
（不能）
理由：何谓“小”，没有具体的标准，组成它的元素是不确定的。
（3） 著名的数学家；
（不能）
理由：何谓“著名”，没有明确的标准，组成它的元素是不确定的。
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一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的 总体叫做集合（简称为集）；
通常用大写拉丁字母A,B,C…表示集合，用小写拉丁文字母 a,b,c…表示集合中的元素.
思考：上述6个实例中每个集合中的元素分别是什么？
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探究2 集合中元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，a是某一个具体对象， 则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只 有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不 相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元 素。 （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
再画一 条竖线
一般情势是： {x∈I | P(x}.
在竖线后写出 这个集合中的 元素所具有的 共同特
注意: 如果从上下文的关系来看， x∈R ， x∈Z 是明确的，那么
x∈R ， x∈Z 可以省略，只写其元素x.
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想一想
列举法和描述法各有什么优缺点？
列举法： 优点：一目了然，清楚可见 缺点：不容易看出元素所具有的特征性质 描述法： 优点：突出元素所具有的属性 缺点：不容易看出集合的具体元素
高中数学 1.1.1-1集合的含义及其表示精品教案 新人教A版必修1
1. 1.1 集合的含义及其表示方法（1）教案【教学目标】1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.【教学重难点】教学重点:集合的基本概念与表示方法.教学难点:选择恰当的方法表示一些简单的集合.【教学过程】一、导入新课军训前学校通知:8月15日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.二、提出问题①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(3)班全体学生组成的集合,用a表示高一(3)班的一位同学,b是高一(4)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？讨论结果：①能.②能.③我们把研究的对象统称为“元素”,那么把一些元素组成的总体叫“集合”.④a是集合A的元素,b不是集合A的元素.学生得出元素与集合的关系有两种:属于和不属于.⑤能,是珠穆朗玛峰.⑥不能.⑦确定性.给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何一个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.⑧3个.⑨互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.⑩集合M 和N 相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的元素是没有顺序的.可以发现:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.结论：1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A ，B ，C ，D ，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a ，b ，c ，d ，…2、元素与集合的关系a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ， 记作 a ∈A ，a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ， 记作 a A3、集合的中元素的三个特性：（1）.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
高中数学 1.1.1集合的含义与表示精讲精析 新人教A版必修1
1.1.1集合的含义与表示精讲部分衔接性知识1. 如果k 是整数，那么21k +表示所有 奇 数；2k 表示所 偶 数。
2. 如果a为实数，则=a,=||a ，当0a≥时，=a，当0a <时，=a-3. 一元一次方程与不等式的解法（1）一元二次方程(0)ax b a =≠的根为bx a=（2）一元二次不等式(0)axb a >≠，当0a >时，它的解为b x a > ； 当0a <时，它的解为bx a<。
4.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解法例：求方程241670x -+=的根（1）公式法当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根2b x a-±=；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根2b x a=-；当240b ac ∆=-<时，方程有没有实数根。
解：2(16)4471440∆=--⨯⨯=>，所以原方程的根为167242x +==⨯，或161242x -==⨯（2）配方法 解：241670x -+=，2744x x ∴-=，29(2)4x -=，322x -=± 所以12x =或72x =（3）因式分解法241670x -+=，(21)(27)0x x --=，210x -=或270x -=，所以12x =或72x =()}x 或例1.已知集合{|31,}M x x k k Z ==+∈，用∈与∉填空：1M ，1M -，25M ，29M -解：令311k+=，得0k Z =∈，所以1M ∈； 令311k +=-，得23k Z =∉，所以1M -∉； 令3125k +=，得8k Z =∈，所以25M ∈； 令3129k+=-，得10k Z =-∈，所以29M -∈例2.用描述法和列举法表示下列集合 （1）4的平方根组成的集合；（2）与它的倒数相等的数组成的集合； （3）不等式260x -+>的自然数根；（4）方程2210x x -+=解集解：（1）描述法表示为2{|4}x R x ∈=或2{|4,}x x x R =∈或2{|4}x x =，列举法表示为{2,2}-（2）描述法表示为1{|}x R x x ∈=或1{|,}x x x R x =∈或1{|}x x x=，列举法表示为{1,1}-（3）描述法表示为{|3,}x x x N <∈或{|3}x N x ∈<，列举法表示为{0,1,2}(4) 描述法表示为2{|210}x x x -+=，列举法表示为{1}例3.用适当的方法表示下列集合 （1）二次函数2(1)4y x =--的函数值组成的集合；（2）函数21y x =+的的自变量的值组成的数集合；（3）一次函数y x =与24y x =-的图象的交点组成的集合。
高中数学 1.1.1 集合的含义与表示知识点归纳素材 新人教A版必修1
1.1.1集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
高一数学 1.1.1 集合的含义与表示 新人教A版必修1
• 3．对给定的集合用图形(常见的有圆和矩形) 表示，图形上或图形内的点表示该集合的 元素，图形外的点表示集合外的元素，这 种表示集合的方法叫图示法，或称Venn图 示．
思考感悟 (1)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一个集
合？ 提示：虽然两个集合的代表元素不同，但实质
上它们均表示大于3的所有实数，故是同一个集合．
• ⑤集合中的元素可以是任何事物．
变式体验1 用列举法表示下列集合：
(1)绝对值小于5的整数；
(2)满足a∈Z，且
6 3－a
∈N的a构成的集
合；
(3)满足x2＋y2＝25的点(x，y)，其中x∈
N，y∈N.
解：(1)绝对值小于5的整数有－4，－3，－2，
－1,0,1,2,3,4，所以满足条件的集合为{－4，－3，－
• 提示：一般来讲，有限集(当集合中元素的 个数有限时，称为有限集；否则，当集合 中元素的个数无限时，称为无限集)宜采用 列举法，它具有直观明了的特点；无限集 或不宜一一列举的集合，宜采用描述法， 若无限集有规律，也可以用列举法．
• 自我检测
• 1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为
()
• 4．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，试用描述法表 示该集合为________．(答案不唯一，写出 一个便可)
• 解析：A中含有0,1,2,3,4五个自然数，故可 以用描述法表示为{x∈N|x<5}，也可以表示 为{x∈Z|－1<x<5}等．
• 答案：{x∈N|x<5}
• 5．将大于0不大于15且能被3整除的整数组 成的集合分别用列举法和描述法表示出 来．
• 解：列举法：{3,6,9,12,15}；
高中数学 1.1.1 集合的含义与表示教案 新人教A版必修1
1.1.1集合的含义与表示一．教学目标：l.知识与技能(1)通过三张图片，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系；(2)掌握集合中元素的三要素：确定性.互异性.无序性；(3)掌握常用数集及其专用记号；会用列举法或描述法表示集合。
2. 过程与方法(1)通过生活中的实例，让学生理解、感知事物的共性，启发、引导学生归纳出集合的含义.(2)快速阅读教材，让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感、态度与价值观本节课是高中的入门课，也是比较抽象的一节课，通过不同的图片展示，使学生感受集合其实就存在于我们的生活，化抽象为具体，进而培养学生抽象概括的能力，增强学习的积极性.二. 教学重点、难点：重点：集合的含义与表示方法.难点：集合中元素的三要素：确定性、互异性、无序性.三.学习方法与教学用具1. 学习方法：小组合作、探究式学习.2. 教学用具：多媒体.四. 教学过程(一)自学指导：1．教师首先提出问题：通过PPT图片，启发引导学生找到三张图片的共同特征，并引导学生举出一些集合的例子。
通过举例说明和互相交流.做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.2.教师帮助学生修改所总结的定义，并指出：这就是我们这一堂课所要学习的内容.3.用6分钟时间预习教材P2～P5，完成下列内容：（1）、集合：一般地，我们把统称为元素，把一些元素组成的叫做集合，简称为：。
（2）、集合元素的三要素（三特征）：、、。
（3）、元素与集合的关系：若a是集合A的元素，则记作：a A；若a不是集合A的元素，则记作：a A。
（4）、常用数集的记法：自然数集：；有理数集：；整数集：；实数集：；正实数集：；正整数集： .（二）师生互动：1.利用多媒体向学生展示三张图片，找出图片的共性；2．回归教材，利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：（1）1～20以内所有的质数；（2）我国在1991～2003年这13年内所发射的所有人造卫星；（3）某汽车厂2003年生产的所有汽车；（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；（5）所有的正方形；（6）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点；（7）方程0232=-+x x 的所有实数根；（8）新华中学2013年9月入学的高一学生的全体.教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）(简称为集)。
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(4) 小于 10 的所有自然数组成的集合；
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(5)
方程
2
x
x 的所有 实数根组成的集合；
(6) 由 1~20 以内的所有质数组成的集合。
问题 6：能否用列举法表示不等式 x-7<3 的解集 ? 由此引出描述法。
x+3<6 的解集 ?（可表示为 :x<3 ）
(III) 讲授新课
一、集合的表示方法
问题 4 中，方法 1 为图示法，方法 2 为列举法 .
1. 列举法： 把集合中的元素一一列举出来 , 写在大括号里的方法 .
说明： (1) 书写时，元素与元素之间用逗号分开；
(2) 一般不必考虑元素之间的顺序；
(3) 在表示数列之类的特殊集合时 , 通常仍按惯用的次序；
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R：全体实数的集合。 （ III ）课堂练习
1. 课本 P2、 3 中的思考题
2. 补充练习：
(1) 考察下列对象是否能形成一个集合？
① 身材高大的人
②所有的一元二次方程
③ 直角坐标平面上纵横坐标相等的点
④细长的矩形的全体
Байду номын сангаас
⑤ 比 2 大的几个数
(4){x
N∣ 3<x<4};
f. 判断下列关系式是否正确 ?
(1) 2 (4) 2
Q;
(2) N
{{2},{1}}; (5)
R;
(3) 2
菱形 { 四边形与三角形 }; (6) 2
高中数学 1.1.1集合的含义及表示 新人教A版必修1高一
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记 作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合。记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q
（5）实数集：全体实数的集合。记作R
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注： （1）自然数集与非负整数集是相同的，也 就是说，自然数集包括数0。 （ 2 ） 非 负 整 数 集 内 排 除 0 的 集 。 记 作 N* 或 N+ 。
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序 （通常用正常的顺序写出）
注：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、 C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、 q……
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课堂小练习一
1，下列条件，哪些可构成集合。 A 立方根等于自身的数 B 班级里高个子同学 C 西湖里的鱼 D 较大的数 2，若{1,2}={a,h}，则求 a, h。 3，A={平行四边形}，a为菱形，b为梯形， c为矩形，d为正方形。则不正确的是 ① a∈Ａ ② b ∈Ａ ③ c ∈Ａ ④ d ∈Ａ
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所有直角三角形的集合可以表示为：
{x | x是直角三角形}
注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖 线及左边部分。
如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数} 3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个 集合的方法。
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何时用列举法？何时用描述法？ 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用 描述法表示，只能用列举法。
如：集合 {x2,3 x2 ,5y3x,x2y2}
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或 者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
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1.1.1集合的含义与表示 精讲部分 学习目标展示 1. 元素与集合的概念
2. 集合中元素的性质
3. 集合的表示方法
4. 数学中常用数集及其记法
5. 集合的分类 衔接性知识
1. 如果k 是整数，那么21k +表示所有 奇 数；2k 表示所 偶 数。
2. 如果a 为实数，则=a , =||a ，当0a ≥时，=a ，
当0a <时，
=a -
3. 一元一次方程与不等式的解法 （1）一元二次方程(0)ax b a =≠的根为b x a
=
（2）一元二次不等式(0)ax b a >≠，
当0a >时，它的解为b x a > ； 当0a <时，它的解为b
x a
<。
4.一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的解法
例：求方程2
41670x -+=的根
（1）公式法 当2
40b
ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根
2b x a
-±=
2
40b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根2b
x a
=-；当 240b ac ∆=-<时，方程有没有实数根。
解：2(16)4471440∆
=--⨯⨯=>，所以原方程的根为
167242x +==⨯
，或161242
x -==⨯
（2）配方法 解：
241670x -+=，2744x x ∴-=
，2
9(2)4x -=，322
x -=± 所以12x =或7
2
x =
（3）因式分解法
241670x -+=，(21)(27)0x x --=，210x -=或270x -=，
所以12x =或7
2
x =
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