三角形全等之截长补短(整理)
全等三角形之截长补短法
全等三角形模型之截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.【典型例题】1．【模型分析】当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．3．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD ＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．4．阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．【小试牛刀】1．如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD+BC．（用两种方法）2．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为．3．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．4．已知：如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD上一点，且AO平分∠BAD，BO 平分∠ABC．（1）求证：AO⊥BO；（2）若AO＝3，BO＝4，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
(精品)全等三角形——截长补短法
D C B A 全等三角形——截长补短法一、知识梳理：截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。
通常来证明几条线段的数量关系。
截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……二、典型例题： 例1、如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.及时练习：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ．例2、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．NEB M A DMDCBA DOECB A及时练习：如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．及时练习：如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C .2k h+ D . h例4、以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NM DCB A ED CBAPQCBA及时练习：如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．三、课堂练习：1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。
全等三角形-截长补短法
“截长补短”的思想在几何证明中的运用【学习目标】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【重、难点】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【操作思考】（2 分钟）1、画一画：线段AB=CD+EF线段CD=AB-EF线段 AB线段 CD线段 EF（通过让学生在纸上画出线段的和和差的图形来说明线段的截长补短）导学设计教学重难点用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
教具准备三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件．导学流程一、导入新课 , 揭示目标 (1 分钟 )线段 AB=10cm线段 CD=6cm线段 EF=4cm语言；画三条线段思考两条线段和与差能否等于第三条线段。
师生对照课件解读学习目标用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【归纳小结】（ 2 分钟）截长补短法”：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
典题解析（ 3+4+6 分钟）例 1、如图，在ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线，∠C=2 ∠B. 求证： AB=AC+CD思路点拨：延长AC 到 E,使 CE=CD, 连接 DE.二、归纳小结截长补短法：“ 截长” 就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“ 补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
三．典题解析例 1、思路点拨：延长AC 到 E,使ACE=CD, 连接 DE. 或者在 AB 上截取 AG ，使 AG =AC ，连接 DG。
追问 ; 这个图形的基本图形是怎样的图形？请把它画出来。
CDB证明：在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE,∵AD 平分∠ BAC∴ ∠ EAD=∠ CADAE=AC ，∠EAD= ∠ CAD AD=AD ；∴△ AED ≌△ ACD （ SAS）∴∠ AED= ∠ C=2∠ BED=CD例 2、已知，如图 1-1 ，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ ABC.展示分配：一、三小组展示，其他小组质疑，提问。
三角形全等(旋转与截长补短专题)
向量与矩阵是高等数学中的重要概念，它们在解决几何问 题，特别是涉及旋转、平移等变换的问题时具有广泛的应 用。
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全等三角形的性质
对应边相等
对应角相等 面积相等
周长相等
判定三角形全等条件
01
02
03
04
SSS（边边边）
三边分别相等的两个三角形全 等。
SAS（边角边）
两边和它们之间的夹角分别相 等的两个三角形全等。
ASA（角边角）
两角和它们之间的夹边分别相 等的两个三角形全等。
AAS（角角边）
两角和一角的对边分别相等的 两个三角形全等。
04 复杂图形中三角形全等问 题解决方法
分析复杂图形中隐藏信息
观察图形特点
挖掘隐藏条件
注意图形的对称性、角的度数、边的 长度等，这些可能是解决问题的关键。
根据已知信息和图形特点，挖掘出可 能对解决问题有帮助的隐藏条件。
寻找潜在的全等三角形
通过观察和分析，尝试找出可能的全 等三角形，以便利用全等三角形的性 质解决问题。
应注意准确理解和运用各种判定定理。
02
旋转操作中的误区
在运用旋转证明三角形全等时，学生可能忽略旋转前后的图形关系，导
致证明失败。应注意保持旋转前后的图形对应关系。
03
截长补短法的使用不当
学生可能在不适当的场合使用截长补短法，或者在使用时未能正确构造
出全等三角形。应注意分析问题的具体条件，合理运用截长补短法。
截取法
通过截取线段，使得两个三角形在对应边上相等。例如，在证明两三角形全等 时，可以截取其中一个三角形的一条边，使得这条边与另一个三角形的一条边 相等。
全等三角形-截长补短法
全等三角形-截长补短法全等三角形的截长补短法，这可是初中数学里的一个重要“法宝”。
咱先来说说啥是截长补短法。
简单来讲，就是遇到证明线段之间关系的问题时，如果直接证明有困难，那就通过截取或者延长某条线段，让它们凑成新的相等线段，从而达到证明全等三角形的目的。
给大家举个例子啊。
就说有这么一道题，在三角形 ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线。
让咱们证明 AB AC ＞ BD DC 。
这时候，咱们就可以用截长补短法。
咱们先截长。
在 AB 上截取 AE ＝ AC ，连接 DE 。
因为 AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。
又因为 AD 是公共边，AE ＝ AC ，根据边角边定理，三角形 AED 就全等于三角形 ACD 啦。
这样一来，DC ＝ DE 。
那在三角形 BDE 中，因为 BE ＝ AB AE ，AE ＝ AC ，所以 BE ＝AB AC 。
又因为 BD DE ＜ BE ，而 DE ＝ DC ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。
再说说补短。
延长 AC 到 F ，使 AF ＝ AB ，连接 DF 。
同样因为AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。
还有公共边 AD ，根据边角边定理，三角形 ABD 就全等于三角形 AFD 。
这样 BD ＝ DF 。
在三角形 CDF 中，CF ＝ AF AC ，AF ＝ AB ，所以 CF ＝ AB AC 。
又因为 DF DC ＜ CF ，DF ＝ BD ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。
还记得我上学那会，刚开始学这截长补短法，那真是一头雾水。
老师在讲台上讲得眉飞色舞，我在下面听得云里雾里。
后来，老师布置了一道作业题，我愣是想了半天也没做出来。
晚上回到家，我坐在台灯下，把教材翻了又翻，笔记看了又看，还是没啥头绪。
我心里那个急啊，感觉自己像个迷路的小羊羔，怎么也找不到走出这片知识迷雾的路。
初中数学全全等三角形截长补短知识归纳总结附解析
初中数学全全等三角形截长补短知识归纳总结附解析一、全等三角形截长补短1．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，∠EAF＝12请给出证明；若不成立，请说明理由．2．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．3．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．4．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ． （1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．5．问题提出，如图1所示，等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是AB 上的任意一点，连结PA ，PB ，PC ．线段PA 、PB 、PC 满足怎样的数量关系?（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB ，∠ACB=60°，从而将CP 绕点逆时针旋转60°交PB 延长线于点M ，从而证明△PAC ≌△MBC ，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA 、PB 、PC 的数量关系是 ； （自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，①PC 与PA ，PB 有怎样的数量关系?请说明理由：②PC+PD 与PA ，PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE 与PA+PB 的数量关系是 ．（直接写出结果）6．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．7．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 均为中点，连接AF 、DE 交于点P ，连接PC ，证明：2PE PF PC +=．8．如图，在等边△ABC 中，BD ＝CE ，连接AD 、BE 交于点F ． （1）求∠AFE 的度数； （2）求证：AC•DF ＝BD•BF ；（3）连接FC ，若CF ⊥AD 时，求证：BD ＝12DC ．9．如图1，在正方形ABCD 中，点P 为AD 延长线上一点，连接AC 、CP ，过点C 作CF ⊥CP 交于C ，交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ． （1）若AP=78AC ，BC=4，求S △ACP ； （2）若CP ﹣BM=2FN ，求证：BC=MC ；（3）如图2，在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且A B≠BC ，AC=AP ，取CP 中点E ，连接EB ，交AC 于点O ，猜想：∠AOB 与∠ABM 之间有何数量关系？请说明理由．10．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析． 【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题． 【详解】 （1）EF ＝BE +DF ， 理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ， 在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ； 故答案为：EF ＝BE +DF ． （2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG ， 在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ， 在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF＝BE+DF．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE≌△CBM（AAS），∴CE=BM=BD，由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=FE，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD．故答案为：HG=CF+BD．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．3．（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解题；（2）延长FD到点G，使DG=BE．连结AG，即可证明ABE≌ADG，可得AE=AG，再证明AEF≌AGF，可得EF=FG，即可解题；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ， 在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ； 故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ， ∴∠EAF ＝∠GAF ，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°， ∴∠EOF 12=∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝2×（45+60）＝210（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AGF 是解题的关键． 4．（1）见解析；（2）EF AE BF =+；（3）222MN EN FM =+，见解析【分析】（1）连接AB ,通过90POQ ∠=，OA OB =得到AOB 为等腰直角三角形，进而得到45OAB OBA ∠=∠=，根据过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ，可推出45CBA ∠=，45BAC ∠=，最后通过证明AOB ≌ACB △，可以得出结论；（2）在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合45ECF ∠=，90ACB ∠=推导证明ECD ≌ECF △，得到ED EF =，最后等量代换线段即可求解； （3）延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ，通过证明CAD ≌CBF ，得到CD CF =，ACD BCF ∠=∠，再结合135ECF ∠=，推导证明ECD ≌ECF △，得到D CFM ∠=∠，根据D CFB ∠=∠，等量代换可知CFM CFB ∠=∠，又因为//AC OQ ，推出MCF CFB ∠=∠，进而得到MC MF =，同理可证CN EN =，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）证明：连接AB ．90POQ ∠=，OA OB =，∴AOB 为等腰直角三角形，∴45OAB OBA ∠=∠=，又//BC OP ，且90POQ ∠=，∴BC OQ ⊥，∴90CBF ∠=，∴45CBA ∠=，同理，45BAC ∠=，在AOB 与ACB △中OAB CAB AB ABOBA CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AOB ≌ACB △()ASA ，∴90AOB ACB ∠=∠=，OA OB AC BC ===；（2）如图1，在射线AP 上取点D ，使AD BF =，连接CD ．在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，45ECF ∠=，90ACB ∠=，∴45ACE BCF ∠+∠=，∴45ACE ACD ECD ∠+∠=∠=，∴ECD ECF ∠=∠，在ECD 与ECF △中CD CF ECD ECF CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴ED EF =，又ED AD AE BF AE =+=+，∴EF AE BF =+． （3）222MN EN FM =+．证明如下：如图2，延长AO 到点D ，使得AD BF =，连接CD ．∴90CAD CBF ∠=∠=，在CAD 与CBF 中CA CB CAD CBF AD BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD ≌CBF ()SAS ，∴CD CF =，ACD BCF ∠=∠，90ACD DCB ∠+∠=，∴90BCF DCB DCF ∠+∠==∠，∴90FCD BCA ∠=∠=，135ECF ∠=，∴36090135135ECD ∠=--=，∴ECF ECD ∠=∠，在ECD 与ECF △中EC EC ECD ECF CD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ECD ≌ECF △()SAS ，∴D CFM ∠=∠， CAD ≌CBF ，∴D CFB ∠=∠，∴CFM CFB ∠=∠，//AC OQ ，∴MCF CFB ∠=∠，∴CFM MCF ∠=∠，∴MC MF =，同理可证：CN EN =，∴在Rt MCN △中，由勾股定理得：22222MN CN CM EN FM =+=+．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键．5．【尝试解决】PA+PB=PC ；【自主探索】①PC PA =；理由见解析；②1)()PC PD PA PB +=+；【灵活应用】2)()PC PD PE PA PB ++=+．【分析】尝试解决：利用旋转性质证明△PAC ≌△MBC ，得到PA=BM ，得到PM 等于PB 与PA 的和，再证明△PCM 是等边三角形，得到PM 等于PC ，即可得到结果；自主探索：①在PC 上截取QC=PA ，证出△CBQ 全等于△ABP ，得到△PBQ 是等腰直角三角形，PQ 等于PB 倍，即可得到结果；②同①方法，即可得到PD 与PA 和PB 的关系，即可求出PC+PD 与PA 和PB 的关系； 灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC 与PA 和PB 的关系，再用同样的方法证明PE 与PA 和PB 的关系，构造△CDM 全等于△CBP ，得到PD 与PC 的关系，进一步得到PD 与PA 和PB 的关系，最终求出PD+PE+PC 的和即可得到与PA 和PB 的关系．【详解】尝试解决：PA+PB=PC ；证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，∴∠ACP=∠MCB ，又∵CP=CM ，AC=MC ，∴△ACP ≌△BCM ，所以PA=BM ，∠CBM=∠CAP ，∵四边形APBC 内接于圆O ，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴∠CBM+∠CBP=180° ，∴P 、B 、M 三点共线，∴△PCM 是等边三角形，∴PM=PC ，∴PC=PM=PB+BM=PB+PA ；自主探索：①PC 与PA 、PB 的数量关系为2PC PA PB =+；理由：截取CQ=PA ，，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=AB ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵PA=CQ ，∠BCQ=BAP ，BC=AB∴△BCQ ≌△BAP ，∴∠CBQ=∠ABP ，BQ=BP ， ∵∠CBQ+∠ABQ=90°，∴90ABP ABQ ∠+∠=︒，∴△PBQ 是等腰直角三角形，∴2PB ，∴2PC CQ PQ PA PB =+=+；②21)()PC PD PA PB +=+证明：在PD 上截取DH=PB ，∵DH=PB ，∠ADH=∠ABP ，AD=AB∴△ADH ≌△ABP∴∠DAH=∠BAP ，AH=AP ，∵∠DAH+∠HAP=90°， ∴∠BAP+∠HAP=90°，∴△HAP 是等腰直角三角形，∴2，∴2PA ，∴21)()PC PD PA PB +=+．灵活应用：52)()PC PD PE PA PB ++=+．证明：在PC 上截取FC=PA ，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴BC=AB=CD=DE=AE ，∠ABC=∠EAB=108°，∵PA=CF ，AB=BC ，∠FCB=∠BAP ，∴△BAP ≌△BCF ，∴BF=PB ，∠CBF=∠ABP ，∵∠CBF+∠FBA=108°，∴∠ABP+∠FBA=108°，∴△FBP 是顶角为108°的等腰三角形，∴15+PB ， ∴15+PB+PA ， 同理可证15+PA+PB ， 延长PD 至点M 使DM=PB ，∵∠MDC+∠CDP=180°，∠CDP+∠PBC=180°，∴∠CDM=∠CBP又∵CD=BC ，∴△CDM ≌△CBP∴CM=CP ，∠MCD=∠BCP ，又∵∠PCB+∠PCD=108°，∴∠MCD+∠PCD=108°，∴△MCP 是顶角108°的等腰三角形，∴PM=152+PC ， ∴15+PC-PB ， ∴PC+PD+PE 15+15+35+15+PB+PA ）+152+PA=()()2525PA PB +++=()()25PA PB ++ 【点睛】 本题考查旋转性质、圆的有关性质、圆内接四边形、正五边形有关性质、三角形全等的相关性质和判定，综合性强，难度较大是一道好题，属中考压轴题型．6．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．见解析延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，先证明()ADF DCE SAS △≌△，可得AFD DEC ∠=∠，即CFP CEN ∠=∠，再通过证明()CEN CFP SAS △≌△，可得CN CP =，ECN PCF ∠=∠，即可证明NCP 是等腰直角三角形，即2PN PE NE PC =+=，从而得证2PE PF PC +=．【详解】证明：如图，延长DE 至N ，使得EN PF =，连接CN ，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，CE DF ∴=，在ADF 和DCE 中，,90,,AD CD ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ADF DCE SAS ∴△≌△，AFD DEC ∴∠=∠，CFP CEN ∴∠=∠，在CEN 和CFP 中，,,,CE CF CEN CFP EN PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEN CFP SAS ∴△≌△，CN CP ∴=，ECN PCF ∠=∠，90PCF BCP ∠+∠=︒，90ECN BCP NCP ∴∠+∠=∠=︒，NCP ∴△是等腰直角三角形，2PN PE NE PC ∴=+=．即2PE PF PC +=．本题考查了正方形的性质和全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．8．（1）60°；（2）证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）证明△ABD ≌△BCE （SAS ），得出∠BAD ＝∠CBE ，则∠BFD ＝∠AFE ＝∠ABC ＝60°； （2）证明△ADB ∽△BDF ，得出=AB BD BF DF ，由AB ＝AC 可得出结论； （3）延长BE 至H ，使FH ＝AF ，连接AH ，CH ，证明△BAF ≌△CAH （SAS ），得出∠ABF ＝∠ACH ，CH ＝BF ，可证明AF ∥CH ，得出1=2BF BD FH CD =，进而即可得出答案． 【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ＝60°，在△ABD 和△BCE 中， ABD BC AB BC BD CE E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩＝，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∵∠ADC ＝∠CBE+∠BFD ＝∠BAD+∠ABC ，∴∠BFD ＝∠AFE ＝∠ABC ＝60°；（2）证明：由（1）知∠BAD ＝∠DBF ，又∵∠ADB ＝∠BDF ，∴△ADB ∽△BDF ，∴=AB BD BF DF， 又AB ＝AC ， ∴=AC BD BF DF， ∴AC•DF ＝BD•BF ；（3）证明：延长BE 至H ，使FH ＝AF ，连接AH ，CH ，由（1）知∠AFE ＝60°，∠BAD ＝∠CBE ，∴△AFH 是等边三角形，∴∠FAH ＝60°，AF ＝AH ，∴∠BAC ＝∠FAH ＝60°，∴∠BAC ﹣∠CAD ＝∠FAH ﹣∠CAD ，即∠BAF ＝∠CAH ，在△BAF 和△CAH 中，BAF CA AB AC AF AH H =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩＝,∴△BAF ≌△CAH （SAS ），∴∠ABF ＝∠ACH ，CH ＝BF ，又∵∠ABC ＝∠BAC ，∠BAD ＝∠CBE ，∴∠ABC ﹣∠CBE ＝∠BAC ﹣∠BAD ，即∠ABF ＝∠CAF ，∴∠ACH ＝∠CAF ，∴AF ∥CH ，∵∠AFC ＝90°，∠AFE ＝60°，∴CF ⊥CH ，∠CFH ＝30°，∴FH ＝2CH ，∴FH ＝2BF ，∵FD ∥CH ， ∴1=2BF BD FH CD =， ∴BD ＝12DC ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法．9．（1）；（2）证明见解析；（3）∠AOB=3∠ABM ，理由见解析．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC ，得出AP ，即可求出S △ACP ；（2）在CF 上截取NG=FN ，连接BG ，则CF ﹣CG=2FN ，证出∠BCF=∠DCP ，由ASA 证明△BCF ≌△DCP ，得出CF=CP ，证出CG=BM ，由SAS 证明△ABM ≌△BCG ，得出∠AMB=∠BGC ，因此∠BMC=∠BGF ，由线段垂直平分线的性质得出BF=BG ，得出∠BFG=∠BGF ，因此∠BMC=∠CBM ，即可得出结论；（3）连接AE ，先证出∠BCA=2∠PAE ，再证明A 、D 、E 、C 四点共圆，由圆周角定理得出∠DCP=∠PAE ，得出∠BCF=∠PAE ，证出∠BCA=2∠ABM ，然后由三角形的外角性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形ABC是正方形，∴AD∥BC，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，∴，∴AP=78AC=78，∴S△ACP=12AP×CD=12×2；（2）在CF上截取NG=FN，连接BG，如图1所示：则CF﹣CG=2FN，∵CF⊥CP，∴∠PCF=90°，∴∠BCF=∠DCP，在△BCF和△DCP中，ABC CDP BC DCBCF DCP∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCF≌△DCP（ASA），∴CF=CP，∵CP﹣BM=2FN，∴CG=BM，∵∠ABC=90°，BM⊥CF，∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，在△ABM和△BCG中，AB BCABI CBG BM CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△BCG（SAS），∴∠AMB=∠BGC，∴∠BMC=∠BGF，∵GN=FN，BM⊥CF，∴BF=BG，∴∠BFG=∠BGF，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC；（3）∠AOB=3∠ABM；理由如下：连接AE，如图2所示：∵AC=AP，E是CP的中点，∴AE⊥CP，∠PAE=∠CAE，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠PAC=2∠PAE，∵CF⊥CP，∴∠PCF=90°，∴∠BCF=∠DCP，∵∠ADC=∠AEC=90°，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠DCP=∠PAE，∴∠BCF=∠PAE，又∵∠ABM=∠BCF，∴∠ABM=∠BCF=∠PAE，∴∠BCA=2∠ABM，∵∠AOB=∠BCF+∠BCA，∴∠AOB=3∠ABM．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．10．见解析【分析】在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．则只需证明CD＝CE即可．结合角度证明∠CDE＝∠CED．【详解】证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD1∠ABC．2在△ABD和△EBD中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ） ∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ． 又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°． ∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°． ∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB ＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB ＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE ＝∠DEC ．∴CD ＝CE ．∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．。
三角形全等之截长补短 (整理)
三角形全等之截长补短 (整理)三角形全等之截长补短一、知识点概述截长补短是指在几何题目中，当出现线段和的情况时，可以考虑通过截取一段线段并加上一段等于原线段的线段，将原问题转化为线段等量的问题。
二、例题讲解1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．证明：可以通过截长法和补短法两种方法证明。
截长法：在AC上截取AF=AB，连接DF。
在△ABD和△AFD中，根据SAS准则可以得到△ABD≌△AFD，进而得到∠B=∠AFD，BD=FD。
又因为∠B=2∠C，所以∠AFD=2∠C。
因为∠AFD是△DFC的一个外角，所以∠AFD=∠C+∠XXX。
因为∠1=∠2，所以∠XXX∠C，进而得到∠AFD=2∠C=∠B。
因此，根据三角形内角和定理，可以得到∠A=180°-∠B-∠C=∠AFD+∠XXX∠C=2∠C+∠C+∠C=4∠C。
在△ABC中，∠B=2∠C，所以∠A=60°。
在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC （AAS），进而得到AE=AC。
因此，AC=AB+BD。
补短法：延长AB到E，使BE=BD，连接DE。
因为BE=BD，所以∠XXX∠BDE。
因为∠ABD是△XXX的一个外角，所以∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E。
因为∠ABD=2∠C，所以∠XXX∠C。
在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），进而得到AE=AC。
因此，XXX。
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：XXX．证明：在△ADE和△BCE中，因为∠A=∠B=90°，所以AD=BC。
因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠AED=∠DEC，∠XXX∠XXX。
因为∠AED+∠BCE=180°，所以∠DEC+∠CDE=180°。
第08讲全等三角形中“截长补短”模型
第08讲全等三角形中“截长补短”模型（核心考点讲与练）【基础知识】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【考点剖析】1、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD解析：在AB上取一点E,使AE=AC,连接DE,∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD∴△ACD≌△AED∴CD=DE,∠C=∠3∵∠C=2∠B∴∠3=2∠B=∠4+∠B∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE∵AB=AE+BE∴AB=AC+CD2、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,∵CE⊥AB∴CF=CB∠CFB=∠B∵∠AFC+∠C FB=180°，∠D+∠B=180°∴∠D=∠AFC∵AC平分∠BAD即∠DAC=∠FAC在△ACD和△ACF中∠D=∠AFC∠DAC=∠FACAC=AC∴ACD≌△ACF（AAS）∴AD=AF∴AE=AF+EF=AD+BE3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF .∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠FBO .∴△EBO ≌△FBO .∴∠EOB ＝∠FOB .∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝120°.∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°.∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC ＝60°.∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCO ＝∠FCO .∴△DCO ≌△FCO .∴CD ＝CF .∴BC ＝BF ＋CF ＝BE ＋CD .4．如图，AD //BC ，DC ⊥AD ，AE 平分∠BAD ，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由．解：AB ＝AD ＋BC .理由：作EF ⊥AB 于F ，连接BE .∵AE 平分∠BAD ，DC ⊥AD ，EF ⊥AB ，∴EF ＝DE .∵DE ＝CE ，∴EC ＝EF .∴Rt △BFE ≌Rt △BCE (HL)．∴BF ＝BC同理可证：AF ＝AD .∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB ，即AB ＝AD ＋BC . 5．如图，已知DE ＝AE ，点E 在BC 上，AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，请问线段AB ，CD 和线段BC 有何大小关系？并说明理由．解：线段AB ，CD 和线段BC 的关系是：BC ＝AB ＋CD .理由：在△DCE 中，∠EDC ＋∠DEC ＝90°，∵∠AEB ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEB ＝∠EDC ，又∵ED ＝AE ，∠ABE ＝∠ECD ＝90°，∴△ABE ≌△ECD (AAS)，∴AB ＝EC ，BE ＝CD ，∴BC ＝BE ＋EC ＝CD ＋AB .【过关检测】1．（2021·辽宁大连·八年级期中）如图，ABC V 为等边三角形，若()060DBC DAC a a Ð=Ð=°<<°，则BCD Ð=__________（用含a 的式子表示）．【答案】120a°-【分析】在BD 上截取BE =AD ，连结CE ，可证得BEC ADC @△△ ，从而得到CE =CD ，∠DCE =∠ACB =60°，从而得到DCE V 是等边三角形，进而得到∠BDC =60°，则有60B CE a Ð=°-，即可求解．【详解】解：如图，在BD 上截取BE =AD ，连结CE ，∵ABC V 为等边三角形，∴BC =AC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，∵a Ð=Ð=DBC DAC ，BE =AD ，∴BEC ADC @△△ ，∴CE =CD ，∠BCE =∠ACD ，∴∠BCE +∠ACE =∠ACD +∠ACE ，∴∠DCE =∠ACB =60°，∵CE =CD ，∴DCE V 是等边三角形，∴∠BDC =60°，∴18060120BCD a a Ð=°-°-=°-．故答案为：120a°-【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2.（2019·浙江嘉兴市·八年级期中）（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，进而可得线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是 ．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．解答：（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD °=ìïÐ=Ð=íï=î，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由如下：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ．【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3.（2020·全国八年级单元测试）在△ABC 中，∠ACB=2∠B ，（1）如图①，当∠C=90°，AD 为∠ABC 的角平分线时，在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，易证AB=AC+CD ．请证明AB=AC+CD ；（2）①如图②，当∠C ≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不要求证明；②如图③，当∠C ≠90°，AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）①AB=AC+CD ；②AC+AB=CD ，证明见解析．【分析】（1）首先得出△AED ≌△ACD （SAS ），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD ，进而得出答案；（2）①首先得出△AED ≌△ACD （SAS ），即可得出∠B=∠BDE ，求出BE=DE=CD ，进而得出答案；②首先得出△AED ≌△ACD （SAS ），即可得出∠B=∠EDC ，求出BE=DE=CD ，进而得出答案．（1）证明：∵AD 为∠ABC 的角平分线，∴∠EAD=∠CAD ，在△AED 和△ACD 中，∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，∴△AED ≌△ACD （SAS ），∴ED=CD ，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（3）①AB=AC+CD．理由如下：在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由如下：在射线BA上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴设∠B=x，则∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED≌△ACD是解题关键．4．（2020·山东青岛·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB ＝AC ＝AD ，∴△ABD 是等腰直角三角形；（2）在BE 上取点F ，使BF ＝CE ，连接AF ，∵线段AC 与AD 关于直线AP 对称，∴∠ACE ＝∠ADE ，AD ＝AC ，∵AD ＝AC ＝AB ，∴∠ADB ＝∠ABD=∠ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABFCE BF =ìïÐ=Ðíï=î∴△ABF ≌△ACE （SAS ），∴AF ＝AE ，∵AD ＝AB ，∴∠D ＝∠ABD ，又∠CAE ＝∠DAE ，∴()()111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°-Ð=°，∴在△AFE 中，AF ＝AE ，∠AEF ＝60°，∴△AFE 是等边三角形，∴AF ＝FE ，∴BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．5．（2021·广东·珠海市九洲中学八年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC的角平分线，交BC 于点D ，过D 作DE ⊥BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD ＝DF ．（1）求证：AC ＝AE ；（2）若AB ＝7.4，AF ＝1.4，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）证明△ACD ≌△AED （AAS ），即可得出结论；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证△FAD ≌△MAD （SAS ），得FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，再证Rt △MDE ≌Rt △BDE （HL ），得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC =∠DAE ，∵DE ⊥BA ，∴∠DEA =∠DEB =90°，∵∠C =90°，∴∠C =∠DEA =90°，在△ACD 和△AED 中，C DEA DAC DAE AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC =AE ；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在△FAD 和△MAD 中，AF AM DAF DAM AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△FAD ≌△MAD （SAS ），∴FD =MD ，∠ADF =∠ADM，∵BD =DF ，∴BD =MD ，在Rt △MDE 和Rt △BDE 中，MD BD DE DE=ìí=î，∴Rt △MDE ≌Rt △BDE （HL ），∴ME =BE ，∵AF =AM ，且AF =1.4，∴AM =1.4，∵AB =7.4，∴MB =AB -AM =7.4-1.4=6，∴BE ＝12BM ＝3，即BE 的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD ≌△MAD 和Rt △MDE ≌Rt △BDE 是解题的关键．6．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．【分析】如图，在AB 上截取,AH AD =证明,ADE AHE V V ≌再证明,HBE CBE V V ≌可得,BC BH = 从而可得结论.【详解】证明：如图，在AB 上截取,AH AD =AE ∵平分,DAB Ð,DAE HAE \Ð=Ð,AE AE =Q,ADE AHE \V V ≌,ADE AHE \Ð=Ð//,AD BC Q180,ADE BCE \Ð+Ð=°180,AHE BHE Ð+Ð=°Q,BCE BHE \Ð=ÐBE Q 平分,ABC Ð,ABE CBE \Ð=Ð,BE BE =Q,HBE CBE \V V ≌,BC BH \=,AB AH HB =+Q.AB AD BC \=+【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.7．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）八年级期中）在ABC V 中，BE ，CD 为ABC V 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A Ð=°+Ð；（2）已知60A Ð=°．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长；②如图2，若BF AC =，求AEB Ð的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出1902FBC FCB A Ð+Ð=°-Ð的度数，再由三角形内角和定理可求出BFC Ð的度数，（2）在BC 上取一点G 使BG=BD ，构造BFG BFD @V △（SAS ），再证明()FEC FGC ASA @V V ，即可得BC BD CE =+，由此求出答案；（3）延长BA 到P ，使AP=FC ，构造BFC CAP @V △（SAS ），得PC=BC ，12P BCF ACB Ð=Ð=Ð，再由三角形内角和可求40ABC Ð=°，80ACB Ð=°，进而可得180()100AEB ABE A Ð=°-Ð+Ð=°．【详解】解：（1）BE Q 、CD 分别是ABC Ð与ACB Ð的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A \Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，1180()180(90)2BFC FBC FCB A \Ð=°-Ð+Ð=°-°-Ð，1902BFC A \Ð=°+Ð，（2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A Ð=°+Ð，60BAC Ð=°Q ，120BFC \Ð=°，∴18060BFD EFC BFC Ð=Ð=°-Ð=°，在BFG V 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =ìïÐ=Ðíï=î，∴BFG BFD @V △（SAS ）∴BFD BFG Ð=Ð，∴60BFD BFG Ð=Ð=°，∴12060CFG BFG Ð=°-Ð=°，∴60CFG CFE Ð=Ð=°在FEC V 与FGC △中，CFE CFG CF CFECF GCF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()FEC FGC ASA \@V V ，CE CG \=，BC BG CG =+Q ，BC BD CE \=+；∵4BD =， 6.5BC =，∴ 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC ，60BAC Ð=°Q，∴180120PAC BAC Ð=°-Ð=°，在BFC △与CAP V 中，120BF AC BFC CAP CF PA =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴BFC CAP @V △（SAS ）∴P BCF Ð=Ð，BC PC =，∴P ABC Ð=Ð，又∵12P BCF ACB Ð=Ð=Ð，∴2ACB ABC Ð=Ð，又∵180ACB ABC A Ð+Ð+Ð=°，∴360180ABC Ð+°=°，∴40ABC Ð=°，80ACB Ð=°，∴1202ABE ABC Ð=Ð=°，180()180(2060)100AEB ABE A Ð=°-Ð+Ð=°-°+°=°【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．8．（2021·福建省福州第十六中学八年级期中）如图，△ABC 为等边三角形，直线l 过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝60°，求证：△AEC ≌△CDB ；（2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG +BD ＝CF ；（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为 ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF =EF -BD ．【分析】（1）先证明∠ACE =∠CBD ，即可利用AAS 证明△AEC ≌△CDB ；（2）在直线l 上位于C 点左侧去一点E ，使得∠AEC =60°，连接AE ，由（1）可知△AEC ≌△CDB ，CE =BD ，然后证明△FAE ≌△HFG 得到GH =EF ，则CF =EF +CE =GH +BD 即HG +BD =CF ；（3）在直线l 上位于C 点右侧取一点E 使得∠AED =60°，连接AE ，在直线l 上位于D 点左侧取一点M 使得BM =BD ，设AB 与直线l 交于N ，先证明△BDM 是等边三角形，得到∠DBM =∠DMB =60°，然后证明∠ACE =∠ABD =∠CBM ，即可利用AAS 证明△AEC ≌△CMB 得到CE =BM =BD ；最后证明△AEF ≌△FGH 得到HG =EF ，则EF =CE +CF =CF +BD 即CF =EF -BD ．【详解】解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠ACB =60°，∴∠ACE +∠BCD =180°-∠ACB =120°，∵∠BDC =60°，∴∠BCD +∠CBD =180°-∠BDC =120°，∴∠ACE =∠CBD ，在△AEC 和△CDB 中，===60ACE CBD AEC CDB AC CB ÐÐìïÐÐíï=îo ，∴△AEC ≌△CDB （AAS）（2）如图所示，在直线l 上位于C 点左侧取一点E ，使得∠AEC =60°，连接AE ，由（1）可知△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，∵∠ACE =60°，∴∠AEF =120°，∴∠AEF =∠AFH =120°，∴∠AFE +∠FAE =180°-∠AEF =60°，∠AFE +∠HFG =180°-∠AFH =60°，∴∠FAE =∠HFG ，在△FAE 和△HFG 中，120FAE HFG AEF FGH AF FH Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=îo ，∴△FAE ≌△HFG （AAS ），∴GH =EF ，∴CF =EF +CE =GH +BD 即HG +BD =CF ；（3）如图所示，在直线l 上位于C 点右侧取一点E 使得∠AED =60°，连接AE ，在直线l 上位于D 点左侧取一点M 使得BM =BD ，设AB 与直线l 交于N∵∠BDC =60°，BM =BD ，∴△BDM 是等边三角形，∴∠DBM =∠DMB =60°，∵三角形ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠BAC =60°，AC =BC∴∠ABM +∠CBM =∠ABM +∠ABD，∴∠ABD =∠CBM ，∵∠BAC =∠BDC =60°，∠ANE =∠DNB ，∴∠ACE =∠ABD =∠CBM ，∵∠CMB =180°-∠DMB =120°，∠AEC =180°-∠AED =120°，∴∠CMB =∠AEC ，在△AEC 和△CMB 中，120ACE CBM AEC CMB AC CB Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=îo ，∴△AEC ≌△CMB （AAS ），∴CE =BM =BD ；∵∠AFH =120°，∴∠AFC +∠GFH =60°，∵∠GFH +∠FHG =180°-∠HGF =60°，∴∠AFC =∠FHG ，在△AEF 和△FGH 中，120AFE FHG AEF FGH AF FH Ð=ÐìïÐ=Ð=íï=îo ，∴△AEF ≌△FGH （AAS ），∴HG =EF ，∴EF =CE +CF =CF +BD 即CF =EF -BD ．故答案为：CF =EF -BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．9.（2021·云南昆明·八年级期中）阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在V ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 平分∠ACB ，AD ＝2.2，AC ＝3.6，求BC 的长．【思考引导】因为CD 平分∠ACB ，所以可在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．这样很容易得到V DEC ≌V DAC ，经过推理能使问题得到解决（如图2）．【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知V ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，BD 平分∠ABC ，BD ＝2.3，BC ＝2．求AD 的长．【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD ≌△ECD ，得到AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，由于∠A ＝2∠B ，推出∠DEC ＝2∠B ，等量代换得到∠B ＝∠EDB ，得到△BDE 是等腰三角形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．10．（2022·广东东莞·八年级期末）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F分∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝12（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝1∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证2明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并＝12证明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EF＝BE﹣FD，见解析【分析】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG ＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论；（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答；（3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答．【详解】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，在△ABG 和△ADF 中，90AB AD ABG D BG DF °=ìïÐ=Ð=íï=î，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠DAF +∠BAE ＝∠EAF ，∴∠GAE ＝∠BAG +∠BAE ＝∠DAF +∠BAE ＝∠EAF ，在△GAE 和△FAE 中，AG AF GAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△GAE ≌△FAE （SAS ），∴EF ＝EG ，∵EG ＝BG +BE ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +FD ，故答案为：EF ＝BE +FD ；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D ＝180°，∠ABC +∠1＝180°，∴∠1＝∠D ，在△ABM 和△ADF 中，1AB AD D BM DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AM ＝AF ，∠3＝∠2，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠2+∠4＝∠EAF ，∴∠EAM ＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF ，在△MAE 和△FAE 中，AM AF MAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△MAE ≌△FAE （SAS ），∴EF ＝EM ，∵EM ＝BM +BE ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +FD ；（3）（1）中的结论不成立，EF ＝BE ﹣FD ，理由如下：如图3，在EB 上截取BH ＝DF ，连接AH ，同（2）中证法可得，△ABH ≌△ADF ，∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF ，∴∠HAE ＝∠FAE ，在△HAE 和△FAE 中，AH AF HAE FAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△HAE ≌△FAE （SAS），EF EH\=∵EH ＝BE ﹣BH ＝BE ﹣DF ，∴EF ＝BE ﹣FD ．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．11．（2022·四川南充·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC Ð，180A C Ð+Ð=°．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC Ð=°时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C Ð+Ð=°，DA DC =，过点D 作DE BC ^，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【分析】（1）方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，证明ΔΔPAC BAD ≌，可得PC BD =，即PC BP BC AB BC=+=+（3）连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，证明ΔΔDFA DEC ≌，RtΔRtΔBDF BDE ≌，进而根据2BC BE CE BA AF CE BA CE =+=++=+即可得出结论．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD Q 平分ABC Ð，ABD CBD \Ð=Ð．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔABD MBD \≌，A BMD \Ð=Ð，AD MD =．180BMD CMD °Ð+Ð=Q ，180C A °Ð+Ð=．C CMD \Ð=Ð．DM DC \=，DA DC \=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD Q 平分ABC Ð，NBD CBD \Ð=Ð．在ΔNBD 和ΔCBD 中，BD BD NBD CBD BN BC =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔNBD CBD \≌．BND C \Ð=Ð，ND CD =．180NAD BAD °Ð+Ð=Q ，180C BAD °Ð+Ð=．BND NAD \Ð=Ð，DN DA \=，DA DC \=．（2）AB 、BC 、BD 之间的数量关系为：AB BC BD +=．（或者：BD CB AB -=，BD AB CB -=）．延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC °Ð=Q ．ΔADC \为等边三角形．AC AD \=，60ADC °Ð=．180BCD BAD °Ð+Ð=Q ，36018060120ABC °°°°\Ð=--=．18060PBA ABC °°\Ð=-Ð=．BP BA =Q ，ΔABP \为等边三角形．60PAB °\Ð=，AB AP =．60DAC °Ð=Q ，PAB BAC DAC BAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即PAC BAD Ð=Ð．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔPAC BAD \≌．PC BD \=，PC BP BC AB BC =+=+Q ，AB BC BD \+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，如图3所示．180BAD C °Ð+Ð=Q ，180BAD FAD °Ð+Ð=．FAD C \Ð=Ð．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ΔΔDFA DEC \≌，DF DE \=，AF CE =．在RtΔBDF 和RtΔBDE 中，BD BD DF DE =ìí=î，RtΔRtΔ\≌．BDF BDE\=，BF BE\=+=++=+，2BC BE CE BA AF CE BA CE\-=．BC BA CE2【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．。
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三角形全等之截长补短（讲义）一、知识点睛截长补短：题目中出现时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________．二、精讲精练A1. 已知：如图，在△ ABC 中，∠ 1=∠2，∠ B=2∠C．1 2求证： AC=AB+BD．CB DA1 2CB DA1 2B D C2.如图，在四边形 ABCD 中，∠ A=∠B=90°，点 E 为 AB 边上一点，且 DE 平分∠ ADC，CE 平分∠ BCD．求证： CD=AD+BC．C1 DA E B3.已知：如图，在正方形 ABCD 中， AD=AB，∠ B=∠ D=∠ BAD=90°，E，F 分别为 CD， BC 边上的点，且∠ EAF=45°，连接EF．求证： EF=BF+DE．A DE2B F CA DEB F C4.已知：如图，在△ ABC 中，∠ ABC=60°，△ ABC 的角平分线 AD，CE 交于点 O．求证： AC=AE+CD．BDEOA C (3)....BDEOA C5.已知：如图，在△ ABC 中，∠ A=90°，AB=AC，BD 平分∠ ABC，CE⊥BD 交 BD 的延长线于点E．求证： CE 1 BD． 2AEDB CAED4B C【参考答案】【知识点睛】线段间的和差倍分；把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．【精讲精练】1.补短法：证明：如图，延长 AB 到 E，使∵∠ ABD 是△ BDE 的一个外角∴∠ ABD=∠ E＋∠ BDE∵BE=BD∴∠ E=∠BDE∴∠ ABD=2∠E∵∠ ABD=2∠C B ∴∠ E=∠C 在△ ADE 和△ ADC 中E BE=BD，连接 DE．A1 2D C5E C1 2AD AD∴△ ADE≌△ ADC（AAS ）∴AE=AC∴AC=AB＋BE=AB ＋BD截长法：证明：如图，在 AC 上截取 AF=AB，连接 DF ．在△ ABD 和△ AFD 中AAB AF1 21 2F AD AD∴△ ABD≌△ AFD （SAS）B D C∴∠ B=∠AFD， BD=FD∵∠ B=2∠ C∴∠ AFD=2∠C∵∠ AFD 是△ DFC 的一个外角∴∠ AFD=∠ C +∠FDC∴∠ FDC=∠ C∴DF=FC∴BD=FC∴AC=AF+FC=AB+BD2. 证明：如图，在 CD 上截取 CF=CB．∵ CE 平分∠ CBDC ∴∠ 1=∠ 2F 12在△ CFE 和△ CBE 中 DCF CB3 41 2CE CE A E B ∴△ CFE≌△ CBE（SAS）∴∠ CFE=∠ B∵∠ B=90°∴∠ CFE=∠ DFE =90 °∵∠ A=90°∴∠ DFE=∠ A∵DE 平分∠ ADC6∴∠ 3=∠ 4在△ DEF 和△ DEA 中DFE A3 4DE DE∴△ DEF ≌△ DEA（AAS ）∴DF=AD∴CD=DF+CF=AD+BC3.证明：如图，延长 FB 到 G，使 BG=DE，连接 AG．∵∠ D=∠ABC=90° A D2∴∠ ABG=∠ D=90°1 3在△ ABG 和△ ADE 中E AB=ADABG= DBG=DE G BF C ∴△ ABG≌△ ADE（SAS）∴AG=AE，∠ 1=∠2∵∠ BAD=90°，∠ EAF=45°∴∠ 2+∠ 3=45°∴∠ 1+∠ 3=45°即∠ GAF=45°∴∠ GAF=∠ EAF在△ AGF 和△ AEF 中AG AEGAF EAFAF AF∴△ AGF≌△ AEF（SAS）∴GF=EF∵GF=BF+BG∴ EF=BF+DE4.证明：如图，在 AC 上截取 AF=AE，连接OF．∵ AD， CE 为△ ABC 的角平分线∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4 B在△ AEO 和△ AFO 中AE AF E D1 2O 75AO AO 1 6 8 42F 73A C∴△ AEO≌△ AFO（SAS）∴∠ 5=∠ 6∵∠ ABC=60°∴∠ 1+∠ 2+∠3+∠4=180 ∠B=180 60=120∴∠ 2+∠ 3=60∴∠ AOC=180° 60=120°∴∠ 5=∠ 6=∠7=∠8=60°在△ OFC 和△ ODC 中∠8 ∠7OC OC∠3 ∠4∴△ OFC≌△ ODC（ASA ）∴CF=CD∴AC=AF+FC=AE+CD5.证明：如图，延长 CE，交 BA 的延长线于点 F．∵ CE⊥ BD∴∠ BEF=∠BEC=90°F∵∠ BAC=90° A∴∠ CAF=∠ BAD=90°D E∵∠ 3=∠ 4 34 ∴∠ 1=∠ 515在△ BAD 和△ CAF 中B 2C1 5AB ACBAD CAF∴△ BAD≌△ CAF（ASA ）∴BD=CF∵BE 平分∠ ABC∴∠ 1=∠ 2在△ BEF 和△ BEC 中1 2BE BEBEFBEC∴△ BEF≌△ BEC（ASA ）∴EF=EC8∴CE= 1 CF2∴CE= 1 BD2三角形全等之截长补短每日一题1.（ 4 月 28 日）在△ ABC 中， AD⊥ BC 于 D，∠B=2∠C．求证： CD=AB+BD．AB D C2.（ 4 月 29 日）如图，在△ ABC 中， AB>AC，∠ 1=∠2，P 为AD 上任意一点，连接 BP，CP．求证： AB AC>PB PC．A12PB D C93.（4 月 30 日）已知：如图，∠ 1=∠2，P 为 BN 上一点，且PD⊥BC 于点 D，∠A+∠C=180°．求证：BD=AB+CD．NAP12B D CA D4. （ 5 月 2 日）如图，在正方形 ABCD 中， E 为 BC 边上任意一点，AF 平分∠ DAE，连接 EF．求证： AE=BE+DF ．FB E C【参考答案】1. 证明：如图，在线段DC 上截取 DE=BD，连接 AE．10A21B D E C∵AD⊥ BC∴∠ ADB=∠ ADE=90°在△ ABD 和△ AED 中AD ADADB ADEDB DE∴△ ABD≌△ AED（SAS）∴∠ B=∠1，AB=AE∵∠ B=2∠ C∴∠ 1=2∠C∵∠ 1 是△ AEC 的一个外角∴∠ 1=∠ C+∠ 2∴∠ C=∠2∴AE=CE∴CD=CE+ED=AE+BD=AB+BD（如果延长 DB 到点 F，使 BF=AB，连接 AF 也可进行证明）2. 证明：如图，在线段AB 上截取 AE=AC，连接 PE．A1 2PEB D C则AB AC=AB AE=EB在△ AEP 和△ ACP 中AE AC1 2AP AP∴△ AEP≌△ ACP（SAS）∴PE=PC11在△ PEB 中， PB PE<EB∴PB PC<EB∴AB AC>PB PC（延长 AC 到点 F，使 AF=AB，连接 PF，也可证明结论）3.证明：如图，在 BC 上截取 BE=BA，连接 PE．NAP13 42B E DC在△ ABP 和△ EBP 中BA BE1 2BP BP∴△ ABP≌△ EBP（ SAS）∴∠ A=∠3∵∠ A+∠C=180°，∠ 3+∠4=180°∴∠ 4=∠ C∵PD⊥ BC∴∠ PDE=∠ PDC=90°在△ PDE 和△ PDC 中4 CPDE PDCPD PD∴△ PDE≌△ PDC（AAS ）∴DE=DC∴BD=BE+ED=AB+CD（过点 P 作 PF⊥BA 于 F，也可进行证明）4.证明：如图，延长 EB 到点 G，使 BG=DF ，连接 AG．A D12 435FG B E C12∵四边形 ABCD 为正方形∴AB=AD，∠D=∠ABC=∠BAD=90°∴∠ ABG=∠ D=90°在△ ABG 和△ ADF 中AB ADABG ADFBG DF∴△ ABG≌△ ADF （SAS）∴∠ 1=∠ 2，∠ 5=∠ G∵AF 平分∠ DAE∴∠ 1=∠ 3∵∠ 1+∠ 5=90°∴∠ 3+∠ G=90°∵∠ 1+∠ 3+∠4=90°∴∠ 2+∠ 3+∠4=90°∴∠ 2+∠ 4=∠G∴AE=EG∵EG=BE+BG∴AE=BE+DF三角形全等之截长补短（随堂测试）6.已知：如图，在四边形 ABCD中， BC>AB， AD=DC，∠ C=60°，BD 平分∠ABC．求证： BC=AB+AD．ADB C13【参考答案】1.证明略提示：在 BC 上截取 BE=AB，证明△ ABD≌△ EBD，再证明CE=AD．三角形全等之截长补短（作业）1.如图，在△ ABC 中，∠ BAC=60°，∠ ABC=80°， AD 是∠ BAC 的平分线．求证： AC=AB+BD．AB D CAB D CA14B D C....2.如图， AC 平分∠ BAD，CE⊥AB 于 E，∠B+∠D=180°．求证： AE=AD+BE．D AD A CE B CE B153.如图，在△ ABC 中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD 是∠ ABC 的平分线，延长 BD 至 E，使DE=AD，连接 EC．求证： BC=AB+CE．AEDB CAEDB C164.如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC，CE⊥AB 于 E，△ BDC 为等腰直角三角形，∠ BDC=90°，BD=CD，CE 与 BD 交于 F，连接AF．求证： CF=AB+AF．A DEFB CA DEFB C17【参考答案】1.证明略提示：方法一：在 AC 上截取 AE=AB，连接 DE，证明△ ABD≌△ AED，再证明 CE=DE；方法二：延长 AB 到 E，使 BE=BD，证明△ ADE≌△ ADC．2.证明略提示：在 AE 上截取 AF=AD，证明△ CDA≌△ CFA，再证明BE=FE．3.证明略提示：在 BC 上截取 BF=BA，连接 DF ，证明△ ABD≌△ FBD，再证明△ DFC≌△ DEC．4.截长法：证明：如图，在 CF 上截取 CM=BA ，连接DM ．∵△ BDC 为等腰直角三角形， BD=CD∴∠ 1=∠ DCB=45° A D∵ CE⊥ AB，∠ BDC=90°7E 8 6∴∠ CEB=∠ BDC=90° 23 F∵∠ 2=∠ 34M ∴∠ 4=∠ 5 51C 在△ ABD 和△ MCD 中BAB MC4 5BD CD∴△ ABD≌△ MCD （SAS）∴DA=DM ，∠ 6=∠ 7∵AD∥ BC∴∠ 7=∠ 1=45°∴∠ 6=45°∴∠ 8=45°∴∠ 7=∠ 8在△ ADF 和△ MDF 中DA DM78DF DF∴△ ADF ≌△ MDF （SAS）∴AF=MF∴CF=CM+MF18=AB+AF 补短法：证明：如图，延长 BA 交 CD 的延长线于点 G ． ∵△ BDC 为等腰直角三角形∴∠ GDB=∠ BDC= 90°，∠ 5=45° ∵ CE ⊥ AB∴∠ CEB=∠ BDC=90° G∵∠ 1=∠ 2 A 7 D∴∠ 3=∠ 4E 6 在△ GBD 和△ FCD 中21 F GDB FDC 3 4DB DC 5C 3B 4∴△ GBD ≌△ FCD （ASA ） ∴ BG=CF ，DG=DF ∵ AD ∥ BC ∴∠ 6=∠ 5=45° ∴∠ 7=45° ∴∠ 6=∠ 7在△ GDA 和△ FDA 中 DG DF76DA DA ∴△ GDA ≌△ FDA （SAS ） ∴ AG=AF ∵ BG=AB+AG ∴ CF=AB+AF19。