全等三角形~截长补短
全等三角形之截长补短法
全等三角形模型之截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑“截长补短法“”，构造全等三角形.（1）截长法：在较长线段中截取一段等于另两条较短线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条.即证明“短1＋短2＝长”，“截长法”是在“长”线段上截取一条和“短1”相等长度的线段，再证明剩下的部分和“短2”等长.（2）补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段.即证明“短1＋短2＝长”，“补短法”是将“短1”线段延长，延长的长度等于“短2”的长度，再证明新线段与“长”线段长度相等.【典型例题】1．【模型分析】当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明．问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB+BD＝AC．截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明CE＝BD即可．补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，证明BF＝BD即可．请结合【模型分析】证明结论．求证：AB+BD＝AC．【截长法】【补短法】2．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AB+CD．3．课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD ＝AC．求证：∠ABC＝2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD＝AC，那么AD平分∠BAC．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．4．阅读：探究线段的和差倍分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC．求证：AB+BD＝AC．证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE（2）如图2，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC．【小试牛刀】1．如图，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于D，求证：AB＝CD+BC．（用两种方法）2．如图，△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC＝16，BC＝9，则BD的长为．3．已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，请你猜想∠A的度数，并证明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度数？（3）若∠A＝100°，求证：BC＝BD+DA．4．已知：如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，O是CD上一点，且AO平分∠BAD，BO 平分∠ABC．（1）求证：AO⊥BO；（2）若AO＝3，BO＝4，求四边形ABCD的面积．5．如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
全等三角形-截长补短法
“截长补短”的思想在几何证明中的运用【学习目标】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【重、难点】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【操作思考】（2 分钟）1、画一画：线段AB=CD+EF线段CD=AB-EF线段 AB线段 CD线段 EF（通过让学生在纸上画出线段的和和差的图形来说明线段的截长补短）导学设计教学重难点用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
教具准备三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件．导学流程一、导入新课 , 揭示目标 (1 分钟 )线段 AB=10cm线段 CD=6cm线段 EF=4cm语言；画三条线段思考两条线段和与差能否等于第三条线段。
师生对照课件解读学习目标用“截长补短法”解决线段的和、差问题。
【归纳小结】（ 2 分钟）截长补短法”：“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
典题解析（ 3+4+6 分钟）例 1、如图，在ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线，∠C=2 ∠B. 求证： AB=AC+CD思路点拨：延长AC 到 E,使 CE=CD, 连接 DE.二、归纳小结截长补短法：“ 截长” 就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“ 补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。
三．典题解析例 1、思路点拨：延长AC 到 E,使ACE=CD, 连接 DE. 或者在 AB 上截取 AG ，使 AG =AC ，连接 DG。
追问 ; 这个图形的基本图形是怎样的图形？请把它画出来。
CDB证明：在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE,∵AD 平分∠ BAC∴ ∠ EAD=∠ CADAE=AC ，∠EAD= ∠ CAD AD=AD ；∴△ AED ≌△ ACD （ SAS）∴∠ AED= ∠ C=2∠ BED=CD例 2、已知，如图 1-1 ，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ ABC.展示分配：一、三小组展示，其他小组质疑，提问。
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。
截长补短法全等三角形
截长补短法全等三角形全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下，它们是完全相等的。
而截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。
在几何学中，截长补短法是一种常用的构造方法，可以用来证明两个三角形全等。
它的基本思想是通过截取和补充边长，使得两个三角形的对应边长和对应角度完全相等，从而达到全等的目的。
为了更好地理解截长补短法，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们需要证明两个三角形ABC和DEF全等，其中已知∠A=∠D，AB=DE，BC=EF。
根据截长补短法，我们可以进行如下的构造：1. 在BC的延长线上截取一段长度等于EF的线段，记为BC'。
2. 在AC'上截取一段长度等于DE的线段，记为AC。
通过以上的构造，我们可以得到以下的结论：1. 由于BC'=EF，且BC=EF，所以BC=BC'，即三角形ABC和DEF的两条边相等。
2. 由于AC=DE，且∠A=∠D，所以三角形ABC和DEF的两个角相等。
3. 由于AB=DE，所以三角形ABC和DEF的第三条边相等。
根据截长补短法，我们可以得到三角形ABC和DEF全等的结论。
除了上述的例子，截长补短法还可以应用于更复杂的情况。
例如，当我们需要证明两个三角形全等时，已知两个角度相等并且其中一条边长相等，我们可以通过截长补短法来构造第二条边，从而得到全等的结果。
截长补短法在几何学中有着广泛的应用。
它不仅可以用来证明三角形的全等，还可以用来解决各种与全等三角形相关的问题。
通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。
截长补短法是一种通过截取和补充边长的方法来构造全等三角形的技巧。
通过灵活运用截长补短法，我们可以简化证明过程，提高证明的效率。
在解决几何问题时，我们可以尝试使用截长补短法，从而更好地理解和应用全等三角形的性质。
全等三角形辅助线的做法-截长补短
全等三角形辅助线的做法一：截长补短月日姓名【知识要点】1.遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法.(1)截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；(2)补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段.2.角平分线问题的作法角平分线具有两条性质：(1)对称性，作法是在一侧的长边上截取短边；(2)角平分线上的点到角两边的距离相等，作法是从角平分线上的点向角两边作垂线段.【典型例题】例1. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.例2. 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+DC.例3. 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD. DCBADAE CB12ACD例4．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 平分∠ABC.例5．已知：△ABC 为等边三角形，AE=BD.求证：EC=DE.【考点突破】1. 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADE ，求证：AD=AB+CD.EEEDC2. 已知：CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD.3. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC.求证：△ABC是直角三角形. 4．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC. AEB D CCABAB D C1 2CBA5．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD.6．已知：四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°.求证：AC=BC ＋CD.课后作业月 日 姓 名 成 绩1. 如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
全等三角形-截长补短法
全等三角形-截长补短法全等三角形的截长补短法，这可是初中数学里的一个重要“法宝”。
咱先来说说啥是截长补短法。
简单来讲，就是遇到证明线段之间关系的问题时，如果直接证明有困难，那就通过截取或者延长某条线段，让它们凑成新的相等线段，从而达到证明全等三角形的目的。
给大家举个例子啊。
就说有这么一道题，在三角形 ABC 中，AB ＞AC ，AD 是角平分线。
让咱们证明 AB AC ＞ BD DC 。
这时候，咱们就可以用截长补短法。
咱们先截长。
在 AB 上截取 AE ＝ AC ，连接 DE 。
因为 AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。
又因为 AD 是公共边，AE ＝ AC ，根据边角边定理，三角形 AED 就全等于三角形 ACD 啦。
这样一来，DC ＝ DE 。
那在三角形 BDE 中，因为 BE ＝ AB AE ，AE ＝ AC ，所以 BE ＝AB AC 。
又因为 BD DE ＜ BE ，而 DE ＝ DC ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。
再说说补短。
延长 AC 到 F ，使 AF ＝ AB ，连接 DF 。
同样因为AD 是角平分线，所以角 BAD ＝角 CAD 。
还有公共边 AD ，根据边角边定理，三角形 ABD 就全等于三角形 AFD 。
这样 BD ＝ DF 。
在三角形 CDF 中，CF ＝ AF AC ，AF ＝ AB ，所以 CF ＝ AB AC 。
又因为 DF DC ＜ CF ，DF ＝ BD ，所以 BD DC ＜ AB AC ，也就是 AB AC ＞ BD DC 。
还记得我上学那会，刚开始学这截长补短法，那真是一头雾水。
老师在讲台上讲得眉飞色舞，我在下面听得云里雾里。
后来，老师布置了一道作业题，我愣是想了半天也没做出来。
晚上回到家，我坐在台灯下，把教材翻了又翻，笔记看了又看，还是没啥头绪。
我心里那个急啊，感觉自己像个迷路的小羊羔，怎么也找不到走出这片知识迷雾的路。
全等三角形-截长补短法
全等三角形-截长补短法全等三角形截长补短法在初中数学的几何世界里，全等三角形是一个极为重要的概念。
而在解决与全等三角形相关的问题时，有一种巧妙的方法，那就是截长补短法。
首先，我们来理解一下什么是截长补短法。
简单来说，截长就是在较长的线段上截取一段等于较短的线段；补短则是将较短的线段延长，使其与较长的线段相等。
这种方法的核心思想是通过对线段的巧妙处理，构造出全等三角形，从而解决问题。
为了更清晰地理解截长补短法，我们来看几个具体的例子。
例 1：已知在△ABC 中，∠B ＝ 2∠C，AD 平分∠BAC 交 BC 于点D。
求证：AB ＋ BD ＝ AC证明：在 AC 上截取 AE ＝ AB，连接 DE因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD ＝∠EAD又因为 AD ＝ AD，AB ＝ AE所以△ABD ≌△AED（SAS）所以 BD ＝ ED，∠B ＝∠AED因为∠AED ＝∠C ＋∠EDC，∠B ＝ 2∠C所以 2∠C ＝∠C ＋∠EDC所以∠C ＝∠EDC所以 ED ＝ EC所以 AB ＋ BD ＝ AE ＋ EC ＝ AC这就是通过截长的方法，成功构造出全等三角形，解决了问题。
再来看一个补短的例子。
例 2：在△ABC 中，AB ＞ AC，∠1 ＝∠2，P 为 AD 上任意一点。
求证：AB AC ＞ PB PC证明：延长 AC 至 E，使 AE ＝ AB，连接 PE因为 AB ＝ AE，∠1 ＝∠2，AP ＝ AP所以△ABP ≌△AEP（SAS）所以 PB ＝ PE在△PEC 中，EC ＞ PE PC因为 EC ＝ AE AC ＝ AB AC所以 AB AC ＞ PB PC通过补短，将线段之间的关系转化为三角形三边的关系，从而得出结论。
截长补短法在解决一些较为复杂的几何问题时，往往能起到意想不到的效果。
比如在一些证明线段和差关系、角的大小关系等问题中，它可以帮助我们找到解题的突破口。
然而，要熟练运用截长补短法，并非一蹴而就。
三角形全等之截长补短 (整理)
三角形全等之截长补短 (整理)三角形全等之截长补短一、知识点概述截长补短是指在几何题目中，当出现线段和的情况时，可以考虑通过截取一段线段并加上一段等于原线段的线段，将原问题转化为线段等量的问题。
二、例题讲解1.已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．证明：可以通过截长法和补短法两种方法证明。
截长法：在AC上截取AF=AB，连接DF。
在△ABD和△AFD中，根据SAS准则可以得到△ABD≌△AFD，进而得到∠B=∠AFD，BD=FD。
又因为∠B=2∠C，所以∠AFD=2∠C。
因为∠AFD是△DFC的一个外角，所以∠AFD=∠C+∠XXX。
因为∠1=∠2，所以∠XXX∠C，进而得到∠AFD=2∠C=∠B。
因此，根据三角形内角和定理，可以得到∠A=180°-∠B-∠C=∠AFD+∠XXX∠C=2∠C+∠C+∠C=4∠C。
在△ABC中，∠B=2∠C，所以∠A=60°。
在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC （AAS），进而得到AE=AC。
因此，AC=AB+BD。
补短法：延长AB到E，使BE=BD，连接DE。
因为BE=BD，所以∠XXX∠BDE。
因为∠ABD是△XXX的一个外角，所以∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E。
因为∠ABD=2∠C，所以∠XXX∠C。
在△ADE和△ADC中，因为∠E=∠C，∠1=∠2，AD=AD，所以△ADE≌△ADC（AAS），进而得到AE=AC。
因此，XXX。
2.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB边上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD．求证：XXX．证明：在△ADE和△BCE中，因为∠A=∠B=90°，所以AD=BC。
因为DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，所以∠AED=∠DEC，∠XXX∠XXX。
因为∠AED+∠BCE=180°，所以∠DEC+∠CDE=180°。
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截长补短
截长补短”是几何证明题中十分重要的方法， 通常用来证明几条线段的数量关系， 即若 题目条件或结论中含有 a b c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑
截长补短”的方法。
另外的较短线段。
补短法: ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等 于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：a b
①延长较短线段中的一条， 使延长后的线段等于较长线段, 一条较短线段。
即延长a ，得到c ,证：b c-a 。
例1.已知：如图，在 △ ABC 中，△仁△Z, △ B=2AC .求证:
1.补短法:
证明：如图，延长 AB 到E ,使BE=BD ，连接DE .
△ △ABD 是 △BDE 的一个外角
△ △ABDME + △BDE
ABE=BD △ △EMBDE
△ △ABD=2 △E
△ △ABD=2 △C
△ △EMC
在 AADE 和 AADC 中
△ △ADE △△ADC (AAS )截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段,
再设法证明较长线段的剩余线段等于 然后证明延长出来的部分等于另
AC=AB+BD
.
AD
AD
1 2
证明：如图，在 CD 上截取CF=CB .
△CE 平分△CBD
在△CFE 和 △CBE 中
△AE=AC
△AC=AB + BE=AB + BD
2.截长法:
证明：如图，在 AC 上截取AF=AB ，连接DF .
在△ABD 和△AFD 中
AB AF
AD AD
△ △ABD △△AFD ( SAS )
△ ABMAFD , BD=FD
△ △B=2 △C
△ △AFD =2 △C
△ △AFD 是^DFC 的一个外角
△ △AFD me + 舉DC
△ AFDCmC
ADF=FC
ABD=FC
△AC=AF+FC=AB+BD
例2.如图，在四边形 ABCD 中，△ A=AB=90，点
E 为AB 边上一点，且 DE 平分△ ADC ，
CE 平分△ BCD .求证：CD=AD+BC
.
CF CB
CE CE
△ △CFE △△CBE (SAS)
△ △CFEMB
△ △B=90
△ △CFEMDFE =90
△ △A=90 °
△ △DFE=AA
△DE 平分△ADC
在△DEF和△DEA中
DFE A
DE DE
△ △DEF △△DEA (AAS )
ADF=AD
△CD = DF + CF =AD + BC
例3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD =AB ,
/ B= / D= / BAD =90° E, F 分别为CD , BC 边上的点，且/ EAF=45°,连接EF.
求证：EF=BF+DE .
证明：如图，延长FB到G,使BG=DE，连接AG . △ △D=^ABC=90
△ △ABG = ^D=90
在AABG和AADE中
AB=AD
ABG= D
BG=DE
△ △ABG△△ADE ( SAS)
△AG=AE, △ 1 = △
△ △BAD=90 △EAF =45
△ △ 2+ △ 3=45
△ △ 1 = △+△2
△ △ 1 = △+△2
DB DE
△ △ABD △△AED ( SAS )
△ △B=2 △C
△ △ 1=20
△ △1是AAEC 的一个外角
△AE=CE
△CD=CE+ED=AE+BD=AB+BD
△ △ 1 + △ 3=45
即△GAF =45°
△ △GAFMEAF
在△AGF 和 AAEF 中
AG AE
GAF EAF
AF AF
△ △AGF △△AEF (SAS )
△GF=EF
△GF=BF+BG
AEF=BF+DE
例4.在△ABC 中，AD △BC 于 D , △B=2AC .求证：CD=AB+BD
.
证明：如图，在线段 DC 上截取DE=BD ，连接AE .
△AD △BC
△ △ADB = AADE=90
在 AABD 和 AAED 中 AD AD
ADB ADE
例5.如图，在△ABC 中，AB>AC , △ 1=A2, P 为AD 上任意一点，连接 BP , CP .
求证：AB-AC > PB-PC .
1.截长法：
证明：如图，在 CF 上截取CM=BA ，连接DM .
证明：如图，在线段 AB 上截取AE=AC ，连接PE .
贝U AB-AC=AB-AE=EB
在MEP 和MCP 中
AE AC
AP AP
△ △\EP^mCP (SAS)
APE=PC
在APEB 中, PB PE<EB
APB-P C<EB
△
AB-AC > PB-PC
例6.如图，在梯形ABCD 中，ADABC , CEAAB 于E , ABDC 为等腰直角三角形, ABDC=90° BD=CD ，CE 与 BD 交于 F ，连接 AF .求证：CF=AB+AF
.
△ △BDC 为等腰直角三角形，BD=CD
△ △仁△CB=45°
△CEAAB, ABDC=90°
△ △CEB=^BDC=90°
△ △ 2=A3
△ △ 4=^5
在△ABD 和△MCD 中
△ △ABD ^^MCD (SAS )
ADA=DM ，△ 6=^7 △AD^BC
△ △ ?=△ 1=45°
△ △ 6=45°
△ △ 8=45°
△ △ 7=^8
在△ADF 和△MDF 中
△ △ADF △△MDF ( SAS )
△AF=MF
△CF=CM+MF =AB+AF
补短法：
证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G . △ △BDC 为等腰直角三角形
△ △GDBMBDCrgO 。
,
△CE ^AB
△ △CEBmBDCrgO 。
△ △ 1=^2
△ △ 3=8
在△GBD 和^FCD 中
GDB FDC
DB DC
34
AB MC
BD CD
DA DM
DF DF
△ 5=45° G
△ △GBD^^FCD (ASA)
△BG=CF，DG=DF
△AD ABC
△△ 6=A 5=45°
△△ 7=45°
△△ 6=^7
在△GDA和△FDA中
DG DF
DA DA
△ △GDA^^^DA (SAS)
△AG=AF
△BG=AB+AG
△CF=AB+AF。