全等三角形作辅助线专题一(重点_截长补短法)可打印版
(word版)全等三角辅助线-半角模型-动点问题(含答案)
全等三角形典型题目合集【专题一】倍长中线与截长补短1．如图1，ABC=+，那么ACB∠有∠与ABC∠的平分线，若AB AC CD∆中，AD是BAC怎样的数量关系呢？（1）通过观察、实验提出猜想：ACB∠的数量关系，用等式表示为：．∠与ABC（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：如图2，延长AC到F，使CF CD=，连接DF．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到ACB∠与ABC∠的数量关系．想法2：在AB上取一点E，使AE AC=，连接ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到ACB∠的数量关系．∠与ABC请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中ACB∠的数量关系（一种方法即可）．∠与ABC2．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC ∆中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC EDB ∆≅∆的理由是 ．A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL（2）求得AD 的取值范围是 ．A ．68AD <<B ．68ADC ．17AD << D ．17AD【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE EF =． 求证：AC BF =．3．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且BAE CDE ∠=∠．求证：AB CD =．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB CD =，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE 到F ，使得EF DE =；（2）作CG DE ⊥于G ，BF DE ⊥于F 交DE 的延长线于F ；（3）过点C 作//CF AB 交DE 的延长线于F ．4．（1）如图，在四边形ABCD中，AB AD=，90B D∠=∠=︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且12EAF BAD ∠=∠．求证：EF BE FD=+；（2）如图，在四边形ABCD中，AB AD=，180B D∠+∠=︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB AD=，180B ADC∠+∠=︒，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且12EAF BAD∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．5．问题背景：（1）如图①：在四边形ABCD中，AB AD=，120BAD∠=︒，90B ADC∠=∠=︒，E，F 分别是BC，CD上的点，且60EAF∠=︒．探究图中线段BE，FE，FD之间的数量关系，请在右面横线上直接写出结论．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB AD=，180B ADC∠+∠=︒．E、F分别是BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．6．如图，四边形ABDC中，90D ABD∠=∠=︒，点O为BD的中点，且OA平分BAC∠．（1）求证：CO平分ACD∠；（2）求证：AB CD AC+=．7．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，AM 平分DAB ∠，求证：DM 平分ADC ∠．【专题二】半角模型1．如图正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点．（1）若45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+；（2）若该正方形ABCD 的边长为1，如果CEF ∆的周长为2．求EAF ∠的度数．2．如图，正方形ABCD ，E ，F 分别为BC 、CD 边上一点．①若45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+；②若AEF ∆绕A 点旋转，保持45EAF ∠=︒，问CEF ∆的周长是否随AEF ∆位置的变化而变化？3．已知，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，连接AF 、EF ．（1）如图1，若四边形ABCD 为正方形，且45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+；（2）如图2，若四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，12EAF BAD ∠=∠，试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．4．正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点，AH EF ⊥交EF 于点H ． ①若45EAF ∠=︒．求证：EF BE DF =+；②若5AB =，求ECF ∆的周长；③求证：AH CD =．5．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+．（1）思路梳理AB AD =，∴把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ∆，可使AB 与AD 重合． 90ADG B ∠=∠=︒，180FDG ADG ADC ∴∠=∠+∠=︒，则点F 、D 、G 共线． 根据 ，易证AFG ∆≅ ，从而得EF BE DF =+；（2）类比引申如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B ∠、D ∠都不是直角，但当B ∠与D ∠满足等量关系 时，仍有EF BE DF =+，请给出证明；（3）联想拓展如图3，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，猜想BD 、DE 、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．【专题三】动点问题1．如图，已知ABC ∆中，10AB AC cm ==，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3/cm s 的速度由点B 向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向A 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由．（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等？2．如图，在ABC ∆中，28AB AC cm ==，20BC cm =，点D 是AB 边的中点，若有一动点P 在BC 边上由点B 向点C 运动，点Q 在CA 边上由点C 向A 运动．（1）P 、Q 两点的运动速度均为3/cm s ，经过2秒后，BPD ∆与CPQ ∆是否全等，说明理由（2）若点P 的运动速度为2.5/cm s ，点Q 的运动速度为3.5/cm s ，是否存在某一时刻，使BPD CQP ∆≅∆．3．如图，已知四边形ABCD 中，10AB =厘米，8BC =厘米，12CD =厘米，B C ∠=∠，点E 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPE ∆与CQP ∆是否全等？请说明理由．（2）当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPE ∆与CQP ∆全等．4．如图，16AB AC cm ==，10BC cm =，点D 为AB 的中点，点P 在边BC 上以每秒2cm 的速度由点B 向点C 运动，同时，点M 在边CA 上由点C 向点A 匀速运动．（1）当点M 的运动速度与点P 的运动速度相同，经过1秒后，BPD ∆与CMP ∆是否全等？请说明理由；（2）若点M 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点M 的运动速度为多少时，能够使BPD ∆与CMP ∆全等？5．如图，ABC ∆中，D 为AB 的中点，5AD =厘米，B C ∠=∠，8BC =厘米．（1）若点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段CA 上从点C 向终点A 运动，①若点Q 的速度与点P 的速度相等，经1秒钟后，请说明BPD CQP ∆≅∆； ②点Q 的速度与点P 的速度不相等，当点Q 的速度为多少时，能够使BPD CPQ ∆≅∆；（2）若点P 以3厘米/秒的速度从点B 向点C 运动，同时点Q 以5厘米/秒的速度从点C 向点A 运动，它们都依次沿ABC ∆三边运动，则经过多长时间，点Q 第一次在ABC ∆的哪条边上追上点P ？全等三角形典型题目合集解析【专题一】倍长中线与截长补短1．解：（1）2∠=∠，ACB ABC故答案为：2∠=∠，ACB ABC（2）想法1AD是BAC∠的平分线，∴∠=∠，BAC CAB=，AF AC CF=+，且CD CF∴=+，AF AC CD又AB AC CD=+，AB AF∴=，又AD AD=，∴∆≅∆，ABD AFD∴∠=∠，B F=，CD CF∴∠=∠，F CDF又ACB F CDF∠=∠+∠，ACB F∴∠=∠，2∴∠=∠，ACB B2想法2AD 是BAC ∠的平分线，BAC CAB ∴∠=∠，又AC AE =，AD AD =，AED ACD ∴∆≅∆，ED CD ∴=，C AED ∠=∠，又AB AC CD =+，AB AE BE =+，AE AC =，CD BE ∴=，DE BE ∴=，B EDB ∴∠=∠，又AED B EDB ∠=∠+∠，2AED B ∴∠=∠，又C AED ∠=∠，2C B ∴∠=∠．2．（1）解：在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE BD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆，故选B ；（2）解：由（1）知：ADC EDB ∆≅∆，6BE AC ∴==，2AE AD =，在ABE ∆中，8AB =，由三角形三边关系定理得：86286AD -<<+，17AD ∴<<，故选C ．（3）证明：延长AD 到M ，使AD DM =，连接BM ， AD 是ABC ∆中线，CD BD ∴=，在ADC ∆和MDB ∆中DC DB ADC MDB DA DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADC MDB ∴∆≅∆，BM AC ∴=，CAD M ∠=∠，AE EF =，CAD AFE ∴∠=∠，AFE BFD ∠=∠，BFD CAD M ∴∠=∠=∠，BF BM AC ∴==，即AC BF =．3．解：方法一：延长DE 到F ，使得EF DE =，连接BF ． 在DEC ∆和FEB ∆中，12DE FE BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DEC FEB ∴∆≅∆，D F ∴∠=∠，DC FB =，BAE D ∠=∠，BAE F ∴∠=∠，BA BF ∴=，AB CD ∴=．方法二：作CG DE ⊥于G ，BF DE ⊥于F 交DE 的延长线于F CG DE ⊥，BF DE ⊥，90CGE BFE ∴∠=∠=︒，在CGE ∆和BFE ∆中，12CGE BFE BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， CGE BFE ∴∆≅∆，BF CG ∴=，在ABF ∆和DCG ∆中，90BAF CDG BFA CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，ABF DCG ∴∆≅∆，AB CD ∴=．方法三：过点C 作//CF AB 交DE 的延长线于F ． //CF AB ，BAE F ∴∠=∠，B FCE ∠=∠，在ABE ∆和FCE ∆中，BAE F B FCE BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE FCE ∴∆≅∆，AB FC ∴=，BAE D ∠=∠，BAE F ∠=∠，D F ∴∠=∠，CF CD ∴=，AB CD ∴=．4．证明：（1）延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．90ABG ABC D ∠=∠=∠=︒，AB AD =，ABG ADF ∴∆≅∆．AG AF ∴=，12∠=∠．113232EAF BAD ∴∠+∠=∠+∠=∠=∠． GAE EAF ∴∠=∠．又AE AE =，AEG AEF ∴∆≅∆．EG EF ∴=．EG BE BG =+．EF BE FD ∴=+（2）（1）中的结论EF BE FD =+仍然成立．（3）结论EF BE FD =+不成立，应当是EF BE FD =-． 证明：在BE 上截取BG ，使BG DF =，连接AG ．180B ADC ∠+∠=︒，180ADF ADC ∠+∠=︒，B ADF ∴∠=∠．AB AD =，ABG ADF ∴∆≅∆．BAG DAF ∴∠=∠，AG AF =．BAG EAD DAF EAD ∴∠+∠=∠+∠12EAF BAD =∠=∠． GAE EAF ∴∠=∠．AE AE =，AEG AEF ∴∆≅∆．EG EF ∴=EG BE BG =-EF BE FD ∴=-．5．解：（1）EF BE DF =+，理由如下：如图①中，延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ．在ABE ∆和ADG ∆中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ADG SAS ∴∆≅∆，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠， EAF GAF ∴∠=∠，在AEF ∆和GAF ∆中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF AGF SAS ∴∆≅∆，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+，EF BE DF ∴=+；故答案为EF BE DF =+．（2）结论EF BE DF =+仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，如图②，在ABE ∆和ADG ∆中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ADG SAS ∴∆≅∆，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠， EAF GAF ∴∠=∠，在AEF ∆和GAF ∆中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF AGF SAS ∴∆≅∆，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+，EF BE DF ∴=+；6．证明：（1）过O 点作OE AC ⊥于点E ． 90ABD ∠=︒且OA 平分BAC ∠OB OE ∴=，又O 是BD 中点OB OD ∴=，OE OD ∴=，OE AC ⊥，90D ∠=︒∴点O 在ACD ∠ 的角平分线上 OC ∴平分ACD ∠．（2）在Rt ABO ∆和Rt AEO ∆中OA OA OB OE =⎧⎨=⎩Rt ABO Rt AEO(HL)∴∆≅∆，AB AE ∴=，在Rt CDO ∆和Rt CEO ∆中OC OC OE OD =⎧⎨=⎩Rt CDO Rt CEO(HL)∴∆≅∆，CD CE ∴=，AB CD AE CE AC ∴+=+=．7．证明：如图：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ， AM 平分DAB ∠，34∴∠=∠，MB AB ⊥，ME AD ⊥，ME MB ∴=（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又MC MB =，ME MC ∴=，MC CD ⊥，ME AD ⊥，DM ∴平分ADC ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）；【专题二】半角模型答案1．（1）证明：如图，延长CD 至E '，使DE BE '=，连接AE '， 四边形ABCD 为正方形，AB AD CB CD ∴===，90BAD B ∠=∠=︒，90ADE ABE '∴∠=︒=∠，在ADE '∆和ABE ∆中，AD AB ADE ABE DE BE =⎧⎪∠'=∠⎨⎪'=⎩，()ADE ABE SAS '∴∆≅∆，AE AE '∴=，DAE BAE '∠=∠，45EAF ∠=︒，45DAF BAE ∴∠+∠=︒，45DAF DAE E AF EAF ''∴∠+∠=∠=︒=∠，在△E AF '和EAF ∆中，AE AE E AF EAF AF AF '=⎧⎪∠'=∠⎨⎪=⎩，∴△()E AF EAF SAS '≅∆，E F EF ∴'=，E F DE DF BE DF '='+=+，EF BE DF ∴=+；（2）延长CD 至E '使DE BE '=，连接AE '，由（1）知，()ADE ABE SAS '∆≅∆，AE AE '∴=，DAE BAE '∠=，设BE x =，DF y =，正方形ABCD 的边长为1，1CE x ∴=-，1CF y =-，CEF ∆的周长为2，2CE CF EF ∴++=，112x y EF ∴-+-+=，EF x y BE DF DE DF E F ''∴=+=+=+=，在△EAF '和EAF ∆中，AE AEE F EF AF AF '=⎧⎪'=⎨⎪=⎩，∴△()E AF EAF SSS '≅∆，EAFEAF '∴∠=∠， DAE DAF BAE DAF EAF '∴∠+∠=∠+∠=∠，90DAF EAF BAE ∠+∠+∠=︒，45EAF ∴∠=︒．2．①证明：四边形ABCD 为正方形，AB AD CB CD ∴===，90BAD B ∠=∠=︒，把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒可得到ADE ∆'，AE AE ∴'=，DE BE '=，90E AE ∠'=︒，90ADE ADC ∠'=∠=︒， 45EAF ∠=︒，45E AF E AE EAF ∴∠'=∠'-∠=︒，E AF EAF ∴∠'=∠，在△E AF '和EAF ∆中，AE AE E AF EAFAF AF '=⎧⎪∠'=∠⎨⎪=⎩， ∴△()E AF EAF SAS '≅∆，E F EF ∴'=，E F DE DF BE DF '='+=+，EF BE DF ∴=+；②解：不变化；理由如下：CEF ∆的周长CE CF EF CE CF BE DF CB CD =++=+++=+． CEF ∴∆的周长不随AEF ∆位置的变化而变化．3．解：（1）如图①，延长CB 到G ，使BG FD =，90ABG D ∠=∠=︒，AB AD =，ABG ADF ∴∆≅∆，BAG DAF ∴∠=∠，AG AF =，12EAF BAD ∠=∠， DAF BAE EAF ∴∠+∠=∠，EAF GAE ∴∠=∠，在AEG ∆和AEF ∆中，AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEF AEG ∴∆≅∆，EF EG EB BG EB DF ∴==+=+；（2）（1）中的结论还成立，理由如下：把ADF ∆绕点A 顺时针旋转DAB ∠的度数得到ABG ∆，如图②，② ADF ABG ∴∠=∠，GAF BAD ∠=∠，AG AF =，BG DF =，180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC ABG ∴∠+∠=︒，∴点G 在CB 的延长线上，GE BG BE ∴=+，12EAF BAD ∠=∠， 12EAF GAE ∴∠=∠， EAF GAE ∴∠=∠，在AEG ∆和AEF ∆中，AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEG AEF SAS ∴∆≅∆，EF GE ∴=，EF BE BG BE DF ∴=+=+．4．①证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，由旋转的性质得，DF BG =，AF AG =，DAF BAG ∠=∠．90FAG BAG BAF DAF BAF BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，45EAF ∠=︒，45EAF EAG ∴∠=∠=︒．在AEF ∆和AEG ∆中，AF AG EAF EAG AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF AEG SAS ∴∆≅∆，EF EG BG BE DF BE ∴==+=+，EF BE DF ∴=+． ②四边形ABCD 是正方形，5AB BC CD AD ∴====，EF BE DF =+，EFC ∴∆的周长()()210EF EC CF BE EC CF DF BC =++=+++==． ③AEF AEG ∆≅∆ 又AH 、AB 分别是AEF ∆和AEG ∆对应边上的高，AH AB ∴=．5．解：（1）如图1，AB AD =， ∴把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ∆，可使AB 与AD 重合． BAE DAG ∴∠=∠，90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，45BAE DAF ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，90ADC B ∠=∠=︒，180FDG ∴∠=︒，点F 、D 、G 共线，在AFE ∆和AFG ∆中AE AG EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFE AFG SAS ∴∆≅∆，EF FG ∴=，即：EF BE DF =+．故答案为：SAS ，AFE ∆；（2）180B D ∠+∠=︒时，EF BE DF =+；如图2，AB AD =， ∴把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ∆，可使AB 与AD 重合， BAE DAG ∴∠=∠，90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，45BAE DAF ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，180ADC B ∠+∠=︒，180FDG ∴∠=︒，点F 、D 、G 共线，在AFE ∆和AFG ∆中AE AG EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFE AFG SAS ∴∆≅∆，EF FG ∴=，即：EF BE DF =+．故答案为：180B D ∠+∠=︒；（3）猜想：222DE BD EC =+，证明：如图3，连接DE '，根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE ∆'， AEC ABE ∴∆≅∆'，BE EC ∴'=，AE AE '=，C ABE ∠=∠'，EAC E AB ∠=∠'，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，90ABC ABE ∴∠+∠'=︒，即90E BD ∠'=︒，222E B BD E D ∴'+='，又45DAE ∠=︒，45BAD EAC ∴∠+∠=︒，45E AB BAD ∴∠'+∠=︒，即45E AD ∠'=︒，在△AE D '和AED ∆中，AE AE E AD DAE AD AD '=⎧⎪∠'=∠⎨⎪=⎩，∴△()AE D AED SAS '≅∆，DE DE ∴='，222DE BD EC ∴=+．【专题三】动点专项答案1．解：（1）经过1秒后，3PB cm =，5PC cm =，3CQ cm =， ABC ∆中，AB AC =，∴在BPD ∆和CQP ∆中，BD PC ABC ACB BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPD CQP SAS ∴∆≅∆．（2）设点Q 的运动速度为(3)/x x cm s ≠，经过ts BPD ∆与CQP ∆全等；则可知3PB tcm =，83PC tcm =-，CQ xtcm =，AB AC =，B C ∴∠=∠，根据全等三角形的判定定理SAS 可知，有两种情况：①当BD PC =，BP CQ =时，②当BD CQ =，BP PC =时，两三角形全等；①当BD PC =且BP CQ =时，835t -=且3t xt =，解得3x =，3x ≠，∴舍去此情况； ②BD CQ =，BP PC =时，5xt =且383t t =-，解得：154x =； 故若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为15/4cm s 时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等．2．解：（1）BPD CPQ ∆≅∆， D 是AB 的中点，14BD ∴=．又326BP =⨯=，20614CP ∴=-=，326CQ =⨯=， AB AC =，B C ∴∠=∠，在BPD ∆和CPQ ∆中，BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD CPQ ∴∆≅∆．（2）存在，设经过t 秒时BPD CPQ ∆≅∆． 依题意 2.5BP t =， 3.5CQ t =，20 2.5PC t =-． 若BPD CPQ ∆≅∆必须有BP CP =，即2.520 2.5t t =-， 解得4t =．故当4t =秒时BPD CPQ ∆≅∆．3．解：（1）全等，理由如下： 当运动1秒后，则3BP CQ cm ==， 835PC BC BP cm cm cm ∴=-=-=， E 为AB 中点，且10AB cm = 5BE cm ∴=，BE PC ∴=，在BPE ∆和CQP ∆中BE PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BPE CQP SAS ∴∆≅∆；（2）BPE ∆与CQP ∆全等， ∴有BEP CQP ∆≅∆或BEP CPQ ∆≅∆， 当BEP CQP ∆≅∆时，则BP CP =，5CQ BE cm ==，设P 点运动的时间为t 秒， 则383t t =-，解得43t =秒， Q ∴点的速度4155()34cm =÷=， 当BEP CPQ ∆≅∆时， 由（1）可知1t =（秒)， 3BP CQ ∴==，Q ∴点的速度313()cm =÷=， 即当Q 点每秒运动154cm 或3cm 时BEP CQP ∆≅∆． 4．解：（1）结论：，BPD ∆与CMP ∆全等 理由：1t s =时，2PB =，2CM =，182BD AB ==，1028PC =-=， AB AC =，B C ∴∠=∠， 在BDP ∆和CPM ∆中， BD CP B C BP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDP CPM ∴∆≅．（2）由题意BPD ∆与CMP ∆全等， CM PB ≠，8CM BD ∴==，5PC PB ==， 52t ∴=， ∴点M 的运动速度5168/25cm s =÷=． 5．解：（1）①313BP =⨯=，313CQ =⨯=，BP CQ ∴=， D 为AB 的中点，5BD AD ∴==，5CP BC BP =-=， BD CP ∴=，在BPD ∆与CQP ∆中， BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BPD CQP ∴∆≅∆； ②设点Q 运动时间为t 秒，运动速度为/vcm s ， BPD CPQ ∆≅， 4BP CP ∴==，5CQ =， 433BP t ∴==， 515443CQ v t∴===； （2）设经过x 秒后，点Q 第一次追上点P ，由题意得53210x x -=⨯， 解得：10x =， ∴点P 运动的路程为31030⨯=， 30282=+， ∴此时点P 在BC 边上， ∴经过10秒，点Q 第一次在BC 边上追上点P ．。
全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线
全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线一、截长补短1.如图所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上，求证：AB＝AC＋BD．2.如图,在四边形ABCD中,AD=CD,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,求证:AE+BC=BE.3.如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=45∘,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N,连接EN.求证AE=CN+EN.4.如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60°，（1）求∠BFC的度数．（2）求证：BC=BE+CD．5.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：第2页，共28页BC=AB+CE．6.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?2(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；2若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF = 60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.8.如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，（1）求∠AOC的度数；（2）求证：OE＝OD；（3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明．第4页，共28页9.如图在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，延长DB点F，使BF＝BD，连接AF．（1）求证：AF＝CD；（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，试猜想AC、AF、AE三条线段之间的数量关系，并证明你猜想的结论．二、倍长中线10.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AM和DN分别是中线，且AM＝DN．求证：△ABC≌△DEF．11.（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=13，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：Ⅰ．由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是______．A．SSS B．SAS C．AAS D．HLⅡ．由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE=∠AFE．若AE=4，EC=3，求线段BF的长．12.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BC交AC于F，求证：AF＝EF．第6页，共28页13.如图,在△ABC中,AD是中线,∠BAC=∠BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.14.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°(1)如图1，若BD为高线，AB＝4，BC＝3，AC＝5，求BD的长(2)如图2，若BD为中线，求证：BD＝1AC215.如图，在五边形ABCDE中，∠E=90O,BC=DE,，连接AC,AD,且AB=AD，AC⊥BC.（1）求证：AC=AE（2）如图，若∠ABC=∠CAD,AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD;（3）如图，在(2)的条件下，AE=8,DE=5，则五边形ABCDE的面积为_______。
八上数学全等三角形做辅助线知识点(自己整理)
数学知识点：1.截长补短法：当题目中出现两条线段之和或两条线段之差等于第三边时，往往联想到截长或补短。
所谓截长，就是指将长的线段截去一段和某条线端相等。
所谓补短，就是将某条较短线段加长使其和长线段相等。
经验：无论截长还是补短，必能推出两个三角形全等。
（其他：当三条线段中有两条平行时，一般将两条线段平移到一条线上。
）2.照猫画虎：（1）在构造三角形过程中，常常把某一三角形固定看做猫，在图形中画一个与它全等的三角形，叫做虎，及照猫画虎。
（2）在实战中，常会遇见一类特殊的图形，采用的方法是把胖子变瘦子或把瘦子变胖子，作为照猫画虎的经典图例。
经常做等腰线来画图。
（3）书面语言叫做割补法。
（其他：这类题目经常做互补的两个角中锐角的等角线或钝角的补角的等角线。
）3.角分线妙用：当题目中出现角分线时，一般可联想到两种方法A.做双垂B.做翻折。
（其他：(1)当出现SSA图例时，不能直接用，可通过做双垂论证。
(2)内对角互补的四边形一般做双垂线或补交线。
）4.旋转90°：（1）当图形中出现具有公共顶点的两个等腰直角三角形时，可必出现一对旋转90°的全等三角形。
（2）当题目中出现两条线段a，b有a⊥b且a=b时，可联想到构造旋转90°的全等三角形。
（3）当图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置。
（如等腰直角三角形一般旋转90°，等边三角形旋转60°。
）（其他：1）几何问题中当论证关系时一般考虑两方面A.数量关系B.位置关系。
2)旋转90°的全等三角形的特征是：对应边相等且夹角90°。
3）等腰直角三角形底边上的高等于底边上的一半而一般的三角形没有这个条件（见下图）。
）AB=AC AB=AC（图画的不像），AD=½BC=BD=CD。
5.旋转60°：当图形中出现具有公共顶点的两个等腰三角形时，一般可得到两个旋转角为α的全等三角形，特别的，当出现两个等边三角形时，旋转角α=60°。
全等三角形作辅助线专题一重点截长补短法可
D CBAED F CBA全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA中考应用：以ABC∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD∆和等腰Rt ACE∆，90,BAD CAE∠=∠=︒连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD∆绕点A沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）F E D C BA 21D CB A PQC BA 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC2：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证:AB ＝AD+BC3：如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
人教版八年级数学上册全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法.doc
全等三角形问题中常见的辅助线——截长补短法例 1、如图，ABC 中，AB=2 AC，AD平分BAC ，且AD =BD ，求证： CD ⊥ ACAB CD例 2、如图，AD ∥ BC ，AE, BE分别平分∠DAB, ∠ CBA ， CD 过点 E ，求证;AB ＝ AD+BCADEBCABC 内，0例 3、如图，已知在BAC 60 ，BC，CA 上，C 40 ，P，Q分别在并且AP ， BQ 分别是BAC ，ABC 的角平分线。
求证：BQ+AQ=AB+BPABQPC例 4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC ，求证：A C180ADCB例 5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠ 1＝∠ 2，P为AD上任意一点，A 求证 ;AB －AC ＞ PB －PC1 2PCBD例、已知ABC 中，A 60 ，BD、CE分别平分ABC和 . ACB ，BD、CE交6于点 O ，试判断BE、CD、BC 的数量关系，并加以证明． AEODB C例7 、如图，点M 为正三角形ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点(点B除外 )，作DMN 60 ，射线 MN 与∠DBA外角的平分线交于点N ，DM与MN有怎样的数量关系 ?DNA MB E变式练习：如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与∠ ABC 外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？D CNA MB E例8 、如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E为MC 上一点，且∠ BAE =2 ∠ DAM．求证：AE =BC+CE ．A DMECB。
截长补短法-课件
Ｂ
全等三角形之巧添辅助线——截长补短法
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB 和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。
Ｆ
Ｅ
Ｄ 补短法 （1）延长AC至F，使CF＝BD，连接EF
Ｃ Ａ
要证△CEF≌△DEB， 再证△AEF≌△AEB
√（2）延长AC至F，使AF=AB，连接EF
无论是截长法还是补短法都是要将几条线段的和差问题转化为 两条线段相等的问题，一般都要通过构造两个全等三角形来解 决问题。
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB 和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。
Ｅ Ｄ 截长法
截长法：就是将三者中最长的那条线段一分为二，使
Ｃ
其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，
Ｂ
可得到△AEF≌△AEB，再证△CEF≌△DEB
全等三角形之巧添辅助线——截长补短法
例题 如图，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB
和∠DBA，点E在CD上，求证：AB＝AC＋BD。
Ｆ
Ｅ
Ｃ
12
Ａ
证明：延长AC至F，使AF＝AB，连接EF
∵AE平分∠CAB，
Ｄ
EB平分∠DBA
∵AC∥BD ∴∠FCE=∠D
全等三角形之巧添辅助线——截长补短法
练习：如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的
中点，CN⊥AE交AB于N。 （1）求证：∠1=∠2 （2）求证：AE=CN+EN （请用多种方法证明）
B
截长法：在AE上截取AF，使AF=CN，
N
E
1
F
全等三角形作辅助线专题一(重点_截长补短法)可打印版
全等三角形作协助线经典例题常有协助线的作法有以下几种：1)碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一” 的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”．2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转” ．3)碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的均分线，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角均分线时延伸垂线段，结构等腰三角形）5)截长法与补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明．这类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特别方法：在求相关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各极点的线段连结起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等1 ：已知，如图△ABC 中， AB=5 ， AC=3 ，则中线AD 的取值范围是_________.2 ：如图，△ ABC 中， E 、 F 分别在 AB 、AC 上， DE ⊥ DF ，D 是中点，试比较BE+CF与EF 的大小 .3 ：如图，△ ABC 中， BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD 均分∠ BAE.中考应用：以ABC的两边 AB 、 AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，BADCAE90 ,连结 DE ，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点．研究： AM 与 DE 的位置关系及数目关系．（ 1 ）如图① 当ABC为直角三角形时，AM 与 DE 的地点关系是，线段 AM 与 DE 的数目关系是；（2 ）将图①中的等腰 Rt ABD绕点 A沿逆时针方向旋转(0< <90) 后，如图②所示，（ 1 ）问中获得的两个结论能否发生改变？并说明原因．二、截长补短1. 如图，ABC 中，AB=2AC，AD均分BAC ，且AD=BD，求证：CD⊥ACAD2 ：如图， AD ∥ BC ，EA,EB分别均分∠ DAB,∠ CBA，CD过点E，求证:AB＝AD+BC EBC3 ：如图，已知在VABC 内，BAC 0400，P，Q分别在BC，CA上，而且60， CAP ， BQ 分别是BAC ，ABC 的角均分线。
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。
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全等三角形作辅助线经典例题
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” •
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全
等变换中的“旋转” •
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中
的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻
转折叠”；(遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形)
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是
之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.
一、倍长中线(线段)造全等
1:已知，如图△ ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是 _______________ .
2 :如图，△ ABC中，E、F分别在AB、AC 上, DE丄DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小.
3 :如图，△ ABC中，BD=DC=AC ，E是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.
中考应用:
ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE BAD CAE 90，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点•探究：AM与DE的位
置关系及数量关系. (1 )如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系
是________________ ，线段AM与DE的数量关系是________________ ;
(2 )将图①中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(0< <90)后，如图②所示，(1 )
问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理
由.
、截长补短 1.如图， ABC 中，AB=2AC ，AD 平分 BAC ，且 AD=BD ，求证：CD 丄AC 2 :如图, AD // BC , EA,EB 分别平分/ DAB, AD+BC / CBA , CD 过点 E ，求证:AB = 3 :如图, 已知在VABC 内, 0 BAC 60 , C 400, P , Q 分别在 BC , CA 上, AP , BQ 分别是 BAC , ABC 的角平分线。
4 :如图, 在四边形
ABCD 中，BC > BA,AD = CD , BD 平分 并且 求证： BQ+AQ=AB+BP A C 1800 5:如图在△ ABC 中, AB >AC ,Z 1 =Z 2 , P 为AD 上任意一点，求证 ;AB-AC > PB-PC
D 6 .如图，在△ ABC 中，AD 平分/ BAC , AB+BD=AC 求/
B :/ C的值.
若/ B=60
中考应用：如图，在四边形ABCD中，AD//BC ，点E是AB上一个动点,
AB=BC，且/ DEC=60°，判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。
三、找全等
1.已知：如图，在Rt △ ABC 中，/ ACB=90 o ,
AC=BC , D为BC的中点，CE丄AD于E，交AB于F，连接DF . 求证：/ ADC= / BDF .
2 .如图，△ ABC中，AB=AC，过点A作GE // BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G .试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明.
四.借助角平分线造全等
说明：①遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据
全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等.
练习：
1 . 已知：△ ABC 中，BD=CD，/ 1 =Z
2 .求证：AD 平分/ BAC .
2.如图22 , AB // CD , E 为AD 上一点，且BE、CE 分别平分/ ABC、/ BCD .求证：
AE=ED .
②以角的平分线为对称轴构造对称图形
例：如图，在△ ABC 中，AD 平分/ BAC，/ C=2 / B •求证：AB=AC+CD .
分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE , 我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD
就可以了.
③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线
例：如图，在△ ABC中，AD平分/ BAC , CE丄AD于E . 求证：/ ACE= / B+ / ECD .
分析：注意到AD平分/ BAC , CE丄AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形.
④利用角的平分线构造等腰三角形
如图，在厶ABC中，AD平分/ BAC ,过点D作DE // AB , DE交AC于点E .易证△ AED 是等腰三角形.因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形.
例：如图，在△ ABC中，AB=AC , BD平分/ ABC , DE丄BD于D，交BC于点E.
1
求证：CD= BE .
2
全等三角形作辅助线•课后练习
1 .在△ ABC 中，/ BAC=60 o，/ C=40 o ,
AP平分/ BAC 交BC于P, BQ平分/ ABC 交AC于Q. 求证：AB+BP=BQ+AQ .
2 .如图，在△ ABC 中，AD 平分/ BAC , AB=AC+CD 求证：/ C=2 / B .
3 .已知，E为厶ABC的/ A的平分线
AD 上一点，AB > AC . 求证：AB-AC > EB-EC .
4 .如图，在四边形ABCD中，BC > BA ,
AD=CD , BD 平分/ ABC .求证：/ A+ / C=180 o .
5 .如图所示，已知AD // BC，/ 1= / 2 ,
/ 3= / 4，直线DC过点E作交AD于点D，交BC于点C .
求证：AD+BC=AB .
6 .已知，如图，△ ABC 中，/ ABC=90 o ,
1
AB=BC , AE是/ A的平分线，CD丄AE于D .求证：CD= — AE .
2
7. △ ABC 中，AB=AC，/ A=100 o,
BD是/ B的平分线.求证：AD+BD=BC .
8 .如图，△ ABC中，AD平分/ BAC , AD交BC于点D，且D是BC的中点. 求证：AB=AC .
9 .已知：如图，△ ABC中，AD是/ BAC
的平分线，E是BC的中点，EF // AD，交AB于M , 交CA的延长线于F.求证：BM=CF .
10.如图，已知在厶ABC中，/ B=60 ° ,△ ABC的角平分线AD,CE 相交
于点0,求证：0E=0D
11.如图，△ ABC 中，AD 平分/ BAC , DG丄BC 且平分BC , DE丄AB于E , DF丄AC
于F. ( 1 )说明BE=CF的理由；(2)如果AB= a , AC= b，求AE、BE的长.
中考应用：
如图①，0P是/M0N的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等
三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1 )如图②，在△ ABC中，/ ACB是直角，/ B=60 ° , AD、CE分别是/ BAC、/
BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(2 )如图③，在△ ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
A
图③。