学案与评测理数北师大版(课件)第7单元 立体几何 第五节

【考点升华】 1. 证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理． (2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)利用面面垂直的性质． 2. 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线 线垂直．
解析： 当PA＝PB＝PC时，OA＝OB＝OC，∴O为外心． 当PA、PB、PC两两垂直时， AO⊥BC，BO⊥AC，CO⊥AB. ∴O为垂心． 答案：外 垂
考点一
直线与直线垂直的判定
【例 1】 如图， α∩β ＝ CD ， EA⊥α ，垂足为 A ， EB⊥β ，垂足为 B ，求证： CD⊥AB.
考点三
平面与平面垂直ห้องสมุดไป่ตู้判定与性质
【例3】 如图所示，△ABC为等边三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE ＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证： (1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA；
1. (教材改编题)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是( ) A. l与平面α内的两条直线垂直 B. l与平面α内无数条直线垂直 C. l与平面α内的某一条直线垂直 D. l与平面α内任意一条直线垂直 解析：由直线与平面垂直的定义，可知D正确． 答案：D 2. (2010·宣武模拟)已知a，b为不同的直线，α，β，γ为不同的平面， ① a⊥α ， b⊥α ，则 a∥b ；② a⊥α ， b⊥β ， a∥b ，则 α∥β ；③ γ⊥α ， γ⊥β ，则 α∥β；④a⊥α，α⊥β，则a∥β. 以上结论正确的是( ) A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 解析：易知①②正确；③中，α、β可能相交；④中，可能有a⊂β. 答案：A
第五节
垂直关系的判定和性质
1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有 关性质与判定定理．
2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命 题．
1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 任意一条直线 都垂直，那么就称这条直线和这 如果一条直线和一个平面内的_____________ 个平面垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的___________ 两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直． (3)直线与平面垂直的性质定理 平行 ． 垂直于同一个平面的两条直线____
解析：当a∥l，b∥l时，a∥b.假设a⊥b，如图，过a上一点作c⊥l，则c⊥β.
∴b⊥c.又b⊥a，∴b⊥α，∴b⊥l，与已知矛盾．
答案：B
5. 三棱锥P-ABC的顶点P在底面的射影为O，若PA＝PB＝PC，则点O为△ABC的
________心，若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的________心．
3. (2011·苏北四市联考)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面， 给出下列命题：
①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；
②若m∥α，m⊥β，则α⊥β； ③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ； ④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β. 其中真命题的序号是________． 答案：② 4. 设平面α⊥β，α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，且a不与l垂直，b不与l垂直，则a 与b( ) A. 可能垂直，不可能平行 C. 可能垂直，也可能平行 B. 可能平行，不可能垂直 D. 不可能垂直，也不可能平行
证明 ∵α∩β＝CD，∴CD⊂α，CD⊂β. 又∵EA⊥α，CD⊂α， ∴EA⊥CD，同理EB⊥CD. ∵EA⊥CD，EB⊥CD，EA∩EB＝E，∴CD⊥平面EAB. ∵AB⊂平面EAB，∴AB⊥CD.
【考点升华】 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般 用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转 化为线面垂直进行证明. 考点二 直线与平面垂直的判定与性质 【例2】 如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°， AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证： (1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
证明 1PA⊥平面ABC⇒PA⊥BC AB⊥BC PA∩AB＝A AE⊥PB
⇒BC⊥平面 PAB.
2AE⊂平面PAB，由1知AE⊥BC
⇒AE⊥平面 PBC. PB∩BC＝B ⇒PC⊥平面 AEF. AE∩AF＝A
3PC⊂平面PBC，由2知PC⊥AE PC⊥AF
变式2－1
如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若 ∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明：如图，取 PD 的中点 E，连接 AE，NE. 1 ∵E、N 分别为 PD、PC 的中点，∴EN 綊 CD. 2 1 又∵M 为 AB 的中点，∴AM 綊 CD.∴EN 綊 AM， 2 ∴四边形 AMNE 为平行四边形． ∴MN∥AE.∵PA⊥平面 ABCD，∠PDA＝45° ， ∴△PAD 为等腰直角三角形，∴AE⊥PD. 又∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面 PAD，而 AE⊂平面 PAD， ∴CD⊥AE.又 CD∩PD＝D，∴AE⊥平面 PCD.∴MN⊥平面 PCD.
2. 平面与平面垂直 (1)两个平面垂直的定义 直二面角 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直． (2)两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的 一条垂线 ，那么这两个平面互相垂直． (3)两个平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则在一个平面内 垂直于它们交线的直线 与另一个平面垂直． 3. 线面角与二面角 (1)直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所 成的角． (2)二面角 ①二面角的定义 二面角是一种空间图形，指从一条直线出发 的两个半平面所组成的图形． ②二面角的平面角的定义 以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 ______________， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．