上海华育中学数学整式的乘法与因式分解单元检测(提高,Word版 含解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，

()2

22222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；

（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.

（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．.

【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数

【解析】

【分析】

（1）利用“完美数”的定义可得；

（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值

（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；

【详解】

(1) 22228,8+=∴是完美数；

222925,29=+∴是完美数 (2) ()222)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数

(3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()22

2222mn a b

c d ac bd ad bc =++=++- 即mn 也是完美数.

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．

2．你会对多项式(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，能使复杂的问题简单化、明朗化．从换元的个数看，有一元代换、二元代换等．

对于(x 2+5x+2)(x 2+5x+3)﹣12．

解法一：设x 2+5x ＝y ，

则原式＝(y+2)(y+3)﹣12＝y 2+5y ﹣6＝(y+6)(y ﹣1)

＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．

解法二：设x 2+5x+2＝y ，

则原式＝y(y+1)﹣12＝y 2+y ﹣12＝(y+4)(y ﹣3)

＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．

解法三：设x 2+2＝m ，5x ＝n ，

则原式＝(m+n)(m+n+1)﹣12＝(m+n)2+(m+n)﹣12＝(m+n+4)(m+n ﹣3)

＝(x 2+5x+6)(x 2+5x ﹣1)＝(x+2)(x+3)(x 2+5x ﹣1)．

按照上面介绍的方法对下列多项式分解因式：

(1)(x 2+x ﹣4)(x 2+x+3)+10；

(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2；

(3)(x+y ﹣2xy)(x+y ﹣2)+(xy ﹣1)2．

【答案】（1） (x+2)(x-1) (2 x x ++1)

(2)(266x x ++)2

(3) (x+y-xy-1)2

【解析】

【分析】

（1）令m=2x x +,原式=()()4m 310m -++因式分解即可；

（2）()()()()2

1236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x ,令n=256x x ++，再将原式=（n+2）n+x 2进行因式分解即可；

（3）令a=x+y,b=xy ，代入原式即可因式分解.

【详解】

（1）令m=2x x +,

原式=()()4m 310m -++

=m 2-m-2=(m-2)(m+1)

= (2x x +-2)(2x x ++1)

=(x+2)(x-1) (2x x ++1)

(2)()()()()2

1236x x x x x +++++=(276x x ++)(256x x ++)+2x , 令n=256x x ++，

原式=（n+2）n+x 2=n 2+2n+x 2

=(n+x)2=(266x x ++)2

(3) 令a=x+y,b=xy ，原式=()()()2221a b a b --+-

=(a-b)2-2(a-b)+1

=(a-b-1)2

=(x+y-xy-1)2

【点睛】

此题主要考查复杂的因式分解，解题的关键是读懂材料学会材料中因式分解的方法.

3．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，321=+，∴321是“和数”，2232-1=，∴321是“谐数”，∴321是“和

谐数”．

（1）最小的和谐数是 ，最大的和谐数是 ；

（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；

（3）已知103817m b c =++（0714b c ≤≤≤≤，，且,b c 均为整数）是一个“和数”，请求出所有m ．

【答案】（1）110；954；（2）见解析；（3）880m =或853或826.

【解析】

【分析】

（1）根据“和数”与“谐数”的概念求解可得；

（2）设“谐数”的百位数字为x 、十位数字为y ，个位数字为z ，根据“谐数”的概念得x=y 2-z 2=（y+z ）（y-z ），由x+y+z=（y+z ）（y-z ）+y+z=（y+z ）（y-z+1）及y+z 、y-z+1必然一奇一偶可得答案；

（3）先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，据此可得m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-3），根据“和数”的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，从而进一步求解可得．

【详解】

（1）最小的和谐数是110，最大的和谐数是954.

（2）设：“谐数”的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z

（19,09,09x y z ≤≤≤≤≤≤且 y z >且 ,,x y z 均为正数），

由题意知，()()22

x y z y z y z =-=+-， ∴()()()()1x y z y z y z y z y z y z ++=+-++=+-+，

z∵y z +与y z -奇偶性相同，

∴y z +与1y z -+必一奇一偶，

∴()()1y z y z +-+必是偶数，

∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；

（3）∵07b ≤≤，

∴229b ≤+≤，

∵14c ≤≤，

∴3312c ≤≤，

∴103719c ≤+≤，

∴817103m b c =++，

()()810011037b c =⨯++⨯++

()()81002103710b c =⨯++⨯++-

()()810021033b c =⨯++⨯+-，

∵m 为和数，

∴8233b c =++-，

即39b c +=，