数学建模--杨桂元--第一章习题答案
数学建模第一章作业(章绍辉)
P7 Pj P7 Pj
196 495
所以打赌者赢的理论概率 P 为
1 196 251 P 0 1 0.50707 9 495 495
（四）收敛性分析 一次打赌相当于伯努利概型，记为随机变量 X，取值为 0（表示打赌者输）或 1（表示打赌者赢） ，则 X 的期望为 P， 方差为 P(1 P) . n 次打赌，即相互独立地重复试验 n 次，试验结果可记 作随机变量序列 X1 , X 2 , , X n ，则打赌者赢的频率为平均值
方法二（参数方程） 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
评价：虽然半圆周由同样多的折线段连接而成，但是方 法二绘得的图形看起来处处一样光滑，事实上，方法二通过 等分圆心角来取得圆周上的采样点，并连结线段，所以绘得 的“圆形”实际上是正多边形.
( X1 X 2 X n ) n .
弱大数定律： 0 ，都有
n
lim Pr ( X1 X 2 X n ) n P 0 .
( X1 X 2 X n ) n P 1 . 强大数定律： Pr nlim
x
否则绘得的图像会在左边有一段与 x 轴重合. 程序： x=-3:.1:3; y=exp(x); plot(x,y,'k',y,x,'k',[-3,20],[-3,20],'k') axis equal axis([-3,20,-3,20]) grid xlabel('x') ylabel('y') title('y=e^x 和 y=ln x 的函数图像关于直线 y=x 对称')
数学建模课后习题答案
实验报告姓名：和家慧 专业:通信工程 学号：20121060248 周一下午78节实验一：方程及方程组的求解一 实验目的：学会初步使用方程模型，掌握非线性方程的求解方法，方程组的求解方法，MA TLAB 函数直接求解法等。
二 问题：路灯照明问题。
在一条20m 宽的道路两侧，分别安装了一只2kw 和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m 和6m 。
在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时 （1）两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？ （2）如果3kw 的路灯的高度可以在3m 到9m 之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？ （3）如果两只路灯的高度均可以在3m 到9m 之间变化，结果又如何？三 数学模型解：根据题意，建立如图模型P1=2kw P2=3kw S=20m 照度计算公式：2sin r p k I α= （k 为照度系数，可取为1；P 为路灯的功率）（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q 点的照度分别为21111sin R p k I α= 22222sin R p k I α=22121x h R += 111sin R h =α22222)(x s h R -+= 222sin R h =αQ 点的照度：3232322222322111))20(36(18)25(10))((()(()(x x x s h h P x h h P x I -+++=-+++=要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点5252522222522111'))20(36()20(54)25(30))(()(3)(3)(x x x x x s h x s h P x h x h P x I -+-++-=-+-++-=算法与编程利用MATLAB 求得0)('=x I 时x 的值代码：s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))'); s1=vpa(s,8); s1计算结果运行结果： s1 =19.97669581 9.338299136 8.538304309-11.61579012*i .2848997038e-1 8.538304309+11.61579012*i因为x>=0，选取出有效的x 值后，利用MATLAB 求出对应的I(x)的值，如下表：综上，x=9.33m 时，为最暗点；x=19.97m 时，为最亮点。
数学建模教程课后答案
表1-5
单 人 理论 取 qi2 取 qi2 取 qi2 取 qi2
位数 值 整
整
整
整
5 10-6 6 10-6 7 10-6 8 10-6
1 404 40.4 40 0.01 40 0.01 41 0.02 40 0.01
2 204 20.4 20 0.04 21 0.08 20 0.04 21 0.08 3 104 10.4 11 0.30 10 0.16 10 0.16 11 0.30 4 54 5.4 6 1.00 6 1.00 6 1.00 5 0.64 5 14 1.4 1 16.00 1 16.00 1 16.00 1 16.00 合 780 78 78 17.35 78 17.25 78 17.22 78 17.03
今证:n4不存在任何无重复安全过河 解.(反证法)设存在一个无重复安全过 河方案.该方案第一次跳到y轴前的状 态只能是(如图所示):(2,2)和(1,1), 且都是偶数步.若为(2,2) 则前一步必 是从(1,1)到(2,2)产生重复; 若为 (1,1),则前一步必来自y轴上的点都是 不可能的.
不难证明:“若不存在任何不重复安全 过河方案,则不存在任何安全过河方案”
该年生产总值为2004年的 e0.07520 =4.48倍.
解: 我们只须证明其等价命题：“若存 在一个安全过河方案，则必存在一个不重 复安全过河方案”. 事实上,从一个安全 过河方案中去掉一切产生重复的循环之后, 便得到一个不重复安全过河方案.
n=2时的安全过河方案(共5次)
y
(0,2)
(2,2)
(0,1)
(1,1) (2,1)
(0,0)
(2,0)
x
图 1-4
n1=987/6-n2-n3=84-54=30. 答案:锐,直,钝角三角形个数分别是30,0
《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示
《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示一、填空题：1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 解：根据现值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.1221201011≈=（万元） 应该填写：12.2783万元．2．设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 . 解：根据终值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R P S =5779.322021910=（万元） 应该填写：32.57793．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析．4．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .解： 由商品的均衡价格公式：80352536001200)(=++=++=c a d b t p 应该填写：80.5．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 .解：根据经济订购批量公式：1911001.020022*≈⨯⨯==R c c T s b 209701.011020022*≈⨯⨯==s b c R c Q 应该填写：.2097,19**=≈Q T二、分析判断题1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决．解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益．（2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等．（3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料．（4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型．2.一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”．交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路．那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种．解：（1）车流的密度（2）车的行驶速度（3）道路的宽度（4）行人穿越马路的速度（5）设置斑马线地点的两侧视野等．3．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等．（1）估计一个人体内血液的总量．（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）．（3）估计一批日光灯管的寿命．（4）确定火箭发射至最高点所需的时间．（5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量．注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收．（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率．（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值．为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间．还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间．（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果．（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t （S1+S2）/v．S1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响．（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新．（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）．4．为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题：（1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿．次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆．某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么？（2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（3）某人住T 市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T 市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T 市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟．问他步行了多长时间．解：（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇．（2）不妨设从甲站到乙站经过丙站的时刻表是：8：00，8：10，8：20，…，那么从乙站到甲站经过丙站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29，…．（3）步行了25分钟．设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55．三、计算题1．下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米．试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少．解：人、猫、鸡、米分别记为i =1, 2, 3, 4，当i 在此岸时记x i =1，否则记x i =0，则此岸的状态可用s =（x 1, x 2, x 3, x 4）表示．记s 的反状态为s '=（1-x 1, 1-x 2, 1-x 3, 1-x 4），允许状态集合为S ={（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1）（1, 0, 1, 0）及它们的5个反状态}．决策为乘船方案，记作d =（u 1, u 2, u 3, u 4），当i 在船上时记u i =1，否则记u i =0，允许决策集合为D ={（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0）}．记第k 次渡河前的状态为s k ，第k 次渡河的决策为d k ，则状态转移律为s k +1=s k +（-1）k d k ，设计安全过河方案归结为求决策序列d 1, d 2, …, d n ∈D ，使状态s n ∈S 按状态转移律由初始状态s 1=（1, 1, 1, 1）经n 步到达s n +1=（0, 0, 0, 0）．一个可行方案如下：2．假定人口的增长服从这样的规律：时间t 的人口为x (t )，t 到t +∆t 时间内人口的增长与x m - x (t )成正比 （其中x m 为最大容量）．试建立模型并求解．作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较．解 )(d d x x r t x m -=，r 为比例系数,0)0(x x =， 解为rt m m x x x t x ---=e )()(0，如图1中粗实线所示．当t 充分大时，它与Logistic 模型相近． 图13．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例x x方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素．（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小．解释实际意义是什么？ 解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与w 和s 无关的成分．又因为形状一定时一般有s ∝w 2/3，故商品的价格可表为C = αw +β w 2/3+γ（α，β，γ为大于0的常数）．（2）单位重量价格131--++==w w w C c γβα，其 图2 简图如图2所示．显然c 是w 的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的,4．用宽w 的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条 不重叠，问布条与管道轴线的夹角α应多大（如图3）． 若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）． 如果管道是其它形状呢？解：将管道展开如图4，可得απcos d w =，若d 一 图3 定，0→w ，2πα→；d w π→，0→α．若管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为w dl π，若考虑两 端的影响，则应加上απsin dw ．对于其它形状管道，只需将d π 改为相应的周长即可．5．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k >r ．在每一生产周期T 内，开 图4 始的一段时间（0<t <T 0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T 0<t <T ）只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形．设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期．讨论k 》r 和k ≈ r 的情况． 解： 贮存量)(t q 的图形如图5．单位时间总费用 KT r k r c T c T c 2)()(21-+=， 使)(T c 达到最小值的最优周期)(221r k r c k c T -=*． 图5 当k 》r 时，rc c T 212=*，相当 于不考虑生产的情况．当k ≈ r 时，∞→*T ，因为0产量被销量抵消，无法形成贮存量．四、综合应用题1．试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题．（ 提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤．） 解：问题分析所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的．模型假设(1) 四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形；(2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面；(3)模型建立 如图6，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A ，C 两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度θ有关．注意到假设3，设A ，B 两个桌脚与地面距离之和为0)(≥θf ，另外两个桌脚与地面距离之 和为,0)(≥θg 则)(,θθf ∀与)(θg 中至少有一个为零，当 图6 0=θ时不妨假设0)(,0)(>=θθg f ．又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题：已知,0)0(,0)0(,0)()()(),(>==∀g f g f g f 且，的连续函数，对是θθθθθθ则0θ∃，使得.0)()(00==θθg f上述命题即为所建立的数学模型．模型求解将桌子旋转0180)(π，则A 、B 两点与D 、C 两点恰好交换位置．由假设便有，)(,0)(ππg f >.0=又由前述假设，.0)0(,0)0(>=g f令),()()(θθθg f h -=则有.0)(,0)0(><πh h 由于)(),(θθg f 的连续性知)(θh 也是连续函数．依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度0θ，,00πθ<<使得0)(0=θh ，即).()(00θθg f =又根据θθθ∀=,0)()(g f 成立，故有.0)()(00==θθg f 模型分析由于本问题结论简单，符合实际，故分析过程从略．2．试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型．提示： 所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型．（要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤．）解： 问题分析由题设，只须在不允许缺货模型条件下，考虑因缺货造成的损失即可．而缺货损失按天计算与下列因素有关：货物总需求量、缺货量、缺货时刻、每单位的缺货费用等． 模型假设 （1）每次定货费为C 1，每天每单位货物的存储费为C 2 （2）每天货物的需求量为r 单位.（3） 每T 天定货Q 单位，所定货物可在瞬间到达．（4）允许缺货，每天每单位货的缺货费为C 3缺货时，存储量q 视为负值，则)(t q 的图形变为,Q rt q +-=如图7所示．模型建立 图7 货物在1T t =时售完，则必有一段时间缺货．又在T t =时下一次定货量Q 到达，于是有1rT Q = （1）在一个定货周期内的总费用包括定货费1C 、存储费Q T C dt t q C T 102221)(1⎰=和缺货费.)(13dt t q C T T ⎰其中21)(2)()(11T T r dt Q rt dt t q TT T T -=-=⎰⎰ 其中用到了（1）式．于是总费用应为2/)(2/213121T T r C QT C C C -++= （2） 则由（1）式解出r Q T /1=并代入（2）式可得r Q rT C r Q C C C 2/)(2/23221-++= （3）每天的平均总费用便是rT Q rT C rT Q C T C T C Q T C 2/)(2///),(23221-++== （4）（4）式即为所求的数学模型．模型求解对（4）式分别求总费用对定货周期和定货量的偏导数，并令其为零解得0)()(22322322221=-+----=∂∂Q rT T C Q rT rT C rT Q C T C T C0)(32=--=∂∂Q rT rTC rT Q C Q C 由3230C C rT C Q Q C +=⇒=∂∂，代入0=∂∂TC 便可解出 32321*33221*2;2C C C C r C Q C C C rC C T +=+=. （5） （5）式就是在允许缺货情形下，最佳定货周期与最佳定货量公式．模型分析当3C 远远超过2C 时，（5）式就转化为不允许缺货模型中的相应结论，这也说明所建模型是合理的，结论也是正确的．。
数学建模案例精选知到章节答案智慧树2023年济南大学
数学建模案例精选知到章节测试答案智慧树2023年最新济南大学第一章测试1.在商人过河问题中，如果设彼岸的人数情况为案例中的变量，则状态转移函数变为（）参考答案:s k+1=s k +（-1）k+1 d k2.下面哪一个不是商人过河允许的状态（）参考答案:(2,1)3.关于商人过河问题，下面说法错误的是（）参考答案:商人过河要保证每一岸的商人数和随从数一样多4.关于路障间距设计问题，说法不正确的（）参考答案:不可以假设汽车做匀速运动5.关于机理分析说法不正确的是（）参考答案:将研究对象看做一个黑箱第二章测试1.Lingo软件不可以直接求解哪一类优化模型（）.参考答案:多目标规划2.在露天矿生产的车辆安排问题中，已知铲位1到岩石漏距离为5.26km,车辆平均速度为28km/h,请问这条线路上运行一个周期平均所需时间Tij为（）(请保留两位小数).参考答案:8.38;30.54;19.273.在露天矿生产的车辆安排问题中，基本假设不变，若某天线路上的T ij=19分钟，车辆开始工作的时间可以不同，工作后车辆不会发生等待，则该线路上最多可以安排（）辆卡车？参考答案:44.在露天矿生产的车辆安排问题中，基本假设不变，若某天线路上的Tij=17分钟，安排3辆车在该线路上工作，开始工作的时间可以不同，开始工作后车辆不会发生等待，则三辆车在一个班次内的最大运算趟数是（）？参考答案:28,27,275.在露天矿生产的车辆安排问题中，基本假设不变，车辆开始工作的时间可以不同，开始工作后车辆不会发生等待，若可以安排3辆车在同一条线路上工作，则三辆车在一个班次（8小时）内的工作时间（分钟）不可能是（）.参考答案:479,471,474第三章测试1.假设快速喝下1瓶啤酒，酒精从肠胃向体液的转移速度与胃肠中的酒精含量x成正比，比例系数为k，则得到的微分方程为？（）。
参考答案:2.模型中有未知参数，给定了测试数据，确定参数的最佳方法为（）。
智慧树知到《数学建模与系统仿真》章节测试答案
智慧树知到《数学建模与系统仿真》章节测试答案第一章单元测试1.数学模型是根据特定对象和特定目的，做出必要假设，运用适当数学工具得到一个数学结构的理论表述。
答案：对2.数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。
通过抽象、简化、假设、引入变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解，是对实际问题的完全解答和真实反映，结果真实可靠。
答案：对3.数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述。
数学建模就是建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验）。
答案：对4.数学模型（Mathematical Model）强调的是过程；数学建模（Mathematical Modeling）强调的是结果。
答案：错5.人口增长的Logistic模型表明人口增长过程是先快后慢。
答案：对6.MATLAB的主要功能包括符号计算、绘图功能、与其他程序语言交互的接口和数值计算。
答案：符号计算、绘图功能、与其他程序语言交互的接口、数值计算7.Mathematica的基本功能包括语言功能（Programing Language）、符号运算（Algebric n）、数值运算（XXX）和图像处理（Graphics）。
答案：语言功能（Programing Language）、符号运算（Algebric n）、数值运算（Numeric n）、图像处理（Graphics）8.数值计算是Maple、MATLAB和Mathematica的主要功能之一。
答案：Maple、MATLAB、XXX9.评阅数学建模论文的标准包括表述的清晰性、建模的创造性和论文假设的合理性。
答案：表述的清晰性、建模的创造性、论文假设的合理性10.中国（全国）大学生数学建模竞赛（CUMCM）每年举办一次。
该竞赛开始于70年代初。
答案：一年举办一次，开始于70年代初。
10、微分方程模型可以用于描述物体动态变化过程，并且可以用来预测对象特征的未来状态。
数学建模第一次培训习题解答1
数学建模第一次作业院系：机电学院通信工程姓名：严宏海学号：20101003032数学建模习题11用给定的多项式，如y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi，i=1,2,…,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。
分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。
解：程序如下：x=1:0.5:10;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y0=y+rand;f1=polyfit(x,y0,1)%输出多项式系数y1=polyval(f1,x);%计算各x点的拟合值plot(x,y,'+',x,y1)grid ontitle('一次拟合曲线');figure(2);f2=polyfit(x,y0,2)%2次多项式拟合y2=polyval(f2,x);plot(x,y,'+',x,y2);grid ontitle('二次拟合曲线');figure(3);f4=polyfit(x,y0,4)%4次多项式拟合y3=polyval(f4,x);plot(x,y,'+',x,y3)grid ontitle('四次拟合曲线');figure(4);f6=polyfit(x,y0,6)%6次多项式拟合y4=polyval(f6,x);plot(x,y,'+',x,y4)grid ontitle('六次拟合曲线');运行结果如下：依次为各个拟合曲线的系数（按降幂排列）f1 =43.2000 -149.0663f2 = 10.5000 -72.3000 89.8087f4 =0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.5913f6 = 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000-2.4199运行后，比较拟合后多项式和原式的系数，发现四次多项式系数与原系数比较接近，四次多项式的四次项系数很小。
数学建模习题解答[杨启帆主编]和评分标准
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部分数学建模习题解答【杨启帆主编】第一章第5题一个男孩和一个女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校里上学，每天同时放学后分别以2km/h和1km/h的速度步行回家。
一只小狗以6km/h的速度由男孩奔向女孩，又从女孩处跑向跑回男孩处，如此往返的奔跑，直至回到家中。
问小狗总共奔波了多少路程？解：由于男孩、女孩与小狗跑的时间一样，所以把时间设为t，则有2t+1t=3，得到t=1h。
所以小狗跑了6km/h*1h=6km。
第一章10题一位探险家必须穿过一片宽度为800 km的沙漠，他仅有的交通工具是一辆每升汽油可行驶10km的吉普车．吉普车的油箱可装10升汽油。
另外吉普车上可携带8个可装5升汽油的油桶，也就是说，吉普车最多可带50升汽油(最多能在沙漠中连续行驶500 km)。
现假定在探险家出发地的汽油是无限充足的．问这位保险家应怎样设计他的旅行才能通过此沙漠？他要通过沙漠所需的汽油最少是多少升？为了穿越这片800km宽的沙漠，他总共需要行驶多少公里路程。
总共要花费多少升的汽油?思路：1、若沙漠只有500公里或者更短，这时很简单，一次搞定。
2、若沙漠有550km，怎么办？需要保证的是：车到了离沙漠终点还有500km的地方，能恰恰加满油且不会有多余。
方案可为：600-550＝50，从起点处加5*3(升)＝15升油，开出50km，设一加油站，存下5升，剩下5升刚好使得汽车返回起点。
再在起点处加满50升油，到加油站时，只乘45升了，把存放在那儿的5升油加上。
则可跑出沙漠。
（这样共加油15＋50＝65，总路程为150+500＝650km）3、再看2的情况，符合这种情况的沙漠的最大距离是多少呢：答案是500*（1+1/3）公里。
即在起点准备100升油，第一次装50升，跑了500/3公里后存放50*1/3升油，然后返回起点，这时车里的油也正好用完，然后再在起点处装50升，跑了550/3公里后，车内剩下（50*2/3）升油，再加上存放的50*1/3升油，恰好为50升油，则可跑出沙漠。
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第一章1-1习题1.设用原料A 生产甲、乙、丙的数量分别为131211,,x x x ，用原料B 生产甲、乙、丙的数量分别为232221,,x x x ，原料C 生产甲、乙、丙的数量分别为333231,,x x x ，则可以建立线性规划问题的数学模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+--≤+--≥--≤+--≥--≤++≤++≤++++++++-+=)3,2,1,(,005.05.05.004.06.06.0015.015.085.008.02.02.006.06.04.0120025002000..8.38.56.78.18.36.52.08.16.3max 332313322212322212312111312111333231232221131211333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x S ijLINDO 求解程序见程序XT1-1-1。
求解结果：1200,22.1482,33.473,0,78.1017,66.1526322212312111======x x x x x x 0,0,0332313===x x x ，24640max =S （元）。
2.设用设备,,,,,32121B B B A A 加工产品Ⅰ的数量分别为54321,,,,x x x x x ,设备121,,B A A 加工产品Ⅱ的数量分别为876,,x x x ,设备22,B A 加工产品Ⅲ的数量分别为109,x x ,则目标函数为: 976321)5.08.2())(35.02())(25.025.1(max x x x x x x S -++-+++-=400072007000114783400086250100001297312600010530051048397261xx x x x x x x x x ⨯-+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-整理后得到:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-=-+=--++≤≤+≤+≤++≤+-+-++---+=)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1(,00;0;0;40007;7000114;400086;100001297;6000105..2304.19256.15.03692.115.135.04474.0375.07816.075.0max 109876543215104839726110987654321j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x S j 整数 LINDO 求解的程序见程序XT1-1-2。
求解结果: 324,500,0,571,859,0,230,120010987654321==========x x x x x x x x x x446.1155max =S3.设自己生产甲、乙、丙的数量分别为312111,,x x x ,外协加工甲、乙、丙第数量分别为322212,,x x x （外协加工的铸造、机加工和装配的工时均不超过5000小时）,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++≤++≤++≤++-++++=，整数，，，0,,,,,5000223100002235000846120008465000710580007105..10091371015max 322212312111322212312111322212312111322212312111322212312111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x S LINDO 求解的程序见程序XT1-1-3。
求解结果:自己生产甲产品1600件,外包协作生产甲产品400件、乙产品300件，不生产丙产品,可以获得最大利润31900元.4.(1)设建立的模型为ε++=a bx y ，对于每一个点)19,,2,1(Λ=++=i a bx y i i i ε 则建立线性规划问题的数学模型为：⎩⎨⎧=≥==-+++==∑∑==无非负限制b a i v u i y v u a bx t s v u S i i i i i ii iii i,),19,,2,1(0,)19,,2,1(..)(min 191191ΛΛε用LINDO 求解的程序见程序XT1-1-41。
求得的回归直线方程为:x y 6375.058125.0+=,误差绝对值之和等于:11.46625. (2) 建立的线性规划数学模型为: ⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤-+==-+++==∑∑==无非负限制b a i v u i z v u i y v u a bx t s v uzS i i i i i i i i i i ii i ,),19,,2,1(0,)19,,2,1(0)19,,2,1(..)(min 191191ΛΛΛε 用LINDO 求解的程序见程序XT1-1-42。
求得的回归直线方程为:x y 625.04.0+-=,最大误差的绝对值为:1.725. 5.图解法略.这里只给出最优解: (1)344max ,34,31621===S x x ;(2) 4min ,31,3821===S x x (3) 44max ,4,1021===S x x (最优解不惟一);(4)线性规划问题无有界的最优解.1-2习题1.（1）10max ,16,0,6321====S x x x LINDO 程序见程序XT1-2-11。
（2）30max ,0,310,350321====S x x x LINDO 程序见程序XT1-2-12。
（3）294max ,36,6,0321====S x x x LINDO 程序见程序XT1-2-13。
（4）46max ,0,7,4321====S x x x LINDO 程序见程序XT1-2-14。
2.设生产甲、乙两种产品的数量分别为21,x x 单位，则可建立线性规划问题的数学模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤++=0,2504002300..10050max 212212121x x x x x x x t s x x SLINDO 程序见程序XT1-2-2。
：求解结果：生产甲50单位，乙250单位，可使利润达到最大。
最大利润27500元。
3.（略）4.基本最优解有四个：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5020,0520,5002,05024321X X X X ，7max =S任意最优解第表达式：7max =S1104321432144332211=+++≤≤+++=αααααααααααα，、、、，X X X X X5.（1）16max ,0,2,5321====S x x x LINDO 程序见程序XT1-2-51。
： （2）4125min ,45,415,0321-====S x x x LINDO 程序见程序XT1-2-52。
6.设生产甲、乙两种产品的数量分别为21,x x 单位，则可建立线性规划问题的数学模型 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤++=0,2504002300..5050max 212212121x x x x x x x t s x x S LINDO 程序见程序XT1-2-6。
求解结果：最优解10,200100125050≤≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ααα）（。
即生产甲50单位，乙250单位，或者生产甲100单位，乙200单位（也可以是它们的凸组合）可使利润达到最大。
最大利润15000元。
1-3习题1.其对偶线性规划问题为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥=+---≥-+≥++--≤-+++-=006332334226164min 321321321321321321y y y y y y y y y y y y y y y y y y W ，无约束， 引入松弛变量，将原问题化为标准形：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=--+-+=++-++--=+-+---+-+=7,6,5,4,3,2,1,06332162432.66334max 7543216543215432154321j x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z j 变换为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥-=-+--=+-+=-+-++--=7,6,5,4,3,2,1,0684202432.153824max 7321632154321321j x x x x x x x x x x x x x x t s x x x Z j 初始单纯形表：2.（1）1230,b b =（2）对偶线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥-≥-≥++=0,03622555..4030min 2121212121y y y y y y y y t s y y W对偶问题的最优解*(5,0),min 150T W ==y 。
（3）23,5,10,5,0a b c d e =-==-==； 3.（1）1233,2,0,min 7x x x S ====； 求解的LINDO 程序见程序XT1-3-31。
（2）无可行解.求解的LINDO 程序见程序XT1-3-32。
4. 设销售甲、乙两种产品分别为21,x x ，则建立线性规划问题数学模型 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥++=0,0300105300050100..3.05.0min 21212121x x x x x x t s x x S 求解得：1220,20,,min 16x x S === LINDO 程序见程序XT1-3-4。
5.设生产A 、B 、C 三种产品的数量分别为321,,x x x ，则建立线性规划问题数学模型 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++++=0,0,03054345536..43max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x S 求解得：（1）1235,0,3,max 27x x x S ====；（2）A 的利润8.44.21≤≤c ；（3）02.08.2328)6.0,2.0(3414>=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--P B C c B ，该产品值得生产；（4）材料的影子价格4.06.0>，要购买原材料扩大生产，以购买15单位为宜。
LINDO 程序见程序XT1-3-5。
案例：经理会议建议的分析(1)设计划生产321,,A A A 的数量分别为321,,x x x ，则可建立线性规划数学模型： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤≥≤++≤+≤+≤++++=0,0,0210;70300;420446023;4302..502030max 321323212131321321x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x S 最优解：12900max ,230,70,0321====x x x 。