8 数值积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
数值积分
数值积分
四边形单元
四边形单元与一维单元类似，按经验公式计算，4 节点、8节点、12节点单元的Gauss积分阶次应该分 别选1.5、2.5、3.5。因此，有
a）4节点单元可以取减缩积分方案n=1或正常积分 方案n=2；
b）8节点单元可以取减缩积分方案n=2或正常积分 方案n=3；
c）12节点单元可以取减缩积分方案n=3或正常积分 方案n=4。
数值积分
P( ) ( 1 )( 2 ) ( n ) ( j )
j 1 n
b
a
P( )d 0
i
(i 0,1, , n 1)
上式可用来确定积分点的位置。
数值积分
用条件ψ(ξi)=F(ξi)构造的多项式积分后可写成如下形式
数值积分
以上积分在多个坐标方向上选取的积分点数是相 同的，实际上，根据单元的特点对不同坐标方向 也可选取不同的积分点数。对于4节点四边形单元， 在单元刚度矩阵积分中，被积函数中包含1，ξ，η， ξ 2，η2，ξη项，最高方次为2。通常采用2×2阶高 斯积分。同样，对于8节点六面体单元，通常采用 2×2×2阶Gauss积分。
i 1 n j 1
n
n
H i H j F ( j ,i )
i 1 j 1
n
数值积分
同理，对于三维数值积分，有
I
1 1 n
1 n
1
1 1 n
F ( , , )d d d
H i H j H m F ( m , j , i )
i 1 j 1 m 1
① 矩阵相乘的秩规则
如果几Байду номын сангаас矩阵相乘
B UAV
数值积分方法求解积分方程
数值积分方法求解积分方程
数值积分方法是通过对被积函数进行离散化，将积分方程转化为求和问题，从而利用数值求和的方法进行求解。
常用的数值积分方法包括梯形法则(Trapezoidal rule)、中点法
则(Midpoint rule)、辛普森法则(Simpson's rule)等。
以梯形法则为例进行说明：
梯形法则是将积分区间分成若干个小区间，每个小区间都近似看做一个梯形，然后对所有梯形的面积进行求和。
具体步骤如下：
1. 将积分区间 [a,b] 平均分成 n 个子区间，每个子区间长度为
h=(b-a)/n。
2. 在每个子区间中，用梯形近似替代被积函数。
假设第 i 个子
区间为[xi, xi+1]，则梯形的面积为(f(xi)+f(xi+1))*(xi+1-xi)/2，其中 f(x) 是被积函数。
3. 对所有子区间的梯形面积进行求和，即 S = (h/2) * [f(a) +
2*f(x1) + 2*f(x2) + ... + 2*f(xn-1) + f(b)]。
通过上述步骤，就可以利用梯形法则对积分方程进行数值求解。
需要注意的是，选择合适的子区间个数 n 以及采用更高阶的数
值积分方法，可以提高求解的精度。
此外，对于某些特殊形式的积分方程，可能需要采用特定的数值积分方法进行求解。
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值积分
W(x) W(x 0) W(x 1) W(x2 ) W' (x 1) 0, x xi, i 0,1,2.
类似于上面对插值误差的讨论，在区间内至少有一点，使
(4)
W
整理上式，得到
0
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) f(x) G 3(x) f ( ), x 0 x 2. 4!
于是，由式(1.8)得到
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) E 2 [f(x) N 3(x)] dx f (ξ ) dx x0 x0 4!
x2 x2
因子(xx0)(xx1)2(xx2)在区间[x0,x2]内不会变号，故可以应用广 义中值定理，即在[x0,x2]内存在，使
(1.11)
所以，辛卜生公式的误差项为 1 5 (4) E2 h f ( ), x0 x2 90
(1.12)
Newton-Cotes公式的代数精度
定理： 由(n+1)个相异节点x0 、x1 、…x n构造的求积公式的代
数精度至少为n。
证明：记Ln(x)为x0,x1,x2...xn的Lagrange 插值多项式,即Ln ( x ) 因为 f ( x ) L ( x ) n
x
x3
0
3h P 3(x) (f 0 3 f 1 3 f 2 f 3) 8
(1.4)
当n=2时，为抛物线公式
b
a
ba ab f ( x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2
y
y=P2(x) y=f(x)
0
x0
x1
数值积分方法
数值积分方法数值积分，又称为数值分析，是一种应用科学和数学技术来求解数学分析中几何或者微分方程的数学方法。
在实际应用中，有一系列的数值积分方法可以应用于解决某些数学问题，其中包括这些方法的微元法、有限元法、线性多项式插值法、指数插值法、函数拟合法和通用积分等方法。
通过合理的数值技术及其应用，可以有效地解决众多实际问题。
数值积分是数值分析中最基本的方法，指将数学分析中的连续函数或曲线所表示的求和问题离散化，以使其被数值计算机计算出来，也被称为数值积分。
当需要用数值积分方法求某函数的定积分时，首先必须找出该函数的积分表达式，然后对该表达式进行离散化，得到计算机可以处理的函数，最后根据具体的算法，得到数值积分的解。
数值积分方法具有多种形式，分别适用于不同实际问题。
首先，常用的数值积分方法有积分公式，如梯形公式、抛物线公式、Simpson 公式等，以及牛顿-拉夫逊多项式插值公式等，这些积分公式可以以直接的方式计算定积分，但是这种方法只适用于简单的定积分计算，在复杂定积分的计算中效果不佳。
其次，还有多元积分法，如变步长梯形法、双积分法等，这些积分法可以帮助求解一些复杂的定积分，但是计算时间较长。
此外，还有有限元法、隐式Runge-Kutta法、快速积分法等，这些积分方法能够帮助求解非定积分问题，其计算效率也相对较高。
数值积分方法在实际应用中得到了广泛的应用，如仿真求解有限元方程，求解复杂的拟合问题，估计系统的运行参数，计算力学分析等等都与数值积分技术有关。
另外，今天在这一领域，全球多家著名计算数值分析软件公司也在不断改进技术，开发出更加高效的数值积分软件，从而更好地服务于实际问题的求解。
总之，数值积分方法是一门重要的数值分析学科，可用于解决多种实际问题，广泛应用于科学和技术领域，具有重要的现实意义。
数值计算中的数值积分方法
数值计算中的数值积分方法数值计算是应用数学的一个分支，它主要涉及数值计算方法、算法和数值实验。
其中，数值积分作为数值计算中的一个重要环节，其作用在于将连续函数转化为离散的数据，从而方便计算机进行计算和处理。
本文将介绍数值积分的概念、方法和应用。
一、数值积分的概念数值积分是利用数值方法对定积分进行估计的过程。
在数值积分中，积分被近似为离散区间的和，从而可以被计算机进行处理。
数值积分中，被积函数的精确的积分值是无法计算的，而只能通过数值方法进行估计。
数值积分的目的是通过选取合适的算法和参数来尽可能减小误差，达到精度和效率的平衡。
二、数值积分的方法1. 矩形法矩形法是数学上最简单的数值积分方法之一。
矩形法的算法是将要积分的区间分为若干个小区间，然后计算每个小区间中矩形的面积，最后将所有小矩形的面积加起来得到近似的积分值。
矩形法的精度一般较低，适用于计算不需要高精度的函数积分。
2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的一种方法，其原理是将区间分为若干个梯形，并计算每个梯形的面积，最后将所有梯形的面积加起来得到近似的积分值。
梯形法的计算精度较高，但其计算量较大。
3. 辛普森法辛普森法是数值积分中一种高精度的方法，它是利用二次多项式去估计原函数。
辛普森法的原理是将区间分为若干等分小区间，并计算每个小区间中的二次多项式的积分值，最后将所有小区间的积分值加起来得到近似的积分值。
辛普森法的优点是其精度高，计算量相对较小。
三、数值积分的应用数值积分方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，它可以被用于工程学、物理学和金融学中的数值计算。
在工程学中，数值积分被用于数值模拟和计算机辅助设计中。
在物理学中，数值积分则被用于数值求解微分方程和计算机模拟等领域。
在金融学中，数值积分则被应用于计算复杂的金融模型和风险分析。
总之，数值积分方法是数学和计算机科学中非常重要的一部分。
通过不同的数值积分方法来近似计算定积分，我们能够利用计算机更加高效地进行数学计算和数据分析，从而使得数学和物理等学科的研究者能够更加快速地得出准确的结果。
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f ( x )dx ≈
Tn
h h R[ f ] = ∑[− f ′′(ξk )] = − (b − a) k =1 n 12 12 k =1 h2 = − (b − a) f ′′(ξ ), ξ ∈(a, b) 12
n
3
2
∑ f ′′(ξ )
k
n
/*中值定理 中值定理*/ 中值定理
§2 Composite Quadrature
b−a [ f (a ) + f (b)] ∫a 2 代数精度 = 1 b f ′′(ξ ) /* 令 x = a+th, h = b−a, 用中 − x R[ f ] = ∫ ( x − a)( x − b) dx a 值定理 */ 2! 1 3 b−a ′′(ξ ) , ξ ∈ [a , b] , h = =− h f 12 1 f ( x )dx ≈
b
梯形公式 解：逐次检查公式是否精确成立rule*/ /* trapezoidal
b −a A =A = 1 2 2 考察其代数精度。 考察其代数精度。
b −a ∫a f (x)dx ≈ 2 [ f (a) + f (b)]
b
f(b)
∫
b
b−a 2 2 b3 − a 3 代入 P2 = x2 ： x 2 dx = ≠ [a + b ] 代数精度 = 1 ∫a 3 2
§2 Composite Quadrature
收敛速度与误差估计： 收敛速度与误差估计：
定义 若一个积分公式的误差满足
阶收敛的 则称该公式是 p 阶收敛的。
lim
h→ 0
R[ f ] =C <∞ p h
且C ≠ 0， ，
f(x) 4
Tn ~ O(h2 ) , Sn ~ O(h4 ) , Cn ~ O(h6 )
x−b x−a f (a ) + f (b ) a−b b−a
f(x)
§1 Newton-Cotes Formulae
b−a [1 + 1] f(a) 代入 P0 = 1： ∫ 1 dx = b − a = ： a 2 2 2 a b b −a b−a 代入 P1 = x ： x dx = [ a + b] = a 2 2
1
5/8 …
3/4 … …
7/8
1 0.8414709
1 f (0) 1 1 3 1 5 3 7 f (1) T8 = [ + f ( )+ f ( )+ f ( )+ f ( )+ f ( )+ f ( )+ f ( )+ ] 8 2 8 4 8 2 8 4 8 2 xi f (xi) ≈ 0.9456909 . 精确解 ：
公式： 复化 Simpson 公式： h =
b−a , xk = a + k h n
( k = 0, ... , n)
∫
x k +1 xk
f ( x ) dx ≈
h [ f ( x k ) + 4 f ( x k + 1 ) + f ( x k +1 )] 2 6
2
xk
xk+1
x k +1
4 4 4
4 4
∫
b
a
n −1 n −1 h f ( x )dx ≈ [ f ( a ) + 4∑ f ( x k + 1 ) + 2∑ f ( x k +1 ) + f ( b )] 2 6 k =0 k =0
= Sn
b−a R[ f ] = − 180
h f 2
4
(4)
(ξ )
为偶数， 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 为方便编程，可采用另一记法： 这时 h′ = b − a = h , xk = a + k h′ ，有
例：计算 π =
T8 解： =
x 0
∫
1 0
4 1+ x 2
7
dx
1/8 3.938461538 2/8 3.764705882 3/8 3.506849315 4/8 3.2 5/8 2.876404494 6/8 2.56 7/8 2.265486726 1 2
1 f ( 0 ) + 2∑ 16 k =1
R[ f ] = −
8 7 h f 945
(6)
(ξ )
§2 复合求积
/* Composite Quadrature */
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 现象， 高次插值有 复合求积公式 求积公式。 ⇒ 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 复合梯形公式： 复合梯形公式： h =
k =0 n
∫
b a
f ( x )dx ≈ ∑ f ( x k ) ∫ l k ( x )dx
b k =0 a
n
误差 R[ f ]
Ak
= ∫ f ( x )dx − ∑ Ak f ( x k )
b a k =0
n
Ak = ∫
b a
决定， 由节点 决定， ∏ j ≠ k ( xk − x j ) dx 与 f (x) 无关。 无关。 =
5 19/288 6 41/840
751 7 17280 989 8 28350
25/144 25/144
1323 3577 17280 17280 10496 28350 -928 28350
n = 1: C 0( 1 )
b
1 = , 2
C 1( 1 )
1 = 2
§1 Newton-Cotes Formulae
h′ Sn = [ f (a) + 4 ∑ f ( xk ) + 2 ∑ f ( xk ) + f (b)] 3 odd k even k
n′
2
根据数据表利用复合求 积公式求 I = ∫ 例：
xi f (xi) 0 1 1/8 0.9973978 1/4 … … 3/8 … … 1/2 … …
sin x dx 的值. 0 x
25/96 9/35 3577 17280 5888 28350
Ck(n) 1/6 3/8 2/15
9/280 1323 17280 -928 28350
1/8 16/45
34/105 2989 17280 10496 28350
7/90
25/96 9/280 2989 17280 -4540 28350 19/288 9/35 41/840 751 17280 5888 28350 989 28350
1 5 (4) R[ f ] = − h f (ξ ) , 90 b−a ξ ∈ (a , b ) , h = 2
R[ f ] = − 3 5 (5) h f (ξ ) 80
n = 3: Simpson’s 3/8-Rule, 代数精度 = 3, n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5,
b−a , xk = a + k h n ( k = 0, ... , n)
上用梯形公式： 在每个 [ xk −1 , xk ] 上用梯形公式：
xk − xk −1 [ f ( xk −1 ) + f ( xk )] , k = 1, ... , n ∫xk−1 2 n n−1 b h h ∫a f (x)dx ≈ ∑2[ f (xk−1) + f (xk )]= 2 f (a) + 2∑ f (xk ) + f (b) = k=1 k=1
b
1 例如，有积分公式: ∫ f ( x)dx ≈ [ f (−1) + 2 f (0) + f (1)] −1 2 求该积分公式的代数精确度。 解：取f(x)=1， ， 1 1 1 1 ∫-1 f (x)dx = ∫-11dx =2 = 2[ f (−1) +2 f (0) + f (1)] = 2[1+2+1] = 2 取f(x)=x ， 1 1 1 1 ∫-1 f (x)dx = ∫-1xdx =0 = 2[ f (−1) +2 f (0) + f (1)] = 2[−1+0+1] = 0 取f(x)=x2 ， 1 1 2 1 1 2 ∫-1 f (x)dx = ∫-1x dx = 3 ≠ 2[ f (−1) +2 f (0) + f (1)] = 2[1+0+1] =1 对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的； 对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；
b−a , i = 0, 1, ... , n n
注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i， ， 可查表得到。 可查表得到。与 f (x) 及区 均无关。 间[a, b]均无关。 均无关
Cotes系数 C i( n ) 系数
Ck(n)
n 1 2 3 4 1/2 1/6 1/8 7/90 1/2 2/3 3/8 16/45
公式为插值型（ 公式为插值型（即： k = ∫ l k ( x )dx ） 插值型 A 当节点等距分布 等距分布时 当节点等距分布时： xi = a + i h, h =
xn
(x − xj) Ai = ∫ ∏ dx 令 x =a+th x0 ( xi − x j ) j≠i n (t − j) h ( b − a )( − 1) n − i n =∫ ∏ × h dt = ∫0 ∏j ( t − j )dt 0 (i − j ) h n i ! ( n − i )! i≠ j i≠
第8章 数值积分 章
b a
/* Numerical Integration */ 插值型积分公式