数值积分与数值微分

a
Gauss 型公式是收敛的
令 f ( x) = li2( x)
∫ ∑ b a
ρ
(
x= )li2( x) dx
n
= Ajli2 ( x j )
Ai
j=0
Ai > 0
Gauss 型公式是稳定的
11
Gauss 公式与正交多项式
利用正交多项式构造 Gauss 求积公式
积分区间: [-1, 1]，权函数： ρ(x) = 1
a
Ai f ( xi )
i=0
含 2n+2 个参数 (节点与系数)，为了使该公式具有 尽可能高的代数精度，可将 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入公式，使其精确成立，则可构造出代数精度至 少为 2n+1 的求积公式!
自由选取求积节点！等分点不一定最佳！
3
举例
例：试确定节点 xi 和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽
设 p2n+1(x) 是 f(x) 在节点 x0, x1, …, xn 上的 2n+1 次 Hermite
插值多项式, 即 p2n+1( xi ) = f ( xi ), p2'n+1 ( xi ) = f '( xi )
= f (x)
p2n+1( x) +
f (2n+2) (2n +
(ξx ) 2)!
n
（将 ∏ f ( x) = ( x − xi )2 代入验证即可） i=0
Gauss 求积公式在所有机械求积公式中代数精度最高
5
Gauss 点
问题：如何计算 Gauss 点 xi 和 高斯系数 Ai
法一：解非线性方程组 法二：分开计算
太困难!
先确定 Gauss 点 再通过解线性方程组计算 Gauss 系数
可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。
1
∫−1 f ( x) dx ≈ A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
解：将 f (x)＝1, x, x2, x3 代入求积公式，使其精确成立，可得
A0 + A1 = 2
A0
x0
+
A1 x1
= 0
A0
x02
+
A1 x12
= 2 / 3
ω2 n+1
(
x
)
dx
∫ R[ f ] = f (2n+2) (η )
(2n + 2)!
b a
ρ(
x)ωn2+1( x)
dx
η ∈ (a, b)
10
收敛性与稳定性
可以证明：当 a, b 为有限数，且 f (x) ∈C[a, b] 时
∑ ∫ n
b
lim
n→∞
i=0
Ai
f
( xi )
=
ρ ( x) f ( x) dx
b
∫a ρ ( x) p( x)ωn+1( x) dx = 0
证明: 板书
推论：设 p0(x), p1(x), …, pn(x) , … 是 [a, b] 上带权 ρ(x) 正交的
多项式族，则 Gauss 点即为 pn+1(x) 的零点！
7
计算 Gauss 点的一般方法
求出 ωn+1(x) 的表达式 计算其零点
6
Gauss 点
∫ ∑ b
n
ρ ( x) f ( x)dx ≈
a
Ai f ( xi )
i=0
定理：上面的插值型求积公式中的节点 xi (i = 0, 1, … , n) 是
n
Gauss点的充要条件是：多项式 ωn+= 1( x) ∏ ( x − xi ) 与任意次 i=0
数不超过 n 的多项式 p(x) 都关于权函数 ρ(x) 正交，即
A0 x03 + A1x13 = 0
= A0 1= , A1 1
x0
= − 33 , x1
= 3 3
∫1
−1 f ( x)dx ≈ f −
3 3
+
f
3 3
该公式对 f (x)＝x4 不精确成立，故有 3 次代数精度！
缺点：非线性方程组求解较困难！ 4
Gauss 型求积公式
一般情形：考虑机械带权求积公式
8
Gauss 系数的计算
将 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入，解方程 或利用 Lagrange 基函数
例：试确定节点 xi 和系数 Ai ，使得下面的求积公式具有尽
可能高的代数精度。
1
∫0 x f ( x) dx ≈ A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
9
余项公式
与 1, x, x2, ..., xn 带权正交
特殊情形：
(1) [a, b]=[-1, 1], ρ(x)=1，
则 Gauss 点即为 Legendre 多项式的零点
( )−1
(2) [a, b]=[-1, 1], ρ (= x) 1 − x2
则 Gauss 点即为 Chebyshev 多项式的零点
Gauss-Legendre 求积公式
积分区间: [-1, 1]，权函数： ρ ( x) =
1 1− x2
Gauss-Chebyshev 求积公式
12
Gauss-Legendre 求积公式
积分区间: [-1, 1]， 权函数: ρ(x) = 1
Gauss 点 = Legendre 多项式 pn+1(x) 的零点
∫ ∑ b
Байду номын сангаас
n
ρ ( x) f ( x) dx ≈
a
Ai f ( xi )
i=0
定义：若存节点在 xi ∈[a, b] 及系数 Ai ，使得上面的求积
公式具有 2n+1 次代数精度，则称节点 xi 为高斯点，Ai 为 高斯系数，求积公式为 高斯型求积公式
性质：上面的求积公式至多具有 2n+1 次代数精度
G-L 求积公式:
∫ ∑ 1
n
f ( x) dx ≈
−1
Ai f ( xi )
i=0
13
低阶 G-L 公式
n =0 时, Pn+1( x) = x
Gauss 点: x0 = 0
G-L 求积公式:
将 f (x)＝1 代入求出 A0
1
∫ f ( x) dx ≈ 2 f (0) −1
第四章
数值积分与数值微分 — Gauss 求积公式
1
本讲内容
Gauss 求积公式
一般理论：公式，余项，收敛性，稳定性 Gauss-Legendre 求积公式 Gauss-Chebyshev 求积公式 无限区间的 Gauss 求积公式
2
怎样构造更高精度的求积方法
考虑求积公式
∫ ∑ b
n
f ( x)dx ≈
ω2 n+1
(
x
)
∫ ∫ ∫ b
= ρ( x) f ( x) dx a
b
a ρ ( x) p2n+1( x) dx +
b a
f (2n+2) (2n +
(ξx ) 2)!
ρ
(
x
)ωn2+1
(
x
)
dx
∑ ∫ =
n
Ai p2n+1( xi )
i=0
+
b
ρ(x)
a
f (2n+2) (2n +
(ξ x )
2)!