数值积分与数值微分知识题课
数值积分与数值微分ppt课件
a
,
x1
b
2
a
,
x2
b
,h
b
2
a
Cotes系数:
C0( 2 )
1 4
2
1
(t 1)(t 2)dt
0
6
4.5 4
C1(2)
1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
3.5 3
2.5
C2(2)
1 4
2
1
(t 1)tdt
0
6
2 1.5
1
求积公式:
2
Q2( f ) (b a)
n (t j)h
0
0
jn
(k
j)h
h
dt
jk
jk
h (1)nk n
(t j)dt
k!(n k)! 0 0 jn
jk
Ak
ˆ
(b
a
)
C (n) k
C
(n)称
k
为Cotes系
数
(1)nk
n
Ak
(b a)
3
I3(
f
)
b
6
a
(a2
(a
b)2
b2
)
b3
3
a3
R( , x2 ) 0
（3）当 f (x) x3时，I ( f ) b4 a4
4
I3(
f
)
b
微分方程数值解习题课
微分方程初值问题数值解习题课一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分2xt y e dt -=⎰所确定的函数y 在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。
解：该积分问题等价于常微分方程初值问题2'(0)0x y e y -⎧=⎪⎨=⎪⎩其中h=0.5。
其向前欧拉格式为2()100ih i i y y he y -+⎧=+⎪⎨=⎪⎩改进欧拉格式为22()2(1)10()20ih i h i i h y y ee y --++⎧=++⎪⎨⎪=⎩将两种计算格式所得结果列于下表二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题'1(0)1y x y y =-+⎧⎨=⎩00.6x ≤≤取步长h=0.1.解：4步显式法必须有4个起步值，0y 已知，其他3个123,,y y y 用4阶龙格库塔方法求出。
本题的信息有：步长h=0.1；结点0.1(0,1,,6)i x ih i i ===L ；0(,)1,(0)1f x y x y y y =-+==经典的4阶龙格库塔公式为11234(22)6i i hy y k k k k +=++++1(,)1i i i i k f x y x y ==-+121(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+232(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+433(,)0.1 1.1i i i i k f x h y hk x y k =++=--+算得1 1.0048375y =,2 1.0187309y =,3 1.0408184y =4阶4步阿达姆斯显格式1123(5559379)24i i i i i i hy y f f f f +---=+-+-1231(18.5 5.9 3.70.90.24 3.24)24i i i i i y y y y y i ---=+-+++由此算出4561.0703231, 1.1065356, 1.1488186y y y ===三、用Euler 方法求()'1,0101x y e y x x y =-++≤≤=问步长h 应该如何选取，才能保证算法的稳定性？解：本题(),1xf x y e y x =-++ (),0,01x y f x y e x λ'==-<≤≤本题的绝对稳定域为111x h he λ+=-<得02x he <<，故步长应满足02,00.736he h <<<<四、求梯形方法111[(,)(,)]2k k k k k k hy y f x y f x y +++=++的绝对稳定域。
数值分析课后习题和解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析 习题课2
I ≈ 0.5555556 × [ f (−0.7745967) + f (0.7745967)] + 0.8888889 × f (0) ≈ 10.9484
用n=3的高斯-勒让德公式计算积分：
I ≈ 0.3478548 × [ f (−0.8611363) + f (0.8611363)] +0.6521452 × [ f (−0.3399810) + f (0.3399810)] ≈ 10.95014
x+5 y= 4
，则
作变换
1
y=
1 I2 = ∫ dx, −1 x + 7 1 f ( x) = , x+7 I 2 ≈ f (−0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.2876712
x+7 4
，则
作变换
1
1 1 1 I4 = ∫ dx, I3 = ∫ dx, −1 x + 11 −1 x + 9 1 1 , f ( x) = , f ( x) = x + 11 x+9 I ≈ f ( −0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.1823204 I 3 ≈ f (−0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.2231405 4
R( f ) = − ≤
b − a b − a 4 (4) ( ) f (η ) 180 2
1 1 × 4 × e0 = 0.00035,η ∈ (0,1) 180 2
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
解：采用复化梯形公式时，余项为
现代科学工程计算基础课后答案
现代科学工程计算基础课后答案《现代科学与工程计算基础》较为详细地介绍了科学与工程计算中常用的数值计算方法、基本概念及有关的理论和应用。
全书共分八章，主要内容有误差分析，函数的插值与逼近，数值积分与数值微分，线性代数方程组的直接解法与迭代解法，非线性方程及非线性方程组的数值解法，矩阵特征值和特征向量的数值解法，以及常微分方程初、边值问题的数值解法等。
使用对象为高等院校工科类研究生及理工科类非“信息与计算科学”专业本科生，也可供从事科学与工程计算的科技工作者参考。
《现代科学与工程计算基础》讲授由浅人深，通俗易懂，具备高等数学、线性代数知识者均可学习。
基本信息出版社: 四川大学出版社; 第1版 (2003年9月1日)平装: 378页语种：简体中文开本: 32ISBN: 7561426879条形码: 9787561426876商品尺寸: 20 x 13.8 x 1.6 cm商品重量: 399 g品牌: 四川大学出版社ASIN: B004XLDT8C《研究生系列教材:现代科学与工程计算基础》是我们在长期从事数值分析教学和研究工作的基础上，根据多年的教学经验和实际计算经验编写而成。
其目的是使大学生和研究生了解数值计算的重要性及其基本内容，熟悉基本算法并能在计算机上实现，掌握如何构造、评估、选取、甚至改进算法的数学理论依据，培养和提高读者独立解决数值计算问题的能力。
目录第一章绪论§1 研究对象§2 误差的来源及其基本概念2.1 误差的来源2.2 误差的基本概念2.3 和、差、积、商的误差§3 数值计算中几点注意事项习题第二章函数的插值与逼近§1 引言1.1 多项式插值1.2 最佳逼近1.3 曲线拟合§2 Lagrange插值2.1 线性插值与抛物插值2.2 n次Lagrange插值多项式2.3 插值余项§3 迭代插值§4 Newton插值4.1 Newton均差插值公式4.2 Newton差分插值公式§5 Hermite插值§6 分段多项式插值6.1 分段线性插值6.2 分段三次Hermite插值§7 样条插值7.1 三次样条插值函数的定义7.2 插值函数的构造7.3 三次样条插值的算法7.4 三次样条插值的收敛性§8 最小二乘曲线拟合8.1 问题的引入及最小二乘原理8.2 一般情形的最小二乘曲线拟合8.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘拟合8.4 多变量的最小二乘拟合§9 连续函数的量佳平方逼近9.1 利用多项式作平方逼近9.2 利用正交函数组作平方逼近§10 富利叶变换及快速富利叶变换10.1 最佳平方三角逼近与离散富利叶变换10.2 快速富利叶变换习题第三章数值积分与数值微分§1 数值积分的基本概念1.1 数值求积的基本思想1.2 代数精度的概念1.3 插值型求积公式§2 等距节点求积公式2.1 Newton—CoteS公式2.2 复化求积法及其收敛性2.3 求积步长的自适应选取§3 Romberg 求积法3.1 Romberg求积公式3.2 Richardson外推加速技术§4 Gauss型求积公式4.1 Gauss型求积公式的一般理论4.2几种常见的Gauss型求积公式§5 奇异积分和振荡函数积分的计算5.1 奇异积分的计算5.2 振荡函数积分的计算§6 多重积分的计算6.1 基本思想6.2 复化求积公式6.3 Gauss型求积公式§7 数值微分7.1 Taylor级数展开法7.2 插值型求导公式习题第四章解线性代数方程组的直接法§1 Gauss消去法§2 主元素消去法2.1 全主元素消去法2.2 列主元素消去法§3 矩阵三角分解法3.1 Doolittle分解法（或LU分解）3.2 列主元素三角分解法3.3 平方根法3.4 三对角方程组的追赶法§4 向量范数、矩阵范数及条件数4.1 向量和矩阵的范数4.2 矩阵条件数及方程组性态习题第五章解线性代数方程组的迭代法§1 Jacobi迭代法§2 Gauss-Seidel迭代法§3 超松弛迭代法§4 共轭梯度法习题第六章非线性方程求根§1 逐步搜索法及二分法1.1 逐步搜索法1.2 二分法§2 迭代法2.1 迭代法的算法2.2 迭代法的基本理论2.3 局部收敛性及收敛阶§3 迭代收敛的加速3.1 松弛法3.2 Aitken方法§4 New-ton迭代法4.1 Newton迭代法及收敛性4.2 Newton迭代法的修正4.3 重根的处理§5 弦割法与抛物线法5.1 弦割法5.2 抛物线法§6 代数方程求根6.1 多项式方程求根的Newton法6.2 劈因子法§7 解非线性方程组的Newton迭代法习题……第七章矩阵特征值和特征向量的计算第八章常微方分程数值解法附录参考文献欢迎下载，资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!资料仅供参考!!!。
武汉大学《数值分析》课件-第7章
，
b
n
a
可知 t [ 0, n] ．
由Lagrange插值基函数有
lk
(x)
lk
(a
th)
n i0,ik
x xk
xi xi
n ti i0,ik k i
(1)nk
n
ti
k !(n k )! i0,ik
而 dx hd t b a dt，所以
n
b a
lk
(x)dx
n 0
再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为
F*
F2
(h)
1 8
k2h2
3 32
k3h3
(7..).
用4乘(7)式减去(6)式,消去含 h2的项,得
F*
[
F2
(
h 2
)
F2 (h
/
2) 3
F2 (h)]
1 8
(k83)h3
...
同样记
而 I 3( f ) b 6 a (1 4 1) (b a )
有 R ( ,1) 0
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f ( x) x时 ， I ( f ) b 2 a2 I3( f ) b 6 a ( a 22a 2b b ) b2 2 a2
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析第四版第四章数值积分与数值微分精品PPT课件
b
n
b
R( f ) f (x)dx a
在a,b内存在一点 ,使得
b
I ( f ) f (x)dx (b a) f ( )
a
f ?
称 f 为 f x 在区间 a,b上的平均高度.
3、求积公式的构造
➢ 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则 可得一点求积公式如下：
左矩形公式： I f f ab a
中矩形公式：Biblioteka nAk b ak 0
n
k 0
Ak xk
1 2
b2 a2
n
k 0
Ak
xk m
1 m 1
bm1 am1
§2 插值型求积公式
一、定义
在积分区间 a,b上，取 n 1个节点 xi , i 0,1, 2,..., n
作f x 的 n 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:
2 式（两点求积公式）
I f f a f b b a
2
y
f b
f a Oa
f x
bx
➢
若取三点，a,b, c
ab 2
并令 f
f
a4 f
c
f
b
6
则可得Simpson公式(三点求积公式)
I f b a f a 4 f c f b
6
➢ 一般地 ，取区间 a,b 内 n 1 个点xi,i 0,1, 2,..., n
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达 式相当复杂,计算极不方便.
例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
1 x 2 2x 2 3 3 x 2x 2 3 9 ln( 2 x 2x 2 3 )
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数值积分与数值微分习题课一、已知012113,,424x x x ===，给出以这3个点为求积节点在[]0.1上的插值型求积公式解：过这3个点的插值多项式基函数为()()()()()()()()()()()()()()()()120201020212101201222021120,0,1,2k k x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x A l x dx k --=----=----=--==⎰()()()()()()()()()()()()111200001021102100101210120202113224111334244131441113324241142x x x x x x A dx dx x x x x x x x x x x A dx dx x x x x x x x x x x A dx x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭===---⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎝==--⎰⎰⎰⎰⎰102313134442dx ⎪⎭=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 故所求的插值型求积公式为()1211123343234f x dx f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰二、确定求积公式()()(11158059f x dx ff f -⎡⎤≈++⎣⎦⎰ 的代数精度，它是Gauss 公式吗？证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验依次取()23451,,,,,f x x x x x x =，有[](111112151815191058059dx xdx --==⨯+⨯+⨯⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎣⎦⎰⎰((((221221331331441441551551215805391058059215805591058059x dx x dx x dx x dx ----⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⨯+⨯+⨯⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰本题已经达到2n-1=5。
故它是Gauss公式。
三、试应用复合梯形公式计算积分2112I dx x=⎰要求误差不超过310-，并把计算结果与准确值比较。
解：复合梯形公式的余项为()2,()()12b n n ab a R f T f x dx T h f η-''=-=-⎰11()()2()2n n k k b a T f a f b f x n -=-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑,,0,1,2,,k b ax a kh h k n n -=+==本题()12f x x =，()[]()231,21,max 1x f x M f x x ∈''''=== 本题余项为()[]2221,221,()max ()121212n x h h R f T h f f x η∈-''''=-≤=要使()23,1012n h R f T -≤≤，得 0.109545h ≤，取0.1h =得100.1b a n h ==-2-1= 于是有101111112...0.346886210242 1.12 1.22 1.9I T ⎡⎤⎛⎫≈=+++++= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎣⎦ 检验： 4310101ln 2 3.1211110102I T T ---=-=⨯<四、证明 若函数()[]1,f x C a b ∈，则其上的一阶差商函数是连续函数，并借助此结果用Newtong 插值余项证明梯形求积公式的余项为()()()()()()31212b ab a b aR f f x dx f a f b f --''=-+=-η⎡⎤⎣⎦⎰证明：不妨设一阶差商函数为[],f x a ，[]0,x a b ∀∈，有[]()()()()()()()()()()[]000000000000000lim ,lim lim lim ,h h h h f x h f a f x h a x h a f x f h f a x h a f x f a f h f x f a f x a x h ax h a x a ξξ→→→→+-⎛⎫+= ⎪+-⎝⎭'+-⎛⎫= ⎪+-⎝⎭'--⎛⎫=+== ⎪+-+--⎝⎭由0x 的任意性，可知一阶差商函数是连续函数。
由插值特点，显然有()()()()()()()111b baaR f f x L x dx f x N x dx =-=-⎰⎰线性插值的Newton 余项公式为()()[]()()1,,f x N x f x a b x a x b -=--故有()[]()()1,,ba R f f x ab x a x b dx =--⎰由[][][][][][][][]000,,lim ,,lim lim ,,,,,,h h h f x h a f a b f x h a b x h b f x h a f a b f x a f a b f x a b x b x b→→→⎛⎫+-+= ⎪+-⎝⎭+--===--可知[],,f x a b 是变量x 在[],a b 上的连续函数，而函数()()x a x b --在[],a b 上可积，不变号，根据积分中值定理，存在(),a b ξ∈，使()()()[]()()1,,b baaf x N x dx f a b x a x b dx -=ξ--⎰⎰由差商性质，存在[],a b η∈，使[](),,2f f a b ''ηξ=。
所以 ()()()()()()()()13212bba a f f x N x dx x a xb dx b a f η''-=---''=-η⎰⎰结论得证。
五、导出中矩形公式()()2b aa b f x dx b a f +⎛⎫≈- ⎪⎝⎭⎰的余项。
解：将()f x 在a bx +=处进行泰勒展开 []b a ,∈ξ。
对上式两边在[]b a ,上积分，有中矩形公式的余项()()()221'''2222bM a bb aa ab R f x dx b a f a b a b a b f x dx f x dx ξ+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()()()()()232320'0;221''22''''''2222324bab a b a b a a b a b f x dx a b f x dx f f f b a a b x dx t ξηηη-++⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫- ⎪⎝⎭-+⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()()[]3'',,24M f R b a a b ηη∴=-∈六、设数值求积公式1()d ()nbk k ak f x x A f x =≈∑⎰,代数精度至少为n-1的充分必要条件是它为插值型求积公式. 证:充分性.设原式是插值型求积公式,则式中的求积系数()bk kn aA l x dx =⎰()111()()()()()()nnb n k k knka k k n bb kn k n a a k I A f x l x dx f x l x f x dx L x dx =====⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑⎰∑⎰⎰余项为()()()()!n bn n n af R f I I x dx n ξω=-=⎰由知代数精度至少为n-1 必要性.设原式代数精度至少为n-1,则对次数不超过n-1的多项式()(1)r p x r n ≤-原式成立等号,特别地取Lagrange 插值基函数()kn l x ,有1()(),1,2,,nbknj kn j a j l x dx A l x k n ===∑⎰因为1,,()0,.kn j i k l x j k =⎧=⎨≠⎩所以()bk kn aA l x dx =⎰故原式为插值型求积公式.七、令P(x)是n 次实多项式,满足()0,0,, 1.bk aP x x dx k n ==-⎰证明P(x)在开区间(a,b )中有n 个实单根.证明:因为()0ba P x dx =⎰，所以P(x)在[a,b ]上至少有一个零点。
若P(x)有k(≥1)个零点i x ，i=1,2,…,k 在[a,b ]上，则有()12()()()()()()k k P x x x x x x x g x Q x g x =---=()0,()0g x g x ><或，12()()()()k k Q x x x x x x x =---11100(),(1)kk k i k k k i i Q x a x a xa x a a x k n --==++++=≤-∑及()0,0,1,,1bk a P x x dx k n ==-⎰，所以()()()()0kkbbbii k i i aaai i P x Q x dx P x a x dx a P x x dx =====∑∑⎰⎰⎰若零点个数1k n ≤-，有2()()()()0bbk k aaP x Q x dx g x Q x dx =≠⎰⎰矛盾，因此k n ≥，即()P x 在[a,b ]至少有n 个零点,但P(x)是n 次实多项式，故k=n 。
八、已知点(,(),())a f a f a '和(,(),())b f b f b '，用该信息计算定积分()ba f x dx ⎰。
解：记3()H x 为()f x 关于节点,a b 的Hermite 插值多项式：30101()()()()()()()()()H x h x f a h x f b g x f a g x f b ''=+++()()()()3011()()()()()()()()()()b b b baaaabbaaf x dx H x dx h x dx f a h x dx f bg x dx f a g x dx f b ≈=+''++⎰⎰⎰⎰⎰⎰20()122bba a x a xb b a h x dx dx b a a b ---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 21()122bba a xb x a b a h x dx dx b a b a ---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()2 20()12b b a ab a x bg x dx x a dxa b --⎛⎫=-=⎪-⎝⎭⎰⎰()()2 21()12b b a ab a x ag x dx x b dxb a --⎛⎫=-=-⎪-⎝⎭⎰⎰所以有误差为九、验证Gauss 型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+⎰求积系数及节点分别为0A =1A =,02x =，12x =+。