数值分析22数值积分和数值微分应用
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值计算_第7章数值微分和数值积分
数值计算_第7章数值微分和数值积分数值微分和数值积分是数值计算中的两个重要内容，它们在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍数值微分和数值积分的概念、方法和应用，并分析其优缺点。
数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的导数，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值微分方法有中心差分法、向前差分法和向后差分法。
中心差分法是一种通过利用函数在特定点两侧的数据点来计算函数的导数的方法。
具体方法是用函数在该点两侧的差值来估计导数。
中心差分法具有较高的精度和稳定性，适用于函数光滑的情况。
向前差分法和向后差分法是一种通过利用函数在该点的数据点来计算函数的导数的方法。
向前差分法用函数在该点的后一点数据来估计导数，向后差分法用函数在该点的前一点数据来估计导数。
这两种方法的精度相对较低，但计算简单，适用于函数不太光滑的情况。
数值微分方法的优点是计算简单、直观易懂、易于实现。
缺点是对函数的平滑性和间隔大小要求较高，误差较大。
数值积分是通过数值方法来近似计算函数的积分。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的积分，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和数值积分公式。
梯形法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用梯形面积来近似计算积分的方法。
辛普森法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用抛物线面积来近似计算积分的方法。
这两种方法的精度较高，适用于函数较光滑的情况。
数值积分公式是通过选取节点和权重，将积分转化为对节点函数值的加权求和。
常用的数值积分公式有高斯求积公式和牛顿-寇茨公式。
这些公式具有较高的精度和稳定性，适用于计算复杂函数的积分。
数值积分方法的优点是适用范围广、精度较高、计算稳定。
缺点是计算量较大、计算复杂、需要选取合适的节点和权重。
数值微分和数值积分在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用数值分析是数学中的一个重要分支，它研究如何通过数值计算方法来求解各种数学问题。
数值分析的基本任务是通过近似方法，利用计算机或其他计算设备来对数学问题进行求解。
它广泛应用于科学计算、工程技术、金融投资、物理模拟等领域，对现代科学技术的发展起到了重要的推动作用。
数值分析主要包括数值逼近、数值微积分、数值代数和数值方程等几个方面。
数值逼近是指用函数逼近方法来接近所求函数值，主要包括插值多项式、最小二乘拟合、傅里叶级数等。
数值逼近可以用来对实际问题进行模拟和预测，比如天气预报、大气污染预测、经济增长预测等。
数值微积分是数值分析中的重要内容，主要包括数值积分和数值解微分方程。
数值积分是通过数值方法来计算函数积分值，可以应用于对函数面积、体积、积分方程求解等问题的求解。
数值解微分方程则是通过数值方法来求解各种微分方程，可以用来模拟各种实际问题，比如天体力学、流体力学、传热传质等。
数值代数是数值分析的另一个重要分支，主要研究线性代数和矩阵计算的数值方法。
线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算、最小二乘问题的求解等都是数值代数的研究内容。
数值代数广泛应用于科学计算、工程计算和金融计算等领域，为实际问题的求解提供了数值计算的手段。
数值方程是数值分析中的另一个重要领域，主要研究非线性方程、微分方程和偏微分方程的数值求解方法。
非线性方程的数值求解是一个非常重要的研究方向，广泛应用于各种实际问题。
微分方程和偏微分方程的数值求解则可以用来模拟各种科学和工程问题，包括天气预报、地震模拟、流体力学模拟等。
数值分析的应用非常广泛，几乎涵盖了所有科学和工程领域。
比如在物理学中，可以用数值方法求解各种物理方程，包括力学方程、热力学方程、电磁学方程等。
在工程学中，可以用数值方法求解各种工程问题，包括结构分析、流体力学、电磁场分布等。
在金融学中，可以用数值方法计算各种金融模型，包括期权定价、风险评估等。
在计算机科学中，可以用数值方法来进行图像处理、数据挖掘等。
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
数值分析第四版第四章数值积分与数值微分精品PPT课件
b
n
b
R( f ) f (x)dx a
在a,b内存在一点 ,使得
b
I ( f ) f (x)dx (b a) f ( )
a
f ?
称 f 为 f x 在区间 a,b上的平均高度.
3、求积公式的构造
➢ 若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则 可得一点求积公式如下：
左矩形公式： I f f ab a
中矩形公式：Biblioteka nAk b ak 0
n
k 0
Ak xk
1 2
b2 a2
n
k 0
Ak
xk m
1 m 1
bm1 am1
§2 插值型求积公式
一、定义
在积分区间 a,b上，取 n 1个节点 xi , i 0,1, 2,..., n
作f x 的 n 次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:
2 式（两点求积公式）
I f f a f b b a
2
y
f b
f a Oa
f x
bx
➢
若取三点，a,b, c
ab 2
并令 f
f
a4 f
c
f
b
6
则可得Simpson公式(三点求积公式)
I f b a f a 4 f c f b
6
➢ 一般地 ，取区间 a,b 内 n 1 个点xi,i 0,1, 2,..., n
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达 式相当复杂,计算极不方便.
例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
1 x 2 2x 2 3 3 x 2x 2 3 9 ln( 2 x 2x 2 3 )
数值分析方法及其应用
数值分析方法及其应用数值分析是一种以数值计算为基础的数学方法，通过使用计算机和数值算法来解决数学问题。
它在现代科学和工程领域中有着广泛的应用。
本文将介绍数值分析的基本概念和常见方法，并探讨其在各个领域中的应用。
一、数值分析方法概述数值分析方法是一种通过数值计算逼近真实结果的方法。
它主要包括离散化、数值逼近、数值求解和误差分析等步骤。
其中，离散化是将连续问题转化为离散问题，数值逼近是用有限的计算步骤得到问题的近似解，数值求解是通过迭代计算等方法求解数学问题，误差分析则是评估数值计算结果与真实结果之间的差异。
二、数值分析方法的常见技术1. 插值和外推：插值是通过已知数据点得到某个离散区间内的其他点的方法，而外推则是通过已知数据点得到某个离散区间外的点的方法。
常见的插值和外推方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
2. 数值积分：数值积分是通过数值方法来计算函数积分的过程。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和高斯积分法等。
3. 数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数导数的过程。
常用的数值微分方法有差分法、微分逼近法和辛普森法则等。
4. 解线性方程组：线性方程组是数值分析中的重要问题，其求解方法包括直接法和迭代法。
直接法包括高斯消元法、LU分解法和高斯-赛德尔迭代法等，而迭代法则主要包括雅可比迭代法和共轭梯度法等。
5. 数值优化：数值优化是一种通过数值方法找到函数的最优解的过程。
常用的数值优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
三、数值分析方法的应用领域1. 工程领域：数值分析方法在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在结构力学中，可以利用有限元法对复杂结构进行分析；在电力系统中，可以利用潮流计算方法优化电力的分配和传输；在流体力学中，可以通过数值模拟方法研究流体的运动和传热。
2. 金融领域：数值分析方法在金融领域中也有着重要的应用。
例如，可以通过数值模拟方法对股票价格、利率和汇率等进行预测和风险评估；在期权定价中，可以利用数值方法计算期权的价值。
数值分析-第八章数值微分与数值积分
ab
f
x dx
n
i1
xxii1
f
x dx
n
i1
xi
xi1 2
f
xi1
f
xi
h 2
n
i1
f
xi1
f
xi
h 2
f
a
n1
2
i1
f
a ih
f
b
Tn
11
复合梯形公式的误差:
RTn
f
n h3 f i1 12
i
h3 nf 12
ba3
12
1 n2
f
二 复合Simpson公式
ab f x dxin1xxii1 f xdx
n
i1
xi
xi1 6
我们的目的是导出一组与函数无关的求导系数和求积系数.
从而得到能够对任意函数都通用的公式.
2
§2 数值微分 一 二点公式 给出两个点及其函数值,做一个一次插值多项式,对这个插 值多项式求导,得到:
fx0fx0,x 1 fx 1fx0,x 1
其几何意义就是用割线的斜率近似代替切线的斜率. 当然也可以用泰勒展开来导出上述公式.
a b公式
7
三 N-C公式的截断误差
Rnfa bfxdxba n Ck nfxk k0 ab f x dx ab Ln x dx
ab
f
n1 n 1!
第八章 数值微分和数值积分
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x
O
1
n2
102
202
402
外推
k(次) 152 542
1985
694
T(秒) 0.219 3.187
47.89
4.344
误差 0.0028 7.1e-004 1.76e-004 6.52e-006
课件
1177/18
体积或表面积计算
P3
P2
V4
1 6
x1 x2
y1 y2
z1 z2
x3 y3 z3
P1
一阶向前差商
f(a)f(ah)f(a)O (h) h
f( a h ) f( a ) h f( a ) h 2f( a ) h 3f(3 )( a ) O ( h 4 ) 2 3 !
一阶向后差商
f(a)f(a)f(ah)O (h) h
课件
1100/18
f(a h )f(a ) h f(a ) h 2f(a ) h 3f(3 )(a )
与任意的不超过n次的多项式P(x) 正交，即
1
1wn1(x)P(x)dx0
则, wn+1(x)的所有零点x0, x1 ,······, xn 是Gauss点
证明: 设f (x)是任意(2n+1)次多项式 , 由多项式除法
课件
44/18
f(x ) w n 1 (x )P (x ) Q (x ) 其中,P(x) ,Q(x) 均为n次多项式. 两端积分，得
2h
G (h ) f(x )1 h 22 h 4
G ( h /2 ) f ( x ) 1 h 2 /4 2 h 4 /1 6
4G(h/2)G(h) 3
f(x)32h4/4
Gm(h)4mGm14(h2m)1Gm1(h)
f(x ) G m (h ) O (h 2 (m 1 ))
课件
y0= ( y1 + y2 + y3 + y4 )/ 4
z 0= ( z1 + z2 + z3 + zx4 )/ 4
O
课件
1188/18
1x1x0
x1x0
1x1x0
x1x0
两点Gauss公式
1 f(x)d xf(1)f(1)
1
33
课件
66/18
Legendre多项式递推式
p0 1, p1 x,
2n1
n
pn1 n1 xpnn1pn1
p2p(3x()x)12(1 2 3x(5 2x13)3xp)3(x0)12(5x33x)
x0,2
1
1
f(x)dx Q(x)dx
1
1
构造插值型求积公式,有
1
n
Q(x)dx
1
AkQ(xk)
k0
其中,
1
Ak 1lk(x)dx
插值结点为wn+1(x)的零点
由于 Q(xk)= Q(xk)+wk+1(xk)P(xk) = f (xk)
所以
1
n
f(x)dx
1
Akf(xk)
k0
课件
55/18
例
f
(x0)
1 [3 2h
f
(x0)
4
f
(x1)
f
(x2)]
f
(x1)
1 [ 2h
f
(x0)
f
(x2)]
f
(x2)
1[ 2h
f
(x0)
4
f
(x1)
3
f
(x2
)]l0(ຫໍສະໝຸດ x)1 h2l1(
x)
2 h2
l2( x)
1 h2
f(x)f(x0)2fh (2 x1)f(x2)
课件
1144/18
外推算法 G (h)1[f(xh)f(xh)]
课件
88/18
例.测得一个运动物体的距离D(t)数据如下
t
8.0 9.0 10.0 11.0 12.0
D(t) 17.45 21.46 25.75 30.30 35.08
用数值微分求速率v(10)
40
35
30
25
20
15
8
9
10
11
12
课件
99/18
Tylor展开 方法
f( a h ) f( a ) h f( a ) h 2f( a ) h 3f(3 )( a ) O ( h 4 ) 2 3 !
《数值分析》 22
Gauss型数值求积公式 正交多项式及其零点 数值微分方法 数值积分与数值微分应用
课件
1
高斯型数值求积公式
1100
8
考虑两点插值型求积公式
6
5
4
1
1f(x)d xA 0f(x0)A 1f(x 1)
2
0 000
11
22
33
44
55
为使代数精度尽可能高,取 f(x)=1, x, x2, x3
2
3 !
f(a h )f(a ) h f(a ) h 2f(a ) h 3f(3 )(a )
2
3 !
f(a h ) f(a h ) 2 h f(a ) h 3f(3 )(a ) O (h 5 ) 3
一阶中心差商
f(a )f(ah )f(a h ) O (h 2) 2 h
二阶中心差商 f(a ) f(a h ) 2 f h ( 2 a ) f(a h ) O (h 2 )
xk = x0 + kh (k=0，1，2)
l
0
(
x
)
1 2h2
(x
x1 )(
x
x2)
l
1
(
x)
1 h2
(
x
x 0 )(
x
x2
)
l
2
(
x
)
1 2h2
(x
x 0 )( x
x1 )
l0(x)2x(2xh12x2)
l1(x)2x(h x20x2)
l2(x)2x(2xh02x1)
课件
1133/18
x1 y1 z1
x1
y1
z1
x2 y2 z2x2x1 y2y1 z2x1O1P (P 1P 2P 1P 3)
x3 y3 z3 x3x1 y3y1 z3z1
O
1 x0
y0
z0
P3 P2
V5
2
x3
x1
y3 y1
z3 z1
P4
x4 x2 y4 y2 z4 z2
P1
x 0= ( x1 + x2 + x3 + x4 )/ 4
证明多项式
w2(x)
x2
1 3
是[–1,1]上正交多项式.
证: 显然
1
1w2(x)dx0
1
x
1
w2(x)d
x0
得Gauss点 插值公式:
x0
1, 3
x1
1 3
f(x)x x 1 1 x x 0f(x0)x x 1 x x 0 0f(x1)
1 x1xdx 2x1 1 1 xx0 dx2x0 1
1 f(x)d xf(1)f(1)
1
33
对于[a, b]区间上的定积分,构造变换
x(t)batba 22
t∈[-1, 1]
bf(x )d x b a1f(b at b a )dt
a
2 1 2 2
bf(x )d x b a [f( b a b a ) f(b a b a )]
a
2 23 2 23 2
课件
1111/18
隐式方法:
设 xk= a + k h ,( k =0,1,···,n) 值
f(x k )f(x k 1 ) 2 h f(x k 1 ) h 6 2f(3 )(x k ) O (h 4 ) f(3 )(x k ) f(x k 1 ) 2 fh ( 2 x k ) f(x k 1 ) O (h 2 )
1sixnd x1si0n .5(t1)dt
0x
1 t1
取
t0
1 3
0.57735
1
t1
0.57735 3
1sixn d x si0 .5 n (t0 1 )si0 .5 n (t1 1 )
0x
t0 1
t1 1
= 0.9460411
MATLAB函数: sinint(1)=0.946083070367183
1155/18
拉普拉斯方程边值问题
y
uxxuyy 0, 0 x, y1 1 u(0, y)u(x,0)u(x,1)0
u(1, y)si ny
xi = i h，( i = 0，1，…，n) yj = j h，(j = 0，1，…，n)
O 取 h = 1/n
[ x 2u 2]i,ju i 1 ,j2 h u 2 iju i 1 ,jO (h 2)
3 0.7745067 5
x1 0
三点Gauss数值求积公式
1
f (x)dx
1
0 .5f 5 ( 0 .7 5) 7 6 0 .8 4 f 8 ( 0 5 ) 8 0 .59 f 5 ( 0 .7 5 ) 7 6
课件
77/18
例.用两点Gauss公式计算
1 sin x
0 x dx
解:作变换 x = 0.5( t + 1 ), 则
课件
33/18
定义 如果求积结点x0, x1,······,xn,使插值型求积公式
1
n
f(x)dx