数值分析第六章数值积分
数值分析原理习题答案
数值分析原理习题答案数值分析原理习题答案【篇一：数值分析习题】学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）2 ??3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3 已知a?1.2031，b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a?b，a?b有几位有效数字？（有效数字的计算）4 设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算）**5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm，底面半径r的值为r?5cm，已知5|h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圆柱体体积v??rh的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）6 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。
（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）128 设in?e1nxx?edx，求证： 0（1）in?1?nin?1(n?0,1,2?)（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。
（计算方法的比较选择）第二章插值法姓名学号班级习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉氏插值多项式。
（拉格朗日插值）2 已知y?x,x0?4,x1?9，用线性插值求7的近似值。
（拉格朗日线性插值）3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点，且有lj(x)?试证明(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)xlj?0nkjj（拉格朗日插值基函数的性质） (x)?xk(k?0,1,...n)。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数值分析6-数值积分
数值求积的基本思想
✓ 分别用 f (a)，f (b) 和 f (a b) 2 近似 f () 可得
b
a f ( x)dx (b a) f (a)
b
a f ( x)dx (b a) f (b)
左矩形公式 右矩形公式
b f ( x)dx (b a) f a b
a
2
中矩形公式
求积公式的基本思想
( )( )
2 3
4 24 4
A 1
(x
1
1 )( x 4
3) 4
dx
1
0 ( 1 1 )( 1 3 )
3
2 42 4
考虑到对称性，显然有 A0 A2 ，于是有求积公式
1 f (x)dx 2 [ f (1) f ( 3)] 1 f (1)
0
3 4 4 32
由于原式含有 3 个节点，按定理 1 它至少有 2 阶精度。
精度。
例题4
试设计求积公式
b
a
f
(x)dx
A0
f
(a)
A1
f
(
a
2
b)
A2
f（b）
B2
f
'
(a)
B1
f
'
(
a
2
b
)
B2
f
'
(b)
解
引进变换 x
a
2
b
b
2
a
t
将 求 积 区 间 [a,b] 变 到
[0，1]，则原式化为如下形式
1
1
f
(x)dx
A0
f
(1)
A1
f
数值积分(论文)
break;
else
{
T0=T1;
T1=0;
add_T=0;
err_T=0;
}
}
在这个函数中我们将复化cotes公式和积分过程都用计算机语言表示出来。首先我们给出复化cotes公式，进行迭代，直到精确度达到设定要求，算出最后结果。
4.3 测试结果
用复化cotes有效数字四位求得的结果如下：
对区间[a，b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2K}。
T1=h[f(a)+f(b)]/2
把区间二等分，每个小区间长度为h/2=(b-a)/2，于是
T2 =T1/2+[h/22]f(a+h/2）
把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/22 =（b-a）/4，于是
T4 =T2/2+[h/2][f（a+h/4）+f（a+3h/4).....................
数值积分 （一）
第一章 数值积分计算的重述
1.1引言
数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。
s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);
d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);
for(j=1;j<=sum_num;j++)
{
add_T=add_T+f_x(s_point+(j-1)*d_point);
数值分析第6章积分
其中(-1,1).
b
ò f (x )dx
a
»
å j
n
=0
A j f (x j )
(6.1)
定理6.1 求积公式(6.1)为插值型求积公式的 充要条件是它的代数精度至少为n次. 证:先证必要性 设(6.1)是插值型的,则
b
R n [f ] =
ò
a
f
(x ) wn + 1 (x )dx (n + 1)!
顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式. 下面推导N-C求积公式的求积系数公式.
根据求积系数计算公式(6.4)有
1 Aj = 蝌 l j ( x)dx = w¢ (x j ) a
b b a
wn+ 1 ( x) dx x- xj
令积分变换 x=a + t h, 则
wn+ 1 ( x) = h n+ 1t (t - 1) L (t - n),
òl
a
j
( x) dx
(j=0,1,2, L ,n)
(6.4)
若求积公式(6.1)中的求积系数具有(6.4)的形 式,则称(6.1)为插值型求积公式.
插值型求积公式(6.3)的截断误差为
b b
Rn [ f ] =
R ( x)dx = 蝌
n a a
f ( n+ 1) (x ) wn+ 1 ( x)dx (6.5) (n + 1)!
于是
Aj =
n- j n ¢ wn ( x ) = ( 1) j !( n j )! h , +1 j
(- 1) h t (t - 1) L (t - j + 1)(t - j - 1) L (t - n)dt ò j !(n - j )! 0
实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09 数值微积分与方程数值求解（第6章 MATLAB 数值计算）一、实验目的二、实验内容1. 求函数在指定点的数值导数232()123,1,2,3026x x x f x x xx x==2. 用数值方法求定积分(1) 210I π=⎰的近似值。
程序及运行结果：《数学软件》课内实验王平(2) 2221I dx x π=+⎰程序及运行结果：3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩ 程序及运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩5. 求代数方程的数值解(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩6. 求函数在指定区间的极值(1) 3cos log ()xx x x xf x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线2250(0)0'(0)0xd y dyy dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：'112'211251(0)0,(0)0y y y x x y y y y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线123213312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1y y y y y y y y y y y y =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪===⎩程序及运行结果：三、实验提示四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商对任意函数f(x)，假设h>0。
ch06 数值积分.ppt
❖ 求积系数： Ak
b
a lk ( x)dx
❖ 则数值积分公式为：
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
－15－
07:16
2。 插值型求积公式的代数精度与截断误差
1）截断误差：
b
b
R( f ) I ( f ) In ( f ) a f ( x)dx a Ln ( x)dx
lk (x)f(xk ) Rn ( x) f(xk )
k0
ik
(x ( xk
xi ) xi )
Rn
(
x
)
0in
－14－
07:16
故：
b
b
bn
f(x)dx
a
a Ln (x)dx
a
lk (x)f(xk )dx
k0
n
b
f(xk ) a lk ( x)dx
k0
n b
a lk ( x)dx f(xk ) k0
b
a ( f ( x) Ln ( x))dx
b f ( (n1) )
a (n 1)! wn1 ( x)dx
wn1 ( x x0 )( x x1 )...( x xn
2）代数精度：
❖ ∵：f (x)为任意次数小于等于n的多项式时，f(n+1)(x)=0 ❖ ∴：R(f)＝0，即In(f)=I(f)，求积公式精确成立 ❖ ∴：插值型求积公式至少具有n次代数精度
Ak，使得求积公式
b
a
f ( x )dx
n
Ak
f ( xk )
具有
至少 n 次代数精度
k 0
❖ 证明过程同于：前面充要条件的证明
数值分析-数值积分详解
xk
和 Ak 的代数问题.
b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。
1 1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1)
12
3.
插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
b
a
f ( x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 I (图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f ( ) 的值.
将 f ( ) 称为区间 [a, b]上的平均高度.
k 0
n
16
4 .
定义2
求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式中，若
lim
n h 0 k 0
Ak f ( xk )
n
b
a
f ( x)dx,
( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的. 其中 h max 1i n
在求积公式中，由于计算 f ( xk )可能产生误差 k ，
ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ， 然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Newton-Cotes公式
Newton-Cotes 公式误差公式：
n 为奇数 （节点个数为偶数）
f (n1) ( )
(n 1)!
bn
a (x xk )dx ，代数精度为 n ； k 0
n 为偶数 （节点个数为奇数）
f (n2) ( )
(n 2)!
bn
x
a
(x xk )dx ，代数精度为 n 1。
对应的求积公式为
b
ba
ab
f (x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) : S .
a
6
2
辛普森公式的误差
思考：辛普森公式的代数精度为 3 次？
例：利用辛普森公式求 bx3dx 。 a
解： S b a ( f (a) 4 f ( a b) f (b)) b4 a4 ,
称为
Cotes
系数。
注：
n 1 梯形公式 n 2 辛普森公式 n 3 第二辛普森公式 n 4 Cotes 公式
Newton-Cotes 公式性质：
1. 求积系数和为 (b a) ，Cotes 系数和为 1；
2. 系数是对称的；
3. 当 n 7 时，系数全部为正数；当 n 8 ，系数有正有负。
，
若求积系数全为正数，则| I I | (b a) ，公式是稳定的；
若求积系数有正有负，则| I I | 控制不住，公式不稳定。
因此，高次积分至多用到 7 次。
复化积分公式
高次积分是不稳定的，因此实际当中我们并不用基于等距节点的 高次 Newton-Cotes 积分公式。我们可以利用基于分片多项式插值的数 值积分，从而获得高精度。
b
n 1
f (x)dx
a k 0
xk 1 xk
h n1
f
(x)dx
2
k
(
0
f
( xk
)
f (xk 1)) .
复化梯形公式
复化梯形公式又可以写为：
h n1
h
n 1
Tn
(f 2 k0
(xk )
f
(xk 1))
( f (a) 2
f (b) 2
k 1
f
(xk ))
复化梯形公式误差：
ETn
，
A1
b a
l1(x)dx
1 2
(b
a)
，
对应的求积公式为
b
ba
f (x)dx ( f (a) f (b)) : T .
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
类似地，在两相邻对角线值充分接近时，比如| S1 T1 | ，| C1 S1 | ，| R1 C1 | 充分
小时，即可停止加密过程。
高斯型求积公式
b
n
目标：求数值积分公式 (x) f (x)dx a
Ak f (xk ) ，其中 (x) 为给定的权函数。
k 0
给定插值节点 a x0 x1 xn b ，
12
I
T2n
f
"(2 ) (b a)( h)2
12
2
1 (I 4
Tn ) ，
故
I
T2n
1 3 (T2n
Tn )
。
可以用| T2n Tn | 作为迭代终止条件。
Romberg（龙贝格）积分
该递归算法法是由龙贝格最早发现的，因此以其命名。
从区间逐次分半法可以知道对梯形公式有
I
T2n
1 3
T1
T2
S1
T4
S2
C1
T8
S4
C2
R1
T16
S8
C4
R2
Romberg（龙贝格）算法
问题：什么时候终止加密？（注意：精确积分值 I 是未知的）
以复化梯形公式为例：
I
T2n
T2n Tn 3
.
因此当 |
T2n
Tn
| 充分小时即可停止加密，注意到 |
Sn
Tn
|
4 3
|
T2n
Tn
|
，
| Sn Tn | 可作为迭代终止条件。
6
2
4
而精确积分有
bx3dx
a
1 4
x4
|ba
1 4
(b4
a4 )
。
故辛普森公式有 3 次代数精度!
辛普森公式的误差
E b f (3) ( ) (x a)(x a b)(x b)dx
a 3!
2
b f [x, a, a b ,b](x a)(x a b)(x b)dx
a
2
2
Ak
b
alk (x)dx
bn
x xj
dx
(b
a)
1
a
j0 jk
xk
xj
n
n n t j
dt
0 j0 k j jk
记 Ck(n)
1
n
n n t j
dt
0 j0 k j jk
n
求积公式： In (b a)
C(n) k
f
(
xk
)
.
k 0
注：
Ak
称为求积系数，
C (n) k
dx
a
2
4
f (4) () b (x a)2 (x b)2 dx
4! a
4
(b a)5 f (4) ()
2880
一般的Newton-Cotes公式
h
ba n
， xk
x0
kh ， k
0,1,
, n ， f (x) Ln (x) Rn (x) 。
n
Ln (x) lk (x) f (xk ) ， k 0
(T2n
Tn )
因此，我们可以将近似误差
1 3
(T2n
Tn
)
加到 T2n
以获得精度更高的公
式：
41 T2n 3 T2n 3 Tn .
问题：在剖分 P2n 上，T2n 与 Sn 什么关系？
可以证明：
Sn
T2n
4T2n Tn 4 1
Cn
S2n
42 S2n Sn 42 1
，对应的为复化
Cotes
公式；
注意：C2n
43C2n Cn 43 1
，并不是 n
8 所对应的复化
Newton-Cotes
公式。
记 Rn
: C2n
43C2n Cn 43 1
，称为龙贝格积分。
Romberg（龙贝格）算法
k 区间等分数N 2k 梯形序列 辛普森序列 柯特斯序列 龙贝格序列
0
20
1
21
2
22
3
23
4
24
k 0
Newton-Cotes公式
Newton-Cotes 公式的稳定性：
n
n
设 I Ak f (xk ) ， I Ak ( f (xk ) k ) ，
k 0
k 0
n
n
n
则| I I || Ak k | | Ak ||
k 0
k 0
k|
|
k 0
Ak
| ，这里假设了 max k
|
k |
数值分析第六章数值积分
1
2020/11/26
数值积分的基本概念
数值积分的基本思想：
b
考察 f (x)dx ，若其原函数为 F(x) ，即 F '(x) f (x) ，则 a b
有 I : f (x)dx F (b) F (a) 。 a
困难：在可积函数中能够解析积分的函数相当少，而且即使可 以解析积分，让机器模拟人的思维也比较麻烦。借助于数值方法离 散化后计算积分的近似值，称为数值积分。
b
b
n
b
(x) f (x)dx
a
a
(
x)
Ln
(
x)dx
f (xk )
a
(
x)lk
(
x)dx
k 0
对应的求积公式为
b
n
b
(x) f (x)dx
a
Ak f (xk ) ，其中 Ak
aபைடு நூலகம்
(
x)lk
(
x)dx
。
k 0
而对应的误差为
b
n
(x) f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
左矩形公式，具 0 次代数精度；
b
a f (x)dx (b a) f (b)
右矩形公式，具 0 次代数精度；
b f (x)dx (b a) f ( a b) 中矩形公式，具 1 次代数精度。
a
2
插值型求积公式
插值型求积公式：
想法：给定函数 f (x) ，若 f (x) g(x) ，且 g(x) 积分比较好算，
Sn
h5 2880
n 1 k 0
f
(4)
(k
)
h4 2880
b
n
a
n 1 k 0
f
(4)
(k
)
ba 2880
h4
f
(4)
( )
区间逐次分半法
我们首先来考虑复化梯形公式的递归算法：
具有 n 个子区间的复化梯形公式为
Tn
hn 2
(