数值分析第六章数值积分
《数值分析》课程教学大纲
《数值分析》课程教学大纲课程编号：07054352课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：学科基础课程要求：必修学时/学分：48/3 （讲课学时：40 上机学时：8）适用专业：计算机科学与技术；软件工程一、课程性质与任务“数值分析”是计算机科学与技术、软件工程等相关专业学生的学科基础课，也是其它理、工科专业本科生及研究生的必修或选修课。
数值分析是研究各种数学问题在计算机上通过数值运算，得到数值解答的方法和理论。
随着计算机系统能力的提高和新型数值软件的不断开发，无论在高科技领域还是在传统学科领域，数值分析的理论和方法的作用和影响巨大，是科学工作者和工程技术人员必备的基础知识和工具。
课程的任务是使学生能了解数值分析的基本概念，熟悉常用数值方法的构造原理，了解数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法，了解重要数值算法的软件实现过程，使学生系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为掌握更复杂的现代计算方法打好基础。
内容包括数值计算的基本方法、线性和非线性方程组解法、插值法、数值积分法及微分方程的数值解法。
二、课程与其他课程的联系先修课程：高等数学，线性代数，C语言程序设计，计算基础。
后续课程：人工智能，数字图像处理技术，大数据分析及应用。
三、课程教学目标1．学习使用计算机进行数值计算的基础知识和基本理论知识，能够分辨、选用合适的数值方法解决工程问题。
（支撑毕业能力要求1和2）2. 能掌握常用数值计算方法的构造原理，根据问题设计和综合运用算法设计问题解决方案。
（支撑毕业能力要求1和2）3. 能运用数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法初步进行算法分析。
4. 能用计算机语言实现典型的数值计算算法，得到实验技能的基本训练，并具有利用计算机解决常见数学问题的能力；（支撑毕业能力要求4）5．能通过查询阅读文献资料，了解数值分析的前沿和新发展动向，了解数值分析算法原理应用的典型工程领域。
数值分析6-数值积分
数值求积的基本思想
✓ 分别用 f (a)，f (b) 和 f (a b) 2 近似 f () 可得
b
a f ( x)dx (b a) f (a)
b
a f ( x)dx (b a) f (b)
左矩形公式 右矩形公式
b f ( x)dx (b a) f a b
a
2
中矩形公式
求积公式的基本思想
( )( )
2 3
4 24 4
A 1
(x
1
1 )( x 4
3) 4
dx
1
0 ( 1 1 )( 1 3 )
3
2 42 4
考虑到对称性，显然有 A0 A2 ，于是有求积公式
1 f (x)dx 2 [ f (1) f ( 3)] 1 f (1)
0
3 4 4 32
由于原式含有 3 个节点，按定理 1 它至少有 2 阶精度。
精度。
例题4
试设计求积公式
b
a
f
(x)dx
A0
f
(a)
A1
f
(
a
2
b)
A2
f（b）
B2
f
'
(a)
B1
f
'
(
a
2
b
)
B2
f
'
(b)
解
引进变换 x
a
2
b
b
2
a
t
将 求 积 区 间 [a,b] 变 到
[0，1]，则原式化为如下形式
1
1
f
(x)dx
A0
f
(1)
A1
f
数值积分(论文)
break;
else
{
T0=T1;
T1=0;
add_T=0;
err_T=0;
}
}
在这个函数中我们将复化cotes公式和积分过程都用计算机语言表示出来。首先我们给出复化cotes公式，进行迭代，直到精确度达到设定要求，算出最后结果。
4.3 测试结果
用复化cotes有效数字四位求得的结果如下：
对区间[a，b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2K}。
T1=h[f(a)+f(b)]/2
把区间二等分，每个小区间长度为h/2=(b-a)/2，于是
T2 =T1/2+[h/22]f(a+h/2）
把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/22 =（b-a）/4，于是
T4 =T2/2+[h/2][f（a+h/4）+f（a+3h/4).....................
数值积分 （一）
第一章 数值积分计算的重述
1.1引言
数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。
s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);
d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);
for(j=1;j<=sum_num;j++)
{
add_T=add_T+f_x(s_point+(j-1)*d_point);
数值分析第6章积分
其中(-1,1).
b
ò f (x )dx
a
»
å j
n
=0
A j f (x j )
(6.1)
定理6.1 求积公式(6.1)为插值型求积公式的 充要条件是它的代数精度至少为n次. 证:先证必要性 设(6.1)是插值型的,则
b
R n [f ] =
ò
a
f
(x ) wn + 1 (x )dx (n + 1)!
顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式. 下面推导N-C求积公式的求积系数公式.
根据求积系数计算公式(6.4)有
1 Aj = 蝌 l j ( x)dx = w¢ (x j ) a
b b a
wn+ 1 ( x) dx x- xj
令积分变换 x=a + t h, 则
wn+ 1 ( x) = h n+ 1t (t - 1) L (t - n),
òl
a
j
( x) dx
(j=0,1,2, L ,n)
(6.4)
若求积公式(6.1)中的求积系数具有(6.4)的形 式,则称(6.1)为插值型求积公式.
插值型求积公式(6.3)的截断误差为
b b
Rn [ f ] =
R ( x)dx = 蝌
n a a
f ( n+ 1) (x ) wn+ 1 ( x)dx (6.5) (n + 1)!
于是
Aj =
n- j n ¢ wn ( x ) = ( 1) j !( n j )! h , +1 j
(- 1) h t (t - 1) L (t - j + 1)(t - j - 1) L (t - n)dt ò j !(n - j )! 0
数值分析课后习题解答
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)
实验09 数值微积分与方程数值求解（第6章 MATLAB 数值计算）一、实验目的二、实验内容1. 求函数在指定点的数值导数232()123,1,2,3026x x x f x x xx x==2. 用数值方法求定积分(1) 210I π=⎰的近似值。
程序及运行结果：《数学软件》课内实验王平(2) 2221I dx x π=+⎰程序及运行结果：3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩ 程序及运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩5. 求代数方程的数值解(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩6. 求函数在指定区间的极值(1) 3cos log ()xx x x xf x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线2250(0)0'(0)0xd y dyy dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：'112'211251(0)0,(0)0y y y x x y y y y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线123213312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1y y y y y y y y y y y y =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪===⎩程序及运行结果：三、实验提示四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商对任意函数f(x)，假设h>0。
数值分析-数值积分详解
xk
和 Ak 的代数问题.
b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。
1 1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1)
12
3.
插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
b
a
f ( x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 I (图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f ( ) 的值.
将 f ( ) 称为区间 [a, b]上的平均高度.
k 0
n
16
4 .
定义2
求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式中，若
lim
n h 0 k 0
Ak f ( xk )
n
b
a
f ( x)dx,
( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的. 其中 h max 1i n
在求积公式中，由于计算 f ( xk )可能产生误差 k ，
ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ， 然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式：
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因此，有
b
b
n
b
f (x)dx
a
aLn (x)dx
f (xk ) alk (x)dx 。
k 0
n
b
对应的求积公式为 In Ak f (xk ) ，其中 Ak alk (x)dx 。
k 0
而对应的误差为
I In
b
(
a
f
(
x)
Ln
(
x))dx
b f (n1) ( )
a (n 1)! wn1(x)dx
6
2
4
而精确积分有
bx3dx
a
1 4
x4
|ba
1 4
(b4
a4 )
。
故辛普森公式有 3 次代数精度!
辛普森公式的误差
E b f (3) ( ) (x a)(x a b)(x b)dx
a 3!
2
b f [x, a, a b ,b](x a)(x a b)(x b)dx
a
2
2
k 0
其中，xk 为求积节点，Ak 为求积系数，Ak 仅与 xk 的选取有关，与 f (x)
的具体形式无关。
代数精度
定义(代数精度)：若某个求积公式对次数 m 的代数多项式都能精确 成立，但对 m 1次多项式不一定精确成立，则称该求积公式具有 m 次
代数精度。
b
例： f (x)dx (b a) f (a) a
那么有
b
b
a
f
(x)dx
g ( x)dx
a
。
若取 g(x) 为 f (x) 的插值多项式，则对应的求积公式称为插值型求
积公式。
插值型求积公式
给定区间[a,b] ，取插值节点 a x0 x1 L xn b ，我们有
n
Lagrange 插值多项式 Ln (x) f (xk )lk (x) 。 k 0
若 f "(x) C[a,b] ，有
E f ()
b
(x a)(x b)dx
f () (b a)3
2a
12
辛普森公式：
辛普森公式
取
n
2 ，节点为
x0
a,
x1
a
b 2
,
x2
b
。
节点 x0 , x1, x2 处基函数为
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
,
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
,
，对应的系数为
l2
(x)
(x ( x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
A0
b
al0
(x
)dx
b
6
a
,
b
4 (b a )
A1 al1(x )dx 6
,
b
ba
A2 al2 (x )dx 6 .
对应的求积公式为
b
ba
ab
f (x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) : S .
a
6
2
辛普森公式的误差
思考：辛普森公式的代数精度为 3 次？
例：利用辛普森公式求 bx3dx 。 a
解： S b a ( f (a) 4 f ( a b) f (b)) b4 a4 ,
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时，对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
取n
1 ，节点为
x0
a
，
x1
b
。有 l0 (x)
b b
x a
,
l1 ( x)
x b
a a
.
因此，
A0
b a
l0
(x)dx
1 2
(b
a)
dx
a
2
4
f (4) () b (x a)2 (x b)2 dx
4! a
4
(b a)5 f (4) ()
2880
一般的Newton-Cotes公式
h
ba n
， xk
x0
kh ， k
0,1,L
,n，
f
(x)
Ln (x) Rn (x) 。
n
Ln (x) lk (x) f (xk ) ， k 0
数值积分的基本思想：
b
考察 f (x)dx ，若其原函数为 F(x) ，即 F '(x) f (x) ，则 a b
有 I : f (x)dx F (b) F (a) 。 a
困难：在可积函数中能够解析积分的函数相当少，而且即使可 以解析积分，让机器模拟人的思维也比较麻烦。借助于数值方法离 散化后计算积分的近似值，称为数值积分。
b f [x, a, a b ,b]d (x a)2 (x b)2
a
2
4
b
f
[x, a,
a
2
b
, b]
(x
a)2 ( x
b)2
dx
a b (x a)2 (x b)2 f [x, a, ,b]
b
a
x
4
2
4
a
b
a b (x a)2 (x b)2
f [x, x, a, ,b]
左矩形公式，具 0 次代数精度；
b
a f (x)dx (b a) f (b)
右矩形公式，具 0 次代数精度；
b f (x)dx (b a) f ( a b) 中矩形公式，具 1 次代数精度。
a
2
插值型求积公式
插值型求积公式：
想法：给定函数 f (x) ，若 f (x) g(x) ，且 g(x) 积分比较好算，
第六章 数值积分
数值积分的基本概念 数值积分的基本思想 代数精度 插值型求积公式
Newton-Cotes 求积公式 梯形公式、辛普森公式、一般的 Newton-Cotes 公式 复化积分公式：复化梯形公式、复化辛普森公式 区间逐次分半法
Romberg（龙贝格）积分
高斯型求积公式
数值积分的基本概念
Ak
b
alk (x)dx
bn
x xj
dx
(b
a)
1
a
j0 jk
xk
xj
n
n n t j
dt
0 j0 k j jk
记 Ck(n)
1
n
n n t j
dt
0 j0 k j jk
n
求积公式： In (b a)
C(n) k
f
(
xk
)
.
k 0
注：
Ak
称为求积系数，
C (n) k
，
A1
b a
l1(x)dx
1 2
(b
a)
，
对应的求积公式为
b
ba
f (x)dx ( f (a) f (b)) : T .
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
数值积分的基本概念
微积分中定积分的定义为：
b
n
a
f
(x
)dx
lim
n m a xxk
k01
xk
f
k( ，)
n
b
n
可用 xk f (xk ) 作为原积分的近似： a f (x)dx xk f (xk ) 。
k 1
k 1
进一步推广得到更一般的公式：
b
n
f (x )dx
a
Ak f x(k ) In: ，