武汉大学数值分析分章复习(数值积分)
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
武汉大学数值分析分章复习(误差)
101
故假设 x 具有 p 位有效数字，则应成立：
| xx| 1 1 1 101 p 101 p | x| 4 2 8
令 101 p 10 3
1 8
由条件
104 | xx| 103 , 可得： p lg( ) 3.09691 8 | x|
可见当取 4 位有效数字时，近似数可达精度要求
因为
1 999 dx
0
1
3
1
0
10、数值计算中，影响算法优劣的主要因素有哪些？ 解：数值计算中算法的优劣主要从算法的可靠性、稳定性、准确性、时间和空间复杂性 几个方面考虑。一个算法如果有可靠的理论分析，且计算复杂性好，这样的算法就是好算法
8、分析下面 Matlab 程序所描述的数学表达式，并给出运行结果
a=[1 2 3 4]; n=length(a); t=a(n); x=10; for i=n:-1:2 t=x*t+a(i-1); end
解：程序实现了秦九韶算法的多项式求值，即 p (10) 103 2 102 3 10 4 9、对于积分 I n
101
1 1 103 101 4 2 2
| e x | 0.00008128
可见 x 具有 4 位有效数字
4、要使 20 的近似值的相对误差小于 0.1%，至少要取多少位有效数字 解：记精确值 x
20 ，近似数 x , 注意到 x 20 4.47
0.447
故得递推式： I n 2997 I n 1
3 n
I0 3ln x 999 999
注意到实际计算中初值 I 0 总有误差，设初值 I 0 的近似值为 I 0 （ I 0 I 0 0 ）
数值分析复习要点
y((7u5)u3)u18(u1) x1
1 10 99
3、设 x 0.01458663 为真值 xT 0.01451845 的近
似，则 x 有 2 位有效数字。
设 近 似 数 x0.a1a2 an10p的 绝 对 误 差 限 是 第 n位 的 半 个 单 位 ， 则 数 x有
n位 有 效 数 字 。 (a10,ai 0,1,...,9)
三. Householder变换
Householder变换阵 H I 2wwT ,其中|| w ||2 1
定理 : 设n维向量x, y, x y, 但 || x ||2 || y ||2 , u x y, 则存在Householder变换阵 H I 2wwT , w u ,
|| u ||2 使Hx y.
习题
已知向量x (2, 0, 2,1)T , 试构造Householder阵H
使Hx ke3,其中e3 0, 0,1, 0T , k R.
四.矩阵的正交分解
(1) Schmidt正交化法（P40，第二章第2节）
(2) 用Housholder方法正交化（P142，第四章第4节）
例：用Householder方法求矩阵A的正交分解，
2. 已 知 向 量 x(1,4,3,0)T,y(3,6,1,2)T,
求 x,y之 间 的 距 离 (x,y).
二. Gauss变换与矩阵的三角分解
Gauss变换阵
1
1
Lj
l j1, j 1
ln, j
1
对x
T
x1,..., x j ,..., xn 0,
xj 0
构造Gauss变换阵G，使Gx
F
(
f
( x),1( x))
武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题
武汉大学2011工程硕士数值分析考试复习题预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制1、设()0f x =有根，且'0(),m f x M x <≤≤-∞<<+∞，试证明由1()k k k x x f x λ+=-产生的序列{}k x 对任意的0x 和02M λ<<均收敛。
2、对3*(),0()x x x x x φφ=+=为的一个不动点，验证10()0k k x x x φ+=≠对不收敛，但改用steffen 方法却收敛。
3、设*x 是()0f x =的根，且()()'''*0,f x f x x ≠在领域上连续，试证明：Newton 迭代序列{}n x 满足''*12'*12()lim ()2()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-4、给定方程组的雅可比迭代矩阵为022101220J B =----??，试证明雅可比迭代收敛而高斯迭代不收敛。
5、设二阶方程组为12630321x x = ? ? ?-????，取(0)00x ??= （1）用最快速下降法迭代两次求近似解(2)x ；（2）用共轭梯度法迭代两次求近似解(2)x ；（3）与精确解进行比较分析。
6、设方程组AX=B 系数矩阵A 非奇异，条件数cond （A ），设A 有扰动A δ，且11A A δ-<，分析解的扰动X δ的相对变化XX δ。
7、设2()[,],()()0f x c a b f a f b ?==且，试证明：2''()max ()max ()8a xb a x b b a f x f x ≤≤≤≤-≤8、试证明两点三次Hermite 插值余项(4)2231()()()()4!k k f R x x x x x ξ+=--，并求此分段三次Hermite 插值的误差限。
《数值分析》复习笔记
始向量 x(0) = (0, 0, 0)T，用该迭代方法求近似解 x(k+1)（取小数点后四位） ，使 x
( k 1)
x(k )
10 3 。
7、 （某考题）为求方程 x3-x2-1=0 在初始值 x0=1.5 邻近的一个根，把方程改写成一下等价形式：
（1）求 f (x)的二次牛顿（Newton）插值多项式； （2）求 f (0.25)的近似值（取小数点后五位） ，并写出余项。 5、 （06 期末）给出 f (x)=3.6/x 的数值表： x f (x ) （1）求均差表； （2）写出三次牛顿插值多项式 N3 (x)； （3）利用上述插值多项式 N3 (x)计算 f (2.5)的近似值，并估算其误差大小。 6、 （12 期末）确定 a、b、c、d、e 的取值，使得下列函数是以： x y 0 1 1 1 2 0 3 10 1 3.60 2 1.80 3 1.20 4 0.90
1
-1
f ( x)dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) 中的高斯点 x0、x1、x2
和求积系数 A0、A1、A2 的值，并指明该求积公式的代数精度； （2）用上述求积公式求积分
3
1
dx 的近似值。 x
4、 （03 期末） （1）写出数值积分梯形法的递推化算法； （2）用龙贝格（Romberg）算法计算积分 I
★ 小明哥说要考的题型
填空题（15 分）、选择题（15 分）、计算及证明题（70 分）
一、插值与逼近（§2、3 章）
☆ 计算题： 1、 （05 期末）已知 y=sinx 的下列数据： x y π/6 0.5000 π/4 0.7071 π/3 0.8660
武汉大学《数值分析》课件-第7章
，
b
n
a
可知 t [ 0, n] ．
由Lagrange插值基函数有
lk
(x)
lk
(a
th)
n i0,ik
x xk
xi xi
n ti i0,ik k i
(1)nk
n
ti
k !(n k )! i0,ik
而 dx hd t b a dt，所以
n
b a
lk
(x)dx
n 0
再用 h/2 代替 h , 使(6)式变为
F*
F2
(h)
1 8
k2h2
3 32
k3h3
(7..).
用4乘(7)式减去(6)式,消去含 h2的项,得
F*
[
F2
(
h 2
)
F2 (h
/
2) 3
F2 (h)]
1 8
(k83)h3
...
同样记
而 I 3( f ) b 6 a (1 4 1) (b a )
有 R ( ,1) 0
I(
f
)
I3(
f
)
R( ,
f
)
b a{ f 6
(a) 4
f
(a
b) 2
f
(b)}
R( ,
f
)
（1）当 f ( x) x时 ， I ( f ) b 2 a2 I3( f ) b 6 a ( a 22a 2b b ) b2 2 a2
| R(1, f ) | M n1 hn2 n n (t i)dt
(n 1)!
0 i0
(5)
验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，
武汉大学数值分析分章复习(数值积分)
（2）若使其具有最高的代数精度，试确定求积系数与求积结点？代数精度为多少？ 注：本题不用考虑 3、分别用梯形公式和二点 Gauss 公式计算积分 解：利用梯形公式，
e dx ，比较二者的精度
x 0
1
e dx 2 (e
x 0
1
1
0
e1 ) 1.8592
注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分
2h
2 h
f ( x)dx Af (h) Bf (0) Cf (h)
8 16 h , B 4 h 3 3
解：解题过程与上题类同，所得结果 A C 代数精确度为 p 3
7、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。
2
0
f ( x)dx 0 f (0) 1 f (1) 2 f (2)
8 16 h , B 4 h 3 3
解：解题过程与上题类同，所得结果 A C 代数精确度为 p 3
8、求积公式
f ( x)dx 3 f ( 4 ) 3 f ( 2 ) 3 f ( 4 ) 具有多少次代数精确度
0
2 3
1
2
1
1
1
2
3
解：依次取 f ( x) 1, x, x , x 代入积分公式，得左端=右端 当取 f ( x ) x 时，左端 右端，故公式的代数精确度为 p 3
2
解：依次取 f ( x) 1, x, x , x , x 代入积分公式，令左端=右端，得
A B C 4 A C 0 16 2 2 A C 3 3 A C 0 4 A 4C 64 5
数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解
![数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解](https://img.taocdn.com/s3/m/9edd6ad82f60ddccdb38a082.png)
第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具,在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ,则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时,Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2)许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分241arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎡⎤=+++-+⎣⎦+⎰ 对于上述这些情况,都要求建立定积分的近似计算方法—-数值积分法。
1。
1 数值求积分的基本思想根据以上所述,数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定.由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明,定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。
我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。
这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法.如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4—1） 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
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相应求积公式： 2 2 f ( xdx 10 12 8 10 12 f ( f (0 f( 3 5 3 3 5 取 f ( x x 5 代入公式，有左端=右端取 f ( x x 6 代入公式，有左端右端可见求积公式代数精确度 p 5 而公式具有节点数 n 3 ，而 p 2n 1 所以，该求积公式为 Gauss 型求积公式 1 1 e x2 1 2 u 1 10 12 8 10 12 dx e 4 du f ( f (0 f ( 2 2 2 3 5 3 3 5 2 15、求积公式 f
1的代数精确度为多少阶0 f x dx 4 f 3 4 1 3 1 1 解：依次取 f ( x 1, x, x 2 代入积分公式，得左端=右端当取 f ( x x 3 时，左端右端，故公式的代数精确度为 p 2 16、利用复合梯形公式近似计算定积分 I 试估计区间等分数 n 解：根据复合辛普森公式的余项 RSn [ f ] 这里 f (4 e 0 1 x2 1 dx ，要求计算误差不小于 10 6 ， 2 (b a5 (4 f (4 ( f ( 2880n4 2880n4 ( x 4ex (4 x4 12x2 3 x[0,1] 2 注意到 max | f (4 ( x | f (4 (1 76e 故有 RSn [ f ] 令 76e 76 3 19 4 4 2880n 2880n 240n 4 19 1 10 6 ，解得 n 19.95 4 240n 2 可见当取 n 20 时，对应的复合辛普森公式 S n 可满足精度要求。