数值积分的插值求积公式
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
三点gauss-chebyshev 求积公式
三点gauss-chebyshev 求积公式
三点Gauss-Chebyshev求积公式是一种数值积分方法，用于计算函数在[-1, 1]区间上的积分。
它基于Chebyshev多项式的零点，并使用三个等距节点进行插值和积分计算。
具体的求积公式如下：
积分近似值 = (b - a) / 3 * [f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b)]
其中，a和b是积分区间的起始和终止点，f(x)是需要计算的函数。
请注意，这个求积公式特别适用于在[-1, 1]区间上具有较光滑性质的函数。
当函数在该区间上不是很光滑或具有较大的变化时，可能需要采用更精确的高阶Gauss-Chebyshev求积公式或其他数值积分方法。
对于其他节点数，可以使用更高阶的Gauss-Chebyshev求积公式，如五点、七点或更多，以提高积分的精度。
这些公式的推导和使用方法是类似的，只需根据具体的节点数和相应的节点位置进行调整。
需要注意的是，当使用数值积分方法时，应根据具体应用需求和被积函数的特点选择合适的公式和节点，并对数值误差进行评估和控制，以获得准确的积分结果。
计算方法数值积分_插值型积分
计算方法数值积分_插值型积分
一．概述
插值型积分是数值积分的一项重要方法，它是将要计算的曲面上的积分点根据插值函数或其中一种样条函数，插值成一条直线之后再求解。
插值型积分主要有牛顿-拉夫逊插值内插法、Chebyshev插值内插法、余弦和正弦插值内插法和Hermite插值内插法等，主要用来解决二元函数、多项式、函数的积分。
同时，插值型积分可以用来求解非常复杂的不可积函数，也可以用于求解紧密的积分，可以节省一定的计算时间。
二、牛顿-拉夫逊插值内插法
牛顿-拉夫逊插值内插法是插值型积分中最常用的方法，它通过在给定的多项式基函数上拟合曲线，计算曲线上积分点的函数值，然后把它们拟合到牛顿-拉夫逊插值函数中，最后将插值函数作为定积分的函数，通过求解插值函数的积分来解决问题。
牛顿-拉夫逊插值内插法一般采用牛顿-拉夫逊插值函数，它是基于多项式的函数，由节点上的函数值和其导数值建立插值函数，其积分也可以由插值函数和它的导数求解。
牛顿-拉夫逊插值函数具有以下特点：
1.多项式阶数不受限；
2.插值函数结果是一条曲线；
3.可以非常精确地表示复杂的函数；。
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式是通过在指定区间上将被积函数进行插值，并利用插值多项式的性质进行数值积分的方法。
常见的数值积分的插值求积公式有以下几种：
1. 矩形公式：取被积函数在每个小区间上的某个点的函数值作为近似值，将小区间的长度乘以相应的函数值进行累加，即可得到近似的积分值。
常见的矩形公式有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
2. 梯形公式：将每个小区间上的函数值进行线性插值，形成一系列的梯形，再将所有梯形的面积进行累加，即可得到近似的积分值。
3. 辛普森公式：利用三次插值多项式，将被积函数在每个小区间上近似地表示为一个二次多项式，并用该多项式的积分值代替对应小区间的积分值，再将所有小区间的积分值进行累加，即可得到近似的积分值。
这些插值求积公式的具体计算方法可以参考数值积分的相关课程教材或者算法手册。
插值型求积公式的求积系数
插值型求积公式的求积系数插值型求积公式是一种常用的数值积分方法，其核心在于通过已知的函数值构造出一个插值多项式，再将积分转化为该多项式的积分。
而求积系数，则是决定插值多项式精度和计算效率的关键因素。
下面是插值型求积公式中常用的三种求积系数：1. 牛顿—柯茨公式的求积系数牛顿—柯茨公式通过插值多项式的递推方式来求解积分。
其求积系数可用牛顿插值多项式的差商来表示。
具体公式如下：$$\int_{x_{0}}^{x_{n}} f(x) d x \approx w_{0} f\left(x_{0}\right)+w_{1} f\left(x_{1}\right)+\cdots+w_{n} f\left(x_{n}\right)$$其中，$$w_{0}=h,\ \ w_{i}=\frac{h}{i !} \prod_{j=0}^{i-1}\left(n-j\right)$$2. 拉格朗日公式的求积系数拉格朗日公式的求积系数是通过对插值多项式的积分来求解的。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \sum_{i=0}^{n} f\left(x_{i}\right) \int_{a}^{b} L_{i}(x) d x$$其中，$$\int_{a}^{b} L_{i}(x) d x=\frac{b-a}{n+1} \prod_{j=0, j \neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$$3. 均值型求积公式的求积系数均值型求积公式的求积系数是通过对插值多项式在插值点上的值进行平均来求解的。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1}f\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2 n} i\right)$$以上三种求积系数组合使用，在不同的数值积分问题中都能够提供较为准确和高效的计算结果。
插值型求积公式的充要条件
插值型求积公式的充要条件插值型求积公式的充要条件插值型求积公式是一个非常重要的计算数值积分的方法，可以用来求解无法用解析式计算的积分，特别是在数值计算领域具有非常广泛的应用。
在本文中，我们将详细讨论插值型求积公式的充要条件。
一、插值型求积公式的概念插值型求积公式是利用已知数据点上的函数值，构造一个插值多项式，再将插值多项式在区间[a,a]上进行积分而得到的数值积分公式。
这种数值积分方法的优点是求积精度高，对于不可积函数也能进行数值积分。
二、插值型求积公式的基本形式在区间[a,a]上，插值型求积公式的基本形式为：∫aa a(a)aa≈∑a=0aaaa(aa)其中，aa为积分权重，a(aa)为插值多项式在节点aa上的函数值。
三、插值型求积公式的误差1.误差的表达式插值型求积公式的误差可以用以下公式来表示：∫aa a(a)aa−∑a=0aaaa(aa)=a(a)(a−a)a+1(a!)2∏a=0a(a−aa) 其中，a∈[a,a]，表示插值多项式的余项。
2.误差的最大值插值型求积公式的误差最大值可以用以下公式计算：|a(a)(a−a)a+1(a!)2∏a=0a(a−aa)|≤a(a−a)a+2(a!)3其中，a为函数a(a) 在区间[a,a]上的最大值。
四、插值型求积公式的充要条件判断一个插值型求积公式的充要条件，需要满足以下两个条件：1.插值节点严格单调插值的节点aa必须是在区间[a,a]上严格单调的。
如果节点不是严格单调的，可能会导致积分方法的误差增大，从而影响计算结果的准确性。
2.积分权重严格正定插值型求积公式的积分权重aa必须满足严格正定的条件，也就是aa＞0。
如果积分权重不是正定的，可能会导致积分方法的精度下降，从而影响计算结果的准确性。
综上所述，插值型求积公式在应用时需要考虑节点和权重的选择，必须满足严格单调和严格正定的条件。
只有在满足这些条件的情况下，插值型求积公式才能够得到准确的数值积分结果，具有非常广泛的应用价值。
插值型数值微分与积分
xi )(x
x i 1 )]
|x x i1
f
(2 ) 2!
[x
x i1
x
x ] | i1 xxi1
h 2
f (2 )
—
右端点
2.两点公式(n=2)
给定三点
x
i1
,
x
i
,
x
及其对应的函数值
i1
yi1,
yi
,
yi1
x i1
xi
即
y i 1
yi
x i1
步长h xi xi1 xi1 xi
y i 1
yi
)
—
左端点公式
f (xi1)
P1( x i 1 )
1 h
(yi1
yi )
—
右端点公式
这称为两点公式。
截断误差:
R1 (xi )
f (1) 2!
[(x
xi )(x
x i 1 )]
|xxi
f
(1 ) 2!
[x
x i1
x
x i 1 ]
|xxi
h 2
f
(1
)
—
左
端点
R1 (xi1)
f (2 ) 2!
[(x
0.264241
而精确值 I 1 2e1 0.26424111。可见，复合Simpson
公式的精确程度优于复合梯形公式，复合Cotes 公式又优于复合
Simpson 公式，而这三种公式的计算量几乎相同。
三、求积公式的误差：
f (n1) () pn (x) f (x) R n (x) f (x) Pn (x) (n 1)! n1(x)
n i!(n i)!0 t(t 1) (t i 1)(t i 1) (t n)dt
数值分析之插值型数值积分
x1=b x
25
数值分析
梯形公式的余项和精度
梯形公式的余项为
R1
=
(b
− a)3 2
1 f ''( )t(t −1)dt, = (a + th) (a,b)
0
由第二积分中值定理得到 R1
= − (b − a)3 12
f
''(), (a,b)
注意到，此时的余项与代数精度保持一致。
26
数值分析
a j=0 xk − x j
n n t− j
(
h)dt
0 j=0 k − j
jk
jk
n
= h(
1
)
n
[
n
(t − j)]dt =
(−1)n−k h
nn
[ (t − j)]dt
j=0 k − j 0 j=0
k !(n − k )! 0 j=0
jk
jk
jk
= (b − a)ck(n) k = 0,1, , n
出定积分的近似值，即
b
b
a f ( x)dx a ( x)dx
6
数值分析
求积公式与代数精度
7
数值分析
6.1 求积公式及代数精度
数值求积公式的一般形式为
b
f (x)dx
a
n
k f (xk )
k =0
式 中 的 xk ( k= 0 , 1 , n称, 为) 求 积 节 点 并 且 有
a x0 x1 xn b，k (k = 0,1, , n) 称为求积系数，
28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数值积分的插值求积公式
（原创版）
目录
1.数值积分的概念和背景
2.插值求积公式的定义和原理
3.插值求积公式的实际应用
4.插值求积公式的优缺点分析
正文
一、数值积分的概念和背景
数值积分是数值分析中的一种重要方法，它是求解连续函数在某一区间上的定积分的一种近似方法。
在实际应用中，有些函数的积分无法求出解析解，这时就需要借助数值积分方法来求解。
数值积分的方法有很多种，其中插值求积公式是一种常用的方法。
二、插值求积公式的定义和原理
插值求积公式是一种基于插值原理的数值积分方法。
其基本思想是先对被积函数进行插值，然后在插值点上求和，最后得到积分结果。
插值求积公式的具体步骤如下：
1.选择插值函数，如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等；
2.对被积函数进行插值，得到一系列插值点上的函数值；
3.在插值点上求和，得到积分的近似值。
三、插值求积公式的实际应用
插值求积公式在实际应用中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中，可以用插值求积公式来计算曲线下的面积；在物理学中，可以用插值求积公式来计算物体的质心；在金融学中，可以用插值求积公式来计算投资组
合的期望收益等。
四、插值求积公式的优缺点分析
插值求积公式具有以下优点：
1.适用范围广，可以应用于各种类型的函数；
2.计算精度较高，随着插值点数的增加，计算结果的误差会逐渐减小；
3.具有较好的稳定性，对于一些具有奇点的函数，插值求积公式仍能得到较好的结果。
然而，插值求积公式也存在一些缺点：
1.插值求积公式的计算复杂度较高，需要进行多次插值和求和操作；
2.对于一些非线性函数，插值求积公式的精度可能会受到影响。
综上所述，插值求积公式是一种实用的数值积分方法，具有一定的优点和缺点。