第八章数值积分与微分PPT课件

§5 龙贝格（Romberg）求积公式
5.1外推法
5.2 Romberg求积公式
§6 高斯（Gauss）型求积公式
§7 数值微分
返回序(1)
前进
b
计算定积分 a f (x)dx 的值是经常遇到的一个问题，
由微积分理论知道：只要求出f (x)的一个原函数F(x)，
就可以利用牛顿—莱布尼慈（Newton-Leibniz）公式
为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的
概念。
定义1
如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都 精确成立，而至少对一个m +1次多项式不精确成
，则称该公式具有m次代数精度。
一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应 用，由定义1容易得到下面定理。
定理1 一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件 是该求积公式对 1,x,x2,…,xm 精确成立，而对xm+1 不精确成立。
出定积分值：
b
I f(x)d xF(b)F(a) a
但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法 时，往往会遇到下面情况：
1. 函数f (x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验 测试数据形成的表格或 图形。
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序(2)
2. f (x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：
f(x)sixn ,e x2,sixn 2, 1, 1x3等
返回
b
前进
代数精度(续1） 解 对于梯形公式 ,当 f ( x ) 1时 , 左端 1d x b a a
例1 试验证梯形公右式端 具有b 一 a次(1代 数1) 精 b度。a ,
2
此时公式精确成立
.当 f ( x ) x 时 , 左端
b
xd x
1
(b 2
a 2 ),
a
2
右端 b a ( a b ) b 2 a 2
I
b
f(x)dx
分值I 是和式的极限：
a
n
前进
lim
n
f(xk)xk
或 k0
其中xk是[a, b] 的每
Maxxk0
0kn
一个分割小区间的长度，它与f (x)无关，去掉极限，由此
得到近似计算公式： b
n
n
I f(x)d x a
f(xk) xk
A kf(xk)
k 0
k 0
因此，式（7-1）可作为一般的求积公式，其特点是将积 分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布
2
2
公式也精确成立
. 当 f ( x ) x 2时 , 左端 b x 2 d x 1 (b 3 a 3 ),
a
3
右端 b a ( a 2 b 2同), 理可证明矩形公式的
2
代数精度也是一次的
此时 , 左端 右端 , 即公式对 x 2 不精确成立 .
故由定理 1知 , 梯形公式的代数精度为
尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积
分，也非常便于设计算法。便于上机计算。
求积公式（7-1）的截断误差为：
b
n
R (f)R nI Inaf(x)d xA kf(xk)
k 0
Rn也称为积分余项。
返1回.2 代数精度
前进
数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多
的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。
一次 .
返回
前进
代数精度（续2） 上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公
式。 例如，对于求积公式（7-1），若事先选定一组求积
节点xk (k=0,1,…,n,)， xk可以选为等距点，也可以选为非 等距点，则可令公式对f(x)=1,x,…,xn 精确成立，即得：
2.1牛顿一柯特斯公式
2.2几种低价N-C求积公式的余项
2.3牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性
§3 复化求积公式
3.1复化梯形公式
3.2复化Simpson公式与复化Cotes公式
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第8章目录 §4 变步长方法（逐次分半算法）
4.1 梯形公式的逐次分半算法
4.2 Simpson公式的逐次分半算法
返回 构造数值求积公式的基本前进
高如度，f (用)两的端近思点似的值想函，数（这值样续f可(a导）)与出f求(b积)取公算式术：平均值作为平均
I bf(x)dxba(f(a)f(b))
a
2
梯形公式
取 ab , I bf(x)dx(ba)fab
2
a
选取某些点xk (k=0,1, …,n)，然后用f (xk) 的加权平均值近似地表示
f ()，这样得到一般的求积公式：
b
n
I f(x)d x a
A kf(xk)In
k 0
(-7 1)
其中，点xk 称为求积节点，系数Ak 称为求积系数，Ak 仅 仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数f (x)的具体 形式，即xk决定了，Ak也就相应的决定了。
构造数值求积公式的基本思想 回顾定积返分回的定义，积
f ()
也就是说，曲边梯形的面积I 恰好
等于底为（b-a），高为f ()的规则图 形—矩形的面积（图7-1），f ()为曲
图7-1
aξ
b
边梯形的平均高度，然而点的具体位置一般是不知道的，
因此难以准确地求出f ()的值。但是，由此可以得到这样
的启发，只要能对平均高度f ()提供一种近似算法，便可
以相应地得到一种数值求积公式。
x
ln x
3. f (x) 的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。
由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算
方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积 分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。
同样，对函数f (x)求导，也有类似的问题，需要研究数 值微分方法。
1.1§构1造返数数回 值值求积积公式分的的基本基思想本概念 前进
定积分I=∫ab f (x)dx在几何上为x=a, x=b, y=0和y=f (x)所 围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于
这个曲边梯形中有一条边y=f (x)是曲边，而不是规则图形。
由积分中值定理，对连续函数f (x)，在区间[a, b] 内至少
存在一点，使：
y f(x)
I bf(x)d x(ba)f() a
第8章
数值积分
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总体概述
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第8章目录
§1 数值积分的基本概念
1.1构造数值求积公式的基本思想
1.2代数精度
1.3插值型求积公式
§2 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式