2018届高三数学小题精练+B卷及解析：专题(12)导数及解析 含答案

2018高考数学小题精练+B 卷及解析：专题（12）导数及解析 专题（12）导数1．若函数()()sin xf x ex a =+在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ． )2,⎡+∞⎣B ． ()1,+∞C ． ()2,-+∞ D ． [)1,+∞【答案】D2．设函数()2xf x e x a =+-（a R ∈），e 为自然对数的底数，若曲线sin y x =上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）A ． 11,1e e -⎡⎤-++⎣⎦ B ． []1,1e + C ． [],1e e + D ． []1,e【答案】A【解析】曲线y=sinx 上存在点（x 0，y 0）， ∴y 0=sinx 0∈[﹣1，1]．函数f （x ）=e x+2x ﹣a 在[﹣1，1]上单调递增． 下面证明f （y 0）=y 0．假设f （y 0）=c ＞y 0，则f （f （y 0））=f （c ）＞f （y 0）=c ＞y 0，不满足f （f （y 0））=y 0． 同理假设f （y 0）=c ＜y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0． 综上可得：f （y 0）=y 0．令函数f （x ）=e x+2x ﹣a=x ，化为a=e x+x ． 令g （x ）=e x+x （x ∈[﹣1，1]）．g′（x ）=e x+1>0，∴函数g （x ）在x ∈[﹣1，1]单调递增．∴e ﹣1﹣1≤g（x ）≤e+1．∴a 的取值范围是11,1e e -⎡⎤-++⎣⎦．故选：A ．点睛：本题利用正弦函数的有界性明确y 0∈[﹣1，1]，结合函数f （x ）=e x+2x ﹣a 在[﹣1，1]上单调递增， ()()00f f y y =等价于f （y 0）=y 0，从而问题转化为a=e x+x 在[﹣1，1]上的值域问题．3．设a R ∈，若函数ln y x a x =+在区间1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭有极值点，则a 取值范围为（ ）A ． 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 1,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ． ()1,,e e ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ． ()1,,e e ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B4．已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数既存在极大值，又存在极小值，，方程有两个不同的实数解，，解得或，实数的取值范围是，故选B ．【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、一元二次方程根与系数的关系及数学的转化与划归思想．属于中档题．转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中．解答本题的关键是将极值问题转化为一元二次方程根的问题． 5．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】在区间上单调递增，在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，而在上单调递增，，故选D．6．若函数在上是增函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】Dg′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），当a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3（舍）；当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3；当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．故选：D．点睛：求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案7．已知函数有三个不同的零点，，（其中），则的值为（）A． B． C． D．【答案】D当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．即g（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a==，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2===μ3，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1．故选：D．点睛：先分离变量得到a=，令g（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使g（x）恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x）==，再令μ=，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．8．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B⇔恒成立，又在[1,2]上单调递增,∴，∴．则实数的取值范围是．本题选择B 选项．点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．已知定义域为的奇函数的图像是一条连续不断的曲线，当时，；当时，，且，则关于的不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A10．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =+的最小距离为（ ）A ．22B ．2C ．22D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，当过点P 到直线2y x =+平行时，点P 到直线2y x =+的距离最小，直线2y x =+的斜率等于，令2ln y x x =-的导数1211y x x x '=-=⇒=或12x =-（舍去），所以曲线2ln y x x =-上和直线2y x =+平行的切线经过的切点坐标(1,1)，点(1,1)到直线2y x =+的距离等于2，故选B ． 考点：点到直线的距离公式、导数的几何意义．11．设函数(),y f x x R =∈的导函数为'()f x ，且()()f x f x =-，'()()f x f x <，则下列不等式成立的是（ ）A ．12(0)(1)(2)f e f e f -<< B ．12(1)(0)(2)e f f e f -<< C ．21(2)(1)(0)e f e f f -<< D ．21(2)(0)(1)e f f e f -<< 【答案】B 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性及其应用．12．设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】试题分析：由()e x f x x =--，得()e 1xf x '=--，因为11x e +>，所以1(0,1)1xe ∈+，由()32cos g x ax x =+，得()32sin g x a x '=-，又2sin [2,2]x -∈-，所以32sin [23,23]a x a a -∈-++，要使过曲线()e x f x x =--上任意一点的切线1l ，总存在过曲线()32cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则230231a a -+≤⎧⎨+≥⎩，解得1233a -≤≤，故选D ． 考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．（12）导数1．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是（ ） A ． e B ． －e C ． D ． － 【答案】C【解析】设切点为00x y （，），'xy e =， 000000000001x x x ek y kx y e kx e k x k x k e ∴==∴==≠∴=∴=，，＝，（，＞），，．故选A 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，解题的关键是准确理解导数的几何意义，运算准确． 2．曲线ln y x =在点1,22ln ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线方程为（ ） A ． 221y x ln =-- B ． 2y x = C ． ()21y x =+ D ． 22y x =- 【答案】A3．已知函数()()3sin 2f x ax x a R =-∈，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-，则实数a 的值为( ) A ．12 B ． 1 C ． 32D ． 2 【答案】B【解析】由已知得f ′(x )=a (sin x +x cos x )，对于任意的x ∈[0,2π],有sin x +x cos x >0,当a =0时,f (x )=−32，不合题意；当a <0时,x ∈[0, 2π],f ′(x )<0,从而f (x )在[0, 2π]单调递减， 又函数在上图象是连续不断的,故函数f (x )在[0, 2π]上的最大值为f (0)=− 32，不合题意；当a >0时,x ∈[0,2π],f ′(x )>0,从而f (x )在[0,2π]单调递增，又函数在上图象是连续不断的,故函数f (x )在[0, 2π]上的最大值为f (2π)=2πa −32=π−32，解得a =1 故选B点睛：本题是利用导函数来研究函数单调性和最值的问题，要进行分类讨论．4．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为 ( )A ． 1B ．C ． D/【答案】D5．设a R ∈，若函数ln y x a x =+在区间1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭有极值点，则a 取值范围为（ ）A ． 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 1,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ． ()1,,e e ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ． ()1,,e e ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】1(0)a y x x '=+>， y '为单调函数，所以函数在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭有极值点，即()10f f e e ⎛⎫⎪⎭''< ⎝，代入解得()()211110100a ae a e a a e a e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<⇔+++<⇔++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得a 取值范围为1e a e-<<-，故选B ．6．函数 在区间 上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在区间上单调递增，在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，而在上单调递增，，故选D ．7．已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D8．设函数，若曲线在点处的切线方程为，则点的坐标为（）A．B．C．D．或【答案】D【解析】∵f（x）=x3+ax2，∴f′（x）=3x2+2ax，∵函数在点（x0，f（x0））处的切线方程为x+y=0，∴3x02+2ax0=-1，∵x0+x03+ax02=0，解得x0=±1．当x0=1时，f（x0）=-1，当x0=-1时，f（x0）=1．本题选择D选项．点睛：求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P的切线与在点P处的切线的差异．9．已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数有，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，故，由可得，，故函数在上单调递增，又由得，故不等式的解集为，故选B．点睛：本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想，属于中档题；根据条件构造函数令，由求导公式和法则求出，根据条件判断出的符号，得到函数的单调性，求出的值，将不等式进行转化后，利用的单调性可求出不等式的解集．10．已知函数()ln tan f x x α=+((0,))2πα∈的导函数为'()f x ，若使得'00()()f x f x =成立的0x满足01x <，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,)4πB ．(,)42ππC ．(,)64ππD ．(0,)3π【答案】B考点：导数的运算．【方法点晴】本题主要考查了导数的运算及其应用，其中解答中涉及导数的运算公式、三角函数方程的求解，利用参数的分类法，结合正切函数的单调性是解答问题的关键，本题的解答中，求出函数的导数，利用参数法，构造函数设()001ln g x x x =-，利用函数的单调性，求解tan 1α>，即可求解α的范围，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．11．已知定义域为{|0}x x ≠的偶函数()f x ，其导函数为'()f x ，对任意正实数x 满足'()2()xf x f x >-，若2()()g x x f x =，则()(1)g x g x <-不等式的解集是（ ）A ．1(,)2+∞ B ．1(,)2-∞C ．1(,0)(0,)2-∞D ．1(0,)2【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性的应用；利用导数研究函数的性质．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性与函数的单调性的应用，本题的解答中根据函数的奇偶性和利用导数判定函数的单调性，得出函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题． 3．已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(1,0)-C ． (2,)-+∞D ．(2,0)-【答案】A考点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值．【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）．。