勾股定理的逆定理同步练习
勾股定理的逆定理-习题训练(含答案)
勾股定理的逆定理一、基础·巩固1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶52.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.图18－2－4 图18－2－5 图18－2－63.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=41AD ，试判断△EFC 的形状.5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？图18－2－76.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.二、综合·应用7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.图18－2－89.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18－2－910.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD的面积.图18－2－10参考答案一、基础·巩固1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.由A 得有一个角是直角；B 、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D2.解：过D 点作DE ∥AB 交BC 于E, 则△DEC 是直角三角形.四边形ABED 是矩形，∴AB=DE.∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022=- cm.∴AB=3551022=- cm.3.思路分析：因为△ABC 是Rt △，所以BC 2+AC 2=AB 2,即S 1+S 2=S 3，所以S 3=12，因为S 3=AB 2,所以AB=32123==S . 答案：324.思路分析：分别计算EF 、CE 、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：∵E 为AB 中点，∴BE=2.∴CE 2=BE 2+BC 2=22+42=20.同理可求得,EF 2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+42=25.∵CE 2+EF 2=CF 2,∴△EFC 是以∠CEF 为直角的直角三角形.5.分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB 和△DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在△ABD 中，AB 2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2，所以△ABD 为直角三角形，∠A =90°.在△BDC 中,BD 2+DC 2=52+122=25+144=169=132=BC 2.所以△BDC 是直角三角形，∠CDB =90°.因此这个零件符合要求.6.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边.∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,∴△ABC是直角三角形.二、综合·应用7.思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.8.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.∴△ABC是直角三角形.9.思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,∴OA2+AB2=O B2.∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.10.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是等腰三角形或直角三角形.11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.∵(a－5)2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2≥0.∴a －5=0,b －12=0,c －13=0.解得a=5,b=12,c=13.又∵a 2+b 2=169=c 2,∴△ABC 是直角三角形.12.思路分析：（1）作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3；(3)在△DEC 中，3、4、5为勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）,∴DE=AB=4，BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3.∵DE 2+CE 2=32+42=25=CD 2,∴△DEC 为直角三角形.又∵EC=EB=3,∴△DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.在△BDA 中AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,∴△BDA 是直角三角形.它们的面积分别为S △BDA =21×3×4=6;S △DBC =21×6×4=12. ∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.。
人教版初中数学八年级下册第十七章《172勾股定理的逆定理》同步练习题(含答案).docx
《17・2勾股定理的逆定理》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1.下列各组数是勾股数的是（）A. 3, 4, 5B. 7, 8, 9C.9, 41, 47D. 52, 122, 1322.AABC中，ZA, ZB, ZC的对边分别记为a, b, c,由下列条件不能判定AABC为直角三角形的是（）A. ZA+ZB二ZCB. ZA： ZB： ZC=1： 2： 3C. a2=c2 - b2D. a： b： c=3： 4： 63.在厶ABC中，AB=1, AC=2, BC=領,则该三角形为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4.在ZiABC 屮，AB=A/2 , BC=V5 , AoJL 贝】J （）A. ZA二90°B. ZB二90°C. ZC二90°D. ZA二ZB5.已矢Fl AD 为AABC 的中线，且AB = 17, BC = 16, AD = 15，则AC 等于（）A. 15B. 16C. 17D. 186.给出长度分别为7cm, 15cm, 20cm, 24cm, 25cm的五根木棒,分别取其中的三根首尾连接，最多可以搭成的直角三角形的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个127.如图，\咏中，AU3, BU 5, ADIBC^BC^^ D, AD=—f延长BC 至E 使得5CE二BC,将MBC沿AC翻折得到MFC,连接EF,则线段EF的长为A. 6B.832 32C. —D.—5 3二、填空题8.若|a・7| +心-24+ （c-25）?二0,则以a、b、c为三边的三角形的形状是___________ .9.一个三角形的三边之比为5： 12： 13,它的周长为60,则它的面积是 ____________ .10.木工师傅做一个长方形桌面，量得它的长为80分米，宽为60分米，对角线为100 分米，则这个桌面_•（填“合格〃或"不合格〃）□.如图所示的一块地，ZADC = 90° , AD = 4f CD = 3, AB = 13, BC = 12, 求这块地的面积 .12.____________________________________________________________ 如图所示，ABLBC, AB = 2运,CD二5, AD=3, BC=2,则ZA二_______________________ 度.三、解答题13.已知：在AABC中，ZA, ZB, ZC的对边分别是a, b, c,三边分別为下列长度, 判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角.(1)a=V3, b = 2匹，c=V5；(2)a=5, b=7, c=9；(3)a=2, b=V3, c=V7；(4)a=5, b=2V6, c=l.14.如图，在△ ABC 中，AB = 8cm, AC = 6cm, BC=10cm,点D在AB ±，且BD = CD, 求ABDC的面积.15.如图，在RtAABC 中，CD丄AB,垂足为D,如果CD=12, 4D=16, BD=9,那么AABC 是直角三角形吗？请说明理由.C16.如图是一个零件的示意图，测量AB=4 cm, BC=3 cm, CD=12 cm, AD=13 cm, ZABC=90°,根据这些条件，你能求!l!ZACD的度数吗？试说明理由.参考答案I.A2. D3. B4. A5. C6・ B7. A&直角三角形9.12010.合格II.2412.6013.解析：(1) *.* a=V3» b=2V2, c=V5»a2=3, b2=8, C2=5,13+5=8,:.a2+c2=b2,•••△ABC是直角三角形，ZB=90°；(2)*.*a=5, b=7, c=9,Aa2=25, b2=49, c2=81.•・• 25+49=74邦1,・・・此三角形不是直角三角形；(3)a=2, b=V3, c=V7,a2=4, b2=3, C2=7.V4+3=7,a2+b2=c2,A A ABC是直角三角形，ZC=90°；(4)*.*a=5, b=2V6, c=l,a2=2 5, b2=24, c2= 1.V24+1=25,b2+c2=a2,A A ABC是直角三角形，ZA=90°.13.—cm24解析：*• AB— 8cm, AC— Gem, BC= 10cm,:.AB2+AC1 = BC1i・・・ZBAC=90。
人教版八年级下册 第十七章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 同步练习(包含答案)
勾股定理的逆定理同步练习一、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）。
A． 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，232、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A. 2, 3，4;B. 7, 24, 25;C. 6, 8, 10;D. 9, 12, 15.3、△ABC的三边为a、b、c，且，则( )A、△ABC是锐角三角形；B、c边的对角是直角；C、△ABC是钝角三角形；D、a边的对角是直角；4、在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A、 B、C、D、5、用长度分别为7，15，20，24，25的五根小木棒首尾相连搭成两个直角三角形，正确的是（）6、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且，四边形ABCD的面积是（）A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．90cm27、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，△ABD中，∠ADB＝90°，DA＝DB，则△ADB的面积是（）A. 24B. 50C. 25D. 208、一块木板如图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13,∠B=90°,则木板的面积是（）A．24 B．60 C． 30 D．129、小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小芳从公园到图书馆拐了个( )角.A、锐角B、直角C、钝角D、不能确定10、如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠D=90o，AD=DC=4，AB=2，F为AD的中点，则点F到BC的距离是（）A. B. C.2 D.11、下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②含有30°角的直角三角形的三边长之比是3:4:5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．①③ D．②④12、如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框ABCD，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则现在A、C相对的螺丝的距离的最大值，以及现在B、D相对的螺丝的距离的最大值分别为（）A. 5和7B. 10和7C. 5和8D. 10和813、如图，长方形ABCD中，AD=8cm,CD=4cm.点P是边AD上的一个点,PA=PC，Q是AB边上的一个点,, △PCQ 是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形14、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？（）Ａ. 10时41分 B. 10时30分 C. 10时51分 D. 11时二、填空题15、已知三角形的三边长分别为3,5，，则该三角形最长边上的高为16、如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC的长为．17、如图，∠C=∠ABD=90°,AC=4，BC=3，BD=12，则AD=18、如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．19、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝_ ．20、如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,则过3s时,△BPQ的面积为cm2.三、简答题21、已知：如图，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13．（1）求BC的长度；（2）线段BC与线段BD的位置关系是什么？说明理由．22、如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断AD与AB是否垂直？请说明理由．23、已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．24、如图所示，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折迭，使AB落在直线AC上，求重迭部分(阴影部分)的面积．25、如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．(1)求证：BH＝AC；(2)求证：BG2－GE2＝EA2．参考答案一、选择题1、B；2、A；3、D；；4、B；5、C；6、B；7、C；8、A；9、B；10、A；11、B；12、a；13、A；14、A；二、填空题15、16、1417、1318、∠A=30°．19、或20、18三、简答题21、解：（1）∵AB=3，AC=4，AB⊥AC，∴BC==5；（2）BC⊥BD，理由如下：∵BC=5，BD=12，CD=13，∴BC2+BD2=25+144=169=132=CD2，∴∠CBD=90°，∴BC⊥BD．22、解:与会互相垂直。
人教版八年级数学下册172_勾股定理的逆定理同步习题+答案
17.2 勾股定理的逆定理一、选择题1. 如图，正方形ABCD中，AB=1，则AC的长是（）A.1B.√2C.√3D.22. 如图，直角△ABC中，AC:BC=3:4，且AB=15，则AC=()A.8B.9C.10D.113. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，ED=3，AD=4，则DC的长是()A.5 2B.2C.32D.14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D，E为BC的中点，连接DE，AB=13，AC=5，则DE的长为()A.5B.6C.7D.85. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A+∠C＝90∘，则下列等式中成立的是（）A.a2+b2＝c2B.b2+c2＝a2C.a2+c2＝b2D.c2−a2＝b26. 若直角三角形的三边长为6，8，m，则m2的值为()A.10B.100C.28D.100或287. 如图，在平行四边形ABCD中，两内角的平分线交于点P，PB=5,PC=2，则AD的长是()A.8B.√29C.√21D.10.58. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，BC=2.5cm，AC=1.5cm，则AB的长为()A.3.5cmB.2cmC.3cmD.4cm9. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF 等于（）A.2 3B.1C.32D.210. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90∘，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交于点D，则CD的长为（）A.125B.157C.207D.12711. 如图，正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A，B的边长分别为3和5，则正方形C的面积为（）A.16B.12C.15D.1812. 在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A.5B.4C.6D.、10二、填空题13. 一直角三角形的两边长分别为4和5，则第三边的长为________．14. 如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺上地毯，那么地毯至少需要长_______m.15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．过点A作AG⊥BD于G，则AG等于________．16. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为________．三、解答题17. 如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，∠B＝90∘，求四边形ABCD的面积．18. 如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB＝3cm，长BC＝5cm．求EC的长．17.2 勾股定理的逆定理一、选择题1.【答案】B【解答】解：∵ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∴在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√12+12=√2.故选B．2.【答案】B【解答】解：设AC=3k，则BC=4k.在Rt△ABC中，AC=3k，BC=4k，AB=15，根据勾股定理，得(3k)2+(4k)2=152，解得k=3，∴AC=3k=3×3=9.3.【答案】B【解答】解：由勾股定理，得：AE=√AD2+DE2=√42+32=5.∵∠BAC=90∘，E是边BC的中点，∴BC=2AE=10，∴EC=5，∴DC=EC−ED=2．故选B．4.【答案】B【解答】解：由题设在Rt△ACB中，∵AB=13，AC=5，∴BC=√AB2−AC2=√132−52=12.∵CD⊥AB，E是CB中点，CB=6.∴DE=12故选B.5.【答案】C【解答】∵在△ABC中，∠A+∠C＝90∘，∴∠B＝90∘，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：a2+c2＝b2．6.【答案】D【解答】解：①当边长为8的边是直角边时，m2=62+82=100；②当边长为8的边是斜边时，m2=82−62=28；综上所述，m2的值为100或28．故选D.7.【答案】B【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=180∘，又因为两内角的平分线交于点P，所以∠PBC+∠PCB=90∘，所以∠BPC=90∘，故在Rt△BPC中，BP2+PC2=BC2，故AD=BC=√BP2+PC2=√29.故选B.8.【答案】B【解答】解：∵BC=2.5cm，AC=1.5cm，∠A=90∘，根据勾股定理：AB=2−1.52=2cm.故选B．9.【答案】C【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5，∠D＝∠B＝∠C＝90∘，∵AF平分∠DAE，EF⊥AE，∴DF＝EF，由勾股定理得：AE2＝AF2−EF2，AD2＝AF2−DF2，∴AE＝AD＝5，在△ABE中由勾股定理得：BE=2−AB2=3，∴EC＝5−3＝2，∵∠BAE+∠AEB＝90∘，∠AEB+∠FEC＝90∘，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴ABCE =BECF，∴42=3CF，∴CF=32．10.【答案】C【解答】过D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，则∠DNA＝∠CAB＝∠DMA＝90∘，∵AD平分∠CAB，∴DN＝DM，∴四边形AMDN是正方形，设正方形的边长是x，则AN＝DN＝x，∴DN // AB，∴△CND∽△CAB，∴DNAB =CNAC，∴x3=4−x4，解得：x=127，在Rt△CND中，CN＝4−127=167，DN=127，由勾股定理得：CD=207，11.【答案】A【解答】如图所示：正方形A、B的边长分别为3和5，DF=5EF=3DE=√52−32=4故县方形C的面积为412.【答案】C【解答】如图，∵ 图中的四边形为正方形，∴ ∠ABD ＝90∘，AB ＝DB ，∴ ∠ABC +∠DBE ＝90∘，∵ ∠ABC +∠CAB ＝90∘，∴ ∠CAB ＝∠DBE ，∵ 在△ABC 和△BDE 中，{∠ACB =∠BED ∠CAB =∠EBD AB =BD，∴ △ABC ≅△BDE(AAS)，∴ AC ＝BE ，∵ DE 2+BE 2＝BD 2，∴ ED 2+AC 2＝BD 2，∵ S 1＝AC 2，S 2＝DE 2，BD 2＝1，∴ S 1+S 2＝1，同理可得S 2+S 3＝2，S 3+S 4＝3，∴ S 1+2S 2+2S 3+S 4＝1+2+3＝6．二、 填空题 13.【答案】√41或3【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是2+52=√41；当5是斜边时，则第三边是3．故答案为：√41或3．14.【答案】7【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC=3m，AC=5m，∴AB=√AC2−BC2=√52−32=4(m)，∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=4+3=7(m)．故答案为：7.15.【答案】________、125【解答】解：四边形ABCD是矩形，加BAD=90∘．BD=2+AD2=√32+42=5由三角形的面积公式得，S△ABD=12BD⋅AG=12AB⋅AD…AG=AB⋅ADBD =125故答案为：12516.【答案】9【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 2 小题，每题10 分，共计20分）17.【答案】24【解答】解：连接AC，∠B=90∘AC=√42+32=5=5.AC=90∘…四边形ABCD的面积=12×5×12−12×3×4=24________DA________18.【答案】EC=−3【解答】解：由折叠可知|AD=AF=5cm,DE=EF∠B=90∘AB2+BF2=AF2∵AB=3cm,AF=5cmBF=4cmBC =5cmFC=1cm∠C=90∘∴EC2+F2=EF2设EC=x，则DE=EF=3−x(3−x)2=12+x2x=4 3即EC=43。
《17.2勾股定理的逆定理》同步练习测试及答案解析
《17．2勾股定理的逆定理》同步练习测试及答案解析（第1课时）A．3，4，5 B．6，8，10 C，2， D．5，12，13 C．如果，那么D．等边三角形的三个角都等于600C的逆命题是:如果，那么；3．已知三角形三边长为，如果，则的形状是（）．A．以为斜边的直角三角形B．以为斜边的直角三角形C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形解析：将式子左边变形得: ，因为，，，所以，，，即，，，又因为，所以，所以是以为斜边的直角三角形．解析：因为，所以该三角形为直角三角形且两条直角边分别为5cm、12cm，所以面积=．5．已知为的三边长，且满足，则它的形状为．解析：因为式子可变形为即，所以或，即或，所以为直角三角形或等腰三角形．6．有下列判断：①△ABC中，，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C＝900，则；③若△ABC中，，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则，以上判断正确的是（填序号）．解析：根据勾股定理的逆定理，一个三角形中两条较小边长的平方和等于最大边长的平方，那么这个三角形是直角三角形，①中三边大小关系未知，或有可能成立，故①是错误的；根据勾股定理②是正确的；③中可变形为，④中变形为即，所以③和④都正确；所以正确的序号是②③④．7．已知是的三边长，根据下列条件，判断是不是直角三角形．解析：①∵a＞c＞b，，∴∵b＞c＞a，，∴8．在中，，，，其中是正整数，且．试判断是否是直角三角形．答案: 是直角三角形．解析：因为是正整数，且，,所以，，即，因为，又因为，所以，所以是直角三角形．《17．2勾股定理的逆定理》同步练习测试及答案解析（第2课时）一、精心选一选（每小题只有一个正确选项，请把正确选项的代号填在题后的括号内）．1．下列四组数据：①8，17，17；②9，12，15；③1．2；1．5，2；④7，24，25，其中是勾股数的有（）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组A．∠A=∠B－∠C B．a:b:c=1::2C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．A选项中关系式∠A=∠B－∠C变形为∠A+∠C=∠B,因为∠A+∠C+∠B=180°,所以求得∠B=90°,所以△ABC为直角三角形；B选项中设，则即，所以为直角三角形；C选项中设的度数分别为，则，，所以，,，所以不是直角三角形；D选项变形为，所以为直角三角形．故答案是C．分别8,8,16，④中三边长平方分别为10,13,17，⑤中三边长平方分别为13,13,26，⑥中三边长平方分别为10,13,17．由勾股定理的逆定理可知①③⑤是直角三角形，由勾股定理可知②④⑥均不是直角三角形．答案：或5．解析：当斜边长为4时，第三边长=；当第三边是斜边时，第三边长=．解析：小明所走的三段路程看成是三条线段，三条线段围成一个三角形且三边长度分别是80m，60m，100m，因为，所以这个三角形是直角三角形，所以小明向东走80m后，又走60m的方向是与原方向垂直的方向，所以答案是向南或向北．6．已知的三边分别为，且，，，则的形状是．解析：，，，，即，又因为，所以，所以为直角三角形．7．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积．答案：．解析：连接，将题目中不规则的四边形面积转化成两个直角三角形的面积差．连，∵∴∵，,∴∴∴这块地的面积为．8．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东600方向，以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达岛，乙船到达岛，且岛与岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？，，∵，∴∴∴。
勾股定理的逆定理 同步练习(含答案)
7.4勾股定理的逆定理1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.43,1,45 C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，9 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三个内角比为1∶2∶1 B.三边之比为1∶2∶5 C.三边之比为3∶2∶5 D. 三个内角比为1∶2∶33.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A.2 B.102 C.10224或 D.以上都不对4. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)5. △ABC 的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .6.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .7.已知三角形ABC 的三边长为c b a ,,满足18,10==+ab b a ，8=c ，则此三角形为 三角形.8.在三角形ABC 中，AB=12cm ，AC=5cm ，BC=13cm ，则BC 边上的高为AD= cm . 9. 如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13， 求四边形ABCD 的面积.10. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.11. 如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .12. 观察下列勾股数：第一组：3=2×1＋1， 4=2×1×（1+1）， 5=2×1×（1+1）+1； 第二组：5=2×2＋1， 12=2×2×（2+1）， 13=2×2×（2+1）+1； 第三组：7=2×3＋1， 24=2×3×（3+1）， 25=2×3×（3+1）+1； 第三组：9=2×4＋1， 40=2×4×（4+1）， 41=2×4×（4+1）+1； ……观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的c b a ,,各应是多少吗？第n 组呢？BE参考答案1.C ；2.C ；3.C ，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=;1026222=+当6为斜边时，第三边为直角边=242622=-；4. C ；5.90°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为 90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为.5412921=⨯⨯ 7.直角，提示：2222222864182100,1002,100)(c b a ab b a b a ===⨯-=+=++=+得；8.1360，提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得AD ⨯⨯=⨯⨯132151221； 9.解：连接AC ，在Rt △ABC 中， AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°． 故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36.10. 解：由勾股定理得AE 2=25，EF 2=5， AF 2=20，∵AE 2= EF 2 +AF 2， ∴△AEF 是直角三角形11. 设AD =x 米，则AB 为（10+x ）米，AC 为（15－x ）米，BC 为5米，∴(x +10)2+52=(15－x )2，解得x =2，∴10+x =12（米）12. 解：第七组，.1131112,112)17(72,15172=+==+⨯⨯==+⨯=c b a 第n 组，1)1(2),1(2,12++=+=+=n n c n n b n a。
勾股定理的逆定理专题训练(含答案)
勾股定理的逆定理专题训练(含答案)
1.三角形ABC的两边分别为5和12，另一边c为奇数，并且a+b+c是3的倍数。
求c的值和三角形的类型。
2.三角形中两条较短的边为a+b和a-b（a>b），求第三条边使得三角形为直角三角形。
3.已知三角形ABC的三边a，b，c满足a²+b²+c²+50=2(m-1)余m+1，求三角形的类型。
4.已知三角形ABC中，BC=6，BC边上的高为7，求AC 边上的高。
5.已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），求三角形的类型和理由。
6.已知一个三角形的三边分别为7cm，24cm，25cm，求三角形的面积。
7.给出几组数，判断哪组能构成直角三角形的三边长。
8.给出几组数，判断哪组能构成直角三角形的三边长。
9.等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是多少？
10.已知四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，
AD=13，求四边形的面积。
11.已知三角形ABC中，AC=17，AD=8，CD=15，
AB=10，求三角形的类型和面积。
12.已知三角形ABC中，AB=17cm，BC=30cm，求三角形的类型和面积。
13.判断一个机器零件是否符合要求。
14.已知四边形ABCD中，∠B=90，BC上的中线
AD=8cm，判断三角形ABC的类型和理由。
15.为了庆祝红宝石婚，XXX和XXX举办了一场数学竞赛，其中包括了勾股定理的逆定理的专题训练。
勾股定理逆定理练习题
勾股定理逆定理练习题一、选择题1. 在直角三角形中，如果已知两条直角边的长度分别为a和b，那么斜边的长度为：A. √(a^2 + b^2)B. a + bC. a * bD. a / b2. 如果三角形的三边长分别为3，4，5，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 勾股定理逆定理指出，如果一个三角形的三边长满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形4. 在一个三角形中，如果最长边的平方等于其他两边平方和，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不是三角形5. 如果三角形的三边长满足a^2 + c^2 = b^2，那么这个三角形的最长边是：A. aB. bC. cD. 不能确定二、填空题6. 在直角三角形中，如果已知斜边长度为13，一条直角边长度为5，那么另一条直角边的长度是________。
7. 勾股定理逆定理可以用来判断一个三角形是否是________。
8. 如果一个三角形的三边长分别为7，24，25，根据勾股定理逆定理，这个三角形是________。
9. 在一个三角形中，如果两边长分别为8和15，要使这个三角形是直角三角形，第三边的长度至少是________。
10. 如果三角形的三边长满足x^2 + y^2 = z^2，其中z是最长边，那么这个三角形是________。
三、解答题11. 已知三角形ABC的三边长分别为AB=9，BC=12，AC=15，判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由。
12. 在三角形DEF中，DE=8，EF=15，DF=17，使用勾股定理逆定理判断三角形DEF是否是直角三角形。
13. 一个三角形的三边长分别为a、b和c，如果a^2 + b^2 = c^2，求证这个三角形是直角三角形。
14. 已知三角形GHI的三边长分别为GH=7，HI=24，IG=25，求证三角形GHI是直角三角形。
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18.2 勾股定理的逆定理二
◆回顾归纳
1．如果△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，则△ABC是______三角形，_____=90°，•这个定理叫做_______．
2．一个命题成立，那么它的逆命题_______成立．
◆课堂测控
测试点一勾股定理的逆定理
1．已知△ABC的三边长a，b，c分别为6，8，10，则△ABC______（•填“是”或“不是”）直角三角形．
2．△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．
3．△ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（）
A．a=41，b=40，c=9 B．a=1.2，b=1.6，c=2
C．a=1
2，b=1
3
，c=1
4
D．a=3
5
，b=4
5
，c=1
4．（分析判断题）在解答“判断由长为6
5，2，8
5
的线段组成的三角形
是不是直角三角形”一题中，小明是这样做的：
解：设a=6
5，b=2，c=8
5
．
因为a2+b2=（6
5）2+22=13664
2525
=c2．
所以由a，b，c组成的三角形不是直角三角形，你认为小明的解答正确吗？•请说明理由．
测试点二逆命题与逆定理
5．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）内错角相等，两直线平行；
（2）对顶角相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
◆课后测控
1．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；
（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（）A．4组B．3组C．2组D．1组
2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）
3．下列命题中，真命题是（）
A．如果三角形三个角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形
B．如果直角三角形两直角边的长分别为a和b，那么斜边的长为a2+b2
C．若三角形三边长的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形
D．如果直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么斜边上的高h的长为ab
c
4．下列命题的逆命题是真命题的是（）
A．若a=b，则a2=b2B．全等三角形的周长相等
C．若a=0，则ab=0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形5．△ABC中，BC=n2－1，AC=2n，AB=n2+1（n>1），则这个三角形是______．
6．如果三角形的三边长为1.5，2，2.5，那么这个三角形最短边上的高为______．
7．A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示，则点C•在点B•的方位是_____
8．如图所示，四边形ABCD中，BA⊥DA，AB=2，AD=2CD=3，BC=5，求∠ADC的度数．
9．写出下列命题的逆命题，并判断真假．
（1）如果a=0，那么ab=0；
（2）如果x=4，那么x2=16；
（3）面积相等的三角形是全等三角形；
（4）如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；（5）在一个三角形中，等角对等边．
10．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q 从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
◆拓展创新
11．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，•观察下列表格所给出的三个数a，
b，c，a<b<c．
（1）试找出它们的共同点，并证明你的
结论．
9，40，41
（2）写出当a=17时，b，c的值．
答案
回顾归纳
1．直角，∠C，勾股定理的逆定理
2．不一定
课堂测控
1．是2．90°点拨：BC2=AB2+AC2
3．C 点拨：计算两短边的平方和与最长边的平方比较．
4．不正确．因为6
5<2，8
5
<2，且（6
5
）2+（8
5
）2=22，即a2+c2=b2，
所以此三角形为直角三角形．5．（1）两直线平行，内错角相等．成立．
（2）如果两个角相等，那么它们是对顶角，不成立．
（3）如果两个三角形的对应角相等，则它们全等．不成立．
（4）如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立．课后测控
1．B 点拨：有（1）（3）（4）三组．
2．C 3．D 4．D
5．直角三角形点拨：BC2+AC2=AB2．
6．6
7．正南方向
5
8．∵AB⊥AD，AB=2，
∴BD=，
∴AB=1
BD，∠ADB=30°，
2
∵BD2+DC2=42+32=52，
∴BD2+DC2=BC2．
∴∠BDC=90°，∴∠ADC=120°．
9．（1）的逆命题是：如果ab=0，那么a=0，它是一个假命题．（2）的逆命题是：如果x2=16，那么x=4，它是一个假命题．（3）的逆命题是：全等三角形的面积相等．它是一个真命题．（4）的逆命题是：如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角，它是一个假命题．
（5）的逆命题是：在一个三角形中，等边对等角，它是一个真命题．
10．先求AB=9，BC=12，AC=15，由AB2+BC2=AC2可得△ABC
是直角三角形．
所以S△PBQ=1
2BP·BQ=1
2
×（9－3）×6=18cm2．
拓展创新
11．（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：
①以上各组数均满足a2+b2=c2；
②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；
③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，
如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…
由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：
设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1），
则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数．
证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），
∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，
∴m，n，（n+1）是一组勾股数．
（2）运用以上结论，当a=17时，
∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．。