中考数学专题训练：两条直线平行或相交问题(四)

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(广东专版)201x年中考数学一轮复习专题4 图形的认识 4.1 角、相交线与平行线(试卷部分)

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∴∠CDO=180°-∠C-∠BOC=95°,故选B.
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2.(2017河北,3,3分)用量角器测量∠MON的度数,下列操作正确的是 ( )
答案 C 用量角器测量一个角的度数时,应将量角器的圆心对准所量角的顶点,量角器的零刻度线与角的一边重合,那么角的另一边所对应的刻度就是角的度数,故选C.
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考点二相交线
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5.(2016茂名,5,3分)如图,直线a,b被直线c所截,若a∥b,∠1=60°,那么∠2的度数为 ( )
A.120° B.90° C.60° D.30° 答案 C 两条直线平行,同位角相等, 所以∠2=∠1=60°.故选C.
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6.(2015广东,4,3分)如图,直线a∥b,∠1=75°,∠2=35°,则∠3的度数是 ( ) A.75° B.55° C.40° D.35°
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2.(2018河南,12,3分)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数
为
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答案 140° 解析 ∵EO⊥AB,∴∠EOB=90°,∴∠BOD=90°-∠EOD=40°, ∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-40°=140°.
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3.(2017江西,8,3分)如图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB,若剪刀张开的角为30°,
考点一角
1.(2016北京,1,3分)如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB的度数为 ( )
A.45° B.55° C.125° D.135° 答案 B 由题图可知,∠AOB=55°.
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2.(2016湖南长沙,9,3分)下列各图中,∠1与∠2互为余角的是 ( )
答案 B A项,∠1与∠2不互余,故本选项错误; B项,∠1+∠2=90°,即∠1与∠2互余,故本选项正确; C项,∠1与∠2是对顶角,故本选项错误; D项,∠1与∠2是邻补角,故本选项错误.故选B.

2022年中考数学专题复习第16讲相交线与平行线(含详细参考答案

2022年中考数学专题复习第16讲相交线与平行线（含详细参考答案【基础知识回顾】一、直线、射线、线段线段有个端点，不的度量线比较大小，把线段向两个方向无限延伸，就得到直线，直线端点，将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有个端点，线段、直线、射线都有两种表示方法：不以用表示可以用表示线段工理：直线工理【名师提醒：一条直线上有几个点，则这条直线上存在条线段】二、角1、定义：有公共端点的两条组成的图形叫做角，角也可以一条绕它的从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形【名师提醒：角的表示方法：不的用三个大写字母如∠AOB，也可用一个大写字母∠A或用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠2等，注意等于选择合适，简法的方法表示角】2、角的分类：角按照大小可分为：周角、、锐角等。

其中1周角=度=平角直角度=分1分=秒【名师提醒：钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：即时针分针转动度，分针每分转动度】3、角的平分线一条射线把一个角分成的角，这条叫做这个角的平分线【名师提醒：1、一个角内有几条射线，则一共可形成角】1、互为余角互为斜角1、互为余角：若∠1+∠2则称∠1与∠2互为余角2、互为补角：若∠1+∠2则称∠1与∠2互为补角3性质：同角或等角的余角同角或等角的余角【名师提醒：1、互补和互余是挡两个角的关系2、一个锐角的补角比它的余角大度】三、相交线1、对顶角及其性质：对顶角：和邻补角两条直线相交所成德四个角中的角是对顶角，的角是邻补角，如图：对顶角有邻补角有对顶角性质2、垂线及其性质互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的性质：1、过一点与已知直线垂直2、直线外点与直线上各点连接的所有线段中，最短，（简称：）【名师提醒：注意三个距离的区别1、两点间的距离是指：2、点到直线的距离是指3、两平行线间的距离是指】四、平行线：1、三线八角：如图：两条直线a与b被第三条直线c所截，构成八个角其中同位角有对，分别是，内错角有对，分别是内错角有对，分别是2、平行线的意义：在同意平面呢的两条直线叫平行线3、平行公理：经过已知直线到一点条直线与已知直线平行4、平行线的性质和判定相等性质两直线平行————→相等【名师提判定醒：平行线的应用判定方同旁内角条：1、平行于同一直线的法还有两两条直线互相2、同一直线的两条直线互相平行】一、命题公理定理和证明1、命题：的语句叫命题，一个命题由和两部分构成，可分为和两类2、公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真伪的原始根据的真命题3、定理：经过证明的命题叫做定理4、互逆命题与互逆定理：⑴在两个命题中，如果一个命题的和事另一个命题的和那么这两个命题称为互逆命题⑵如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个这两个定理称为5、证明：⑴根据题设，定义公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题这一推理过程称为证明⑵命题完整证明的一般步骤：①审题：找出命题的和②根据题意画出③写出和④分析证明的整理⑤写出每一步应有根据，要推理严密【名师提醒：1、判断一个命题是其命题的判断一个命题是假命题可以举出2、任何一个命题一定有它的逆命题：对于任意一个定理有它的逆定理】【重点考点例析】考点一：线与角的概念和性质例1（2022丽水）如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（）思路分析：首先根据题意可得：∠1=30°，∠2=60°，再根据平行线的性质可得∠4的度数，再根据∠2和∠3互余可算出∠3的度数，进而求出∠ABC的度数解：如图，由题意得：∠1=30°，∠2=60°，∵AE∥BF，∴∠1=∠4=30°，∵∠2=60°，∴∠3=90°-60°=30°，∴∠ABC=∠4+∠FBD+∠3=30°+90°+30°=150°，故选：C．点评：此题主要考查了方位角，关键是掌握方位角的概念：方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．对应训练1．（2022江西）如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（）A．南偏西60°B．南偏西30°C．北偏东60°D．北偏东30°1．思路分析：根据方向角的定义进行解答即可．解答：解：由于人相对与太阳与太阳相对于人的方位正好相反，∵在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，∴太阳相对于你的方向是南偏西60°．故选A．点评：本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的概念是解答此题的关键．考点二：余角和补角例2（2022孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于（）A．45°B．60°C．90°D．180°思路分析：根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．解：由题意得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，两式相减可得：∠β-∠γ=90°．故选C．点评：此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，是解答本题的关键．对应训练2．（2022南通）已知∠a=32°，则∠a的补角为（）A．58°B．68°C．148°D．168°2．分析：根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解．解：∵∠a=32°，∴∠a的补角为180°-32°=148°．故选C．点评：本题考查了余角与补角的定义，熟记互为补角的和等于180°是解题的关键．3．（2022扬州）一个锐角是38度，则它的余角是度．3．52分析：根据互为余角的两角之和为90°，可得出它的余角的度数．解：这个角的余角为：90°-38°=52°．故答案为：52．点评：此题考查了余角的知识，掌握互为余角的两角之和为90°是解答本题的关键．考点三：相交线与垂线例3（2022北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（）A．38°B．104°C．142°D．144°思路分析：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．解：∵∠BOD=76°，∴∠AOC=∠BOD=76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=12∠AOC=12某76°=38°，∴∠BOM=180°-∠AOC=180°-38°=142°．故选C．点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．对应训练4．（2022泉州）（1）如图，点A、O、B在同一直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC=°．4．分析：根据邻补角互补直接求出∠AOC的值．解：∵∠BOC=50°，∴∠A0C=180°-50°=130°．点评：本题考查了对顶角、邻补角，知道邻补角的和为180°是解题的关键．考点四：平行线的判定与性质例4（2022衡阳）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（）A．70°B．90°C．110°D．80°思路分析：首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3．根据对顶角相等可得∠2=∠3，利用等量代换可得到∠2=∠1=70°．解：∵直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，∴a∥b，∴∠1=∠3，∵∠3=∠2，∴∠2=∠1=70°．故选：A．点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理．对应训练5．（2022宜宾）如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=．5．121°分析：由∠1=∠3，利用同位角相等两直线平行，得到AB与CD平行，再利用两直线平行同旁内角互补得到∠5与∠4互补，利用对顶角相等得到∠5=∠2，由∠2的度数求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．解：∵∠1=∠3，∴AB∥CD，∴∠5+∠4=180°，又∠5=∠2=59°，∴∠4=180°-59°=121°．故答案为：121°点评：此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．考点五：真假命题的识别例6（2022呼和浩特）下列命题中，真命题的个数有（）①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行②函数y=某2+1某图象上的点P（某，y）一定在第二象限③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面④使得|某|-y=3和y+某2=0同时成立的某的取值为A．3个B．1个C．4个D．2个思路分析：①根据平移的性质以及旋转的性质得出答案即可；②根据二次根式的性质以及点的坐标性质，得出答案；③根据正投影的定义得出答案；④根据使得|某|-y=3和y+某2=0同时成立，即y=|某|-3，y=-某2，故|某|-3=-某2，进而利用绝对值得性质，解方程即可得出答案．解：①平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化，故此选项错误；②根据二次根式的意义得出某＜0，y＞0，故函数y=某2+1某1213．图象上的点P（某，y）一定在第二象限，故此选项正确；③根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面，故此选项正确；222④使得|某|-y=3和y+某=0同时成立，即y=|某|-3，y=-某，故|某|-3=-某，某-|某|-3=0，当某＞0，则某-某-3=0，解得：某1=121322，某2=1132（不合题意舍去），当某＜0，则某2+某-3=0，解得：某1=1213（不合题意舍去），某2=11321，故使得|某|-y=3和y+某2=0同时成立的某的取值为：故正确的有2个，132，-1132，故此选项错误，故选：D．点评：此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．同时也考查了平移的性质以及旋转的性质和二次根式的性质、正投影、解一元二次方程等知识，熟练根据绝对值性质整理出一元二次方程是解题关键．对应训练6．（2022龙岩）下列命题中，为真命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．若a=b，则a=bD．若a＞b，则-2a ＞-2b6．分析：分别判断四个选项的正确与否即可确定真命题．解：A、对顶角相等为真命题；B、两直线平行，同位角相等，故为假命题；C、a2=b2，则a=±b，故为假命题；22D、若a＞b，则-2a＜-2b，故为假命题；故选A．【聚焦山东中考】1．（2022滨州）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（）A．65°B．75°C．85°D．95°1．思路分析：先分清一副三角尺，各个角的度数分别为多少，然后将各个角相加或相减即可得出答案．解：利用一副三角板可以画出75°角，用45°和30°的组合即可，故选：B．点评：此题主要考查了用三角板直接画特殊角，关键掌握用三角板画出的角的规律：都是15°的倍数．2．（2022济宁）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）A．40°B．75°C．85°D．140°2．分析：根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．解：如图：∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE，∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°，∵∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．故选C．点评：本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．3．（2022日照）如图，DE∥AB，若∠ACD=55°，则∠A等于（）A．35°B．55°C．65°D．125°3．分析：由DE∥AB，∠ACD=55°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数．解：∵DE∥AB，∠ACD=55°，∴∠A=∠ACD=55°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．4．（2022临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．140°4．分析：先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据直角三角形的性质即可得出∠2的度数．解：∵AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，∴∠3=∠1=40°，∵DB⊥BC，∴∠2=90°-∠3=90°-40°=50°．故选B．点评：本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．5．（2022济南）如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1=65°，则∠2=（）A．115°B．65°C．35°D．25°5．分析：由直线a∥b，∠1=65°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵直线a∥b，∠1=65°，∴∠3=∠1=65°，∴∠2=∠3=65°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．6．（2022济南）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．一组邻边相等的四边形是菱形C．四个角是直角的四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形6．分析：根据矩形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断．解答：解：A、对角线相等的平形四边形是矩形，故选项错误；B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；D、正确．故选D．点评：本题考查了真命题的判断，正确掌握定义、定理是关键．7．（2022菏泽）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC=cm．7．5或11分析：点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．因此分类讨论计算．解：根据题意，点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．若点C在线段BC上，则AC=AB-BC=8-3=5（cm）；若点C在BC的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11（cm）．故答案为5或11．点评：此题考查求两点间的距离，运用了分类讨论的思想，容易掉解．【备考真题过关】一、选择题1．（2022永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（）A．朝阳岩B．柳子庙C．迥龙塔D．朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置1．分析：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，然后对四个答案进行比较即可．解：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，A、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为5+13=18；B、当旅游车停在柳子庙时，总路程为5+8=13；C、当旅游车停在迥龙塔时，总路程为13+8=21；D、当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时，总路程大于13．故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，故选B．点评：本题考查了直线、射线及线段的有关知识，用特殊值的方法比较容易说出来．2．（2022长沙）下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（）A．B．C．D．2．分析：根据互补的两个角的和等于180°求出70°角的补角，然后结合各选项即可选择．解：70°角的补角=180°-70°=110°，是钝角，结合各选项，只有D选项是钝角，所以，最有可能与70°角互补的是D选项的角．故选D．点评：本题考查了互为补角的定义，根据补角的定义求出70°角的补角是钝角是解题的关键．3．（2022桂林）如图，与∠1是内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠53．分析：根据内错角的定义找出即可．解：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠3．故选B．点评：本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．4．（2022张家界）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（）A．当∠1=∠2时，一定有a∥bB．当a∥b时，一定有∠1=∠2C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b4．分析：根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可．解：A、若∠1=∠2不符合a∥b的条件，故本选项错误；B、若a∥b，则∠1+∠2=180°，∠1不一定等于∠2，故本选项错误；C、若a∥b，则∠1+∠2=180°，故本选项错误；D、如图，由于∠1=∠3，当∠3+∠2=180°时，a∥b，，所以当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b，故本选项正确．故选D．点评：本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理与性质是解答此题的关键．6．（2022肇庆）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°6．分析：先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．解：∵DE∥BC，∠AED=40°，∴∠C=∠AED=40°，∵∠B=60°，∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-40°-60°=80°．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．7．（2022玉林）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1=50°，则∠2=（）A．40°B．50°C．100°D．130°7．分析：根据两直线平行，同位角相等，即可得出∠2的度数．解：∵a∥b，∴∠1=∠2=50°．故选B．点评：此题考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，难度一般．1．（2022长春）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上一点，DE∥AB，∠ADE=42°，则∠B的大小为（）A．42°B．45°C．48°D．58°考点：平行线的性质；直角三角形的性质。

中考数学相交线与平行线专题训练50题含答案

中考数学相交线与平行线专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．已知P 是直线m 外一点，A 、B 、C 是直线m 上一点，且532PA PB PC ===，，，那么点P 到直线m 的距离为（）A ．等于2B ．大于2C ．小于或等于2D ．小于2 2．如图，1120∠=︒，要使//a b ，则2∠的大小是（）A ．60︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒ 3．P 为直线外一点，点A 、B 、C 在直线l 上，若2cm, 2.3cm,5cm PA PB PC ===，则点P 到直线l 的距离是（）A ．2cmB ．小于2cmC ．不大于2cmD ．5cm 4．如图所示，一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．80° 5．如图，AB//EF//CD ，点G 在AB 上，GE//BC ，GE 的延长线交DC 的延长线于点H ，则图中与AGE ∠相等的角（不含AGE ∠）共有（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个 6．如图，直线m∥n ，直线AB 分别与直线m ，n 交于A ，B 两点，∥BAD 的平分线交直线n 于点C ，若∥1＝56°，则∥2的度数是（）A ．108°B ．112°C ．118°D ．124° 7．下列命题中，属于假命题的是（）A ．两直线平行，内错角相等B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．同位角相等，两直线平行D ．一个角的补角一定不大于这个角 8．如图，下列条件中不能判定AB CD ∥的是（）．A ．180A ADC ∠+∠=︒B ．A ADE ∠=∠C ．ABD BDC ∠=∠ D ．ADB CBD ∠=∠9．如图，五边形ABCDE 中，//AE CD ．若110A C ∠=∠=︒，则B ∠的度数为（）A ．70︒B ．110︒C ．140︒D ．150︒ 10．如图，直线a ∥b ，直角三角形ABC 的顶点B 在直线a 上，若∥C ＝90°，∥α＝30°，则∥β的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 11．如图，已知BD AC ∥，165∠=︒，40A ∠=︒，则2∠的大小是（）A．55︒B．65︒C．75︒D．85︒12．下列说法正确的个数是（）∥两点之间，直线最短=，则点B为线段AC的中点；∥若AB BC∥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；∥过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行A．4B．3C．2D．113．如图，DE∥CF，且∥D＝120°，∥A＝30°，则∥B的度数为（）A．120°B．90°C．60°D．30°14．下列事实中，利用“垂线段最短”依据的是（）A．把一根木条固定在墙上至少需要两个钉子B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程C．体育课上，老师测量同学们脚后跟到起跑线的垂直距离作为跳远成绩D．火车运行的铁轨永远不会相交15．如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∥CEF＝135°，则∥A等于（）A．65°B．55°C．45°D．135°16．下列命题是真命题的是（）A．两直线平行，同旁内角相等B．直角三角形的两锐角互余C．三角形的外角大于任一内角D．所有边都相等的多边形是正多边形17．如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点．若4PA =，则PQ 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．518．下列说法：∥在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；∥过一点有且只有一条直线与这条直线平行；∥平行于同一条直线的两条直线平行；∥如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等；∥直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 19．如图，下列条件不能判定AB∥CD 的是（）A ．12∠∠=B ．2E ∠∠=C ．B E 180∠∠+=D ．BAF C ∠∠= 20．甲，乙两位同学用尺规作“过直线l 外一点C 作直线l 的垂线”时，第一步两位同学都以C 为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l 于D ，E 两点（如图）；第二步甲同学作∥DCE 的平分线所在的直线，乙同学作DE 的中垂线．则下列说法正确的是（）A ．只有甲的画法正确B ．只有乙的画法正确C ．甲，乙的画法都正确D ．甲，乙的画法都不正确二、填空题21．已知点A (3，4)，B (3，1)，C (﹣4，1)，D (﹣4，3)，则AB 与CD 的位置关系是_____．22．已知∥1与∥2是对顶角，∥1与∥3是邻补角，则∥2+∥3=_________. 23．如图，OC OD ⊥，150∠=︒，则2∠的度数是_______24．如图，点P 在AOB ∠的平分线上，过点P 作PC OA ⊥，交OA 于点C ，且5PC =，D 是OB 上一动点，则PD 的最小值为___________．25．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在点D 1，C 1的位置，ED 1的延长线交BC 于点G ，若∥EFG =62°，则∥EGB 等于______．26．如图，两直线交于点O ，若∥1+∥2=76°，则∥1=________度．27．如图，过直线AB 上一点O 作射线OC ，30BOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，则DOC ∠的度数为__________．28．如图，a //b ，点B 在直线b 上，且AB ∥BC ，∥1=35°，那么∥2=______．29．如图，在直线a 的同侧有P 、Q 、R 三点，若PQ//a ，QR//a ，则P 、Q 、R 三点______(填“在”或“不在”)同一条直线上.30．把一张长方形纸条按图中折叠后，若∥EFB= 65º，则∥AED ’= _______度 .31．如图，BO 平分ABC ∠，OD BC ⊥于点D ，点E 为射线BA 上一动点，若6OD =，则OE 的最小值为______．32．如图，体育课上老师要测量学生的跳远成绩，其测量时主要依据是______．33．如图，AB 、CD 相交于O ，OE AB ⊥，35∠=︒DOE 则BOC ∠=______；34．如图，已知∥A=∥F=40°，∥C=∥D=70°，则∥ABD=____，∥CED=____.35．已知：如图，AB∥CD ，若∥ABE=130°，∥CDE=152°，则∥BED=__度．36．如图，点E 在射线AD 的延长线上，要使AB//CD ，只需要添加一个条件，这个条件可以是________.(填一个你认为正确的条件即可)37．如图∥是长方形纸带，∥CFE ＝55°，将纸带沿EF 折叠成图∥，再沿GE 折叠成图∥，则图∥中∥DEF 的度数是_________38．如图，AD BC BAD ∠∥，的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，且CEF F ∠=∠，求证：180B BCD ∠+∠=︒．请你将下面的证明过程补充完整：证明：AD BC ∥∴__________F =∠，（理由：____________________）AF 平分BAD ∠∴__________=__________（角平分线的定义）BAF F ∴∠=∠（等量代换）CEF F ∠=∠（已知）BAF CEF ∴∠=∠（等量代换）∴__________∥__________（理由：____________________）180B BCD ∴∠+∠=︒，（理由：____________________）39．如图，ABC ∆中，50B ∠=︒，30C ∠=︒，点D 为边BC 上一点，将ADC ∆沿直线AD 折叠后，点C 落到点E 处，若DE AB ∥，则DAC ∠=____________．40．如图，直线l∥m∥n ，等边∥ABC 的顶点B ，C 分别在直线n 和m 上，边BC 与直线n 所夹的角为25°，则∥α的度数为_____度．三、解答题41．如图，直线MN 分别与直线AC 、DG 交于点B 、F ，且12∠=∠，ABF ∠的角平分线BE 交直线DG 于点E ，BFG ∠的角平分线FC 交直线AC 于点C ．（1）求证：//BE CF ；（2）若35C ∠=︒，求BED ∠的度数．42．已知：如图，A 、F 、C 、D 在同一直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，AF ＝CD ，求证：(1)BC ＝EF ；(2)BC ∥EF ．43．如图，两条射线AM ∥BN ，线段CD 的两个端点C 、D 分别在射线BN 、AM 上，且∥A =∥BCD =108°．E 是线段AD 上一点（不与点A 、D 重合），且BD 平分∥EBC ．（1）求∥ABC 的度数．（2）请在图中找出与∥ABC 相等的角，并说明理由．（3）若平行移动CD ，且AD ＞CD ，则∥ADB 与∥AEB 的度数之比是否随着CD 位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值．44．如图，已知AB 是∥O 的直径，C 、D 是∥O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE ＝ED ；（2）若AB ＝10，∥CBD ＝36°，求扇形AOC 的面积． 45．如图，三角形ABC 中，点A ，B ，C 都在方格纸的格点（网格线的交点）上，每个小方格的边长为1个单位长度．将三角形ABC 向左平移2格，再向上平移2格，得到三角形111A B C ，点1A ，1B ，1C 的对应点分别是点A ，B ，C ．(1)请在图中画出三角形111A B C ．(2)画出点C 到直线AB 的垂线段CM ，并回答：点C 到直线AB 的距离等于_____个单位长度．46．如图，AD EF ∥，12180∠+∠=︒．(1)若150∠=︒，求BAD ∠的度数：(2)已知DG 平分ADC ∠，求证：AB DG ∥．47．如图，∥B=∥C=90°，E 是BC 的中点，AE 平分∥BAD ，求证：AE∥DE.48．如图，由点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且∥AOB =90°，OF 平分∥BOC ， OE 平分∥AOD ．若∥EOF =165°，求∥COD 的度数49．如图，GE 分别与AB ，CD 相交于E ，G 两点，过E 点的直线EH 与CD 相交于点F ．若∥1=∥2=∥3=55°．（1）AB 与CD _______平行（填“一定”或“不一定”或“一定不”）；（2）求∥4的度数．50．已知：如图，MON ∠．求作：BAD ∠，使BAD MON ∠=∠．下面是小明设计的尺规作图过程．作法：∥在OM 上取一点A ，以A 为圆心，OA 为半径画弧，交射线OA 于点B ；∥在射线ON上任取一点C，连接BC，分别以B，C为圆心，大于12BC为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF，与BC交于点D；∥作射线AD，BAD∠即为所求．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下列证明．证明：∥EF垂直平分BC，∥________DC=．∥AO AB=，∥AD OC∥（）（填推理依据）．∥BAD MON∠=∠．参考答案：1．C【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．【详解】解：∥直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∥点P到直线m的距离≤PC，即点P到直线m的距离小于或等于2．故选：C．【点睛】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．2．D【分析】根据同位角相等，两直线平行即可求解．∠=∠=︒，那么//a b．【详解】解：如果21120所以要使//∠的大小是120︒．a b，则2故选D．【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．3．C【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．【详解】解：∥P A=2cm，PB=2.3cm，PC=5cm，∥P A＜PB＜P C．∥∥当P A∥l时，点P到直线l的距离等于2cm；∥当P A与直线l不垂直时，点P到直线l的距离小于2cm；综上所述，则P到直线l的距离是不大于2cm．故选：C．【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．垂线的两条性质：∥从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．∥从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．4．A【详解】试题分析：要求平面镜与地面所成锐角的度数，就要利用平行线的性质，和光的反射原理计算．解：∥入射光线垂直于水平光线，∥它们的夹角为90°，虚线为法线，∥1为入射角，∥∥1=0.5×90°=45°，∥∥3=90°﹣45°=45°；∥两水平光线平行，∥∥4=∥3=45°．故选A．【点评】本题用到的知识点为：入射光线与法线的夹角叫入射角；反射光线与法线的夹角叫反射角；入射角等于反射角；两直线平行，内错角相等．5．B【分析】根据平行线性质得出∥AGE=∥GEF=∥EHC=∥BCD=∥EPC=∥BPF=∥GBP，即可得出答案．【详解】∥AB∥EF, ∥∥AGE=∥GEF, ∥GBP=∥BPF∥EF∥CD, ∥∥GEF=∥EHC, ∥PCD=∥EPC=∥BPF,∥GE∥BC, ∥∥EHC=∥BCD,∥∥AGE =∥GEF=∥EHC=∥BCD=∥EPC=∥BPF=∥GBP.共6个角与∥AGE相等.故选:B【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，以及等量代换等.主要考查学生的推理能力.6．C【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∥1＋∥3的度数，从而可以得到∥2的度数，本题得以解决．【详解】解：∥m∥n，∥∥1＋∥3＝∥2，∥∥1＝56°，∥∥BAD＝124°，∥AC平分∥DAB，∥∥3＝62°，∥∥1＋∥3＝56°＋62°＝118°，∥∥2＝118°，故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握基础知识是关键．7．D【分析】利用补角的性质、平行线的性质及判定等知识分别判断后即可确定答案．【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意；B、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；C、同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；D、一个角的补角不一定不大于这个角，原命题是假命题，符合题意；故选：D．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解补角的性质、平行线的性质及判定等知识，难度不大．8．D【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．【详解】解：A、当∥A+∥ADC=180°时，可得：AB∥CD，不合题意；B、当∥A=∥ADE时，可得：AB∥CD，不合题意；C、当∥ABD=∥BDC时，可得：AB∥CD，不合题意；D、当∥ADB=∥CBD时，可得：AD∥BC，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．9．C-⨯︒=︒，结合两直线平行，同旁内角互补解【分析】根据五边形的内角和为(52)180540题．AE CD【详解】//+=180E D ∴∠∠︒五边形ABCDE 的内角和：++++=(5-2)180=540A B C D E ∠∠∠∠∠⨯︒︒又110A C ∠=∠=︒解得，140B ∠=︒故选：C【点睛】本题考查平行线的性质、多边形的内角和定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．C【分析】首先过点C 作CE∥a ，可得CE∥a∥b ，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．【详解】解：过点C 作CE∥a ，∥a∥b ，∥CE∥a∥b ，∥∥BCE=∥α=30°，∥ACE=∥β，∥∥ACB=90°，∥∥β=∥ACE=∥ACB-∥BCE=60°．故选C ．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，注意掌握辅助线的作法，两直线平行，内错角相等定理的应用是解题的关键．11．C【分析】先根据平行线的性质可得40ABD A ==︒∠∠，再根据平角的定义即可得．【详解】解：BD AC ∥，40A ∠=︒，40ABD A ∴∠=∠=︒，165︒∠=，2180175ABD ∴∠=︒-∠-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．12．D【分析】根据线段的性质，平行公理及推理，垂线的性质等知识点分析判断，即可求解．【详解】解：∥两点之间，线段最短，该说法错误；，则点B为线段AC的中点，该说法错误；∥当点B在线段AC上时，若AB BC∥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该说法错误；∥过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该说法正确；所以说法正确的有∥，共1个．故选：D【点睛】本题主要考查了平行公理及推论，线段的性质，两点间的距离以及垂线，熟记基础知识，掌握相关概念是解题的关键．13．B【分析】由平行线的性质得到∠ACF，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求解．【详解】解：∵DE∥CF，∠D＝120°，∴∠ACF＝∠D＝120°，∵∠ACF＝∠A+∠B，∠A＝30°，∴∠B＝∠ACF﹣∠A＝120°﹣30°＝90°，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，正确把握“两直线平行，同位角相等”和“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题关键．14．C【分析】根据“垂线段最短”进行判定即可．【详解】解：A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不符合题意；B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用的是“两点之间，线段最短”，故此选项不符合题意；C、体育课上，老师测量同学们脚后跟到起跑线的垂直距离作为跳远成绩，利用的是“垂线段最短”，故此选项符合题意；D、火车运行的铁轨永远不会相交，利用的是两直线平行，没有交点，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了点到直线的距离的定义，两点确定一条直线，“两点之间，线段最短”，正确把握定义及性质是解题关键．15．C【分析】先根据邻补角的定义得出∥CEA＝45°，再根据两直线平行，内错角相等得出∥A=∥CEA，即可得出答案【详解】解：∥AB∥CD，∥∥A=∥CEA，∥∥CEF＝135°，∥∥CEA=45°，∥∥A=45°．故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．16．B【分析】利用平行线的性质，直角三角形的两锐角性质，三角形的外角性质及正多边形的概念分别判断，即可确定正确的选项．【详解】A．两直线平行，同旁内角相等，说法错误，正确为：两直线平行，同旁内角互补，因此不符合题意；B．直角三角形的两锐角互余，说法正确，符合题意；C．三角形的外角大于任一内角，说法错误，正确为：三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角，因此不符合题意；D．所有边都相等的多边形是正多边形，说法错误，比如菱形四条边相等，却不是正多边形，因此不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了命题与定理的知识，解题关键是熟练掌握相关内容及会举出反例来判断一个命题是不是假命题．17．C⊥时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出【分析】根据垂线段最短得出当PQ OM=，求出即可．PQ PA【详解】解：当PQ OM ⊥时，PQ 的值最小， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，4PA =，4PQ PA ∴==，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，解题的关键是能得出要使PQ 最小时Q 的位置．18．A【分析】根据平行线的判定与性质、平行线的定义、平行公理及推论、点到直线的距离求解判断即可．【详解】解：∥在同一平面内，两条直线的位置关系有：相交、平行，故此答案正确，符合题意；∥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此答案错误，不符合题意；∥行于同一条直线的两条直线平行，故此答案正确，符合题意；∥如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等，故此答案错误，不符合题意； ∥直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故此答案错误，不符合题意，故选： A ．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质、平行线的定义、平行公理及推论、点到直线的距离等知识，解题的关键是熟记平行线的判定与性质、平行线的定义、平行公理及推论、点到直线的距离．19．B【分析】结合图形，根据平行线的判定方法对选项逐一进行分析即可得.【详解】A. ∥l=∥2，根据内错角相等，两直线平行，可得AB//CD ，故不符合题意；B. ∥2=∥E ，根据同位角相等，两直线平行，可得AD//BE ，故符合题意；C. ∥B+∥E= 180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB//CD ，故不符合题意；D. ∥BAF=∥C ，根据同位角相等，两直线平行，可得AB//CD ，故不符合题意，故选B.【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键. 20．C【分析】利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确．【详解】∥CD＝CE，∥∥DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，∥甲，乙的画法都正确．故选C．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21．平行．【分析】观察发现点A与点B的横坐标相同、点C与点D的横坐标相同，故AB与CD均垂直于x轴，从而可得AB与CD的位置关系．【详解】解：∥A(3，4)，B(3，1)，二者横坐标相同，∥AB∥x轴，∥C(﹣4，1)，D(﹣4，3)，二者横坐标相同，∥CD∥x轴，∥AB∥CD，故答案为：平行．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形的性质，明确坐标特点与图形性质的关系是解题的关键．22．180°【详解】解：∥∥1与∥3是邻补角，∥∥1+∥3＝180°．∥∥1与∥2是对顶角，∥∥1＝∥2，∥∥2+∥3＝180°（等量代换）．故答案为180°．23．40︒##40度【分析】由垂直的定义得到∥COD=90°，再由平角的定义来求解．【详解】解：∥OC∥OD，∥∥COD=90°，∥∥1+∥2=180°-90°=90°，∥∥2=90°-∥1=90°-50°=40°．故答案为：40︒．【点睛】本题主要考查了垂直的定义，平角的定义，理解相关知识是解答关键．【分析】根据垂线段最短可知，当PD OB ⊥时最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD PC =，从而得解．【详解】解：如下图，作PD OB ⊥交OB 与点D ，垂线段最短，∴当PD OB ⊥时，PD 最短， OP 是AOB ∠的平分线，PC OA ⊥，PD PC ∴=，5PC =，5PD ∴=，即PD 长度最小为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出PD 最小时的位置是解题的关键．25．124°##124度【分析】在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，则∥DEF =∥EFG =62°，∥EGB =∥DEG ，又由折叠可知，∥GEF =∥DEF ，可求出∥DEG 的度数，进而得到∥EGB 的度数．【详解】解：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∥∥DEF =∥EFG =62°，∥EGB =∥DEG ，由折叠可知∥GEF =∥DEF =62°，∥∥DEG =124°，∥∥EGB =∥DEG =124°．故答案为：124°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质等，掌握折叠前后角度之间的关系是解题的基础．【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．【详解】解：∥两直线交于点O ，∥∥1=∥2，∥∥1+∥2=76°，∥∥1=38°．故答案为：38．【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．27．75︒##75度【分析】先根据30BOC ∠=︒，求出150AOC ∠=︒，再根据OD 平分AOC ∠，即可得出答案．【详解】解：∥30BOC ∠=︒，∥180********AOC BOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∥OD 平分AOC ∠， ∥111507522DOC AOC ∠=∠=⨯︒=︒．故答案为：75︒．【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，领补角的计算，解题的关键是根据邻补角求出150AOC ∠=︒．28．55°##55度【分析】先根据∥1=35°，由垂直的定义，可得到∥3的度数，再由a ∥b 即可求出∥2的度数．【详解】解：∥AB ∥BC ，∥∥3=90°﹣∥1=55°．∥a ∥b ，∥∥2=∥3=55°．故答案为55°．【点睛】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．29．在【分析】根据平行公理的内容进行解答即可.【详解】∥PQ//a ，QR//a ，∥P 、Q 、R 三点在同一条直线上，故答案为在.【点睛】本题考查了平行公理，熟知“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”是解题的关键.30．50︒【详解】试题分析：根据两直线平行内错角相等可得：∥DEF=∥EFB=65°，根据折叠图形的性质可得：∥D′EF=∥DEF=65°，根据补角的定义可知：∥AE D′=180°-65°×2=50°.点睛：本题主要考查的就是折叠图形的性质以及平行线的性质问题.在解决折叠问题时，我们首先必须要明白折叠之后有哪些线段和哪些角是相等的，然后根据平行线的性质定理得出未知角的度数.在解决折叠问题的时候，我们很多时候也需要转化为直角三角形的问题来求某一条线段的长度(特别是矩形或正方形的折叠).31．6【分析】过O 点作OH BA ⊥于H 点，如图，先根据角平分线的性质得到6OH OD ==，然后根据垂线段最短解决问题．【详解】解：过O 点作OH BA ⊥于H 点，如图， BO 平分ABC ∠，OD BC ⊥，OH BA ⊥，6OH OD ∴==，点E 为射线BA 上一动点，OE ∴的最小值为OH 的长，即OE 的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．32．垂线段最短.【详解】试题分析：点到线上的任意点之间的长度中，垂线段最短.考点：点到线的距离.33．125︒【分析】根据余角和补角的关系计算即可；【详解】∥OE AB ⊥，∥90AOE BOE ∠=∠=︒，∥35∠=︒DOE ，∥903555BOD ∠=︒-︒=︒，又∥180BOC BOD ∠+∠=︒，∥18055125BOC ∠=︒-︒=︒．故答案是125︒．【点睛】本题主要考查了余角和补角的性质，准确计算是解题的关键．34． 70° 110°【详解】试题解析：∥∥A=∥F=40°，∥DF∥AC ，∥∥D=70°，∥∥D=∥ABD=70°，∥DF∥AC ，∥∥CED+∥C=180°，∥∥C=70°，∥∥CED=110°.点睛：平行线的性质有：∥两直线平行，同位角相等，∥两直线平行，内错角相等，∥两直线平行，同旁内角互补.35．78【详解】试题分析：首先做一条辅助线，平行于两直线，再利用平行线的性质即可求出．解：过点E 作直线EF∥AB ，∥AB∥CD ，∥EF∥CD，∥AB∥EF，∥∥1=180°﹣∥ABE=180°﹣130°=50°；∥EF∥CD，∥∥2=180°﹣∥CDE=180°﹣152°=28°；∥∥BED=∥1+∥2=50°+28°=78°．故填78．点评：解答此题的关键是过点E作直线EF∥AB，利用平行线的性质可求∥BED的度数．36．∥l=∥2或∥A=∥CDE 或∥C+∥ABC= 180°等【分析】找到相等的同位角、内错角或互补的同旁内角即可．【详解】若∥1=∥2，则AB∥CD；若∥A=∥CDE，则AB∥CD；若∥C+∥ABC= 180°，则AB∥CD，故答案为∥l=∥2或∥A=∥CDE 或∥C+∥ABC= 180°（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．37．15 ##15度【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∥AEF=∥CFE=55°，根据平角定义，则图∥中的∥DEG=70°，进一步求得图∥中∥GEF=55°，进而求得图∥中的∥DEF的度数．【详解】解：∥AD∥BC，∥CFE=55°，∥∥AEF=∥CFE=55°，∥DEF=125°，∥图∥中的∥GEF=55°，∥DEG=180°-2×55°=70°，∥图∥中∥GEF=55°，∥DEF=70°-55°=15°．故答案为：15°【点睛】此题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．38．见解析【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质可得∥BAF =∥CEF ，因此AB ∥DC ，结论可证．【详解】证明：AD BC ∥DAF F ∴∠=∠，（理由：两直线平行，内错角相等） AF 平分BAD ∠BAF DAF ∴∠=∠（角平分线的定义）BAF F ∴∠=∠（等量代换）CEF F ∠=∠，（已知）BAF CEF ∴∠=∠（等量代换）AB DC ∴∥（理由：同位角相等，两直线平行）180B BCD ∴∠+∠=︒．（理由：两直线平行，同旁内角互补）【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定方法是解题的关键．39．35︒【分析】先根据三角形的内角和定理可得100BAC ∠=︒，再根据折叠的性质可得30,E C DAE DAC ∠=∠=︒∠=∠，然后根据平行线的性质可得30BAE E ∠=∠=︒，最后根据角的和差即可得．【详解】50,30C B ∠=︒=∠︒180100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒由折叠的性质可知，30,E C DAE DAC ∠=∠=︒∠=∠//DE AB30BAE E ∴∠=∠=︒又2BAC BAE DAE DAC BAE DAC ∠=∠+∠+∠=∠+∠100302DAC ∴︒=︒+∠解得35DAC ∠=︒故答案为：35︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质、平行线的性质等知识点，掌握折叠的性质是解题关键．40．35．【详解】试题分析：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．先根据m∥n求出∥BCD的度数，再由∥ABC是等边三角形求出∥ACB的度数，根据l∥m即可得出结论．∥m∥n，边BC与直线n所夹的角为25°，∥∥BCD=25°．∥∥ABC 是等边三角形，∥∥ACB=60°，∥∥ACD=60°﹣25°=35°．∥l∥m，∥∥α=∥ACD=35°．故答案为35．考点：平行线的性质；等边三角形的性质．41．（1）见解析；（2）145°【分析】（1）求出∥1=∥BFG，根据平行线的判定得出AC∥DG，求出∥EBF=∥BFC，根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质得出∥C=∥CFG=∥BEF=35°，再求出答案即可．【详解】解：（1）证明：∥∥1=∥2，∥2=∥BFG，∥∥1=∥BFG，∥AC∥DG，∥∥ABF=∥BFG，∥∥ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∥BFG的角平分线FC交直线AC于点C，∥∥EBF=12∥ABF，∥CFB＝12∥BFG，∥∥EBF=∥CFB，∥BE∥CF；（2）∥AC∥DG，BE∥CF，∥C=35°，∥∥C=∥CFG=35°，∥∥CFG=∥BEG=35°，∥∥BED=180°-∥BEG=145°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．42．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．【详解】（1）证明：（1）//AB DE，A D∴∠∠＝，AF CD ＝，AC DF ∴＝，在ABC 与DEF 中AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC DEF SAS ∴≅（）， BC EF ∴＝．（2）（2）ABC DEF ≅，BCA EFD ∴∠∠＝，//BC EF ∴ ．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．43．（1）∥ABC =72°；（2）与∥ABC 相等的角是∥ADC 、∥DCN ；（3）不发生变化．比值为12．【分析】（1）由平行线的性质可求得∥A +∥ABC ＝180°，即可求得答案；（2）利用平行线的性质可求得∥ADC ＝∥DCN ，∥ADC +∥BCD ＝180°，则可求得答案；（3）利用平行线的性质，可求得∥AEB ＝∥EBC ，∥ADB ＝∥DBC ，再结合角平分线的定义可求得答案．【详解】（1）∥AM ∥BN ，∥∥A +∥ABC ＝180°，∥∥ABC ＝180°﹣∥A ＝180°﹣108°＝72°．（2）与∥ABC 相等的角是∥ADC 、∥DCN ．∥AM ∥BN ，∥∥ADC ＝∥DCN ，∥ADC +∥BCD ＝180°，∥∥ADC ＝180°﹣∥BCD ＝180°﹣108°＝72°，∥∥DCN ＝72°，∥∥ADC ＝∥DCN ＝∥ABC ．（3）不发生变化．∥AM ∥BN ，∥∥AEB＝∥EBC，∥ADB＝∥DBC．∥BD平分∥EBC，∥∥DBC12=∥EBC，∥∥ADB12=∥AEB，∥12 ADBAEB∠∠=．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．44．（1）见解析；（2）5π【分析】（1）利用垂径定理即可证明；（2）利用弧长公式，扇形的面积公式计算即可．【详解】（1）证明：∥AB是∥O的直径，∥∥ADB＝90°，∥OC∥BD，∥∥AEO＝∥ADB＝90°，即OC∥AD，∥AE＝ED（2）解：∥OC∥AD，∥AC CD=，∥∥ABC＝∥CBD＝36°，∥∥AOC＝2∥ABC＝2×36°＝72°，∥AC＝7252 180ππ⨯=，S＝2725360π⋅＝5π．【点睛】本题考查扇形的面积，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．45．(1)见解析(2)见解析；4【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点1A，1B，1C即可（2）根据垂线段的定义画出图形即可（1）如图，三角形111A B C 即为所求；（2）如（1）图，线段CM 即为所求，点C 到直线AB 的距离等于4个单位长度．故答案为：4．【点睛】本题考查作图—平移交换，垂线段，解题的关键是掌握平移交换的性质． 46．(1)50︒；(2)见解析．【分析】（1）根据平行线的性质，求解即可；（2）由（1）可得到1BAD ∠=∠，利用三角形外角的性质，可得1ADC BAD ∠=∠+∠，从而得到BAD ADG ∠=∠，即可求证．（1）解：∥AD EF ∥∥2180BAD ∠+∠=︒又∥12180∠+∠=︒∥150BAD ∠=∠=︒；（2）由（1）得1BAD ∠=∠，利用三角形外角的性质，可得12ADC BAD BAD ∠=∠+∠=∠，∥DG 平分ADC ∠，∥2ADC ADG ∠=，∥BAD ADG ∠=∠，。

2020年中考数学压轴题专题4 几何最值存在性问题学案(原版+解析)

专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。

几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。

【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB 的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．类型二【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线k y x=相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．类型三【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．B C M N为顶点（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以,,,的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x ＋c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F、E的坐标．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积.(3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x （x ﹣b ）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h 有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．9．（2020·山东初三期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q （2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．10．（2020·盘锦市双台子区第一中学初三月考）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB 的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.11．（2020·四川初三）如图，一次函数122y x=-+的图像与坐标轴交于A、B两点，点C 的坐标为(1,0)-，二次函数2y ax bx c =++的图像经过A 、B 、C 三点．（1）求二次函数的解析式（2）如图1，已知点(1,)D n 在抛物线上，作射线BD ，点Q 为线段AB 上一点，过点Q 作QM y ⊥轴于点M ，作QN BD ⊥于点N ，过Q 作//QP y 轴交抛物线于点P ，当QM 与QN 的积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP ，若点E 为抛物线上一点，且满足APE ABO ∠=∠，求点E 的坐标．12．（2019·广东初三）如图，已知抛物线y ＝﹣3x 2+bx +c 与x 轴交于原点O 和点A （6，0），抛物线的顶点为B ．（1）求该抛物线的解析式和顶点B 的坐标；（2）若动点P 从原点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB 运动，设点P 运动的时间为t （s ）．问当t 为何值时，△OPA 是直角三角形？（3）若同时有一动点M 从点A 出发，以2个长度单位的速度沿线段AO 运动，当P 、M 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t （s ），连接MP ，当t 为何值时，四边形ABPM 的面积最小？并求此最小值．13．（2019·山东初三期中）如图，已知抛物线经过两点A （﹣3，0），B （0，3），且其对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q 是对称轴上一动点，当OQ +BQ 最小时，求点Q 的坐标．（3）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点B ），求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．14.（2019·四川中考真题）如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值；（3）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．15.（2019·天津中考真题）已知抛物线2y x bx c =-+（b c ，为常数，0b >）经过点(1,0)A -，点(,0)M m 是x 轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点(,)D D b y 在抛物线上，当AM AD =，5m =时，求b 的值；（Ⅲ）点1(,)2Q Q b y +在抛物线上，当22AM QM +的最小值为332时，求b 的值． 16.（2019·湖南中考真题）如图，抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）过点E （8，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左侧），点C 、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线AM 交BC 于点M ，点N 是CD 的中点，已知OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M 、N 、G 、F 构成四边形MNGF ，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x 轴下方且在抛物线上是否存在点P ，使△ODP 中OD 610求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L ，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.17.（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点D （﹣2，﹣3）和点E （3，2），点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝22，动点Q 从点P 出发，沿P →M →N →A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．18.（2019·湖南中考真题）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，=3OC ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标； (4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

专题相交线与平行线章末重难点题型(举一反三)(北师大版)

专题相交线与平行线章末重难点题型【北师大版】【考点1 点到直线的距离】【方法点拨】从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

【例1】（2019春•厦门期末）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法错误．．的是（）A．点A到直线BC的距离为线段AB的长度B．点A到直线CD的距离为线段AD的长度C．点B到直线AC的距离为线段BC的长度D．点C到直线AB的距离为线段CD的长度【变式1-1】（2019春•雨花区期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中正确的是（）①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．A ．①④③⑥B ．①④⑥C ．②③D ．①④【变式1-2】（2019春•娄星区期末）如图所示，点A 到BC 所在的直线的距离是指图中线段（）的长度．A ．ACB ．AFC ．BD D ．CE【变式1-3】（2019春•天河区校级月考）如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，下列结论中，正确的结论有（） ①线段CD 的长度是C 点到AB 的距离；②线段AC 是A 点到BC 的距离；③AB ＞AC ＞CD ；④线段BC 是B 到AC 的距离；⑤CD ＜BC ＜AB ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【考点2 相交线的交点问题】【方法点拨】3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，n 条直线相交，最多有1+2+3+…+（n ﹣1）＝21n （n ﹣1）个交点．【例2】（2019秋•旌阳区校级月考）在同一平面内的n 条直线两两相交，最多共有36个交点，则n ＝（）A ．7B ．8C ．9D ．10【变式2-1】（2019秋•鄄城县期末）两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么7条直线最多（）A ．28个交点B ．24个交点C ．21个交点D ．15个交点【变式2-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）同一平面内两两相交的四条直线，最多有m 个交点，最少有n 个交点，那么m n 是（）A．1B．6C．8D．4【变式2-3】（2019秋•江阴市校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直线相交，最多有一个交点；三条直线相交，最多有三个交点；四条直线相交，最多有6个交点，像这样，11条直线相交，最多交点的个数是（）A．40个B．50个C．55个D．66个【考点3 同位角、内错角、同旁内角的判断】【方法点拨】直线AB，CD被第三条直线EF所截。

初一数学下册相交线与平行线专项提升训练(含答案详解)

一．选择题（共20 小题）相交线与平行线专题提升训练1.如图，直线AB 与CD 相交于点O，射线OE 平分∠BOC，且∠BOC＝70°，则∠AOE的度数为（）A．145°B．155°C．110°D．135°2.如图，直线AB 与直线CD 相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠EOD＝∠AOC，则∠BOC＝（）A．112.5°B．135°C．140°D．157.5°3.如图所示，直线AB、CD 交于点O，OE、OF 为过点O 的射线，则对顶角有（）A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对4.如图，直线AB、CD、EF 相交于O，图中对顶角共有（）A．3 对B．4 对C．5 对D．6 对5．4 条直线交于一点，则对顶角有（）A．4 对B．6 对C．8 对D．12 对6.如图所示，直线AB，CD，EF，MN，GH 相交于点O，则图中对顶角共有（）A.3对B．6 对C．12 对D．20 对7.如图，直线AB、CD 相交于点O，作射线OE，则图中邻补角有（）A.4对B．6 对C．7 对D．8 对8.某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3 和l4 相交，l1 和l2 相互平行且与l3、l4 相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（）对．A．4 B．8 C．12 D．169.如图，下列四个条件中，能判断DE∥AC 的是（）A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠AFE＝∠ACB D．∠BED＝∠C10.如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD 的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 且∠2＝∠4C．∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90°D．∠1+∠2＝90°11.如图，能够证明a∥b 的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5 C．∠4＝∠3 D．∠1＝∠5 12．如图，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么下列结论成立的是（）A．∠l＝∠3 B．∠2＝∠3 C．AB∥CD D．AE∥DF 13．如图，∠1 与∠2 互补，∠2 与∠3 互补，那么（）A．L1∥L2 B．L1⊥L5 C．L3∥L4 D．L3∥L514.将AD 与BC 两边平行的纸条ABCD 按如图所示折叠，则∠1 的度数为（）A．72°B．45°C．56°D．60°15.如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2 的度数为（）A．68°B．58°C．48°D．32°16.如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠，若∠AED'＝40°，则∠EFB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°17.如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2 的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°18.如图，将长方形纸条ABCD 沿EF 折叠后，ED 与BF 交于G 点，若∠EFC＝130°，则∠AED 的度数为（）A．55°B．70°C．75°D．80°19.如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF 折叠，若∠EFB＝32°，则①∠C′EF＝32°；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°，则下列结论正确的有（）11.1个B．2 个C．3 个D．4 个20.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点C 落在点H 处，点D 落在AB 边上的点G 处，若∠AEG＝30°，则∠EFC 等于（）A．115°B．75°C．105°D．150°二．填空题（共13 小题）21.如图，P 是直线l 外一点，从点P 向直线l 引PA，PB，PC，PD 几条线段，其中只有PA 与l 垂直．这几条线段中，最短的是，依据是．22.如图，为了把河中的水引到C 处，可过点C 作CD⊥AB 于D，然后沿CD 开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是．23.如图，将直尺一边与量角器的零刻度线对齐，则图中线段OA，OB、OC 中最短的线段是，你的依据是和．24．（1）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角；（2）三条直线相交于一点有6 组不同的对顶角；（3）四条直线相交于一点有12 组不同的对顶角；（4）n条直线相交于同一点有组不同对顶角．（如图所示）25.如图，直线l1、l2、l3 相交于一点O，对顶角一共有对．26.如图，直线a，b，c 两两相交于A，B，C 三点，则图中有对对顶角；有对同位角；有对内错角；有对同旁内角．27.图中，与∠1 成同位角的角的个数是．28.四条直线，每一条都与另外三条相交，且四条直线不相交于同一点，每条直线交另外两条直线，都能组成组同位角，这个图形中共有组同位角．29.平面内5 条直线两两相交，且没有3 条直线交于一点，那么图中共有对同旁内角．30.如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若∠1＝116°，则∠2 等于．31.有一条长方形纸带，按如图所示沿AB 折叠，若∠1＝40°，则纸带重叠部分中∠CAB＝°．32.如图（1）是长方形纸条，∠DEF＝20°，将纸条沿EF折叠成如图（2），则图（2）中的∠CFG 的度数是．33.将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°（1）∠EFB＝．（用含x的代数式表示）（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝．（用含x的代数式表示）．三．解答题（共10 小题）34.如图，直线AB、CD 相交于O，OE⊥CD，且∠BOD 的度数是∠AOD 的5倍．求：（1）∠AOD、∠BOD的度数；（2）∠BOE 的度数．35.如图，直线AB 和CD 相交于点O，OE 把∠AOC 分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝2：5（1）如图1，若∠BOD＝70°，求∠BOE；（2）如图2，若OF 平分∠BOE，∠BOF＝∠AOC+10°，求∠EOF．36.如图，直线AB、CD 相交于点O，OE 平分∠BOC，∠COF＝90°．（1）若∠AOF＝70°，求∠BOE 的度数；（2）若∠BOE：∠BOD＝3：2，求∠AOF 的度数．37.如图，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，试猜想AB 与CD 之间有怎样的位置关系？并说明理由．38．（1）如图，已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．探究：∠ABC 与∠DEF 分别有怎样的数量关系？并选择一种情况说明理由．图1 中∠ABC 与∠DEF 数量关系为；图2 中∠ABC 与∠DEF 数量关系为．选择一种情况说明理由：（2）由（1）你得出的结论是．（3）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2 倍少30°，直接写出这两个角的度数．39.如图，已知∠AED＝∠ACB，CD⊥AB，HF⊥AB，猜想∠1 与∠2 的数量关系并说明的理由．40．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，（1）求证：AD∥EF；（2）若DG 是∠ADC 的平分线，∠2＝150°，求∠B 的度数．41.如图，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A，试判断∠ACB 与∠DEB 的大小关系，并证明．42.如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为D，点E 在BC 上，EF⊥AB，垂足为F．∠1＝∠2，试判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由．43.综合与探究如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD 别平分∠ABP 和∠PBN，分别交射线AM 于点C，D．（1）求∠ABN、∠CBD 的度数；根据下列求解过程填空．解：∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A＝180°∵∠A＝60°，∴∠ABN＝，∴∠ABP+∠PBN＝120°，∵BC 平分∠ABP，BD 平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝，（）∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝．（2）当点P 运动时，∠APB 与∠ADB 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．（3）当点P 运动到使∠ACB＝∠ABD 时，直接写出∠ABC 的度数．相交线与平行线必备参考答案与试卷解析一．选择题（共20 小题）1.如图，直线AB 与CD 相交于点O，射线OE 平分∠BOC，且∠BOC＝70°，则∠AOE的度数为（）A．145°B．155°C．110°D．135°【分析】依据∠BOC＝70°，OE 平分∠BOC，即可得到∠COE＝35°，∠AOC＝180°﹣70°＝110°，进而得出∠AOE 的度数．【解答】解：∵∠BOC＝70°，OE 平分∠BOC，∴∠COE＝35°，∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝110°+35°＝145°．故选：A．【点评】本题主要考查了对顶角与邻补角，解题时注意：对顶角相等，邻补角互补，即和为180°．2.如图，直线AB 与直线CD 相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠EOD＝∠AOC，则∠BOC＝（）A．112.5°B．135°C．140°D．157.5°【分析】根据平角、直角及角的和差关系可求出∠AOC+∠EOD＝90°，再与已知∠EOD ＝∠AOC 联立，求出∠AOC，利用互补关系求∠BOC．【解答】解：∵∠COD＝180°，OE⊥AB，∴∠AOC+∠AOE+∠EOD＝180°，∠AOE＝90°，∴∠AOC+∠EOD＝90°，①又∵∠EOD＝∠AOC，②由①、②得，∠AOC＝67.5°，∵∠BOC 与∠AOC 是邻补角，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝112.5°．故选：A．【点评】此题主要考查了对顶角、余角、补角的关系．解题时注意运用邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．3.如图所示，直线AB、CD 交于点O，OE、OF 为过点O 的射线，则对顶角有（）A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对【分析】据对顶角的定义对各图形判断即可．【解答】解：图中的对顶角有：∠AOC 与∠BOD，∠AOD 与∠BOC 共2对．故选：B．【点评】本题考查了对顶角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．4.如图，直线AB、CD、EF 相交于O，图中对顶角共有（）A．3 对B．4 对C．5 对D．6 对【分析】根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断．【解答】解：图中对顶角有：∠AOF 与∠BOE、∠AOD 与∠BOC、∠FOD 与∠EOC、∠FOB 与∠AOE、∠DOB 与∠AOC、∠DOE 与∠COF，共6对．故选：D．【点评】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．5．4 条直线交于一点，则对顶角有（）A．4 对B．6 对C．8 对D．12 对【分析】每两条直线交于一点，形成两对对顶角，4 条直线交于一点，则有6 条直线形成两对对顶角，那么对顶角的个数有12 对．【解答】解：根据对顶角的定义可知：4 条直线交于一点，则对顶角有12 对．故选D．【点评】本题考查对顶角的概念，两直线相交形成两对对顶角．6.如图所示，直线AB，CD，EF，MN，GH 相交于点O，则图中对顶角共有（）A.3对B．6 对C．12 对D．20 对【分析】n 条不同直线相交于一点，可以得到n（n﹣1）对对顶角，依据规律可得结果．【解答】解：2 条直线交于一点，对顶角有 2 对，2＝2×1；3条直线交于一点，对顶角有6 对，6＝3×2；4条直线交于一点，对顶角有12 对，12＝4×3；由规律可得，n 条不同直线相交于一点，可以得到n（n﹣1）对对顶角，∴直线AB，CD，EF，MN，GH 相交于点O，对顶角共有5×4＝20 对，故选：D．【点评】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．7.如图，直线AB、CD 相交于点O，作射线OE，则图中邻补角有（）A.4对B．6 对C．7 对D．8 对【分析】根据邻补角定义，两个角的和等于180°，并且有一条边是公共边的两个角互为邻补角，进行解答．【解答】解：如图，邻补角有：∠AOC 与∠AOD，∠AOD 与∠BOD，∠BOD 与∠BOC，∠BOE 与∠AOE，∠BOC 与∠AOC，∠COE 与∠DOE．所以共 6 对．故选：B．【点评】本题主要考查邻补角的定义，注意按一定顺序寻找方能做到不重不漏．8.某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3 和l4 相交，l1 和l2 相互平行且与l3、l4 相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（）对．A．4 B．8 C．12 D．16【分析】观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分l1、l2 被l3 所截，l1、l2 被l4 所截，l1、l3 被l4 所截，l2、l3 被l4 所截，l3、l4 被l1 所截，l3、l4 被l2 所截l1、l4 被l3 所截、l2、l4 被l3 所截来讨论．【解答】解：l1、l2 被l3 所截，有两对同旁内角，其它同理，故一共有同旁内角2×8＝16 对．故选：D．【点评】在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏．9.如图，下列四个条件中，能判断DE∥AC 的是（）A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4 C．∠AFE＝∠ACB D．∠BED＝∠C 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解答】解：∵∠3＝∠4，∴DE∥AC，故选：B．【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10.如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD 的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 且∠2＝∠4C．∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90°D．∠1+∠2＝90°【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、由∠1＝∠2，∠3＝∠4，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．B、由∠1＝∠3，∠2＝∠4，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．C、由∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，可以推出∠ABC＝∠DCB，推出AB∥CD，故本选项不符合题意．D、由∠1+∠2＝90°无法推出∠ABC＝∠DCB，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11.如图，能够证明a∥b 的是（）第18 页（共41 页）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠5 C．∠4＝∠3 D．∠1＝∠5【分析】根据平行线的判定一一判断即可．【解答】解：∵∠4＝∠5，∴a∥b（内错角相等两直线平行）．故选：B．【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．如图，已知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么下列结论成立的是（）A．∠l＝∠3 B．∠2＝∠3 C．AB∥CD D．AE∥DF【分析】证明∠BAD＝∠CDA 即可判断．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BAD＝∠CDA，∴AB∥CD，故选：C．【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，∠1 与∠2 互补，∠2 与∠3 互补，那么（）A．L1∥L2 B．L1⊥L5 C．L3∥L4 D．L3∥L5【分析】因为∠1 与∠2 互补，∠2 与∠3 互补，根据同一个角的补角相等，得∠1＝∠3；所以根据内错角相等，两直线平行，可知L3∥L5．【解答】解：∵∠1 与∠2 互补，∠2 与∠3 互补，∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．∴L3∥L5（内错角相等，两直线平行）．故选：D．【点评】本题要会运用补角的性质：“同一个角的补角相等”，找到内错角的相等关系，从而证明出两直线平行．14.将AD 与BC 两边平行的纸条ABCD 按如图所示折叠，则∠1 的度数为（）A．72°B．45°C．56°D．60°【分析】根据折叠的性质得出∠C'EF＝62°，利用平行线的性质进行解答即可．【解答】解：∵一张长方形纸条ABCD 折叠，∴∠C'EF＝∠FEC＝62°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠C'FB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．15.如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2 的度数为（）A．68°B．58°C．48°D．32°【分析】因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE 得∠2＝∠3；平角构建∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．【解答】解：如图所示：∵AD∥FE，∴∠2＝∠3，又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠1＝32°，∴∠3＝58°，∴∠2＝58°，故选：B．【点评】本题综合考查了平行线的性质，直角，平角和角的和差相关知识的应用，重点是平行线的性质．16.如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠，若∠AED'＝40°，则∠EFB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据折叠性质得出∠DED′＝2∠DEF，根据∠AED′的度数求出∠DED′，即可求出∠DEF 的度数，进而得到答案．【解答】解：由翻折的性质得：∠DED′＝2∠DEF，∵∠AED′＝40°，∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝140°，∴∠DEF＝70°，又∵AD∥BC，∴∠EFB＝∠DEF＝70°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2 的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°，由翻折不变性可知：∠2＝∠4＝（180°﹣80°）＝50°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.如图，将长方形纸条ABCD 沿EF 折叠后，ED 与BF 交于G 点，若∠EFC＝130°，则∠AED 的度数为（）A．55°B．70°C．75°D．80°【分析】求出∠DEF，根据∠AED＝180°﹣2∠AED 即可解决问题．【解答】解：∵DE∥CF，∴∠EFC+∠DEF＝180°，∵∠EFC＝130°，∴∠DEF＝50°，∴∠AED＝180°﹣2×50°＝80°，故选：D．【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.如图，将一张对边互相平行的纸条沿EF 折叠，若∠EFB＝32°，则①∠C′EF＝32°；②∠AEC＝148°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°，则下列结论正确的有（）11.1个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各小题进行逐一分析即可．【解答】解：①∵AE∥BG，∠EFB＝32°，∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，故本小题正确；②∵AE∥BG，∠EFB＝32°，∴∠AEF＝180°﹣∠EFB＝180°﹣32°＝148°，∵∠AEF＝∠AEC+∠GEF，∴∠AEC＜148°，故本小题错误；③∵∠C′EF＝32°，∴∠GEF＝∠C′EF＝32°，∴∠C′EG＝∠C′EF+∠GEF＝32°+32°＝64°，∵AC′∥BD′，∴∠BGE＝∠C′EG＝64°，故本小题正确；④∵∠BGE＝64°，∴∠CGF＝∠BGE＝64°，∵DF∥CG，∴∠BFD＝180°﹣∠CGF＝180°﹣64°＝116°，故本小题正确．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．20.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点C 落在点H 处，点D 落在AB 边上的点G 处，若∠AEG＝30°，则∠EFC 等于（）A．115°B．75°C．105°D．150°【分析】利用翻折变换的性质求出∠DEF，再利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：∵∠AEG＝30°，∴∠DEG＝150°，由翻折的性质可知：∠DEF＝∠FEG＝∠DEG＝75°，∵AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∴∠EFC＝105°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二．填空题（共13 小题）21.如图，P 是直线l 外一点，从点P 向直线l 引PA，PB，PC，PD 几条线段，其中只有PA 与l 垂直．这几条线段中，最短的是PA ，依据是垂线段最短．【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．【解答】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短的是PA，依据是垂线段最短，故答案为：PA，垂线段最短．【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．22.如图，为了把河中的水引到C 处，可过点C 作CD⊥AB 于D，然后沿CD 开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．【解答】解：过D 点引CD⊥AB 于D，然后沿CD 开渠，可使所开渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题．23.如图，将直尺一边与量角器的零刻度线对齐，则图中线段OA，OB、OC 中最短的线段是OB ，你的依据是垂线段最短和平行线的性质．【分析】依据垂线段最短，即可得到图中线段OA，OB、OC 中最短的线段；依据平行线的性质，即可得到∠OBC＝90°，进而得出OB⊥AC．【解答】解：由题可得，图中线段OA，OB、OC 中最短的线段是OB，依据为垂线段最短和平行线的性质．故答案为：OB，垂线段最短，平行线的性质．【点评】本题主要考查了垂线段最短，垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．24．（1）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角；（2）三条直线相交于一点有6 组不同的对顶角；（3）四条直线相交于一点有12 组不同的对顶角；（4）n条直线相交于同一点有n（n﹣1）组不同对顶角．（如图所示）【分析】根据（1）（2）（3）得出规律，可求n条直线相交于同一点有多少组不同对顶角．【解答】解：观察图形可知，n 条直线相交于同一点有（1+2+…+n﹣1）×2＝×2＝n（n﹣1）组不同对顶角．故答案为：n（n﹣1）．【点评】考查了对顶角的定义，关键是熟悉对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．25.如图，直线l1、l2、l3 相交于一点O，对顶角一共有6 对．【分析】识别图中的对顶角应从这个较复杂的图形中分解出三个基本图形（即定义图形）即直线AB、CD 相交于O；直线AB，EF 相交于O；直线CD，EF 相交于O．由于两条直线相交组成对顶角，所以上述图中共有6 对对顶角．【解答】解：如图，图中共有 6 对对顶角：∠AOC 和∠BOD，∠AOD 和∠BOC；∠AOF 和∠BOE，∠AOE 和∠BOF；∠COF 和∠DOE，∠COE 和∠DOF．故答案为：6【点评】本题考查了对顶角的定义，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．26.如图，直线a，b，c 两两相交于A，B，C 三点，则图中有 6 对对顶角；有12 对同位角；有6 对内错角；有6 对同旁内角．【分析】根据3 条直线两两相交，共有3 个点，每个点有两对对顶角，得出对顶角、内错角、同旁内角的对数．【解答】解：3 条直线两两相交，共有3 个点，每个点有两对对顶角，任意两条直接被第三条截有12 对同位角，6 对内错角，6 对同旁内角，所以对顶角有6 对，12 对同位角，6 对内错角，6 对同旁内角；故答案为：6 12 6 6【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同位角，在被截直线之间找内错角、同旁内角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有4 组同位角．27.图中，与∠1 成同位角的角的个数是3 ．【分析】据五条直线相交关系分别讨论：l1、l2 被b 所截，与∠1 成同位角的角的有1 个；a、b 被l2 所截，与∠1 成同位角的角的有1 个；c、b 被l2 所截，与∠1 成同位角的角的有1 个．共计3 个．【解答】解：据同位角定义，l1l2 被 b 所截，与∠1 成同位角的角的有 1 个；a、b 被l2 所截，与∠1 成同位角的角的有1 个；c、b 被l2 所截，与∠1 成同位角的角的有1 个．一共有3 个，故填3．【点评】本题考查了同位角的定义，注意不要漏解．28.四条直线，每一条都与另外三条相交，且四条直线不相交于同一点，每条直线交另外两条直线，都能组成4 组同位角，这个图形中共有48 组同位角．【分析】每条直线都与另3 条直线相交，有3 个交点．每2 个交点决定一条线段，共有3条线段.4 条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12 条线段．每条线段各有4 组同位角，可知同位角的总组数．【解答】解：∵平面上4 条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12 条线段．又∵每条线段各有 4 组同位角，∴共有同位角12×4＝48 组．故每条直线交另外两条直线，都能组成4 组同位角．这个图形中共有48 组同位角．故答案为：4，48．【点评】本题考查了同位角的定义．注意在截线的同旁找同位角．要结合图形，熟记同位角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有4 组同位角．29.平面内5 条直线两两相交，且没有3 条直线交于一点，那么图中共有60 对同旁内角．【分析】每条直线都与另4 条直线相交，且没有3 条直线交于一点，共有30 条线段．每条线段两侧各有一对同旁内角内角，可知同旁内角的总对数．【解答】解：如图所示：∵平面上5 条直线两两相交且无三线共点，∴共有30 条线段．又∵每条线段两侧各有一对同旁内角，∴共有同旁内角30×2＝60对．故答案为：60．【点评】本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角．注意按顺序一个点一个点的数，不要重复也不要遗漏．30.如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若∠1＝116°，则∠2 等于58°．【分析】依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2 的度数．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BAC＝116°，由折叠可得，∠BAD＝∠BAC＝58°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BAD＝58°，故答案为：58°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．31.有一条长方形纸带，按如图所示沿AB 折叠，若∠1＝40°，则纸带重叠部分中∠CAB＝70 °．【分析】可利用平行线的性质求出∠FAC 的大小，进而可求∠CAB 的大小．【解答】解：∵长方形纸带，∴BE∥AF，∴∠1＝∠CAF＝40°，由于折叠可得：∠CAB＝，故答案为：70【点评】此题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，会求解一些简单的计算问题．32.如图（1）是长方形纸条，∠DEF＝20°，将纸条沿EF折叠成如图（2），则图（2）中的∠CFG 的度数是140°．【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF＝∠EFB，根据图形折叠的性质得出∠EFC 的度数，进而得出∠CFG 即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝20°，由折叠可得：∠EFC＝180°﹣20°＝160°，∴∠CFG＝160°﹣20°＝140°，故答案为：140°．【点评】本题考查了平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．33.将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x°（1）∠EFB＝90°﹣x° ．（用含x的代数式表示）（2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝﹣90° ．（用含x的代数式表示）．【分析】（1）由平行线的性质得∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°，折叠和三角形的外角得∠D'EF＝∠EFB，∠EFB＝∠EHB，最后计算出∠EFB＝90°﹣x°；（2）由折叠和平角的定义求出∠EFC'＝90°+ ，再次折叠经计算求出∠EFC''＝．【解答】解：（1）如图1所示：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°，又∵∠DEF＝∠D'EF，∴∠D'EF＝∠EFB，又∵∠EHB＝∠D'EF+∠EFB，∴∠EFB＝∠EHB，又∵∠AED'＝x°，∴∠EHB＝180°﹣x°∴∠EFB＝＝90°﹣x°（2）如图2 所示：∵∠EFB+∠EFC'＝180°，∴∠EFC'＝180°﹣（90°﹣°）＝90°+ ，又∵∠EFC'＝2∠EFB+∠EFC''，∴∠EFC''＝∠EFC'﹣2∠EFB＝90°+ ﹣2（90°﹣°）＝，故答案为．【点评】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义和角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后大小等量关系．三．解答题（共10 小题）34.如图，直线AB、CD 相交于O，OE⊥CD，且∠BOD 的度数是∠AOD 的5倍．求：（1）∠AOD、∠BOD的度数；（2）∠BOE 的度数．【分析】（1）根据∠BOD+∠AOD＝180°和∠BOD＝5∠AOD 求出即可；（2）求出∠BOC，∠EOC，代入∠BOE＝∠EOC﹣∠BOC 求出即可．【解答】解：（1）∵AB是直线（已知），∴∠BOD+∠AOD＝180°，∵∠BOD 的度数是∠AOD 的 5 倍，∴∠AOD＝×180°＝30°，∠BOD＝×180°＝150°．（2）∵∠BOC＝∠AOD＝30°，OE⊥DC，∴∠EOC＝90°，∴∠BOE＝∠EOC﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°．【点评】本题考查了垂直定义，邻补角，对顶角，角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力．35.如图，直线AB 和CD 相交于点O，OE 把∠AOC 分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝2：5（1）如图1，若∠BOD＝70°，求∠BOE；（2）如图2，若OF 平分∠BOE，∠BOF＝∠AOC+10°，求∠EOF．【分析】（1）依据对顶角相等以及邻补角，即可得到∠AOC＝70°，∠BOC＝110°，再根据∠AOE：∠EOC＝2：5，即可得到∠COE 的度数，进而得出∠BOE 的度数；（2）设∠AOE＝2α，∠EOC＝5α，则∠BOF＝7α+10°，∠BOF＝∠BOE＝（180°﹣∠AOE）＝（180°﹣2α），根据7α+10°＝（180°﹣2α），即可得到α的值，进而得到∠EOF 的度数．【解答】解：（1）∵∠BOD＝70°，直线AB和CD相交于点O，∴∠AOC＝70°，∠BOC＝110°，又∵∠AOE：∠EOC＝2：5，∴∠COE＝70°×＝50°，∴∠BOE＝50°+110°＝160°；（2）设∠AOE＝2α，∠EOC＝5α，则∠BOF＝7α+10°，∵OF 平分∠BOE，∴∠BOF＝∠BOE＝（180°﹣∠AOE）＝（180°﹣2α），∴7α+10°＝（180°﹣2α），解得α＝10°，∴∠EOF＝∠BOF＝70°+10°＝80°．【点评】本题考查了对顶角、邻补角以及角平分线的定义，解决问题的关键是利用了对顶角相等，邻补角互补的关系．36.如图，直线AB、CD 相交于点O，OE 平分∠BOC，∠COF＝90°．（1）若∠AOF＝70°，求∠BOE 的度数；（2）若∠BOE：∠BOD＝3：2，求∠AOF 的度数．【分析】（1）先根据余角的概念求出∠AOC 的度数，再根据邻补角的性质求出∠BOC 的度数，最后根据角平分线的定义计算即可；（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．【解答】解：（1）∵∠COF＝90°，∠AOF＝70°，∴∠AOC＝90°﹣70°＝20°，∴∠BOC＝180°﹣20°＝160°，∵OE 平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝80°；（2）∵∠BOE：∠BOD＝3：2，OE 平分∠BOC，∴∠EOC：∠BOE：∠BOD＝3：3：2，∵∠EOC+∠BOE+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝45°，∴∠AOC＝∠BOD＝45°，又∵∠COF＝90°，∴∠AOF＝90°﹣45°＝45°．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．37.如图，已知∠A＝∠C，∠1+∠2＝180°，试猜想AB 与CD 之间有怎样的位置关系？并说明理由．【分析】由∠1+∠2＝180°可证得AD∥BC，得∠ADE＝∠C，已知∠A＝∠C，等量代换后可得∠ADE＝∠A，即AB、CD 被直线AD 所截形成的内错角相等，由此可证得AB 与CD 平行．【解答】证明：AB∥CD，理由如下：∵∠1+∠2＝180°（已知）∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）（2分）∴∠EDA＝∠C（两直线平行，同位角相等）（3分）又∵∠A＝∠C（已知）∴∠A＝∠EDA（等量代换）（5分）∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）（6分）【点评】此题主要考查平行线的判定和性质．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．38．（1）如图，已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．探究：∠ABC 与∠DEF 分别有怎样的数量关系？并选择一种情况说明理由．图1 中∠ABC 与∠DEF 数量关系为∠ABC+∠DEF＝180°；图2 中∠ABC 与∠DEF 数量关系为∠ABC＝∠DEF ．选择一种情况说明理由：（2）由（1）你得出的结论是如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（3）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2 倍少30°，直接写出这两个角的度数．【分析】（1）利用平行线的性质即可判断．（2）根据平行线的性质解决问题即可．（3）设两个角分别为x 和2x﹣30°，由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，故答案为∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．理由：①如图1 中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．②如图2 中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．（2）结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．故答案为如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．（3）设两个角分别为x 和2x﹣30°，由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．【点评】本题考查平行线的判定和性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．39.如图，已知∠AED＝∠ACB，CD⊥AB，HF⊥AB，猜想∠1 与∠2 的数量关系并说明的理由．。

【精编版】中考数学专题训练——菱形的判定和性质

中考专题训练——菱形的判定和性质1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．参考答案：1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得BD＝8，设DE＝x，则DF＝x，所以AF2＝AD2+DF2＝16+x2，BF＝BD+DF＝8+x，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD，∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形；（2）解：AD⊥BD，AD＝4，BA＝BC＝4，∴BD＝＝＝8，设DE＝x，则DF＝x，∴AF2＝AD2+DF2＝16+x2，∵BF＝BD+DF＝8+x，∴AB2+AF2＝BF2，∴（4）2+16+x2＝（8+x）2，∴x＝2，∴DE＝DF＝2，∴AE＝＝＝2．∴BD和AE的长分别为8和2．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得：DE＝CE，DF＝FC，证明△CGE≌△CGF （ASA），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形DFCE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°的性质可得BH＝1，由勾股定理得：DH＝，根据△DHF是等腰直角三角形，可得DH＝FH＝，从而得结论．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE＝EC，DF＝CF，∠EGC＝∠FGC＝90°，DG＝CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG＝∠FCG，∵CG＝CG，∴△CGE≌△CGF（ASA），∴GE＝GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF＝∠DHB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝1，在Rt△DHB中，DH＝＝，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB＝45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH＝FH＝，∴BF＝BH+FH＝1+．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD ＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠CBD，然后求出∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，再根据等角对等边可得AB＝AD，再根据等腰三角形三线合一可得BO＝DO，然后利用“角边角”证明△AOD和△COB全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BC，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD，设AC、BD相交于点O，又∵AC平分∠BAD，∴BO＝DO，AC⊥BD，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．【分析】（1）首先利用AAS证明△CDF≌△AED，进而得到AE＝CF，于是得到四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；（2）首先利用勾股定理求出DE的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积．【解答】证明：（1）∵CF∥AB，∴∠DCF＝∠DAE，∵PQ垂直平分AC，∴CD＝AD，在△CDF和△AED中∵，∴△CDF≌△AED，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ垂平分AC，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴△ADE是直角三角形，∵AD＝3，AE＝5，∴DE＝4，∴AC＝2AD＝6，EF＝2DE＝8，∴菱形AECF的面积为AC•EF＝24．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）只要证明△ECF，△ECB都是等边三角形，可得S菱形BCFE＝2•S△ECF；【解答】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝BEBE＝2DE，∴EF＝BC＝BE，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝BC，∴四边形BCFE是菱形．（2）∵EF∥BC，∴∠F+∠BCF＝180°，∵∠BCF＝120°，∴∠F＝60°，∵FE＝FC＝CB＝EF，∴△ECF，△ECB都是等边三角形，∴S菱形BCFE＝2•S△ECF＝2××22＝2．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3，∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝＝＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．【分析】（1）首先根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，进而可判定四边形AEDF是平行四边形，然后证明ED＝DF即可；（2）连接AD、EF，利用直角三角形的性质和菱形面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵E，D，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴ED＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）连接AD、EF，在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∠B＝30°，AB＝12，∴AD＝6，EF＝BC＝BD＝，菱形AEDF的面积＝．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．【分析】（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO＝OC，只需要证明OE＝OF即可，用全等三角形得出；（2）菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形AOE可求AC、EF的长度．【解答】解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1＝∠2．在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（ASA）．∴OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF＝6，∴OE＝EF＝4．在Rt△AEO中，∵tan∠OAE＝＝，∴OA＝5，∴AC＝2AO＝8，∴S菱形AECF＝EF•AC＝×6×8＝24．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得AC＝6．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴S菱形ADCE＝＝＝18．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF＝CD＝DE，可证得结论；（2）过P作PG⊥BC于G，在Rt△PGC中可求得PG和CG的长，则可求得BG的长，在Rt△BPG中，由勾股定理可求得BP的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠EDF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CD＝CF，同理可得CD＝DE，∴CF＝DE，且CF∥DE，∴四边形CDEF为菱形；（2）解：如图，过P作PG⊥BC于G，∵AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，且四边形CDEF为菱形，∴CF＝EF＝CD＝AB＝2，∠ECF＝∠BCD＝∠A＝60°，∴△CEF为等边三角形，∴CE＝CF＝2，∴PC＝CE＝1，∴CG＝PC＝，PG＝PC＝，∴BG＝BC﹣CG＝3﹣＝，在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP＝＝＝，即BP的值为．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE＝AB＝AE，DF＝AC ＝AF，再根据AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE＝AF＝DE＝DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，进而得到x2+2xy+y2＝49，再根据Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，得到x2+y2＝36，据此可得xy＝，进而得到菱形AEDF的面积S．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，∴x2+2xy+y2＝49，①∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，∴（y）2+（x）2＝32，即x2+y2＝36，②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝，∴菱形AEDF的面积S＝xy＝．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．【分析】（1）容易证三角形BCD为等边三角形，又DE＝AD＝BD，再证三角形DBE为等边三角形四边相等的四边形BCDE为菱形．（2）画出图形，证出BM+MN＝AM+MC＝AC＝6即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，∴BC＝AB，CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BDC＝30°+30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵CO⊥AB，∴OD＝OB，∴DE＝BE，∵DE＝AD，∴CD＝BC＝DE＝BE，∴四边形BCDE为菱形；（2）解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：则MN＝MC＝BM，∠ABM＝∠A＝30°，∴AM＝BM，∵AC＝6，∴BM+MN＝AM+MC＝AC＝6；即两条分割线段长度的和为6．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）【分析】（1）由AE∥BC，DE∥AB，可证得四边形ABDE为平行四边形，又由AD是边BC上的中线，可得AE＝CD，即可证得四边形ADCE是平行四边形，继而证得结论；（2）由BC＝2AD，易得四边形ADCE是菱形，继而求得S四边形ADCE＝m2．【解答】证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝CE；（2）∵BC＝2AD，BC＝2CD，∴AD＝CD，∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形，∵DE＝AB＝m，AC＝2AO＝2m，∴S四边形ADCE＝AC•DE＝m2．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；（2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB．∴∠ABD＝∠EDB．∴EB＝ED．∴平行四边形BFDE是菱形；（2）解：∵ED∥BF，∠C＝90°，∴∠ADE＝90°．设BF＝x，∴DE＝BE＝x．∴AE＝8﹣x．在Rt△ADE中，AE2＝DE2+AD2∴（8﹣x）2＝x2+42解得x＝3，∴BF＝3．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP＝∠EP A，得出AE＝EP，即可得出结论；（2）S菱形AEPQ＝EP•h，S平行四边形EFBQ＝EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP＝EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，∴∠BAD＝∠EP A，∵AB＝AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EP A，∴EA＝EP，∴四边形AEPQ为菱形．（2）解：P为EF中点，即AP＝AD时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴EQ∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形．作EN⊥AB于N，如图所示：则S菱形AEPQ＝EP•EN＝EF•EN＝S四边形EFBQ．19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．【分析】（1）证明∠BAD＝∠F AE，根据全等三角形的判定推出△BAD≌△F AE，即可得出答案；（2）求出∠ABD＝∠GBF，证明AB＝AD，即可证出四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，得EM⊥AD，求出EM＝AE+AM＝2+2，再根据面积公式即可求出．【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠F AD＝∠DAE+∠F AD，即∠BAD＝∠F AE，∵AB＝AF，AD＝AE，∴△BAD≌△F AE（SAS），∴BD＝EF．（2）∵∠GHF＝∠BFG，∴∠GFH＝∠GBF，由（1）可知∠GFH＝∠ABD，∴∠ABD＝∠GBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠GBF，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，∵∠DAE＝90°．∴EM⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴EM⊥BF，∵AB＝AF，BF＝4，∴BM＝FM＝2，∵∠BAF＝90°，∴，∴，∴，∴EM＝AE+AM＝2+2，∴＝＝4．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAF＝∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF 得出∠AFB＝∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC＝∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．。

中考数学总复习训练平行线的判定与性质(含解析)(2021-2022学年)

平行线的判定与性质1．如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠ＣAB互余的角有个．2．如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧＨ相交,图中的同旁内角共有（)Ａ.4对B．8对Ｃ.12对ﻩ D.１6对3．如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°,∠ＣDE=30°,∠Ｅ=１0°求证：AＢ∥EF．4.如图,在△ABC中，CE⊥AＢ于E，DF⊥AB于F，AC∥ＥＤ，CE是∠ACＢ的平分线,试比较∠EDF与∠ＢDF的大小,并说明理由．5．探究：(1)如图a,若AB∥CD,则∠B+∠Ｄ=∠E，你能说明为什么吗？（２）反之,若∠Ｂ+∠D＝∠E,直线AB与CD有什么位置关系？请证明;ﻬ(3）若将点E移至图ｂ所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明;(４）若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(5)在图d中,AB∥ＣD，∠E＋∠G与∠B+∠Ｆ＋∠D又有何关系?(６)在图e中，若ＡB∥CＤ，又得到什么结论?6．如图所示,已知ＡB∥CＤ,EＦ交AB于M交ＣD于Ｆ，MN⊥EF于M,MＮ交ＣD于N,若∠BＭＥ=110°，则∠MND=．7．如图,若直线ａ,b分别与直线ｃ,ｄ相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=90°,∠4=11５°，那么∠3=.8．如图,已知AB∥CD，∠１=10０°，∠2＝1２０°，则∠α=度.9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°,那么另一角是度.ﻬ10．如图，下列条件中,不能判断直线l1∥l2的是( )Ａ．∠1=∠3ﻩ B.∠2＝∠３ﻩ C.∠4=∠5D．∠2+∠4=180°11.已知线段ＡB＝10cm,点Ａ,B到直线l的距离分别为６ｃm,4ｃm.符合条件的直线l有（ )A．1条ﻩＢ．2条 C.3条D．4条1２．已知:如图所示,直线a，ｂ都与直线c相交,给出下列条件:①∠1＝∠２；②∠3＝∠6;③∠4+∠7＝180°;④∠5+∠8＝18０°.其中能判定a∥b的是()Ａ．①③ﻩB．②④C．①③④ﻩD．①②③④１3.如图所示，AB∥EF∥DC，EG∥DＢ,则图中与∠1相等的角（∠1除外)共有（）A.6个ﻩＢ．5个 C.４个ﻩD．2个14．如图所示，已知∠1+∠2=１80°，∠3=∠B,试判断∠ＡEＤ与∠C的大小关系，并对结论进行说理．１5.如图，已知∠１十∠２=１80°,∠A=∠C,AD平分∠BDF.求证：ＢC平分∠ＤBE.１６．在同一平面内有2０02条直线a１，a2，…,a20０2,如果a1⊥ａ2，a2∥ａ3，ａ3⊥ａ4，ａ4∥a5,…,那么a１与ａ2002的位置关系是．17．若平面上4条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角对．18．如图,已知l1∥l2，AB⊥l１，∠ABC＝130°,则∠α＝ .19．如图，直线ＡB∥ＣD,∠EFＡ=3０°,∠FGH=90°，∠ＨMN=30°，∠CＮＰ=5０°，则∠GＨM的大小是.２０.如图,D、G是△ABC中ＡB边上的任意两点,DE∥ＢC，GＨ∥ＤC,则图中相等的角共有（ )A．4对ﻩ B.5对ﻩC．6对 D.７对21．如图，若AＢ∥CD,则( )A．∠1＝∠2+∠3B．∠1=∠3﹣∠2C.∠1+∠2+∠３=180°ﻩD．∠l﹣∠２+∠３=180°2２.如图：已知AＢ∥CＤ∥EF,ＥH⊥ＣD于H,则∠ＢAＣ＋∠ACE+∠ＣEH等于()A.18０°Ｂ．27０°ﻩ C.3６0°ﻩ D.4５0°23．如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β和γ的关系是（ )Ａ.β＝α+γB．α+β+γ=18０°Ｃ．α+β﹣γ=９0°Ｄ.β+γ﹣α=１80°24.如图，已知AB∥ＣD,P为ＨD上任意一点,过P点的直线交ＨF于O点,试问:∠HＯP、∠AGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明．２5.如图,AB∥ED,α＝∠A+∠Ｅ,β＝∠B+∠Ｃ＋∠D．证明：β=2α２6.平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点.(1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(２)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为６,２１，15?（4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？２７.如图，直线CB∥OA，∠C=∠BAO=120°，Ｅ、Ｆ在ＣB上,且满足∠FＯB=∠ＡOB,ＯE平分∠COF．(1)求∠EOB的度数;(２）若平行移动AＢ，那么∠ＯBC：∠OFC的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；(３）在平行移动ＡB的过程中，是否存在某种情况，使∠ＯＥＣ=∠OBＡ？若存在，求出其度数;若不存在，说明理由．平行线的判定与性质参考答案与试题解析1．如图,ＡB∥CD,AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有 3 个.【考点】平行线的性质;余角和补角．【分析】本题考查互余的概念,和为90度的两个角互为余角，结合图形和平行线的性质作答．【解答】解:AＢ∥ＣD，ＡC⊥BC，则图中与∠CＡB互余的角有3个,∠CＢA,∠BCD,和∠CBA的对顶角．【点评】此题属于基础题，较简单,主要记住互为余角的两个角的和为９0度．2.如图,平行直线AB、CD与相交直线EF、ＧH相交，图中的同旁内角共有（ )A．4对ﻩ B.8对 C.1２对Ｄ．16对【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题．【分析】每一个“三线八角"基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数.【解答】解：直线AB、CＤ被EＦ所截有2对同旁内角；直线ＡB、CD被GH所截有2对同旁内角;直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；直线CD、GＨ被EF所截有2对同旁内角;直线ＧH、EF被CD所截有2对同旁内角；直线ＡＢ、EF被GＨ所截有２对同旁内角;ﻬ直线ＡＢ、ＧH被EF所截有2对同旁内角；直线EＦ、GH被AB所截有2对同旁内角．共有１６对同旁内角.故选D.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角.要结合图形,熟记同旁内角的位置特点.两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角.3．如图，已知∠Ｂ＝25°,∠BＣD=45°,∠CDE=３０°,∠E＝１0°求证:AB∥EF.【考点】平行线的判定与性质.【专题】证明题．【分析】解本例的困难在于图形中没有“三线八角”，考虑创造条件,在图中添置“三线八角"或作出与AB或ＣD平行的直线，利用平行线的性质和判定求证．【解答】解：过C点作ＣG∥AB，过点Ｄ作ＤH∥ＡＢ，则CG∥DＨ，∵∠Ｂ=25°,∴∠BＣG=2５°,∵∠BCD=45°,∴∠ＧCD=２0°,∵CG∥HD,∴∠CＤH=2０°,∵∠CDE=３０°，∴∠ＨDE=１0°∴∠HDＥ=∠E＝10°,∴DH∥EF,∴DH∥ＡB,∴AB∥EF.【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线是常见的作法,证明过程注意选用有用的条件作为证明的依据．4．如图,在△ABC中，ＣE⊥ＡＢ于E，ＤF⊥AB于F,AＣ∥ＥD,CE是∠AＣB的平分线,试比较∠EDＦ与∠BDF的大小,并说明理由.【考点】平行线的性质；垂线．【分析】先运用垂直于同一条直线的两直线平行,得出∠BDF=∠BCE，∠ＦDE=∠ＤＥＣ，再根据平行线的性质得出∠DEC＝∠ACE,然后利用角平分线等量代换即可得出两角的关系.【解答】解:∠EDF=∠ＢDF．∵CＥ⊥ＡＢ于Ｅ，DF⊥ＡB于F∴ＤＦ∥CE （垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠ＢDF=∠BCE （两直线平行,同位角相等),∠FDE＝∠DEC（两直线平行,内错角相等)又∵AC∥ED，∴∠DＥＣ=∠AＣE（两直线平行,内错角相等），∵CE是∠ＡCB的角平分线,∴∠ＡＣE＝∠EＣB(角平分线的定义),∴∠EDF=∠ＢDF(等量代换)．【点评】本题主要运用了平行线的性质和垂线的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等.ﻬ5.探究：（1）如图a，若AＢ∥CＤ,则∠Ｂ+∠D=∠E，你能说明为什么吗？(2）反之，若∠B+∠D=∠Ｅ,直线ＡB与ＣＤ有什么位置关系？请证明;(3)若将点Ｅ移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系?请证明；(４)若将E点移至图c所示位置，情况又如何?(５)在图d中,AB∥CＤ，∠E+∠G与∠Ｂ＋∠F+∠D又有何关系?(6)在图e中，若AB∥CＤ,又得到什么结论?【考点】平行线的判定与性质.【分析】已知AB∥ＣD,连接AB、CD的折线内折或外折,或改变E点位置、或增加折线的条数,通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AＢ（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.【解答】解:(1)过E作EF∥AB,则∠B=∠ＢＥＦ,∵ＡB∥ＣD，∴EF∥CD,∴∠D=∠DＥＦ,∴∠BＥＤ=∠ＢEＦ+∠DEF=∠B+∠D．（２）若∠B＋∠D=∠E,由EF∥AＢ，∴∠B=∠BEF,∵∠E=∠ＢEF+∠DEF=∠B＋∠D，∴∠D＝∠ＤＥF,∴ＥF∥CＤ，∴AB∥CD；（3)若将点Ｅ移至图ｂ所示位置，过E作EF∥AB,∴∠BEF+∠Ｂ=180°，∵EＦ∥CD,∴∠D+∠ＤＥF=1８0°，∠Ｅ+∠B＋∠D＝360°;(４)∵AB∥CD，∴∠Ｂ=∠BFＤ,∵∠D+∠E=∠BFＤ,∴∠D+∠E=∠Ｂ;(5）∵AB∥CD，∴∠E＋∠G=∠B+∠Ｆ+∠D；（6)由以上可知:∠E1＋∠Ｅ２+…＋∠E n=∠B+∠Ｆ1+∠Ｆ2+…＋∠Fｎ﹣1+∠D;【点评】本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过Ｅ点作AB（或ＣD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形.6．如图所示,已知AB∥ＣD，EF交AB于M交CD于F，MＮ⊥EＦ于M，MN交CＤ于Ｎ,若∠BＭE=11０°，则∠MND＝2０° .【考点】平行线的性质．【分析】根据对顶角相等求出∠ＡＭＦ,再求出∠ＡＭN，然后根据两直线平行,内错角相等求解即可.【解答】解：∵∠BMＥ=11０°,∴∠AMF=∠BME=11０°,∵MN⊥EＦ于M，∴∠NMF=９０°，∴∠AＭN=∠ＡMF﹣∠ＮMF＝1１０°﹣9０°＝２0°,∵AB∥CD,∴∠MＮD=∠AMＮ=２0°.故答案为:２0°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，以及垂直的定义，是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键．7.如图,若直线a,b分别与直线c,d相交,且∠1+∠3=90°，∠2﹣∠３=９0°，∠4=115°,那么∠3= 65°.【考点】平行线的判定与性质.【专题】计算题．【分析】由∠1+∠3=90°,∠2﹣∠3=９０°,可得∠1+∠2=１80°,则可得出a∥b，根据同旁内角互补即可得出答案.【解答】解:∵∠1+∠3=90°,∠２﹣∠3＝9０°,∴∠1+∠2=１80°,∴∠１的对顶角+∠2=180°,∴ａ∥b，∴∠３+∠４的对顶角＝1８0°，∵∠4=１15°,∴∠3=1８0°﹣∠４=65°,故答案为:65°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质,属于基础题，关键是正确理解与运用平行线的判定与性质.８.如图,已知AＢ∥CD，∠１=100°,∠2=120°,则∠α＝４0度.ﻬ【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点F作ＥF∥ＡB，由平行线的性质可先求出∠3与∠4，再利用平角的定义即可求出∠α.【解答】解：如图，过点F作EＦ∥AB,∴∠１+∠3=1８０°．∵∠1=100°,∴∠３=80°．∵AB∥CD,∴CD∥EF，∴∠4+∠2=1８0°,∵∠２＝120°，∴∠4=60°．∴∠α=18０°﹣∠3﹣∠４=40°．故应填40．【点评】本题的难点在于用辅助线构造平行线；关键点在于利用平行线的性质进行角的转化．9．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，那么另一角是 4０或140 度.【考点】平行线的性质.【分析】两个角的两边分别平行，则两个角可能是同位角，也可能是同旁内角,所以应分情况讨论.【解答】解：当两个角是同位角时，则另一个角也等于40°;若两个角是同旁内角时,则另一个角是14０°.故应填:40或140.【点评】会利用平行线性质求解角的大小,能够分析讨论一些简单的问题．ﻬ１0.如图,下列条件中,不能判断直线l1∥l２的是（）A．∠1=∠3B．∠２=∠3ﻩ C.∠4=∠5Ｄ．∠2＋∠4=180°【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定定理:同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行分别进行分析即可．【解答】解：Ａ、根据内错角相等,两直线平行可判断直线l１∥l2,故此选项不合题意；B、∠2=∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意;Ｃ、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l２，故此选项不合题意;D、根据同旁内角互补,两直线平行可判断直线l１∥l2，故此选项不合题意;故选：B.【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．1１．已知线段ＡB=10ｃｍ,点Ａ,B到直线l的距离分别为6ｃｍ，４cm.符合条件的直线l有( ）A．１条 B.２条ﻩ C.3条D．4条【考点】点到直线的距离．【分析】根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.画出图形进行判断．【解答】解:在线段ＡB的两旁可分别画一条满足条件的直线;作线段AB的垂线，将线段AＢ分成6ｃm，4cm两部分，所以符合条件的直线l有３条,故选C.【点评】此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的定义．12．已知:如图所示,直线a,b都与直线ｃ相交，给出下列条件:①∠1=∠2；②∠3=∠6;③∠4+∠7＝18０°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判定ａ∥b的是（ )Ａ.①③ﻩB．②④ﻩＣ.①③④ D.①②③④【考点】平行线的判定;对顶角、邻补角．【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角,被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【解答】解：①∵∠1=∠2,∴a∥b（同位角相等，两直线平行).②∵∠3=∠6，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．③∵∠4＋∠７＝１80°,∵∠４＝∠６(对顶角相等)，∴∠6+∠7=180°,∴a∥b（同旁内角互补,两直线平行）．④同理得,a∥b(同旁内角互补,两直线平行）．故选D.【点评】正确识别“三线八角＂中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系,只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,才能推出两被截直线平行．１3．如图所示，AB∥ＥF∥DC,ＥＧ∥DB，则图中与∠１相等的角(∠１除外）共有（)A．6个ﻩB．５个C．4个 D.2个【考点】平行线的性质．ﻬ【分析】由AB∥EF得∠FEG＝∠1,由EG∥DB可得∠DBG=∠１;设BＤ与ＥF相交于点Ｐ,由AB∥EF得到∠FPB=∠ＤＢG＝∠１，∠DPＥ＝∠ＤBG=∠1,又AB∥ＤＣ可以得到∠ＣＤＢ＝∠ＤBG=∠1，由此得到共有5个．【解答】解:∵AＢ∥EＦ,∴∠FＥG=∠1，∵EG∥DB，∴∠DBG＝∠1,设BD与EＦ相交于点P,∵AB∥EＦ，∴∠ＦＰＢ=∠DBG=∠１,∠DＰE=∠DBG＝∠１，∵AB∥DC，∴∠CDB=∠DBG=∠1.∴共有5个.故选Ｂ．【点评】本题主要利用了由平行得到的内错角相等以及同位角相等，注意不要漏解．14.如图所示,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠Ｃ的大小关系,并对结论进行说理.【考点】平行线的性质.【专题】探究型．【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明DE∥BC.题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠４=1８0°所以∠2=∠４，那么可得到BD∥EF，题中有∠３=∠B,所以应根据平行得到∠3与∠ＡDE之间的关系为相等.就得到了∠Ｂ与∠ＡDＥ之间的关系为相等，那么DE∥BC．【解答】证明:∵∠１＋∠4=180°（邻补角定义)∠1+∠2=180°(已知）∴∠2=∠4(同角的补角相等）∴EF∥AB（内错角相等,两直线平行）∴∠3=∠ADE（两直线平行,内错角相等）又∵∠Ｂ＝∠3（已知）,∴∠ADE=∠B（等量代换）,∴DE∥ＢC(同位角相等，两直线平行）∴∠AＥD=∠Ｃ（两直线平行,同位角相等)．【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手,得到需证明的条件．属于典型的从两头往中间证明．15.如图,已知∠１十∠2＝18０°，∠A=∠C,AＤ平分∠BDＦ．求证：ＢC平分∠DBＥ.【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由已知易得∠１=∠BDC，则AＥ∥CF,所以∠EBＣ=∠ＢCＤ，又∠ＢAＤ=∠ＢCD,故∠EBＣ=∠ＢAD，可得AD∥BC，再用角平分线的定义和平行线的性质求证即可.【解答】证明:∵∠1十∠２=18０°,∠1+∠EBD=180°，∴∠2=∠ＥＢD,∴AE∥CＦ,∴∠FDＢ=∠DBE,∠BAD=∠ADF,又∵∠BＡD=∠BCD,∴∠BCD＝∠ＡDF,∴AD∥BC,∴∠ＤBC=∠BDA=∠FDB=∠DBＥ,∴ＢC平分∠ＤＢE．ﻬ【点评】此题考查了平行线的判定和性质，综合利用了角平分线的定义,要充分利用已知条件.16．在同一平面内有２002条直线ａ1,a2，…，a2０02，如果a1⊥a2,a2∥a3,a３⊥ａ4，a４∥a5，…,那么a１与a2002的位置关系是垂直．【考点】垂线；平行线.【专题】压轴题；规律型．【分析】a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每４条直线一循环.根据此规律可求a１与a２002的位置关系是垂直．【解答】解:∵ａ１与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环.∴(２00２﹣1)÷4=5０0余１，故答案为：垂直.【点评】本题难点在规律的探索,要认真观察即可得出规律.17.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角2４对.【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题.【分析】一条直线与另3条直线相交(不交于一点）,有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有３条线段．4条直线两两相交且无三线共点，共有3×4＝12条线段.每条线段两侧各有一对同旁内角,可知同旁内角的总对数.【解答】解：∵平面上４条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4＝12条线段.又∵每条线段两侧各有一对同旁内角,∴共有同旁内角12×２＝24对.故答案为:２４.【点评】本题考查了同旁内角的定义.注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中,有两对同旁内角．ﻬ1８．如图，已知ｌ1∥ｌ2，AB⊥ｌ1,∠ABC=130°,则∠α＝40°．【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】过点Ｂ作ＥF∥l１∥l2,再根据平行线的性质不难求得∠α的度数.【解答】解:过点B作ＥF∥ｌ1∥l2∵EF∥l１∥l2，AＢ⊥l1∴∠ABF=9０°∵∠AＢC=130°∴∠ＦＢC=40°∵EF∥l1∥l2∴∠FBC=∠α=４0°故答案为:40°【点评】此题主要考查平行线的性质定理:定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行,同位角相等.定理2:两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:两直线平行,同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行,内错角相等.19．如图,直线AB∥ＣＤ，∠EFA=３0°，∠FGH=９0°,∠HMN＝3０°，∠CNP=50°，则∠GＨM的大小是4０°.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质;多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】作辅助线:延长PM、EG交于点K；PＭ延长线交AＢ于点L．利用平行线性质进行求解.【解答】解:辅助线延长PＭ、EＧ交于点Ｋ,ＰM延长线交AＢ于点L．如图:∵AB∥CD，∴∠ＡLM=∠LND=５０°;∴∠MKＧ=∠BFG＋∠ＡLM=８0°.∵∠HＭＮ=30°,∴∠ＨMＫ=1５0°;∵∠ＦGＨ=90°,∴∠GＨM=３６0°﹣∠HＭＫ﹣∠MKＧ﹣∠ＭGH=360°﹣150°﹣80°﹣9０°＝４0°．【点评】考查了平行线的性质的应用．本题综合性较强．20．如图，Ｄ、Ｇ是△AＢC中AB边上的任意两点,ＤE∥BC,GＨ∥ＤC，则图中相等的角共有( ）A.4对B．５对 C.6对D.7对【考点】平行线的性质．【分析】可利用平行线内错角相等,同位角相等的性质得出图中相等的角．【解答】解:由DE∥BＣ,可得∠ADE=∠ABC,∠AED＝∠ACＢ,∠EDC=∠ＤCB,由GH∥DC，可得∠ＢDC=∠ＢGH,∠HＧD＝∠ＡDC,∠ＤCB=∠GHB，∵∠EDC=∠ＤCB,∠DCB=∠GHB,∴∠ＥＤC＝∠BHG,∴题中共有7对相等的角.故选Ｄ.【点评】本题主要考查平行线的性质,即同位角相等,内错角相等,所以熟练掌握平行线的性质.21．如图，若ＡB∥ＣD，则( ）A．∠1＝∠2+∠3 B.∠1=∠３﹣∠2C.∠1+∠2＋∠3=1８0°ﻩD.∠l﹣∠2+∠3＝1８０°【考点】平行线的性质.【分析】先根据平行线的性质由ＡB∥CD得到∠3＝∠４,再根据三角形外角性质得∠１=∠2+∠4,等量代换后得到∠1=∠２+∠３．【解答】解:延长BA交EC于F，如图,∵AB∥CＤ,∴∠3=∠4,∵∠1＝∠２+∠4,∴∠1=∠2＋∠3.故选Ａ．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行，内错角相等．也考查了三角形外角性质.２2.如图：已知AB∥CD∥EF,EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACＥ+∠CEＨ等于（)A.180°ﻩB.270°C．360°D．450°【考点】平行线的性质.【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质可以求得:∠BＡC与∠ＡCD,∠ＤCE与∠CＥF的度数的和,再减去∠HEF的度数即可.【解答】解：∵AB∥CD,∴∠BＡC+∠ACＤ＝180°，同理∠DCＥ+∠CＥF=１80°，∴∠BAC＋∠ＡCE+∠CＥＦ=360°；又∵EH⊥CD于H,∴∠HEF=９0°,∴∠BAC+∠ACＥ+∠CＥＨ=∠BＡC+∠ACE+∠CEF﹣∠HEF＝3６０°﹣90°=27０°．故选B.【点评】本题主要考查了平行线的性质:两直线平行同旁内角互补.23.如图,ＡＢ∥EＦ，∠C=９0°，则α、β和γ的关系是( )Ａ．β=α+γﻩＢ．α+β+γ＝180° C.α+β﹣γ=９０°ﻩ D.β+γ﹣α＝180°【考点】平行线的性质.【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系.【解答】解:延长DC交ＡＢ与G,延长CD交ＥF于H．在直角△BGＣ中,∠1=９0°﹣α；△EHＤ中，∠２=β﹣γ，∵ＡB∥EF，∴∠１=∠２，∴90°﹣α=β﹣γ,即α+β﹣γ=9０°.故选:C．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.２4.如图,已知ＡB∥CD，P为HD上任意一点，过Ｐ点的直线交HF于Ｏ点，试问：∠ＨＯP、∠ＡGF、∠ＨPO有怎样的关系?用式子表示并证明.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质.【分析】可过点Ｏ作OＭ∥CD，利用内错角相等,再通过转化即可得出结论.【解答】解:∠ＨOP=∠AＧF﹣∠HＰO,过点O作OM∥CＤ,如图,则∠AGF=∠ＨＯM,∠ＨＰO=∠POM,∠ＨＯP=∠ＨOM﹣∠POM，∴∠HOＰ＝∠AGＦ﹣∠HPO.【点评】本题主要考查平行线的性质，能够熟练运用平行线的性质求解角之间的关系问题．25.如图，AB∥ED,α=∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β=2α【考点】平行线的判定与性质;多边形内角与外角．【专题】证明题．【分析】此题的关键是过点C作AＢ的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E=180°,∠Ｂ+∠C+∠D=３60°,即可证明．【解答】证法１：∵AB∥ED,∴α=∠A+∠E＝1８0°(两直线平行，同旁内角互补）过C作CＦ∥AB（如图１）∵AＢ∥EＤ,∴CＦ∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行)∵CF∥AB,∴∠B=∠1,(两直线平行,内错角相等）又∵CF∥ED,∴∠2＝∠Ｄ,(两直线平行,内错角相等）∴β=∠B+∠C＋∠Ｄ=∠1+∠BCD+∠2=3６０°(周角定义)∴β=2α(等量代换)证法２:∵AB∥ED，∴α=∠A+∠E＝18０°（两直线平行，同旁内角互补)过C作ＣＦ∥AＢ（如图2）∵AB∥ＥD，∴CF∥ED(平行于同一条直线的两条直线平行）∵CＦ∥AＢ,∴∠B＋∠1=180°，（两直线平行，同旁内角互补）又∵CF∥EＤ,∴∠２+∠Ｄ＝１８0°,（两直线平行,同旁内角互补）∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D=1８0°+１8０°=36０°,∴β=2α(等量代换）【点评】此题考查平行线的判定和性质，辅助线的作法很关键,也是常见作法,需掌握.２6.平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点．（1）请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个)；（3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6,２1，15？(４)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律?【考点】平行线；相交线.【专题】规律型．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行,再考虑五条、四条,三条,二条直线平行,都不平行作出草图即可看出.ﻬ从画出的图形中归纳规律即可得到答案.【解答】解：（1）如图1所示;交点共有6个,(2）如图2,3．(3）当ｎ=6时,必须有6条直线平行,都与一条直线相交．如图4，当n=21时,必须使7条直线中的每2条直线都相交(即无任何两条直线平行）如图5，当n=15时,如图6,(4)当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：①当7条直线都相互平行时,交点个数是0，这是交点最少,②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21,这是交点最多．ﻬ【点评】此题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形,再再根据图形归纳规律.2７.如图，直线ＣＢ∥OＡ，∠C＝∠BAO＝1２0°，E、F在ＣB上,且满足∠FOB＝∠AOＢ,OE平分∠COF.（１)求∠EＯB的度数;(２）若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFＣ的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变,求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．【考点】平行线的性质;三角形内角和定理；角平分线的性质;平移的性质.【专题】几何图形问题.【分析】（1)根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC,再根据角平分线的定义求出∠EOB=∠ＡOC,代入数据即可得解;(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠ＯBC=∠ＢOＡ，从而得到∠OBＣ＝∠FOB,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFＣ=２∠OBC,从而得解；（３）设∠AOB=ｘ,根据两直线平行,内错角相等表示出∠CBO＝∠AＯB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OＥC,然后利用三角形的内角和等于1８0°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可.【解答】解：(1)∵ＣB∥OＡ,∴∠ＡOC＝1８０°﹣∠Ｃ=1８0°﹣1２０°＝60°，∵∠FOB=∠AＯＢ,OE平分∠COＦ,∴∠ＥOＢ＝∠AＯC＝×６０°=３０°;（２）∠ＯBC：∠OFＣ的值不会发生变化，为１:2，ﻬ∵CＢ∥OA，∴∠OＢC=∠BOA,∵∠FＯＢ＝∠AOＢ，∴∠OBC=∠FOＢ,∴∠OFC=∠ＯＢC＋∠ＦOＢ=２∠ＯBC，∴∠ＯＢC：∠OFC=1:2;(3)当平行移动ＡＢ至∠OBA=45°时，∠ＯEC＝∠OBA.设∠ＡOＢ=x，∵CＢ∥ＡO,∴∠CＢO=∠ＡOB=x,∵∠ＯＥC=∠CBO+∠EOＢ＝ｘ+30°，∠OBA=１80°﹣∠A﹣∠AOB=１80°﹣120°﹣ｘ=６0°﹣ｘ,∴x＋30°=60°﹣x,∴x=15°，∴∠OEＣ=∠OBA=６０°﹣15°＝45°．【点评】本题考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义,三角形的内角和定理,图形较为复杂，熟记性质并准确识图是解题的关键．。

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中考数学专题训练：两条直线平行或相交问题（四）1．如图，正比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是．2．已知k为正整数，无论k取何值，直线l1：y＝kx+k+1与直线l2：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是；记直线l1和12与x轴围成的三角形面积为S k，则S1＝，S1+S2+S3+…+S100的值为．3．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．4．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为．5．如图，A1，A2，A3…，A n，A n+1是直线上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…A n A n+1＝2，分别过点A1，A2，A3…，A n，A n+1作l1的垂线与直线相交于点B1，B2，B3…，B n，B n+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3…，A n B n+1，B n A n+1，交点依次为P1，P2，P3…，P n，设△P1A1A2，△P2A2A3，△P3A3A4，…，△P n A n A n+1的面积分别为S1，S2，S3…，S n，则S n＝．（用含有正整数n的式子表示）6．我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k互为交换函数．例如：y＝4x+3的交换函数为y＝3x+4．一次函数y＝kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为．7．如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1y2．（填“＞”或“＜”）．8．在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），直线y＝2x+b 与线段AB有公共点，则b的取值范围为（用含m的代数式表示）．9．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]＝2，（2.3）＝3，[2.3）＝2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）①当x＝1.7时，[x]+（x）+[x）＝6；②当x＝﹣2.1时，[x]+（x）+[x）＝﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）＝11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y＝[x]+（x）+x的图象与正比例函数y＝4x的图象有两个交点．10．已知A、B、C、D是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD．设直线AB的表达式为y＝k1x+b1，直线CD的表达式为y＝k2x+b2，则k1•k2＝．11．若一次函数y＝x+3与y＝﹣2x的图象交于点A，则A关于y轴的对称点A′的坐标为．12．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，3），若线段AB与直线y＝2x+1相交，则m的取值范围为．13．直线y＝k1x+b1（k1＞0）与y＝k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．14．函数y＝2x与y＝x+1的图象的交点坐标为．15．在平面直角坐标中，已知点A（2，3）、B（4，7），直线y＝kx﹣k（k≠0）与线段AB 有交点，则k的取值范围为．16．过点（﹣1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是．17．如图，一个正比例函数图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是．18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，且经过点A（1，﹣2），则kb＝．19．表1给出了直线l1上部分点（x，y）的坐标值，表2给出了直线l2上部分点（x，y）的坐标值．那么直线l1和直线l2交点坐标为．20．已知一次函数y＝2x﹣6与y＝﹣x+3的图象交于点P，则点P的坐标为．参考答案1．解：∵点P到x轴的距离为2，∴点P的纵坐标为2，∵点P在一次函数y＝﹣x+1的图象上，∴2＝﹣x+1，得x＝﹣1，∴点P的坐标为（﹣1，2），设正比例函数解析式为y＝kx，则2＝﹣k，得k＝﹣2，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x，故答案为：y＝﹣2x．2．解：∵直线l1：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，∴直线l1：y＝kx+k+1经过点（﹣1，1）；∵直线l2：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，∴直线l2：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．∵直线l1：y＝kx+k+1与x轴的交点为（﹣，0），直线l2：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（﹣，0），∴S K＝|﹣+|×1＝，∴S1＝＝；∴S1+S2+S3+…+S100＝[++…]＝[（1﹣）+（）+…+（﹣）]＝×（1﹣）＝＝．故答案为（﹣1，1）；；．3．解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．4．解：由题意可得，A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，可得A2n+1的横坐标为（﹣3）n∵2019＝2×1009+1，∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，故答案为：﹣31009．5．解：设△OA1B1的面积为S．由题意可知OA1＝A1A2＝A2A3＝…A n A n+1，A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，∴A1B1：A2B2：A3B3：…：A n B n＝1：2：3：…：n，∴＝S，＝2S，…，＝nS，∴S1＝S，S2＝•2S，S3＝•3S，…，S n＝•nS，∵直线上的点，直线，∴两条直线与x轴的夹角分别为60°和30°，∴∠A1OB1＝30°，∵OA1＝2，∴A1B1＝，∴S＝×2×＝，∴S n＝•，故答案为•．6．解：由题意可得，，解得，，故答案为：1．7．解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上方，∴y1＜y2．故答案为：＜．8．解：∵点A、B的坐标分别为（3，m）、（3，m+2），∴线段AB∥y轴，当直线y＝2x+b经过点A时，6+b＝m，则b＝m﹣6；当直线y＝2x+b经过点B时，6+b＝m+2，则b＝m﹣4；∴直线y＝2x+b与线段AB有公共点，则b的取值范围为m﹣6≤b≤m﹣4；故答案为：m﹣6≤b≤m﹣4．9．解：①当x＝1.7时，[x]+（x）+[x）＝[1.7]+（1.7）+[1.7）＝1+2+2＝5，故①错误；②当x＝﹣2.1时，[x]+（x）+[x）＝[﹣2.1]+（﹣2.1）+[﹣2.1）＝（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）＝﹣7，故②正确；③∵当1＜x＜1.5，4[x]+3（x）+[x）＝4+3×2+1＝11，故③正确；④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y＝[x]+（x）+x＝﹣1+0+x＝x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y＝[x]+（x）+x＝﹣1+0+x＝x﹣1，当x＝0时，y＝[x]+（x）+x＝0+0+0＝0，当0＜x＜0.5时，y＝[x]+（x）+x＝0+1+x＝x+1，当0.5＜x＜1时，y＝[x]+（x）+x＝0+1+x＝x+1，∵y＝4x，则x﹣1＝4x时，得x＝；x+1＝4x时，得x＝；当x＝0时，y＝4x＝0，∴当﹣1＜x＜1且x≠﹣0.5时，函数y＝[x]+（x）+x的图象与正比例函数y＝4x的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．10．解：设点A（0，a）、B（b，0），∴OA＝a，OB＝﹣b，∵△AOB≌△COD，∴OC＝a，OD＝﹣b，∴C（a，0），D（0，b），∴k1＝＝，k2＝＝，∴k1•k2＝1，故答案为：1．11．解：∵一次函数y＝x+3与y＝﹣2x的图象交于点A，∴x+3＝﹣2x，解得：x＝﹣1，则y＝2，故A点坐标为：（﹣1，2），∴A关于y轴的对称点A′的坐标为：（1，2）．故答案为：（1，2）．12．解：当y＝3时，2x+1＝3，解得x＝1，所以直线y＝3与直线y＝2x+1的交点为（1，3），当点B在点A的右侧，则m≤1≤3m﹣1，解得≤m≤1；当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤1≤m，无解，所以m的取值范围为≤m≤1．13．解：如图，直线y＝k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB＝b1，直线y＝k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC＝﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA•OB+＝4，∴+＝4，解得：b1﹣b2＝4．故答案为：4．14．解：解方程组得，所以函数y＝2x与y＝x+1的图象交点坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．15．解：∵y＝k（x﹣1），∴x＝1时，y＝0，即直线y＝kx﹣k过定点（1，0），∵直线y＝kx﹣k（k≠0）与线段AB有交点，∴当直线y＝kx﹣k过B（4，7）时，k值最小，则4k﹣k＝7，解得k＝；当直线y＝kx ﹣k过A（2，3）时，k值最大，则2k﹣k＝3，解得k＝3，∵直线AB的解析式为y＝2x﹣1，∴k≠2，∴k的取值范围为≤k≤3．故答案为：≤k≤3．16．解：∵过点（﹣1，7）的一条直线与直线平行，设直线AB为y＝﹣x+b；把（﹣1，7）代入y＝﹣x+b；得7＝+b，解得：b＝，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，令y＝0，得：0＝﹣x+，解得：x＝，∴0＜x＜的整数为：1、2、3；把x等于1、2、3分别代入解析式得4、、1；∴在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（1，4），（3，1）．故答案为：（1，4），（3，1）．17．解：∵正比例函数图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，P点的纵坐标为2，∴2＝﹣x+1解得：x＝﹣1∴点P的坐标为（﹣1，2），∴设正比例函数的解析式为y＝kx，∴2＝﹣k解得：k＝﹣2∴正比例函数的解析式为：y＝﹣2x，故答案为：y＝﹣2x18．解：∵y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，∴k＝2，∵y＝kx+b的图象经过点A（1，﹣2），∴2+b＝﹣2，解得b＝﹣4，∴kb＝2×（﹣4）＝﹣8．故答案为：﹣8．19．解：通过观察表可知，直线l1和直线l2交点坐标为（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）20．解：由题意得：，解得：，∴点P的坐标为（3，0）。