山东省郓城一中高二数学上学期模块考试新人教版【会员独享】
(整理版)郓城一中高二上学期模块考试数学试题
省郓城一中- 高二上学期模块考试数学试题第一卷〔共60分〕一.选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的)1. 不等式〔1－x 〕〔3+x 〕>0的解集是A. (－3,1) B (－∞,－3)∪(1,+∞)C. (－1,3)D. (－∞,－1)∪(3,+∞)2. 数列}{n a 的通项公式是na nn )1(3-+=：，那么32a a +的值为 A . 2 B . 32 C . 35 D . 38 3. 如果实数b a >，那么以下各式正确的选项是 A ．22b a > B. 33b a > C.b a 11< D. ab a >2 4. 在△ABC 中，045,2,2===A b a ,那么B 等于A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120° 5. 数列}{n a 的通项公式是11+-=n n a n ，那么这个数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列y x b a <<,，且0))((,0))((>--<--b y a y b x a x ,那么以下关系式正确的选项是A.b y x a <<<B. y b x a <<<C. b y a x <<<D. b a y x <<<7. 实数2,=+b a ab ，那么b a 33+的最小值是 A. 18 B. 6 C. 2343⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-o y x y x y x 20630下,目标函数y x z +=2的最小值是.A. 9B. 2C. 3D. 4}{n a 的前n 项的和为n S ，假设321,2,4a a a 成等差数列，那么44a S 的值是 A.167 B. 1615 C .87 D. 815 10. 设x 、y 为正数，那么有(x+y)(1x ＋4y )的最小值为〔 〕A ．15B ．12C ．9D ．6 11. 在∆ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,那么角C 为 〔 〕〔A 〕600 〔B 〕 450或1350〔C 〕1200 〔D 〕300 }{n a 前n 的和为S n,,,假设20101-=a ，22007200920072009=-S S ，那么 2011S 的值是 A ． B. 2010 C ．0 D ．×第二卷〔共90分〕二.填空题:〔本大题共4小题，每题4分，共16分,把答案填在答题卷的相应位置〕 01>-xx 的解集是 14.在三角形ＡＢＣ中，假设31cos ,3==A a ，那么bc 的最大值是 . x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集是Ｒ，那么实数a 的取值范围是 . }{n a 的首项1a 及公差d 都是整数，且前n 项和为n S ，假设9,3,1341≤>>S a a ，那么数列}{n a 的通项公式是 ________.三.解答题:〔本大题共6小题，共74分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤〕17.〔本小题总分值12分〕数列}{n a 是等比数列，首项16,241==a a .〔1〕求数列}{n a 的通项公式〔2〕假设数列}{n b 是等差数列，且5533,a b a b ==求数列}{n b 的通项公式及前n 项和n S .18.〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，54cos ,5,6-===A b a〔1〕求角B 的大小〔2〕求三角形ABC 的面积。
山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
高二数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写济楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第二章~第三章第2节.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（ ）A.B. C. D.2.已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）A. B.C.D.3.已知椭圆与椭圆有相同的焦点，则（ ）A.B.C.3D.44.已知点在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.5.已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ）A.2B.4C.6D.86.已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围103x --=π6π32π35π6()222:11x C y a a-=>C y =y x=±y =y x =()222:1016x y C b b +=>221125x y +=b =()0,1-22220x y x my +--+=m ()3,∞-+()3,2-()()3,22,∞--⋃+()2,2-M 22:1916x y C -=12,F F C 1122MF F F MF +-=()()2,3,3,2A B ---()1,1P l AB l k是（ ）A.B.C.D.7.当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）A.C.D.8.已知椭圆，若椭圆上的点到直线的最短距离，则长半轴长的取值范围为（ ）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若直线与直线平行，则的值可以是（）A.0B.2C.D.410.已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，分别是的左､右焦点，为原点，则（ ）A.的离心率为B.C.的值可以为3D.若的面积为，则11.已知点及圆，点是圆上的动点，则（ ）A.过原点与点的直线被圆截得的弦长为B.过点作圆的切线，则切线方程为C.当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线的方程为D.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦α2cos2sin24cos x y ααα+=π2π4π()2222:10x y E a b a b +=>>E 50x y ++=a (]0,2((⎤⎦()240a x y a -++=()()222420a x a a y -+++-=a 2-,A B 22:143x y C +=C 12,F F C O C 12228AF BF +=AB 12AF F V 3212154AF AF ⋅=()4,4P 22:40C x y x +-=Q C O P C P C 3440x y -+=Q PC Q PC 240x y ---=P C ,A B AB 240x y +-=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若方程表示椭圆，则的取值范围是__________.13.已知圆与两直线都相切，且圆经过点，则圆的半径为__________.14.把放置在平面直角坐标系中，点在直线的上方，点在边上，平分，且点都在轴上，直线的斜率为，则点的坐标为__________；直线在轴上的截距为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知直线及点.（1）若与垂直的直线过点，求与的值；（2）若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.16.（本小题满分15分）已知双曲线的顶点为，且过点.（1）求双曲线的标准方程；（2）过双曲线的左顶点作直线与的一条渐近线垂直，垂足为为坐标原点，求的面积.17.（本小题满分15分）已知圆经过点，且与圆相切于原点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.18.（本小题满分17分）已知椭圆的上顶点与左，右焦点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的离心率；（2）已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线22164x y m m +=--m C 220,220x y x y -+=++=C ()1,1C ABC V A BC ,D E BC AD ,BAC AE BC ∠⊥,A E y AD 40,y AD -+==AC3-C AB x :210l x ay a -+-=()2,2A -l 320x my -+=A m a A ()1,1B -l l ()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P C C A C ,H O OHA V 1C ()2,0-222:480C x y x y +-+=O 1C :20(,l ax by a b a b ++-=)1C ,A B AB l 2C ,C D CD ()2222:10x y C a b a b+=>>45-C C ,A B 6AB =M C ,A B分别与直线交于点为坐标原点，求.19.（本小题满分17分）已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.,MA MB :5l x =,,P Q O OP OQ ⋅,A B P (0PAPBλλ=>1)λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()()()2,0,,2A B a b a -≠-(),A B λ221240x y x +-+=,,a b λQ (),A B OQ O 0,b λ==,a μ(),A B μ参考答案1.A 直线，所以其倾斜角为.故选A.2.D 由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选D.3.C 因为椭圆与㮁圆有相同的焦点.所以，解得或（舍去）.故选C.4.C 由题意可知解得或.故选C.5.B 因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，所以，故，由于，所以.故选B6.A 直线过定点，且直线与线段相交，由图象知，或，则紏率的取值范围是.故选A 7.D 方程可化为变动时，点到该直线的距离，则该直线是圆的切线，所以动直线围成的封闭图形的面积是圆的面积，面积为.故选D.103x --=π6214a +=23a =22213x C y -=y x =()22221016x y C b b +=>221125x y +=216125b -=-3b =3b =-222(1)20,(2)420,m m ⎧-++>⎨-+-⨯>⎩32m -<<-2m >M 22:1916x y C -=12,F F C 212MF MF a -=112222MF F F MF c a +-=-3,4,5a b c ====1122221064MF F F MF c a +-=-=-= l ()312131,1,4,21314PA PA P k k ----==-==--- AB ∴34k …4k -…k (]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭2cos2sin24cos x a y a a +=()2cos2sin22,x a y a α-+=()2,02d ==22(2)4x y -+=2cos2sin24cos x y ααα+=22(2)4x y -+=4π8.C 设直线与，则的方程为，由整理，得，因为上的点到直线的最短，所以，整理得，由椭圆的离心，可知，所以，所以，则，所以.故选C.9.AB 因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.故选.10.AD 对于A ，椭圆中，，离心率为，A 正确；对于B.由对称性可得，所以，B 错误；对于C ，设且，则，故，所以C 错误；对于D ，不妨设在第一象限，，则，是，则，则，故，故D 正确.故选AD.11.ACD 圆的标准方程为，圆的半径，对于，直线的方程为0，点到直线，所以直线被圆截得的弦长为正确；对于，圆的过点的切线斜率存在时，设其方程为，即，，解得，此时切线方程为，另一条切线是斜率不存在的切线错误；对于C ，当点到直线的距离最大时，过点与平行的一条直线，即为与直线距离为2的图的切线，直线的斜率为2，设该切线方程为，则正确；对于D ，设，，可得切线的方程分别为l 50x y ++=l 30x y ++=22221,30,x y ab x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩()2222222690a b x a x a a b +++-=E 50x y ++=()()422222Δ36490a a baa b =-+-…2290a b +-…E 22112b a -=2212b a =221902a a +-…26a …0a <…222424a a a a ---=-++20a -=2244a a ++=2a =2-2a =-AB 22:143x y C +=2,1a b c ===12c a =21BF AF =222124AF BF AF AF a +=+==(),,B m n n <<0n ≠22143m n +=)2OB ===()24,AB OB =∈A ()00,A x y 12013222AF F S c y =⋅⋅=V 032y =31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭21335,4222AF AF ==-=12154AF AF ⋅=C ()22(2) 4.2,0x y C -+=C 2r =A OP x y -=C OP OP C A =B C P ()44y k x -=-440kx y k --+=234k =3440x y -+=4,x B =Q PC Q PC PC C PC 20x y t -+=2,4t =-±(11,A x y ()22,B x y ,PA PB，将代入两方程得，所以者在直线上，所以直线的方程为，即，D 正确.故选ACD.12.且且也给分） 由题意得，且6—，所以且，所以实数的取值范围是.易知直线与关于轴对称或关于对称，又当圆心在上时，该圆不存在，所以圆的圆心在轴上，设圆的方程为，由题意可知，，整理得，解得或，当时，，当时，.14.（2分）（3分） 直线的方程与直线联立得，因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，由，得直线的斜率为0，由，得，所以直线的方程为，与联立得.设直线与轴交于点，点关于直线的对称点为，则点在直线上，所以.联立解得代入，得，所以直线在轴上的截距为15.解：（1）因为直线过点，所以，解得，因为与垂直，()()11122220,20x x y y x x x x y y x x +-+=+-+=()4,4P ()()11122244240,44240x y x x y x +-+=+-+=()()1122,,,A x y B x y ()44240x y x +-+=AB ()44240x y x +-+=240x y +-=()()4,55,6{|46m m ⋃<<5},46m m ≠<<5m ≠60,40m m ->->4m m ≠-46m <<5m ≠m ()()4,55,6⋃220x y -+=220x y ++=x 2x =-2x =-C x C 222()x a y r -+==22730a a -+=12a =3a =12a =r =3a =r =(1,1)AE 0x =AD 40y -+=()0,4A AC -AC 34y x =-+AE BC ⊥BC AD =AD 3AE =BC 1y =34y x =-+()1,1C AB x (),0F t F AD (),G a b G AC b a t =-402b -+=122,a tb ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩34y x =-+t =AB x 320x my -+=()2,2A -6220m --+=2m =-3220x y ++=l所以.（2）解法一，若点与点到直线的距离相等，则直线与的斜率相等或的中点在上，又直钱的斜率为的中点坐标为，所以或.解得或.当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.解法二：因为点与点到直线的距离相等，.解得，当时，的斜截式方程为，当时，的斜截式方程为.16.解：（1）因为双曲线的顶点为，且过点，所以，且，解得的标准方程为.（2）由双曲线方程，得渐近线方程为，，又，所以所以.123,32a a ==A()1,1B -l AB l AB l AB ()211,21AB --=---11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11a =-1121022a a --+-=1a =-1a =1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+A ()1,1B -l =1a =±1a =-l 3y x =-+1a =l 1y x =+()2222:10,0x y C a b a b-=>>()(),A B -()4P a =2254161a b -=a b ==C 221188x y -=221188x y -=230x y ±=,OH HA OA ⊥=OH =11542213OHA S OH HA =⨯⨯==V17.解：（1）因为圆与图相切，且点在圆的外部，所以圆与圆外切，则三点共线，图化为.所以圆心，故圆心在直线上.设圆的标准方程为，又圆过原点，则，圆经过点，则，解得，故圆的标准方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心坐标为，由直线化为，所以直线恒过点，易知点在圆的内部，设点到直线的距离为，则，要使取得最小值，则取得最大值，所以，此时.所以，则直线的方程为，即.又圆心到直线的距离，所以.18.解：（1）椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，由题意可知，即，1C 2C ()2,0-2C 1C 2C 12,,C O C 222:480C x y x y +-+=22(2)(4)20x y -++=()22,4C -1C 2y x =-1C 222()(2)x t y t r -++=1C ()0,0O 225r r =1C ()2,0-222(2)(02)5t t t --++=1t =-1C 22(1)(2)5x y ++-=1C ()1,2-:20l ax by a b ++-=()()210a x b y ++-=L ()2,1P -P 1C 1C l d AB ==AB d 1PC l ⊥121112PC k -==-+1t k =-l ()12y x -=-+10x y ++=2C 10x y ++=d 'CD ==C ()0,b ()(),0,,0c c -45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭2245b c =又，所以，即的离心率.（2）由，得，即，所以椭圆的方程为.设，则，即，又，则，因为直线分别与直线交于点，所以，所以.19.（1）解：因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，所以，因为为常数，所以，且，所以.（2）解：由（1）知，设，由，所以，，監理得，即，所以，222a b c =+2295a c =225,9c ca a ==C e =6AB =26a =3,2a c b ===C 22194x y +=()00,M x y 2200194x y +=22003649x y -=()()3,0,3,0A B -()()0000:3,:333y yMA y x MB y x x x =+=-+-,MA MB :5L x =,P Q 0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-22222222222222||(2)4416||()()22(122)24PA x y x y x xPB x a y b x y ax by a b a x by a b +++++===-+-+--++--+-+22||||PA PB 2λ2240,0a b b -+==2a ≠-2,0,a b λ====()()2,0,2,0A B -(),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--…42890x x --…()()22190x x +-…209x ……由，得，即的取值范围是.（3）证明：若，则以一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.由点关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称OQ ==209r ……13OQ ……OQ []1,30b =(),A B 2222(2)2()x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()()2,0,,0A B a -2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-,a μ(),A B μ。
2022-2023学年山东省郓城第一中学高二上学期期末考试数学试题(含解析)
郓城第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题考试时间120分钟，满分150分一、选择题（每题5分，共40分）1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2S ，3S ，5S 成等差数列，且110a =，则{}n a 的公差d =( ) A.2B.1C.-1D.-22、在空间直角坐标系中，已知(1,2,3)A ，()2,1,6B --，(3,2,1)C ，(4,3,0)D ，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直3、已知直线()1:220l ax a y +++=与2:10l x ay ++=平行，则实数a 的值为( ) A.1-或2B.0或2C.2D.1-4、设AB 是椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的长轴，若把AB 一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于1P ，2P ，…，99P ，1F 为椭圆的左焦点，则111121991F A F P F P F P F B +++++的值是( ) A.98aB.99aC.100aD.101a5、若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()0,2,1=--a ，()2,0,4=b ，则异面直线1l 与2l 所成角的余弦值等于()A.25-B.25C.6、在正数等比数列{}n a 中，若2a =418=，则该数列的前10项和为( )A.2-1112-7、已知数列{}n a 满足2123...=2n n a a a a ⋅⋅⋅⋅*()n ∈N ，且对任意*n ∈N 都有12111...n t a a a +++<，则t 的取值范围为( ) A.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为()B.13C.12二、多项选择题（每题5分，共20分，部分选对得2分，有选错的不得分）9、已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点,()A a b ，则下列说法正确的是() A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切 B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切10、己知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--，则下列结论正确的是( )A.AP AB ⊥B.AP AD ⊥C.AP 是平面ABCD 的一个法向量D.AP BD ∥11、抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射山.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点(3,1)M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是() A.121x x = B.43PQ k =-C.25||4PQ =D.1l 与2l 之间的距离为412、素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛。
郓城一中高二第一次月考数学试题
（时间：120 分钟 分数：150 分） 一．选择题（共 8 小题，每题 5 分）
7．数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心 到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知 ABC 的顶点 A(2, 0) ， B(0, 4) ，且 AC BC ，则 ABC 的欧拉线的方程为 ( )
10．已知直线 l1 : x ay a 0 和直线 l2 : ax (2a 3) y 1 0 ，下列说法正确的是 ( )
A．
l2
始终过定点
(
2 3
,
1) 3
B．若 l1 / /l2 ，则 a 1或 3
C．若 l1 l2 ，则 a 0 或 2
D．当 a 0 时， l1 始终不过第三象限 11 ．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面为直角梯形， AD / /BC ， BAD 90 ， PA 底面
9．下列说法中，正确的有 ( ) A．过点 P(1, 2) 且在 x 、 y 轴截距相等的直线方程为 x y 3 0
A． 3x y 6 0 B． 3x y 2 0
C． 3x y 6 0 D． 3x y 2 0
4．已知空间向量 m (3 ，1， 3) ， n (1 ， ， 1) ，且 m / /n ，则实数 ( )
A． x 2 y 3 0 B． 2x y 3 0
C． x 2 y 3 0 D． 2x y 3 0
1．直线 x sin y 2 0 的倾斜角的取值范围是 ( )
A．[0 ， )
B．
[0
，
4
][
3 4，)CFra bibliotek[0 ， ] 4
山东郓城一中2020年秋高二数学上学期第一次月考试题卷附答案解析
山东郓城一中2020年秋高二数学上学期第一次月考试题卷（时间：120分钟 分数：150分）一. 选择题（共8小题，每题5分）1. 直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是（ ） A. [0,)π B. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π D. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 2. 已知点()2,3P -，点Q 是直线l ：3430x y ++=上的动点，则PQ 的最小值为()A. 2B.95C.85D.753. 斜率为3-，在x 轴上截距为2-的直线方程的一般式为 ( ) A. 360x y ++= B. 320x y -+=C. 360x y +-=D. 320x y --=4. 已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A. 13-B. -3C.13D. 65. 已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD ⋅的值为（ ） A.14B.14- C.34D. 34-6. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D ，E 分别为棱11A B ，11B C 的中点，则异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为（ ）A.710B.3510C.155D.357.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A （2，0），B （0，4），且A C=BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为（ ） A. x+2y+3=0B. 2x+y+3=0C. x ﹣2y+3=0D. 2x ﹣y+3=08. 在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（ ） A.32B.22C.63D.13二. 多选题（共4小题，每题5分，选全得满分，不全得3分，错选0分） 9. 下列说法中，正确的有（ ）A. 过点(1,2)P 且在x ，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B. 直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C. 直线310x y -+=的倾斜角为60︒D. 过点(5,4)并且倾斜角为90︒的直线方程为50x -= 10. 已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（ ）A. 2l 始终过定点21,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 若12l l //，则1a =或-3C. 若12l l ⊥，则0a =或2D. 当0a >时，1l 始终不过第三象限11. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.则（ ）A. CD AN ⊥B.BD PC ⊥C.PB ⊥平面ANMDD. BD 与平面ANMD 所在的角为30°12. 如图，在正四棱锥P ABCD —中，1AB =，2PB =，E 是PC 的中点．设棱锥P ABCD —与棱锥—E BCD 的体积分别为12,V V ，PB ，PC 与平面BDE 所成的角分别为α，β，则（ ）A.//PA 平面BDEB.PC ⊥平面BDE C. 12:4:1V V =D. sin :sin 1:2αβ=三. 填空题（共4小题，每题5分）13. 已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z →=，向量()3,2,1v →=-与平面α平行，则z =______.14. 过直线240x y -+=和20x y +-=的交点，且过点()2,1-的直线l 的方程为________． 15. 若直线l 过点()1,2P且与点()()1,2,3,0A B -两点距离相等，则直线l 方程为_______．16. 如图，四面体ABCD 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则点P 到平面ABC 的距离为______；四. 解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分）17. 三棱柱111ABC A B C -中，M N 、分别是1A B 、11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =.设AB =a ，AC =b ，1AA =c .(1)试用,,a b c 表示向量MN ；(2)若90BAC ∠=，1160BAA CAA ∠=∠=，11AB AC AA ===，求MN 的长.18. 已知三点()()()0,2,32,1,61,1,5AB C --，，（1）求以AB AC ，为邻边的平行四边形面积 （2）求平面ABC 一个法向量（3）若向量a 分别与AB ，AC 垂直，且||3a =求a 的坐标.19. 已知直线l 过点(1,2)P -．（1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程； （2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点分别为A 、B ，求AOB ∆面积最小值．20. 一条光线从点()6,4P射出，与x 轴相交于点()2,0Q ，经x 轴反射后与y 轴交于点H .（1）求反射光线QH 的方程； （2）求三角形PQH 的面积.21. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，3AB AC AD ===，4PA CD ==，E为线段AB 上一点，2AE EB =，M 为PC 的中点.（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值.22. 如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．(3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由． 解析山东郓城一中2020年秋高二数学上学期第一次月考试题卷（时间：120分钟 分数：150分）一. 选择题（共8小题，每题5分）1. 直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是（ ） A. [0,)π B. 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据直线方程，得到斜率为sin kα=-，推出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围.【详解】直线sin 20x y α++=的斜率为sin k α=-，∵1sin 1α-≤≤， ∴11k -≤≤∴倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查求直线倾斜角的范围，属于基础题型. 2. 已知点()2,3P -，点Q 是直线l ：3430x y ++=上的动点，则PQ 的最小值为()A. 2B.95C.85D.75【答案】B 【解析】 【分析】PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离，由此能求出PQ 的最小值．【详解】解：点()2,3P-，点Q 是直线l ：3430x y ++=上的动点，PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离， PQ ∴的最小值为()3243395916d ⨯-+⨯+==+． 故选B ．【点睛】本题考查两点间距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3. 斜率为3-，在x 轴上截距为2-的直线方程的一般式为 ( ) A. 360x y ++= B. 320x y -+=C. 360x y +-=D. 320x y --=【答案】A 【解析】分析：利用直线的点斜式方程，求得00()y y k x x -=-，化为一般式即可． 详解：因为直线在x 轴上的截距为2-，即直线过点(2,0)-， 由直线的点斜式方程可得03(2)y x -=-+，整理得360x y ++=， 即所成直线的方程的一般式为360x y ++=，故选A ．点睛：本题主要考查了直线方程的求解，熟记直线方程的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 4. 已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A. 13-B. -3C.13D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案. 【详解】解：因为//m n ， 所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=，所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-. 故选：A.【点睛】本题考查空间向量共线问题，是基础题.5. 已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD ⋅的值为（ ） A.14B.14- C.34D. 34-【答案】A 【解析】 【分析】把EC 表示为AC AE -，然后再求数量积．【详解】由题意，四面体D ABC -是正四面体，每个面都是正三角形， ∴EC AD ⋅()AC AE AD AC AD AE AD =-⋅=⋅-⋅1111cos601cos6024=⨯⨯︒-⨯⨯︒=． 故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是把EC 表示为AC AE -，然后计算即可．6. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D ，E 分别为棱11A B ，11B C 的中点，则异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为（ ）A.710B.3510C.155D.35【答案】A 【解析】 【分析】取AC 的中点F ，构造中位线，得到四边形ADEF 是平行四边形，所以//AD EF ，找出角，再利用余弦定理得到答案. 【详解】如图，取AC 的中点F ，连接DE ，EF ，所以//DE 11A C ，1=2DE 11A C ， 又12AF AC =，所以//AF DE ，AF DE =,则四边形ADEF 是平行四边形， 所以//AD EF ，则异面直线AD 与BE 所成角为FEB ∠， 令三棱柱各棱长为2， 5EF BE ==，3BF =，由余弦定理得7cos 10FEB ∠=，故选：A.【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，通过做平行线找到，再放在三角形中计算.7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A （2，0），B （0，4），且A C=BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为（ ） A. x+2y+3=0 B. 2x+y+3=0C. x ﹣2y+3=0D. 2x ﹣y+3=0【答案】C 【解析】试题分析：由于AC=BC ，可得：△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出△ABC 的欧拉线的方程． 解：线段AB 的中点为M （1，2），k AB =﹣2，∴线段AB 的垂直平分线为：y ﹣2=（x ﹣1），即x ﹣2y+3=0． ∵AC=BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线的方程为：x ﹣2y+3=0． 故选C ．考点：待定系数法求直线方程．8. 在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（ ） A.32B.22C.63D.13【答案】C 【解析】 【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ，证明出AO BD ⊥，1AO BD ⊥，可得出平面1A BD 与平面ABCD 的夹角的平面角为1AOA ∠，计算出1A O ，进而可求得1sin AOA ∠，即可得解.【详解】连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ，则AO BD ⊥，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则12AA =，122AO AC ==，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，1BD AA ∴⊥，1AOAA A =，BD ∴⊥平面1AA O ，1A O ⊂平面1AA O ，1A O BD ∴⊥，所以，平面1A BD 与平面ABCD 的夹角的平面角为1AOA ∠， 易知1AA AO ⊥，则22116AO AA AO =+=，11126sin 36AA AOA AO ∴∠===. 因此，平面1A BD 与平面ABCD 的夹角的正弦值为63. 故选：C.【点睛】本题考查定义法计算面面夹角的正弦值，考查计算能力，属于中等题. 二. 多选题（共4小题，每题5分，选全得满分，不全得3分，错选0分） 9. 下列说法中，正确的有（ ）A. 过点(1,2)P 且在x ，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B. 直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C. 直线310x y -+=的倾斜角为60︒D. 过点(5,4)并且倾斜角为90︒的直线方程为50x -= 【答案】BD 【解析】 【分析】由点(1,2)P 在直线2y x =上，结合截距的定义判断A ；令0x =，得出该直线在y 轴上的截距，从而判断B ；先得出该直线的斜率，从而得出其倾斜角，判断C ；由倾斜角为90︒的直线上的所有点的横坐标都相等，从而判断D.【详解】对A 项，点(1,2)P 在直线2y x =上，且该直线在x ，y 轴截距都为0，则A 错误； 对B 项，令0,2x y ==-，则直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，则B 正确； 对C 项，310x y -+=可化为3333y x =+，则该直线的斜率3tan 3k α==，则倾斜角30︒=α，则C 错误；对D 项，过点(5,4)并且倾斜角为90︒的直线上的所有点的横坐标5x =，则D 正确； 故选：BD【点睛】本题主要考查了斜率与倾斜角的变换关系，直线的截距的性质，属于中档题. 10. 已知直线1l ：0x ay a +-=和直线2l ：()2310ax a y ---=，下列说法正确的是（ ）A. 2l 始终过定点21,33⎛⎫⎪⎝⎭B. 若12l l //，则1a =或-3C. 若12l l ⊥，则0a =或2D. 当0a >时，1l 始终不过第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线化为(2)310a x y y -+-=可判断A ；将1a =或-3代入直线方程可判断B ；根据12120A A B B +=可判断C ；将直线化为11y x a=-+，即可求解. 【详解】2l ：(2)310a x y y -+-=过点21,33⎛⎫⎪⎝⎭，A 正确； 当1a =时，1l ，2l 重合，故B 错误；由1(32)0a a a ⨯+⨯-=，得0a =或2，故C 正确；1l ：11y x a=-+始终过()0,1，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.则（ ）A. CD AN ⊥B. BD PC ⊥C. PB ⊥平面ANMDD. BD 与平面ANMD 所在的角为30° 【答案】CD【解析】【分析】通过反证法证明A ，B 错误，通过线面垂直判定定理证明C 正确，通过作出线面角求得D 正确.【详解】对A ，若CD AN ⊥，又AN AD ⊥，则AN ⊥面ABCD ，与PA ⊥底面ABCD 矛盾，故A 错误；对B ，若BD PC ⊥，则BD ⊥平面PAC ，则BD ⊥AC ，在题中给出的直角梯形ABCD 中，显然不可能，故B 错误；对C ，PB AN ⊥，PB MN ⊥，所以PB ⊥平面ANMD ，故C 正确；对D ，连接DN ，因为PB ⊥平面ADMN ，所以BDN ∠是BD 与平面ADMN 所成的角在Rt BDN ∆中，BN 1sin BDN BD 2∠==，所以BD 与平面ADMN 所成的角为6π，故D 正确； 故选：CD.【点睛】本题考查空间中线线垂直、线面垂直的证明、线面角的求解，考查转化与化归思想、数形结合思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意准确作出线面角，再从三角形中进行求解.12. 如图，在正四棱锥P ABCD —中，1AB =，2PB =，E 是PC 的中点．设棱锥P ABCD —与棱锥—E BCD 的体积分别为12,V V ，PB ，PC 与平面BDE 所成的角分别为α，β，则（ ）A. //PA 平面BDEB. PC ⊥平面BDEC. 12:4:1V V =D. sin :sin 1:2αβ=【答案】ACD【解析】【分析】由三角形中位线可得//PA EG ，进而得出线面平行，//PA 平面BDE ，故A 正确；通过底面积之比和高之比可得四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥-E BDC 的体积的4倍，故C 正确；通过建立空间直角坐标系，经计算可得7sin 8α=，7sin 4β=，故D 正确. 【详解】连结AC ，AC BD G ⋂=，连结EG ，因为E ，G 分别为PC ，AC 的中点，所以//PA EG ，PA ⊄平面BDE ，EG ⊂平面BDE ，所以//PA 平面BDE ，故A 正确；2,1PD CD ==，E 为PC 中点，所以PC 与DE 不垂直，故B 不正确；E 为PC 中点，所以P ABCD -的高为-E BDC 高的2倍，四边形ABCD 的面积是三角形BDC 面积的2倍，所以四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥-E BDC 的体积的4倍，故C 正确；建立如图所示的空间直角坐标系，2(,0,0)2B ，2(,0,0)2-D ，214(0,)44，E ，14(00,)2，P ，214(,0,)22=-PB ，214(0,,)22=-PC ，(2,0,0)=-BD ，2214(,,)244=-BE ，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =200221400244x BD n BE n x y z ⎧-=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎩⎪⎩，令1y =，可得70,7==-x z ，7(0,1,)7=-n 272sin 82227α⋅===⋅⋅PB n PB n ，27sin =42227β⋅==⋅⋅PC n PC n ，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面角、锥体体积等基本立体几何知识，考查了空间想象能力，计算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.三. 填空题（共4小题，每题5分）13. 已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z →=，向量()3,2,1v →=-与平面α平行，则z =______.【答案】3【解析】【分析】根据向量的垂直关系计算即可.【详解】因为直线l 与平面α垂直，()1,3,u z →=为直线l 的一个方向向量，向量()3,2,1v →=-与平面α平行， 所以0u v→→⋅=， 即()()1,3,3,2,13630z z z ⋅-=-+=-=，解得3z =故答案为：3【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标运算，考查了直线的方向向量，属于容易题.14. 过直线240x y -+=和20x y +-=的交点，且过点()2,1-的直线l 的方程为________．【答案】3240x y +-=【解析】【分析】求出直线240x y -+=和20x y +-=的交点为()0,2，由直线l 过()0,2和()2,1-，求出其斜率，进而求得直线的方程即可. 【详解】解：由24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得02x y =⎧⎨=⎩， 所以直线240x y -+=和20x y +-=交点为()0,2. 因为直线l 过()0,2和()2,1-，所以直线l 的斜率123202k --==--. 所以直线l 的点斜式方程为322y x -=-，化为一般式为：3240x y +-=. 故答案为：3240x y +-=. 【点睛】本题主要考查直线的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.15. 若直线l 过点()1,2P 且与点()()1,2,3,0A B -两点距离相等，则直线l 方程为_______．【答案】1x =；240x y +-=.【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论，①直线l 与直线AB 平行，②直线l 经过AB 的中点，分别求出直线l 的方程，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，符合题意的直线l 有2种情况，①直线l 与直线AB 平行，()021312AB k -==---， 则直线l 的斜率12k =-，此时直线l 的方程为12(2)2y x -=--， 变形可得250x y +-=，②直线l 经过AB 的中点，点()()1,2,3,0AB -， 则AB 的中点坐标为()1,1，直线l 又经过点()1,2P ，此时直线l 的方程为1x =；故直线l 的方程为1,350x x y =+-=；故答案为：1x =；240x y +-=【点睛】本题考查了直线的点斜式方程，考查了基本运算求解能力以及分类讨论的思想，属于基础题. 16. 如图，四面体ABCD 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则点P 到平面ABC 的的距离为______；【答案】233【解析】【分析】 由题意可知22AB BC CA ===，可得23ABC S =；设点P 到平面ABC 的距离为h ；又P ABC A PBC V V --=，可得1133ABC PBC h S PA S ⋅⋅=⋅⋅，由此即可求出结果.【详解】∵四面体ABCD 中，,,PA PB PC 两两垂直，且2PA PB PC ===， ∴22AB BC CA ===，所以三角形ABC 的面积为1322222322ABC S =⨯⨯⨯= 设点P 到平面ABC 的距离为h ；又P ABC A PBC V V --=， 所以1133ABC PBC h S PA S ⋅⋅=⋅⋅ 所以1222222323PBC ABC PA S h S ⨯⨯⨯⋅===． 故答案为：233． 【点睛】本题查点到平面的距离的求法，利用等体积法是解题的关键，考查运算求解能力，是中档题． 四. 解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分）17. 三棱柱111ABC A B C -中，M N 、分别是1A B 、11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =.设AB=a ，AC =b ，1AA =c .(1)试用,,a b c 表示向量MN ；(2)若90BAC ∠=，1160BAA CAA ∠=∠=，11AB AC AA ===，求MN 的长.【答案】(1)111 333++a b c . (2)5 3 【解析】【分析】(1)由空间向量的运算法则结合三棱柱的空间结构特征可得111333MN =++a b c . (2)由题意计算可得()25++=a b c ，结合(1)的结论可知1533MN =++=a b c . 【详解】(1)1111MN MA A B B N =++=1111133BA AB B C ++=()()1111133333a -++-=++c a b a a b c . (2)()2222222a b c ++=+++⋅+⋅+⋅a b c a b b c c a=111110*********++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 即5++=a b c ， 所以1533MN =++=a b c . 【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，空间向量模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18. 已知三点()()()0,2,32,1,61,1,5A B C --，，（1）求以AB AC ，为邻边的平行四边形面积 （2）求平面ABC 一个法向量 （3）若向量a 分别与AB ，AC 垂直，且||3a =求a 的坐标. 【答案】（1）73ABCDS =；（2）(1,1,1)；（3）(1,1,1)a =±.【解析】【分析】（1）求出向量(2,1,3)AB =--，(1,3,2)AC =-，利用空间向量的数量积求出向量的夹角，再利用三角形的面积公式即可平行四边形面积.（2）设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，根据法向量与平面内的向量的数量积等于零即可求解. （3）由题意可得//a n ，根据向量共线的坐标表示即可求出a .【详解】解：（1）(2,1,3)AB =--，(1,3,2)AC =-，71cos , 21414AB AC AB AC AB AC ⋅<>===⨯， 3sin ,1414732ABCD S AB AC AB AC =〈〉=⨯⨯=. （2）设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得230320x y z x y z --+=⎧⎨-+=⎩， 取(1,1,1)n =. （3）∵a AB ⊥，a AC ⊥， ∴//a n ，设(1,1,1)a λ=， ∵||3a =，解得1λ=±，∴(1,1,1)a =±.【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量数量积的坐标表示、法向量的求法、空间向量的共线定理，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.19. 已知直线l 过点(1,2)P -．（1）若直线l 在两坐标轴上截距和为零，求l 方程；（2）设直线l 的斜率0k >，直线l 与两坐标轴交点分别为A 、B ，求AOB ∆面积最小值．【答案】（1）20x y += 或30x y -+=；（2）4.【解析】【分析】（1）由题意利用点斜式设出直线的方程，求出斜率k 的值，可得结论．（2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得AOB 面积最小值．【详解】解：（1）直线l 过点(1,2)P -，若直线l 在两坐标轴上截距和为零，设直线l 的方程为2(1)y k x -=+，即20kx y k -++=．则它在两坐标轴上截距分别为21k-- 和2k +， 由题意，2120k k--++=，2k ∴=- 或1k =， 直线l 的方程为20x y += 或30x y -+=．（2）设直线l 的斜率0k >，则直线:20l kx y k -+-=与两坐标轴交点分别为2(1A k --，0)、(B 0，2)k +， 求AOB 面积为212(2)221222?242222k k k S k k k k k-+=-⋅+==+++=， 当且仅当2k=时，等号成立， 故AOB 面积最小值为4．【点睛】本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线在坐标轴上的截距，基本不等式的应用，属于中档题． 20. 一条光线从点()6,4P 射出，与x 轴相交于点()2,0Q ，经x 轴反射后与y 轴交于点H .（1）求反射光线QH 的方程；（2）求三角形PQH 的面积.【答案】（1）2y x =-+，其中(],2x ∈-∞；（2）8.【解析】【分析】（1）直接利用点关于线的对称，求出对称的点的坐标，再利用反射定理，求出直线的方程；（2）首先根据（1）中直线方程求出点H 的坐标，求出三角形的边长，再利用三角形的面积公式求出结果.【详解】（1）如图所示，作点()6,4P 关于轴的对称点的坐标()6,4P -，则反射光线所在直线过点P '和Q ，所以40162P Q k '--==--， 所以直线P Q '的直线方程为()2y x =--.所以反射光线的QH 的直线方程为2y x =-+，其中(],2x ∈-∞.（2）由（1）得知()0,2H，1PQ QH k k ⋅=-，所以PQ QH ⊥， 所以()()22200222QH =-+-=， ()()22624042PQ =-+-=，所以.112242822PQH S PQ QH =⨯=⨯⨯=△. 【点睛】本题主要考查了点关于直线对称、求直线方程、三角形面积问题.21. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，3AB AC AD ===，4PA CD ==，E为线段AB 上一点，2AE EB =，M 为PC 的中点.（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）8525. 【解析】【分析】（1）取PD 中点N ，连接AN ，MN ，证明//EM AN ，再证得//EM 平面PAD ；（2）连接PE ，先证CE AB ⊥，证得CE ⊥面PAB ，再作⊥AF PE 交PE 于F ，连接MF ，证得AF⊥面PEC ，则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角，再求出AMF ∠的正弦值.【详解】（1）证明：取PD 中点N ，连接AN ，MN ，因为M 为PC 的中点，所以//MN CD 且12MN CD =， 又223AE AB ==，4CD =，且//AB CD ，则//MN AE ，且MN AE =， 所以四边形AEMN 为平行四边形，则//EM AN ．又因为EM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，所以//EM 平面PAD ．（2）解：在ACD △中，22291692cos 22343AC CD AD ACD AC CD +-+-∠===⋅⨯⨯， 因为//AB CD ，所以2cos 3BAC∠=， 在ACE △中，22222cos 4922353CE AE AC AE AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 由222AE CE AC +=，知CE AB ⊥． 因PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，所以CE PA ⊥，又PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ． 在平面PAB 内，过点A 作⊥AFPE ，交PE 于F ，连接FM ， 则CE AF ⊥，又PE CE E =，CE ⊂平面PCE ，PE ⊂平面PCE ， 所以AF ⊥平面PCE ，所以FM 是AM 在平面PCE 内的射影，则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角． 在Rt PAC △中，M 为PC 的中点，所以22115222AM PC PA AC ==+=， 在Rt PAE 中，由PA AE PE AF ⋅=⋅，得224245542PA AE AF PE ⋅⨯===+， 所以85sin 25AF AMF AM ∠==，所以直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值为8525． 【点睛】本题考查了线面平行的判定，以及几何法求空间角，结合考查了余弦定理，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，运算能力，属于中档题.22. 如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．(3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（I ）见解析（II ）53131（III ）2BP = 【解析】【分析】试题分析：（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面ABE 的法向量()3,0,1n =，且()1,2,3DF =-，据此有0DF n ⋅=，则//DF 平面ABE ． （Ⅱ）由题意可得平面BEF 的法向量()23,3,4m =，结合(Ⅰ)的结论可得531cos 31m n m n θ⋅==⋅，即平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为53131． （Ⅲ）设(),2,3DP DF λλλλ==-，[]0,1λ∈，则()1,22,3BP λλλ=---，而平面ABE 法向量()3,0,1n =，据此可得3sin cos ,4BP n θ==，解方程有12λ=或14λ=．据此计算可得2BP =．试题解析：（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,0,3E ，()1,2,3F -，∴()1,2,3BE =--，()0,2,0AB =，设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，∴230,20,x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设()3,0,1n =，又()1,2,3DF =-， ∴330DF n ⋅=-+=，∴DFn ⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴//DF 平面ABE ． （Ⅱ）∵()1,2,3BE =--，()2,0,3BF =-，设平面BEF 的法向量(),,m x y z =， ∴230,230,x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设()23,3,4m =，∴10531cos 31231m n m n θ⋅===⋅⋅， ∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为53131． （Ⅲ）设()1,2,3DP DFλλ==- (),2,3λλλ=-，[]0,1λ∈，∴(),2,3P λλλ-， ∴()1,22,3BP λλλ=---，又∵平面ABE 的法向量()3,0,1n =， ∴()()2223333sin cos ,421223BP n λλθλλλ--+===++-+，∴28610λλ-+=，∴12λ=或14λ=． 当12λ=时，33,1,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =；当14λ=时，533,,424BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =． 综上，2BP =．。
山东郓城一中2010—2011学年第一学期高二数学选修1-1综合测试题
1
1
1
1
A. 2
B.4
C. 6
D. 8
12.已知 P 为抛物线 y2=4x上的任意一点，记点 P 到 y 轴的距离为 d，对于给定点 A(4，5)，则|PA|+d的最
小值为（ ）
1
A. 34
B. 34-1
C. 34-2
D. 34-4
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16分，把正确答案填在题中横线上)
f(x)的图象与
y
轴的交点为(0，-
1 )，2 过此点的切线斜率
k=f
(0' )=-
3 4．
13
31
∴直线方程为 y+2=-4x ，即 4x+y+2 =0 ．
2
1
1 2 11
直线与 x 轴、 y 轴的交点为(- ，3 0)∪(0，- ) 2．∴S= 2 × 3 × 2 = 6 .
本题考查导数几何意义的应用．
q：x
51 2－6x+6＞0
1 x＞2
或
1 x＜3
．
所以 p⇒q，q⇏p，所以，p 是 q 的充分而不必要条件．故选 A．
本题考查充要条件的判断．
11. 答：C 提示：函数 f(x)的定义域为{x|x≠2}，f (x)'=
ex(x ‒ 2) ‒ ex ex(x ‒ 3) (x ‒ 2)2 = (x ‒ 2)2 ．
4，则实数 a 的值是
．
三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
x2 y2
17.
（12分）椭圆
+
=1的左、右焦点分别为 F 和 F ，过中心 O 作直线与椭圆交于 A、B 两点，若△
2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城高二上学期期末数学试题一、单选题1．设等差数列的前n 项和为，若，，成等差数列，且，则的公差{}n a n S 2S 3S 5S 110a ={}n a （ ）d =A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】D【分析】根据等差数列的求和公式及等差中项化简求值即可.【详解】，，成等差数列，且，2S 3S 5S 110a =，3252S S S ∴=+，3221542310210510222d d d ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝∴⎭⎭解得．2d =-故选：D ．2．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的(1,2,3)A (3,2,1)C (4,3,0)D AB CD 位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直【答案】B 【详解】因为，，，，所以,,可()1,2,3A ()2,1,6B --()3,2,1C ()4,3,0D (3,3,3),(1,1,1)AB CD =--=-得，所以，线与的位置关系是平行，故选B ．3AB CD =- AB CD ∥AB CD 3．已知直线与平行，则实数a 的值为1:(2)20l ax a y +++=2:10l x ay ++=A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．－1【答案】D【分析】根据两直线平行，列方程，求的a 的值.【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a 2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D【点睛】对于直线1111222200l A x B y C l A x B y C ++=++=：，：，若直线12122112211221000l l A B A B A C A C B C B C ⇔-=-≠-≠ 且（或）；4．设AB 是椭圆（）的长轴，若把AB 一百等分，过每个分点作AB 的垂线，22221x y a b +=0a b >>交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则的值是（ ）111121991||||||||||F A F P F P F P F B +++++ A ．B ．C ．D ．98a 99a100a101a【答案】D【分析】根据椭圆的定义，写出，可求出的和，又根据关12||||2i i F P F P a +=1112199||||||F P F P F P 、、、于纵轴成对称分布，得到结果．【详解】设椭圆右焦点为F 2，由椭圆的定义知，2，，，12||||2(1i i F P F P a i +==⋯99)．∴99121(||||)299198iii F P F P a a=+=⨯=∑由题意知，，，关于轴成对称分布，1P 2P⋯99P y ．∴9999112111(||)(||||)992i i i i i F P F P F P a ===+=∑∑又，11||||2F A F B a += 故所求的值为．101a 故选：D ．5．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦(0,2,1),(2,0,4)a b =--=值等于（ ）A ．B ．C ．D 25-25【答案】B【分析】利用数量积公式求异面直线的夹角的余弦值即可.【详解】因为，所以.4,|||a b a b ⋅=-==42cos cos ,105||||a b a b a b θ⋅-====故选：B【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于基础题.6．在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（ ）{}n a 212a =418a =A ．B ．C ．D ．8122-9122-10122-11122-【答案】B【分析】根据已知求出首项和公比，即可利用求和公式求出.【详解】设等比数列的公比为，q∵，∴，∵，∴.422a a q =21182q =⨯0q >12q =∵，∴，∴.21a a q =11a =()1010110911112211212a q S q ⎛⎫- ⎪-⎝⎭===---故选：B.7．已知数列满足，且对任意都有，则的{}n a 2123...=2n n a a a a ⋅⋅⋅⋅*()n N ∈*n ∈N 12111...n ta a a +++<t 取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】由，得，两式相除可得，从而可得数列2123...=2n n a a a a ⋅⋅⋅⋅2(1)12312n n a a a a --⋯=212n n a -= 为等比数列，首项为 ，公比为，进而可求出的值，可得答案1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭121412111...n a a a +++【详解】∵数列 满足，{}n a 2123(2*)nn a a a a n N ⋯=∈ 时， 时， ，可得 .1n ∴=122a n =≥；2(1)12312n n a a a a --⋯=212n na -= ，数列 为等比数列，首项为 ，公比为 .21112n n a -∴=1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1214.1211(1)11121224(1)134314n nn a a a -∴++⋯+==-<-∵对任意 都有，则 的取值范围为 N*n ∈12111...n t a a a +++<t 2[)3+∞，．故选：D.【点睛】此题考查等比数列的前项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题n8．设椭圆C ：的左、右焦点分别为、，P 是C 上的点，⊥，22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 2PF 1F 2F ∠=，则C 的离心率为12PF F 30 AB ．C ．D1312【答案】D【详解】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m，|F 1F 2|m ，故离心率e ＝D.121222F F c a PF PF ===+点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等,,a b c 式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用,,a b c b ,a c ,,a b c 椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9．已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果，，()2,1,4AB =--()4,2,0AD =，则下列结论中错误的是（ ）()1,2,1AP =--A ．B ．AP AB ⊥⊥ AP AD C ．是平面ABCD 的法向量D ．AP AP//BD【答案】D【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可.【详解】因为，所以，故A 正确；2240AB AP ⋅=--+=AB AP ⊥ 因为，所以，故B 正确；4400AP AD ⋅=-++= ⊥AP AD 由A ，B 知，C 正确；与不平行，故D 错误．()2,3,4BD AD AB =-=()1,2,1AP =--故选：D.二、多选题10．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）2:0l ax by r +-=222:C x y r +=(,)A a bA ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线222,a b r +与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l 的距离()0,0C d =若点在圆C 上，则，所以(),A a b 222a b r +=d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点在圆C 内，则，所以(),A a b 222a b r +<d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点在圆C 外，则，所以(),A a b 222a b r +>d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点在直线l 上，则即，(),A a b 2220a b r +-=222=a b r +所以l 与圆C 相切，故D 正确.d =故选：ABD.11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线从点射入，经过抛物线上的24y x =1l ()3,1M 点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是()11,P x y ()22,Q x y 2l （ ）A ．B ．121=x x 43PQ k =-C ．D ．与之间的距离为4254PQ =1l 2l 【答案】ABC【分析】由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项PQ F 2124p x x =A ；点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率P M 1l P 2124p x x =Q 公式即可判断选项B ；根据抛物线的定义可知，，可判断选项C ；12||PQ x x p =++由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D ．1l 2l 1l 2l 12||d y y =-【详解】如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A 正确；PQ (1,0)F ∴21214p x x ==由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，P (1,14)Q (4,4)-，即选项B 正确；∴4141344PQ k --==--由抛物线的定义可知，，即选项C 正确；12125||4244PQ x x p =++=++=与平行，1l 2l 与之间的距离，即选项D 错误；1l ∴2l 12||5d y y =-=故选：ABC【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题．12．素数（大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数，否则称为合数）在密码学、生物学、金融学等方面应用十分广泛.1934年，一个来自东印度（现孟加拉国）的学者森德拉姆发现了以下以他的名字命名的“森德拉姆素数筛选数阵”，这个成就使他青史留名．4710131619 (7)1217222732…101724313845…132231404958…162738496071…193245587184……………………该数阵的特点是每行、每列的数均成等差数列，如果正整数n 出现在数阵中，则一定是合数，21n +反之如果正整数n 不在数阵中，则一定是素数，下面结论中正确的是（ ）A ．第4行第921n +列的数为80；B ．第6行的数公差为13；C ．592不会出现在此数阵中；D ．第10列中前10行的数之和为1255．【答案】BD【分析】依次判断选项正误即可.【详解】对于A ，第四行是以为首项，公差为9的等差数列，则第九列数为：13，故A 错误；138985+⨯=对于B ，由题第六行为等差数列，又，故B 正确；1221193213，a a d a a ==⇒=-=对于C ，若592不在数阵中，则一定是素数，但为合数，故C 错误.25921´+259211185⨯+=对于D ，由题可得第10列第1行为，第10列第2行，49331+⨯=79552+⨯=则第10列为以为首项，公差为的等差数列，则第10列中前10行的数之和为3121，故D 正确.10910312112552⨯⨯+⨯=故选：BD三、填空题13．过点且倾斜角是直线：的倾斜角的两倍的直线的方程为______．()2,1P l 1y x =-【答案】2x =【分析】求出直线的倾斜角，进而可得出所求直线的方程.【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，l 1l 45所以所求直线的倾斜角为，又过点，90()2,1P所以所求直线的方程为．2x =故答案为：2x =14．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.{}n a {}n b n n S n T 731n n S n T n -=+55a b =【答案】6【分析】利用等差数列前项和的性质，将项的比转化为和的比值.n 【详解】由已知得，，()()2112121212n n n n S a a n a ---=+=-()()2211121212n n n n b b T n b ---=+=-令n =5，则，，959S a =959T b =所以，5959793691a S b T ⨯-===+故答案为：6.15．在长方体中，，，点E 为AB 的中点，则点B 到平面1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =的距离为________．1D EC【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用即可D 1D EC n EB d n⋅=求解.【详解】∵在长方体 中,,，1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =点为的中点，E AB 以为原点，建立空间直角坐标系，如图：D ∴, ,,，(1,2,0)B (0,2,0)C (1,1,0)E 1(0,0,1)D即，，()1,1,0EC =-()10,2,1D C =-()0,1,0EB =设平面的法向量，1D EC (,,)n x y z =则，即，100n EC n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 020x y y z -+=⎧⎨-=⎩令，则，所以1y =1,2x z ==(1,1,2)n =∴点 到平面的距离：B 1D ECn EB d n ⋅===四、双空题16．已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M22221(0)x y M a b a b +=>>：22221x y N m n -=：的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．【答案】21【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N 的22,m n离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得c ，解得椭圆M的离心率.2c a =【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以c 2c a =椭圆M的离心率为 1.c a ==双曲线N 的渐近线方程为，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为ny xm =±，222ππtan 333n m ∴==，222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，；．12［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为，椭圆22221x y m n -=n y x m =22221x y a b +=()00,A x y 的右焦点为．由题可知，为正六边形相邻的两个顶点，所以（O 为坐标原2(,0)F c 2,A F 260AOF ∠=︒点）．所以．因此双曲线的离心率．tan 60n m ︒==2e ===由与联立解得．n y x m =22221x y a b +=A因为是正三角形，所以．2AOF △||OA c =c =将代入上式，化简、整理得，即，解得222,n b a c ==-4224480a a c c -+=42840e e -+=，（舍去）．1e =1e =，双曲线的离心率为2．1；．12［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形由条件知双曲线N 在第一、三象限的渐近线方程为，于是双曲线N 的离心率为y =．2=设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为A ，椭圆的左、右焦点分22221x y m n -=22221x y a b +=别为．在中，．12,F F 12AF F △122112,,632AF F AF F F AF πππ∠=∠=∠=由正弦定理得．1212211212sin sin sin AF AF F F AF F AF F F AF ==∠∠∠于是．1212211212sin sin sin AF AF F F AF F AF F F AF +=∠+∠∠即椭圆的离心率．sin 2212sin sin 63c e a πππ===-+；．12【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂；方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．五、解答题17．已知等比数列的前项和为，且，.{}n a n n S 1310a a +=2420a a +=(1)求的通项公式；{}n a (2)求.1212nn S S S a a a ++⋅⋅⋅+【答案】(1)2n n a =(2)11222n n --+【分析】（1）设的公比为，根据题意求得的值，即可求得的通项公式；{}n a q 1,a q {}n a （2）由（1）求得，得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.122n n S +=-1122n n nS a -=-【详解】（1）解：设的公比为，{}n a q 因为，，则，1310a a +=2420a a +=42312a a q a a +==+又因为，解得，1311410a a a a +=+=12a =所以的通项公式为.{}n a 1222n n n a -=⨯=（2）解：由，可得，2n n a =11222212n n n S ++-==--则，11221222n n n n n S a +--==-所以.1211211122221212n n n n S S S n n a a a --++⋅⋅⋅+=-=-+-18．如图，在三棱锥中，为的中点.-PABC ,2,AB BC AB BC PA PB PC O ⊥=====AC (1)证明：平面；AC ⊥PBO (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值.M BC M PA C --【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）先证明和，再利用线面垂直的判定定理证明出平面；PO AC ⊥AC OB ⊥AC ⊥PBO （2）以为轴､轴､z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.,,OB OC OP x y 【详解】（1）为的中点，.,PA PC O = AC PO AC ∴⊥为的中点，.,= AB BC O AC AC OB ∴⊥平面，平面，,,,PO AC AC OB OB PO O OB ⊥⊥⋂=⊂ PBO PO ⊂PBO 平面.AC ∴⊥PBO（2）为的中点，,2,AB BC AB BC PAPB PC ⊥===== O AC AC =.222,BO PO PO OB PB PO OB ∴==∴+=∴⊥又平面，,,,AC OB AC PO O AC PO ⊥⋂=⊂ PAC 平面.OB ∴⊥PAC 分别以为轴､轴､z 轴建立空间直角坐标系，如图.,,OB OC OP x y所以,,,,,()0,0,0O ()0,A )B ()C (P.M⎫⎪⎪⎭所以.(,0,AM PA ⎫==⎪⎪⎭ 记为平面的法向量，(),,n x y z = AMP 则，即，不妨令，则0 0n AMn PA ⎧⋅=⎨⋅=⎩y =⎪=⎩1z =().n = 而平面的法向量，APC ()1,0,0m = 易知二面角的平面角为锐角记为，则M PA C --θ.cos cos ,n m n m n m θθ⋅=====⋅19．某海面上有三个小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东45°方向处，,,O A B AO km 岛在岛的正东方向处．以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位B O 10km O O x 1km长度，建立平面直角坐标系，如图所示．(1)试写出的坐标，并求两岛之间的距离；,A B ,A B (2)已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船在岛的南偏西30°方向距,,O A B M O 岛处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？O 20km 【答案】(1)，(20,20),(10,0)AB (2)有触礁的危险【分析】（1）根据坐标的表示方法和两点间的距离公式求解；（2）利用点和直线的位置关系即可判断.【详解】（1）在的北偏东45°方向，在的正东方向AO km B O 10km.，(20,20),(10,0)A B ∴由两点间的距离公式知．||AB ==（2）设过三点的圆的方程为．,,O A B 220x y Dx Ey F ++++=将代入上式，得(0,0),(20,20),(10,0)O A B ，解得．222020202020010100F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩10300D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩圆的方程为，∴2210300x y x y +--=则该圆的圆心为，半径．()5,15r =设船起初所在的点为，则，M (10,M --又该船航线所在直线的斜率为1，该船航线所在的直线方程为．∴100x y -+-=圆心到此直线的距离．∴d <若不改变方向，该船有触礁的危险．．∴20．已知数列满足，且.{}n a ()*2144n n n a a a n N ++=-∈124,12a a ==(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；{}12n n a a +-{}n a (2)在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并1n n n b a a +=-2log n n a b n =21n n n n a b a a ++=加以解答.已知数列满足__________，求的前项和.（如果选择多个条件分别解答，按第{}n b {}n b n n T 一个解答计分）【答案】(1)证明见解析，()12nn a n =+⋅(2)答案见解析【分析】（1）利用递推公式，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可；（2）若选①：利用错位相减法进行求解即可；若选②：根据对数的运算性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可；n 若选③：根据裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）因为，2144n n n a a a ++=-所以，又，于是，()211222n n n n a a a a +++-=-124,12a a ==2124a a -=所以是以4为首项2为公比的等比数列.{}12n n a a +-所以，两边除以得，.1122n n n a a ++-=12n +11122n n n n a a ++-=又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.122a =2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，即.12n n a n =+()12n n a n =+⋅（2）若选①：，即.1n n n b a a +=-()()()1221232n n n n b n n n +=+⋅-+⋅=+⋅因为，()12342526232n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ 所以.()2341242526232n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ 两式相减得，()()12314222232n n n T n +-=⨯++++-+⨯ ，()()()11142183222421n n n n n -++⨯-=+-+⨯=-+⨯+-所以.()1224n n T n +=+⨯-若选②：，即.2log n n a b n =22211log log 2log n n n n b n n n ++=+=+所以()222231log log log 1212n n T n n +⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭ ()21231log 122n n n n ++⎛⎫=⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭()()21log 12n n n +=++若选③：，即.21n n n n a b a a ++=11144114n n n n n n n a a b a a a a +++⎛⎫-==- ⎪⎝⎭所以12231111111444n n n T a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()111111111441.42222n n n a a n n +-+⎡⎤⎛⎫=-=-=-⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦21．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记．CM BN a ==(0a<<（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）当MN 的长最小时求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2）；（3）||MN =a =||MN 13【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，B BA BE BC x y z 求得、、、、、的坐标．A C F E M N （1）直接由两点间的距离公式可得；||MN （2）把（1）中求得利用配方法求最值；||MN （3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接M N MN M N MN G ，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，AG BG G AG BG AGB ∠MNA MNB 再由与的夹角求解．GA GB 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，， ， ，()1,0,0A ()0,0,1C ()1,1,0F ()0,1,0E，， ．CM BN a == M ∴N ⎫⎪⎭（1）||MN ==（2），||MN ==当；a =||MN （3）由（2）可知，当，为中点时，最短，M N MN 则，0，，，，，取的中点，连接，，1(2M 1)21(2N 120)MN G AG BG 则，，，1(2G 141)4，，，，AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥是平面与平面的夹角或其补角．AGB ∴∠MNA MNB ，， 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 111(,,244GB =---．·1cos ,3·GA GB GA GB GA GB ∴===- 平面与平面夹角的余弦值是．∴MNA MNB 1322．双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.()22:10,0C ax by a b -=>>1y =（1）求双曲线的方程；C （2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；C D E 、OD OE 12211OE OD + （3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是(),0P t t ⎛> ⎝m C ,M N m ，是否存在直线（其中恒成立？（其中2,,,233πππθθ⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭00:l x x =0x <M N PM d d PN =分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.,M N d d,M N 0l 0x 【答案】（1）；（2）8；（3）存在且221241x y -=0112x t=【详解】分析：（1）根据题意，双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.易求求双曲C 1y =线的方程；C （2）设直线的斜率，显然OD k k ≠联立得，求出，，可证；221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩221124D x k =-2OD 2OE 22118OD OE +=（3）设直线方程(),y m x t m =-≠联立，（*），()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩()()222221248410m x m tx m t -+-+=∵，方程总有两个解，t >设，得到，()()112212,,,,M x y N x y x t x <<1212,x x x x +根据得，整理得，由M N d d 101202x x t x x x x t --=--112x t =t >0112x t =<在直线．详解：（1）双曲线；22:1241C x y -=（2）设直线的斜率，显然OD k k ≠联立得，221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩221124D x k =-，()2222211124D k OD OD k x k +==+=- ，222221*********k k OE k k ++==-- ；22222211124124811k k k k OD OE --+=+=++ （3）设直线方程(),y m x t m =-≠联立，（*），()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩()()222221248410m x m tx m t -+-+=∵，方程总有两个解，t >设，()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，()222121222418,124124m t m t x x x x m m -+-+==--根据得，M N PM d d PN =101202x x t x x x x t --=--整理得，2222222841211241248122124m t m t t m m x m t t t m -+⋅+⨯--==+-∵t>∴符合题目要求，存在直线．0112x t =<=点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题.。
郓城一中高二期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是：A. 一个开口向上的抛物线B. 一个开口向下的抛物线C. 一条直线D. 一条水平直线2. 下列命题中，正确的是：A. 函数y = x^3是奇函数B. 函数y = x^2是偶函数C. 函数y = x是奇函数D. 函数y = x是偶函数3. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an的表达式是：A. an = a1 + (n-1)dB. an = a1 - (n-1)dC. an = a1 + ndD. an = a1 - nd4. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=60°，则∠C的度数是：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°5. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第n项bn的表达式是：A. bn = b1 q^(n-1)B. bn = b1 / q^(n-1)C. bn = b1 q^(n+1)D. bn = b1 / q^(n+1)6. 下列不等式中，正确的是：A. 2x > x + 1B. 2x < x + 1C. 2x ≥ x + 1D. 2x ≤ x + 17. 若复数z = a + bi（a，b∈R），则|z|的值是：A. a^2 + b^2B. a^2 - b^2C. abD. a - b8. 下列函数中，定义域为全体实数的是：A. y = √(x^2 - 1)B. y = 1 / (x - 1)C. y = log2(x)D. y = x^39. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[0, 2]上单调递增，则f(1)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a2 + a3 = 6，则a4的值是：A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（每题5分，共50分）11. 若复数z = 3 + 4i，则|z| = ________.12. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1时的导数值为 ________.13. 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1 + a2 + a3 = 9，a1 a2a3 = 27，则q = ________.14. 在△ABC中，若∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，则AB的长度是_______.15. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值是_______.16. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 + a4 = 20，则a2 = ________.17. 若复数z = 1 - 2i，则z的共轭复数是_______.18. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x在x=0时的二阶导数值为_______.三、解答题（每题20分，共80分）19. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。
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山东省郓城一中2011-2012学年高二上学期模块考试数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 不等式（1－x ）（3+x ）>0的解集是
A. (－3,1) B (－∞,－3)∪(1,+∞)
C. (－1,3)
D. (－∞,－1)∪(3,+∞)
2. 已知数列}{n a 的通项公式是n
a n
n )1(3-+=：，则32a a +的值为 A . 2 B . 3
2 C . 35 D . 38 3. 如果实数b a >，则下列各式正确的是 A ．22b a > B. 33b a > C.
b a 11< D. ab a >2 4. 在△ABC 中，已知045,2,2===A b a ,则B 等于
A. 30°
B. 60°
C. 30°或150°
D. 60°或120° 5. 已知数列}{n a 的通项公式是11+-=
n n a n ，那么这个数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列
6.已知实数y x b a <<,，且0))((,0))((>--<--b y a y b x a x ,则下列关系式正确的是
A.b y x a <<<
B. y b x a <<<
C. b y a x <<<
D. b a y x <<<
7. 已知实数2,=+b a ab ，则b
a 33+的最小值是 A. 18 B. 6 C. 23 D.243 8.在线性约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤--≥-o y x y x y x 20630下,目标函数y x z +=2的最小值是.
A. 9
B. 2
C. 3
D. 4
9.等比数列}{n a 的前n 项的和为n S ，若321,2,4a a a 成等差数列，则
44a S 的值是 A.
167 B. 1615 C .87 D. 815
10. 设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4y
)的最小值为（ ）
A ．15
B ．12
C ．9
D ．6 11. 在∆ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则角C 为 （ ）
（A ）600 （B ） 450或1350
（C ）1200 （D ）300
12.已知等差数列数列}{n a 前n 的和为S n,,,若20101-=a ， 22007
200920072009=-S S ，则 2011S 的值是 A ． 2009
B. 2010 C ．0 D ．2010×2011
第Ⅱ卷（共90分）
二.填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卷的相应位置） 13.不等式01>-
x
x 的解集是 14.在三角形ＡＢＣ中，若31cos ,3==A a ，则bc 的最大值是 . 15.关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 的解集是Ｒ，则实数a 的取值范围是 .
16.已知等差数列}{n a 的首项1a 及公差d 都是整数，且前n 项和为n S ，若
9,3,1341≤>>S a a ，则数列}{n a 的通项公式是 ________.
三.解答题:（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知数列}{n a 是等比数列，首项16,241==a a .
（1）求数列}{n a 的通项公式
（2）若数列}{n b 是等差数列，且5533,a b a b ==求数列}{n b 的通项公式及前n 项和n S .
18.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，已知5
4cos ,5,6-
===A b a （1）求角B 的大小
（2）求三角形ABC 的面积。
19.（本小题满分12分） （1）求函数112)(-+
=x x x f (1>x )的值域。
（2）已知12,0,0=+>>y x y x ，求证：2
2311+≥+y x
20.（本小题满分12分）
已知A,B 是海面上位于东西方向(B 在A 东)相距5（3+3）海里的两个观测点，现位于A 点北偏东450，B 点北偏西600的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 的南偏西600且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里／小时，该救援船到达D 点需要多长时间？
21.（本小题满分12分）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0．
22.（本小题满分14分）
等比数列}{n a 的前n 项和n S ，且12+=+n n a S
（1）求数列}{n a 的通项公式
（2）求数列})12{(n a n -的前n 项的和n S .
山东省郓城一中2011-2012学年高二上学期模块考试
数学参考答案
18
(1) ∵5
3sin 54cos =
∴-=A A 由正弦定理 2
1sin sin ,sin sin ==∴=a A b B b b A a 又b a > ∴B 为锐角 B=300 ……4分 （2）
1043330sin cos 30cos sin )
30sin()A sin(sin 0
00-=+=+=+=A A A B C ……8分 ∴2
1239sin 21-==∆A ab S ABC ……12分 19解：（1）当1x >时，10x ->
，则
1()2(1)221f x x x =-++≥+-分 当且仅当
12(1)1x x -=
-且1x >
，即12x =+时，取“=”号 …………6分
（2）
21,0,0
11112()(2)33x y x y x y x y x y x y y x +=>>∴+=++=++≥+ ………………10分 当且仅当2120,0x y x y y x x y ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪>>⎩
即112x y =-=时，取“=”号. ………12分
20.以题意知AB=5（3+3）
所需时间130
30==t 答：救援船到达D 点需要1小时。
……12分
21：解：
①当a ＝0时，不等式的解为x ＞1；当a ≠0时，分解因式a (x －a
1)(x －1)＜0……2分 ②当a ＜0时，原不等式等价于(x －a 1)(x －1)＞0，不等式的解为x ＞1或x ＜a
1；……4分 ③当0＜a ＜1时，1＜a 1，不等式的解为1＜x ＜a
1； ……7分 ④当a ＞1时，a 1＜1，不等式的解为a
1＜x ＜1； ……10分 ⑤当a ＝1时，不等式的解为ф 。
……12分
22.解：由已知：当1=n 时，212a a =+ ①
当2=n 时，3212a a a =++ ②
②－①得232a a = 所以公比2=q 且122a a = ③ ……2分 ③代人①解得21=a ……4分 所以n n n a 2221=⋅=- ……6分
（2） n n n T 2)12(25232132⨯-++⨯+⨯+⨯= ① 同乘公比2得 14322)12(2523212+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n T ②……8分 ①－②得
1
111
4322)32(62)12()12(822)12(222222222)21(++-+⨯---=⨯---+=⨯--⨯++⨯+⨯+⨯+=-n n n n n n n n n T
……12分
∴ 12)32(6+⨯-+=n n n T ……14分。