【2019最新】高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系知识导学案新人教B版必修2
【K12教育学习资料】高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.2空间中的平行关系优化训练新人教B版
1.2.2 空间中的平行关系5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.能保证直线a与平面α平行的条件是( )A.aα,b⊆α,a∥bB.b⊆α,a∥bC.b⊂α,c⊂α,a∥cD.b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD解析：由直线与平面平行的判定定理可知，注意区别D的说法，我们可以使得AB与平面相交，而且A、C两点分居平面的两侧，但满足AC=BD.答案：A2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么直线a、b的位置关系是( )A.垂直B.平行C.异面D.不相交解析：直线a、b可以是平面α、β内的任意两条直线，它们可以平行，也可以异面，即只能判断出它们是不相交的，选D.答案：D3.过平面外一点可以作_____________条直线与已知平面平行；过平面外一点可以作_____________平面与已知平面平行.解析：过平面外一点，可以作无数条直线与已知平面平行，但过平面外一点，只可以作一个平面与已知平面平行答案：无数一个4.已知a、b是异面直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,a∥β,b∥α,则平面α与平面β的位置关系是.解析：若αβ,则α∩β=c.∵a∥β,α∩β=c,∴a∥c.同理b∥α,α∩β=c,∴b∥c.∴a∥b,与a、b是异面直线矛盾.∴α∥β.答案：α∥β10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线解析：由于α∥β，a⊂α，B∈β，所以由直线a与点B确定一个平面，这个平面与这两个平行平面分别相交，并且这两条交线平行，选D.答案：D2.下列说法中,错误的是( )A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交解析：平行于同一直线的两个平面有可能相交.正方体ABCD—A1B1C1D1中,平面ABCD与A1ABB1都与CD平行，但平面ABCD与A1ABB1相交.答案：A3.已知α∥β，O是两平面外一点，过O作三条直线和平面α交于不在同一直线上的A、B、C三点，和平面β交于A′、B′、C′三点，则△ABC与△A′B′C′的关系是_____________，若AB=a ，A′B′=b，B′C′=c，则BC 的长是_____________.解析：已知α∥β，则AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，∴△ABC 与△A′B′C′相似，对应边成比例，相似比为b a ，有c BC b a =，解得BC=b ac . 答案：相似 bac 4.如图1-2-2-1,A 是平面BCD 外的一点,G 、H 分别是△ABC、△ACD 的重心.求证：GH∥BD.图1-2-2-1证明：连结AG 、AH,分别交BC 、CD 于M 、N,连结MN,∵G、H 分别是△ABC、△ACD 的重心,∴M、N 分别是BC 、CD 的中点.∴MN∥BD. 又∵32==AN AH AM AG , ∴GH∥MN.由公理4知GH∥BD.5.如图1-2-2-2，在三棱锥P —ABC 中，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，求证:OD∥平面PAB.图1-2-2-2证明：∵点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，∴OD∥AP. 又∵OD 平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，∴OD∥平面PAB.6.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 、N 分别是AB 、CC 1、AA 1、C 1D 1的中点，求证：平面CEM∥平面BFN.证明：如图，取A 1B 1中点G ，连结GE 、A 1N 、A 1B.因为NF∥A 1B ，所以A 1、N 、F 、B 共面，且NF∥ME.又GE∥CC 1且GE=CC 1，所以C 1G∥EC.同理A 1N∥C 1G ，所以A 1N∥EC.所以平面CEM∥平面BFN.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.已知a、b、c是三条不重合的直线,α、β、γ是三个不重合的平面,下面六个命题：①a∥c,b∥c⇒a∥b;②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;③c∥α,c∥β⇒α∥β;④γ∥α,β∥α⇒β∥γ;⑤a∥c,α∥c⇒a∥α;⑥a∥γ,α∥γ⇒a∥α.其中正确的命题是( )A.①④B.①④⑤C.①②③D.②④⑥解析：①平行公理,故①正确;②和同一平面平行的两直线可相交、平行或异面,故②不正确;③若α∩β=l,c∥l,也可满足条件,故③不正确;④由平面平行的传递性知④正确;⑤当a⊂α时,aα,⑤不正确;⑥当a⊂α时不成立,故选A.答案：A2.已知下列叙述：①一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行;②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行;③若直线l与平面α不平行，则l与α内任一直线都不平行;④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析：一条直线和另一条直线平行，那么它就在经过这两条直线的平面内，①错；一条直线平行于一个平面，这个平面内的直线可能与它异面，②错；选项③④中，直线有可能在平面内.答案：A3.平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α( )A.平行B.相交C.垂直D.不能确定解析：连结AD并取AD的中点M，连结EM与FM，则可得出EM∥平面β且FM∥平面α，故平面EFM∥平面α，∴EF与α平行.答案：A4.经过平面外两点与这个平面平行的平面( )A.只有一个B.至少有一个C.可能没有D.有无数个解析：若经过这两点的直线与这个平面相交，则经过这两点的任何一个平面与这个平面都相交；若经过这两点的直线与这个平面平行，则经过这两点的平面与这个平面可能相交也可能平行.答案：C5.对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是( )A.如果m⊂α,nα,m、n是异面直线，那么n∥αB.如果m⊂α,nα,m、n是异面直线，那么n与α相交C.如果m⊂α,n∥α,m、n共面，那么m∥nD.如果m∥α,n∥α,m、n共面，那么m∥n解析：如果m⊂α,n∥α,m、n共面，根据线面平行性质定理，则m∥n，在A中,n与α可能相交,在B中,n与α可能异面.D.m∥n,不一定，可能相交或异面.答案：C6.下列说法正确的是( )A.直线l 平行于平面α内的无数条直线,则l∥αB.若直线a 在平面α外,则a∥αC.若直线a∥b,直线b ⊂α,则a∥αD.若直线a∥b,b ⊂α,那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线解：∵直线l 虽与平面α内无数条直线平行,但l 有可能在平面α内,∴l 不一定平行于α,从而排除A.∵直线a 在平面α外,包括两种情况:a∥α和a 与α相交,∴a 和α不一定平行,从而排除B.∵直线a∥b,b ⊂α,则只能说明a 和b 无公共点,但a 可能在平面α内,∴a 不一定平行于α,从而排除C.∵a∥b,b ⊂α,则a ⊂α或a∥α,∴a 可以与平面α内的无数条直线平行.∴选D.答案：D7.α、β、γ是三个两两平行的平面,且α与β之间的距离是3,α与γ之间的距离是4,则β与γ之间的距离是______________.解析：β与γ位于α的两侧时,β与γ间的距离等于7;β与γ位于α同侧时,β与γ间的距离等于1.答案：1或78.P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Q 是PA 的中点,则直线PC 和平面BDQ 的关系为______________.解析：连结AC 、BD 交于点O,可证得PC∥OQ,∴PC∥平面BDQ.答案：PC∥平面BDQ9.如图1-2-2-3所示，平面α∥平面β,△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O ，O 在α、β之间，若AB=2，AC=1，∠BAC=60°，OA∶OA′=3∶2,则△A′B′C′的面积为______________.图1-2-2-3 图1-2-2-4解析：可证明AB∥A′B′,同理BC∥B′C′，CA∥C′A′且方向相反.∴△ABC∽△A′B′C′，它们的三内角相等.32'''==OA OA AB B A . S △ABC =21×2×1×2323=, ∴S △A′B′C′=3929423=⨯. 答案：392 10.如图1-2-2-4,已知α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,a∥b.求证：a∥c.证明：∵b ⊂γ,a γ,a∥b,∴a∥γ.又∵a ⊂α,α∩γ=c,∴a∥c.11.如图1-2-2-5，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，AB=2，AF=1，M 是线段EF 的中点.求证：AM∥平面BDE.图1-2-2-5解析：注意到AC 与BD 互相平分，且EF∥AC，因而可考虑构造平行四边形.证明：记AC 与BD 的交点为O ，连结OE ，∵O、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形.∴AM∥OE.又∵OE ⊂平面BDE ，AM 平面BDE ，∴AM∥平面BDE.12.如图1-2-2-6,P 是△ABC 所在平面外的一点,A′、B′、C ′分别是△PBC、△PCA、△PAB 的重心.图1-2-2-6(1)求证:平面A′B′C′∥平面ABC ；(2)求△A′B′C′与△ABC 的面积之比.(1)证明:连结PA′、PC′,并延长交BC 、AB 于M 、N,连结MN.∵A′、C′分别是△PBC、△PAB 的重心, ∴PA′=32PM,PC′=32PN. ∴A′C′∥MN. ∵A′C′平面ABC,MN ⊂平面ABC,∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.又A′C′∩A′B′=A′,A′C′、A′B′⊂平面A′B′C′,∴平面A′B′C′∥平面ABC.(2)解：由(1)知A′C′32MN.又MN AC, ∴A′C′AC.同理A′B′31AB,B′C′BC. ∴△A′B′C′∽△ABC.∴91'''=∆∆ABC C B A S S .。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间两条直线的位置关系
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1。
2 点、线、面之间的位置关系 1.2。
2 空间两条直线的位置关系（1）教学目标 了解空间中两条直线的位置关系；理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理．重点难点公理4及等角定理．引入新课1．问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？2．异面直线的概念:________________________________________________________________________． 3位置关系共面情况公共点个数4．公理4：（文字语言）____________________________________________________．（符号语言)____________________________________________________．5．等角定理：____________________________________________________________．例题剖析例1 如图，在长方体1111D C B A ABCD 中，已知F E 、分别是BC AB 、的中点．求证:11//C A EF ．B EF D A 1 B 1例 2 已知：BAC ∠和111C A B ∠的边11//B A AB ，11//C A AC ，并且方向相同．求证：111C A B BAC ∠=∠．例3 如图：已知1E E 、分别为正方体1111D C B A ABCD -的棱11D A AD 、的中点．求证：111B E C CEB ∠=∠．巩固练习1．设1AA 是正方体的一条棱，这个正方体中与1AA 平行的棱共有（ ）条．A ．1B ．2C ．3D ．42．A 是BCD ∆所在平面外一点,N M ，分别是ABC ∆和ACD ∆的重心，若a BD =， 则MN =____________________．3．如果OA ∥11A O ,OB ∥11B O ，那么∠AOB 与∠111B O A 之间具有什么关系？4．已知111CC BB AA ，，不共面，且11//BB AA ，11BB AA =，11//CC BB ，11CC BB =. 求证：ABC ∆≌111C B A ∆．课堂小结了解空间中两条直线的位置关系;理解并掌握公理4；理解并掌握等角定理．CE D A 1E 1 B 1B1ABCC 1一 基础题1．若把两条平行直线称为一对,则在正方体12条棱中，相互平行的直线共有_______对． 2．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠︒=30ABC ,则∠PQR 等于_________________．3．空间三条直线c b a 、、，若c b b a ////，,则由直线c b a 、、确定________个平面． 二 提高题4．三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，分别是DA CD BC AB ，，，的中点． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）若BD AC =，求证：四边形EFGH 是菱形； （3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形．5．在正方体1AC 中，CF F A CE E A ==1111，，求证：11F E ∥EF ．BC DA 1 D 1 C 1B 1 E FE 1F 1FGHBCE6．已知H G F E 、、、分别是空间四边形四条边DA CD BC AB 、、、上的点．且2==HDAH EB AE ,G F 、分别为CD BC 、的中点,求证:四边形EFGH 是梯形．7．已知三棱锥BCD A -中,H G F E ，，，是DA CD BC AB ，，，的中点，43==FH EG ，,求22BD AC +．BFCG DH EA。
精品高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系1课堂探究新人教B版必修2
【最新】2019年高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系1课堂探究新人教B版必修2课堂探究探究一基本性质4的应用基本性质4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立，这个基本性质是判断两条直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．此外，我们还要熟悉各种几何图形的定义和特征．【典型例题1】如图所示，已知E，F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点，G，H分别是边CD与AD上靠近D的三等分点，求证：四边形EFGH是梯形．思路分析：要证明四边形EFGH是梯形，只需证一组对边平行且不相等即可．通过本题条件可知，利用平面的基本性质4即可解决．E，F分别是AB，BC边上的中点，．，H分别是CD，AD边上的三等分点，＝＝，所以GHACEF≠GH，探究二等角定理的应用证明角相等的常用方法有：(1)利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中，利用三角形全等或三角形相似证明两个角相等．(2)在题目中若不容易构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反，从而达到目的．【典型例题2】 (1)空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．解析：因为∠A的两边和∠B的两边分别平行，所以∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°．又∠A＝70°，所以∠B＝70°或110°．答案：70°或110°(2)已知E，E1分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1．解：如图所示，连接EE1，因为E1，E分别为A1D1，AD的中点，所以A1E1 AE所以四边形A1E1EA为平行四边形，所以A1AE1E．又因为A1AB1B，所以E1EB1B，所以四边形E1EBB1是平行四边形，所以E1B1∥EB．。
2019-2020学年度高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系2课堂探究新人教B版必修2
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系2课堂探究新人教B版必修2______年______月______日____________________部门课堂探究探究一平面与平面平行的判定定理平面与平面平行判定的四种常用证明方法：(1)(定义法)证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)(利用判定定理)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)(转化为线线平行)平面α内的两条相交直线与平面β内的两条直线分别平行，则α∥β．(4)(利用平行平面的传递性)若α∥β，β∥γ，则α∥γ．【典型例题1】如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D．思路分析：由A1B∥平面AC1D⇒平面A1BC∩平面AC1D＝ED，A1B∥ED⇒D为BC中点⇒得出结论．证明：如图所示，连接A1C交AC1于点E，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以E是A1C的中点，连接ED，因为A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED．因为E是A1C的中点，所以D是BC的中点．又因为D1是B1C1的中点，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD．又A1D1∩BD1＝D1，AD∩C1D＝D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．探究二平面与平面平行的性质定理1．平面与平面平行的性质定理实际给出了判定两条直线平行的一种方法，应用时需要作(找)出第三个平面与已知的两个平行平面的交线，从而说明两交线平行．类似于线面平行的性质定理，是以平面为媒介证明线线平行的．该定理可以简单地概括为：面面平行⇒线线平行．2．两个平面平行除了具有上述性质外，还有以下结论，这些结论在证题中经常遇到．(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性)．【典型例题2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，求证：AC∥平面DB1E．证明：取B1B的中点F，连接EF，FC，FA，因为E，F为中点，所以EFBC，又因为BCAD，所以EFAD，所以四边形EFAD为平行四边形，所以AF∥DE，又因为E，F为中点，且C1CB1B，有CEB1F，所以四边形CEB1F为平行四边形，所以B1E∥FC，因为B1E∩DE＝E，CF∩AF＝F，所以平面ACF∥平面DB1E，因为AC⊂平面ACF，所以AC∥平面DB1E．【典型例题3】如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D．(1)求证：AC∥BD．(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．解：(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以不妨设直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．又α∥β，所以AC∥BD．(2)由(1)得AC∥BD，所以＝，所以＝，PAAB PCCD453CD所以CD＝ (cm)，154所以PD＝PC＋CD＝ (cm)．274探究三探索型问题解探索型问题常用策略：(1)(条件探索型)所给问题结论明确，需要完备条件或条件需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．(2)(结论探索型)先探索结论再去证明，在探索过程中常先从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳进行猜测，得出结论，再就一般情况去证明结论．【典型例题4】如图所示，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，E，F 分别为PC，PD的中点，在底面ABCD内是否存在点Q，使平面EFQ∥平面PAB？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．解：存在．点Q在底面ABCD的中位线GH上，理由如下：取AD，BC的中点G，H，连接FG，HE，GH．因为F，G分别为DP，DA的中点，所以FG∥PA．因为FG平面PAB，PA⊂平面PAB，⊄所以FG∥平面PAB．因为AB∥CD，EF∥CD，EF∥AB，而EF平面PAB，AB⊂平面PAB，⊄所以EF∥平面PAB．因为EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAB．又GH∥CD，所以GH∥EF．所以平面EFG即平面EFGH．所以平面EFGH∥平面PAB．又点Q∈平面ABCD，所以点Q∈(平面EFGH∩平面ABCD)．所以点Q∈GH．所以点Q在底面ABCD的中位线GH上．。
高中数学 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.2 空间两条直线的位置关系
公理4及等角定理的应用 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E，F，E1，F1 分别是 棱 AB，AD，B1C1，C1D1 的中点． 求证：(1)EF 綊 E1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1. (链接教材 P26 例 1，P27 例 2)
[证明] (1)如图，连结 BD，B1D1，在△ABD 中，因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点，所以 EF 綊12BD. 同理，E1F1 綊12B1D1.
1．如图所示，AB，CD是两异面直线，求证：直线AC，BD 也是异面直线．
证明：法一：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一 平面内，设这个平面为α， 由AC⊂α，BD⊂α，知A，B，C，D∈α.故AB⊂α，CD⊂α. 这与AB和CD是异面直线矛盾，
所以假设不成立，则直线AC和BD是异面直线． 法二：由题图可知，直线AB、AC相交于点A， 所以它们确定一个平面为α. 由直线AB和CD是异面直线，则D∉α， 即直线BD过平面α外一点D与平面α内一点B. 又AC⊂α，B∉AC，所以直线AC和BD是异面直线．
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，BB1 綊 DD1，所以四边形
BB1D1D 为平行四边形，所以 BD 綊 B1D1，又 EF 綊12BD，E1F1 綊12B1D1，所以 EF 綊 E1F1.
(2)取 A1B1 的中点 M，连结 F1M，BM，则 MF1 綊 B1C1.
∴DAEE∉∈∉F⊂αDα，F，α.，
∴AE 和 DF 是异面直线．
法二：(反证法)若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面， 设过AE，DF的平面为β. ①若E，F重合，则E是BC的中点，从而有AB＝AC，这与题 设AB≠AC相矛盾． ②若E，F不重合，∵B∈EF，C∈EF，EF⊂β， ∴BC⊂β. 又A∈β，D∈β，∴A，B，C，D四点共面，这与题设ABCD 是空间四边形相矛盾． 综上，AE和DF不是异面直线不成立． 故AE和DF是异面直线．
【高中教育】最新高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系1课后训练新人教B版必修2
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系1课后训练新人教B版必修2______年______月______日____________________部门课后训练1．在空间中，互相平行的两直线是指( )．A．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平面内的两条直线C．分别在两个平面内，但没有公共点的两条直线D．在同一平面内没有公共点的两条直线2．下列说法正确的是( )．A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，直线bα，则a∥αD．若直线a∥b，bα，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c…，则这些交线的位置关系为( )．A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或都交于同一点4．对于直线m，n和平面α，下面命题中的真命题是( )．A．如果mα，nα，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果mα，nα，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果mα，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n5．a，b是两条异面直线，下列结论正确的是( )．A．过不在a，b上的任一点，可作一个平面与a，b平行B．过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b相交C．过不在a，b上的任一点，可作一条直线与a，b都平行D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，CC1，C1D1，D1A1的中点，则四边形EFGH的形状是__________．7．如图所示，直线a∥平面α，点B，C，D∈a，点A与a在α的异侧．线段AB，AC，AD交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG等于__________．8．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC＋BD＝a，AC·BD＝b，则EF2＋EH2＝__________.9．如图，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝a，点E在棱PC上，问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明．10．一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？并说明理由．参考答案1. 答案：D2. 答案：D ∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，从而排除选项A.∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，从而排除选项B.∵直线a ∥b ，b α，则只能说明a 和b 无公共点，但a 可能在平面α内，∴a 不一定平行于α，从而排除选项C.∵a ∥b ，b α，则a α或a ∥α，∴a 可以与平面α内的无数条直线平行．故选D.3. 答案：D 若直线l ∥平面α，则过l 作平面与α相交所得的直线a ，b ，c …都平行；若l ∩α＝P ，则直线a ，b ，c …都相交于同一点P.4. 答案：C 如果m α，n ∥α，m ，n 共面，根据线面平行的性质定理，则m ∥n ，故选项C 正确．在选项A 中，n 与α可能相交，在选项B 中，n 与α可能平行．在选项D 中，m 与n 可能相交．5. 答案：D A 项错，若点与a 所确定的平面与b 平行，就不能使这个平面与a 平行了．B 项错，若点与a 所确定的平面与b 平行，就不能作一条直线与a ，b 相交．C 项错，假如这样的直线存在，根据基本性质4就可有a∥b，这与a ，b 异面矛盾．D 项正确，在a 上任取一点A ，过A 点作直线c∥b，则c 与a 确定一个平面与b 平行，这个平面是唯一的．所以应选D.6. 答案：梯形7. 答案： ∵a ∥α，EG ＝α∩平面ABD ，209∴a ∥EG ，又点B ，C ，D ∈α，∴BD ∥EG. ∴，EF FG AF EF FG EG AFBC CD AC BC CD BD AF FC+=====++∴.5420549AF BD EG AF FC ⋅⨯===++ 8. 答案： 由已知AC ＋BD ＝a ，AC ·BD ＝b ，242a b-∴，，222AC BD a +=224AC BD b⋅= 即EF ＋EH ＝，EF·EH＝，2a 4b∴EF2＋EH2＝(EF ＋EH)2－2EF ·EH ＝.242a b-9. 答案：解：当E 为PC 的中点时，PA ∥平面EBD. 证明：连接AC ，且AC∩BD＝O ，连接OE. ∵四边形ABCD 为正方形， ∴O 为AC 的中点． 又E 为PC 的中点， ∴OE 为△ACP 的中位线． ∴PA ∥EO.又PA 平面EBD ， ∴PA ∥平面EBD.10. 答案：解：在平面VAC 内，经过点P 作EF ∥AC ，且与VC 的交点为F ，与VA 的交点为E ，在平面VAB 内，经过点E 作EH ∥VB ，与AB 交于点H ，如图所示．在平面VBC 内，经过点F 作FG ∥VB ，与BC 交于点G ，连接GH ，则EF ，FG ，GH ，HE 为截面与木块各面的交线．证明如下：∵EH∥VB，FG∥VB，∴EH ∥FG ，可知E ，H ，G ，F 四点共面． ∵VB 平面EFGH ，EH 平面EFGH ，∴VB∥平面EFGH.同理可证AC∥平面EFGH.。
【2019最新】高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系知识导学案新人教B版必修2
【2019最新】高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系知识导学案新人教B版必修2 空间中的平行关系知识梳理1.两直线平行定义:直线a和平面α没有公共点,叫做直线和平面α平行,记作a∥α.平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.公理4:平行于同一条直线的两条直线平行,也叫空间平行线的传递性.等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.2.直线与平面平行判定定理:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行.3.平面与平面平行定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做平行平面.平面α与平面β平行,记作α∥β.判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.结论:两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.知识导学对于等角定理,要注意“方向相同”含义的理解,可以在实际图形中观察出来,也可以理解为对应射线的方向相同.若去掉“方向相同”这一条件,可以得到的结论是“如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补”.由于平行没有公共点,与此有关的命题可以看成否定性命题,在证明时可以采用反证法加以证明,本教材中的判定定理就是这样证明的.疑难突破1.什么是反证法?怎样利用反证法证明平行关系?剖析:反证法是数学中常用的一种方法，而且有些命题只能用它去证明.用反证法证明一个命题常采用以下步骤：(1)假定命题的结论不成立.(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾.由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的.(3)肯定原来命题的结论是正确的.用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”,结论一不成立就会出矛盾，这个矛盾是通过与已知条件矛盾、与公理或定理矛盾的方式暴露出来的.这个矛盾是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件、公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定.“结论不成立”与“结论成立”必然有一个正确.既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了.由于平行关系都意味着没有公共点,是否定性的命题,因此可以采用反证法进行证明,即先假设不平行,再推导矛盾,从而肯定原命题正确.2.线线平行与线面平行之间的转化关系.剖析:(1)由线线平行,可判定线面平行;由线面平行,可判定线线平行.这种“线线——线面”之间平行的互相联系和相互转化,是线线、线面平行的判定和性质的实质,也是我们运用定理对平行进行证明的关键所在.(2)从思维方法的角度来看,要进行平行的证明,往往先从题目的结论出发去选择相应的判定方法并进行“逆向思维”.当逆推出现困难时,应进行“正向思维”,即根据题目的已知去联想和推导有关的性质,使题设和结论逐步靠近,找到证明思路.这种“两头凑”的方法其实也是整个高中数学学习中较为常用的思维和证明方法.(3)对较为复杂的综合论证问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理进行证明,可有如下示意图:。
【高中教育】最新高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系2预习导学案新人教B版必修2
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______年______月______日
____________________部门
预习导航
课程目标学习脉络
1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间
中面面平行的相关定理、推论和性质．
2．掌握平面与平面平行的判定定理和性质
定理，并能利用以上定理解决空间中的
平行性问题．
1．平面与平面的位置关系
位置关系图形表示符号表示法公共点个数两平面平行α∥β无两
平面相交斜交α∩β＝a 无数个垂直
α⊥β，
α∩β＝a
无数个
2．两个平面平行
思考1一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？
提示：不一定，这无数条直线可能没有两条相交，即全部平行．举反例如下图：
3．三个平面平行的性质
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
思考2两个平面平行，则这两个平面内的所有直线一定相互平行吗？
提示：不一定．也可能是异面直线，但可以肯定的是，它们不相交．。
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3.平面与平面平行
定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做平行平面.平面α与平面β平行,记作α∥β.
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.
性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
结论:两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
知识导学
对于等角定理,要注意“方向相同”含义的理解,可以在实际图形中观察出来,也可以理解为对应射线的方向相同.若去掉“方向相同”这一条件,可以得到的结论是“如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补”.
由于平行关系都意味着没有公共点,是否定性的命题,因此可以采用反证法进行证明,即先假设不平行,再推导矛盾,从而肯定原命题正确.
2.线线平行与线面平行之间的转化关系.
剖析:(1)由线线平行,可判定线面平行;由线面平行,可判定线线平行.
这种“线线——线面”之间平行的相联系和相互转化,是线线、线面平行的判定和性质的实质,也是我们运用定理对平行进行证明的关键所在.
由于平行没有公共点,与此有关的命题可以看成否定性命题,在证明时可以采用反证法加以证明,本教材中的判定定理就是这样证明的.
疑难突破
1.什么是反证法?怎样利用反证法证明平行关系?
剖析:反证法是数学中常用的一种方法，而且有些命题只能用它去证明.用反证法证明一个命题常采用以下步骤：
(1)假定命题的结论不成立.
(2)从思维方法的角度来看,要进行平行的证明,往往先从题目的结论出发去选择相应的判定方法并进行“逆向思维”.当逆推出现困难时,应进行“正向思维”,即根据题目的已知去联想和推导有关的性质,使题设和结论逐步靠近,找到证明思路.这种“两头凑”的方法其实也是整个高中数学学习中较为常用的思维和证明方法.
(3)对较为复杂的综合论证问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理进行证明,可有如下示意图:
平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
公理4:平行于同一条直线的两条直线平行,也叫空间平行线的传递性.
等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
判定定理:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
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______年______月______日
____________________部门
知识梳理
1.两直线平行
定义:直线a和平面α没有公共点,叫做直线和平面α平行,记作a∥α.
(2)进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾.由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的.
(3)肯定原来命题的结论是正确的.
用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”,结论一不成立就会出矛盾，这个矛盾是通过与已知条件矛盾、与公理或定理矛盾的方式暴露出来的.这个矛盾是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件、公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定.“结论不成立”与“结论成立”必然有一个正确.既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了.