高阶微分与泰勒公式
泰勒公式的简单推论
泰勒公式的简单推论泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它描述了一个函数在某一点附近的邻域内的近似表达式。
具体地说，给定一个光滑函数$f(x)$ 以及一个实数 $a$，泰勒公式可以将 $f(x)$ 在点 $a$ 处展开为幂级数的形式。
泰勒公式的一般形式如下：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + cdots +frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + cdots$$其中，$f'(x)$ 表示 $f(x)$ 的一阶导数，$f''(x)$ 表示二阶导数，以此类推。
而 $f^{(n)}(x)$ 则表示 $f(x)$ 的第 $n$ 阶导数。
根据泰勒公式，我们可以推导出一些简单而有用的推论。
下面我们来看几个常用的推论：1. 近似计算：泰勒公式允许我们用一个多项式来近似表示一个函数。
当我们需要在某一点附近计算函数值时，可以使用泰勒公式展开为有限项的幂级数，并截断到合适的项数。
这样可以大大简化复杂函数的计算过程。
2. 导数的计算：泰勒公式中的每一项都是函数在某一点处的导数与 $(x-a)^n$ 的乘积。
因此，通过对泰勒公式进行求导，我们可以得到函数的各阶导数的计算公式。
这对于研究函数的性质和变化趋势非常有帮助。
3. 极值点和拐点：通过对泰勒公式进行分析，我们可以得到函数的极值点和拐点的一些性质。
例如，对于一个函数 $f(x)$，如果它在某一点 $a$ 处的一阶导数为零，并且二阶导数大于零，则该点为函数的极小值点。
如果二阶导数小于零，则该点为函数的极大值点。
而如果二阶导数为零，则需要进一步分析更高阶导数的符号来判断拐点的性质。
总之，泰勒公式是微积分中一个非常重要的工具，它在近似计算、导数计算以及研究函数性质等方面发挥着重要作用。
高数 泰勒公式
2 m 1 x3 x5 x sin x x (1) m1 R2m ( x) 3! 5! (2m 1) !
其中 R2 m ( x)
1 ) sin( x 2m 2 x 2 m1 (0 1) (2m 1) ! (1) m cos( x) 2 m 1
x
1 2 P2 ( x) 1 x x 为抛物线与 2
x
y e 更为接近
问
类似方法可得
x
1 2 e 1 x x A3 x 3 o( x 3 ) 2 1
A3 3!
1 2 1 3 3 3 e 1 x x x o( x ) p3 ( x) o( x ) 2 3! 1 2 1 n x n n e 1 x x x o( x ) pn ( x) o( x ) 2 n! x 右边的多项式在0的附近可以无限的接近于 f ( x) e
即为一次多项式＋
2
x
的高阶无穷小
2
试问 e 1 x A2 x o( x ) 是否成立？即是否求出 A2
e x 1 x o( x 2 ) ex 1 1 A2 lim ( 2 ) lim 2 x 0 x 0 2 x x x 2
4
1 2 即 e 1 x x o( x 2 ) P2 ( x) o( x 2 ) 2 x
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
10
( x0 ) f 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f ( ) n n 1 ( x x0 ) ( x x0 ) n! (n 1) ! ( 在 x0 与 x 之间) 特例: 给出拉格朗日中值定理 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之间)
泰勒公式推导过程
泰勒公式推导过程泰勒公式，也叫泰勒展开式，是18世纪英国数学家泰勒发现的，是用来求函数的特定点的某个值的一种多项式展开式。
它的出现改变了众多数学问题的解题方式，同时也为微分和积分的理论研究奠定了基础。
泰勒公式的推导过程表明，求函数f（x）在特定点x=x0附近的值时，可以考虑函数f（x）的i阶导数在点x=x0的值。
先从一阶导数f（x）的展开式推导：函数f（x）可以表示为f（x+h）和f（x）之间的差分：f（x+h）-f（x）＝hf（x）＋1/2h2f（x）＋…＋1/i！hif^(i)（x）＋…令h＝0，将上式的每一项化简，可以得到：f（x）＝f（x）＋1/2f（x）h2＋…＋1/i！f^(i)（x）h^i＋…将上面的公式看作一个函数：f（x）＝f（x）＋1/2f（x）h2＋…＋1/i！f^(i)（x）h^i＋…因此，泰勒公式可以由以上公式推导：f（x）＝f（x0）＋1/2f（x0）（x-x0）2＋…＋1/i！f^(i)（x0）（x-x0）i＋…＋R其中，R表示残差，即：R＝f（x）-f（x0）－1/2f（x0）（x-x0）2－…－1/i！f^(i)（x0）（x-x0）i由此可见，泰勒公式表示的是函数f（x）在x0点处，利用高阶导数f（x）的展开式求得函数f（x）在x点处的值。
此外，由于每一项的系数均为函数f（x）在x0点处的某(i-1)阶导数，因此也称求函数f（x）在x点处的值为泰勒级数展开。
由于泰勒公式是利用i阶导数，因此可以认为泰勒公式是一个近似公式，而残差R是对近似值的补偿。
泰勒公式的应用也非常广泛，比如说，可以利用它来求函数的一阶导数、二阶导数等等，从而用来解决数值分析问题，求函数的极值，以及微分和积分的计算等。
由于泰勒公式的广泛应用，因此，它也是大学数学和数值分析课程中重要的内容之一。
通俗来讲，泰勒公式就是利用一个函数在特定点处的i阶导数展开式来求函数在其他点的值，而且随着阶数的增加，求得的函数值也会逐渐接近它的实际值。
泰勒公式
第三节 Taylor 公式一、一元函数的Taylor 公式先考虑一元函数的Taylor 公式。
前面我们给出了df x A f =∆≈∆．用微分df 在相差x ∆的高阶无穷小的情况下来近似地代替函数增量f ∆，这一种近似方法有时不一定很理想，下面我们将讨论一种新的近似方法，也就是Taylor 公式．由微分的知识可知，()x o x A f ∆+∆=∆，其中的)(x o ∆是否可以写为()()()33221x o x A x A ∆+∆+∆呢？如果可以的话，可以用()()()33221x o x A x A ∆+∆+∆代替()x o x A f ∆+∆=∆式中的()x o ∆，假设21,A A 已知，则可以用()()3221x A x A x A ∆+∆+∆近似f ∆，这一种近似的效果显然要精确的多．看下面的定理：定理 6.14 如果函数()x f y =在含有0x 的开区间()b a ,内有直至1+n 阶导数，则当()b a x ,∈时，()x f 可以表示为0x x x -=∆的一个n 次多项式和一个含有余项()x R n 之和．即()()()()()()x R x x n x f x x x f x f x f x x f n n n +-++-'+==∆+000000!...)()()(． 其中()()()ξξ,1)(10)1(++-+=n n n x x n f x R ！介于x 与0x 之间．证 若令()()()nn n x n f x x f x f x P ∆++∆'+=!...)(00，则只需要证明 =-=)()()(x P x f x R n n ()()10)1(1)(++-+n n x x n f ！ξ， 其中ξ介于x 与0x 之间．下面利用Cauchy 中值定理来证明．事实上有()()00x f x P n =，()()00x f x P n '='，．．．，()()()()00x f x P n n n=，所以()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()．!1!1!1.....)1(111)(10000011022200010011011110010001010+=-+--+---==-+⎪⎭⎫ ⎝⎛"-''=-+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'-⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=------=--=-+++++n f x x n x n x P x f P f x n n P f x x n x n x P x f P f x n P f x x x x x P x f x P x f x x x P x f x x x R n n n n n n n n nn nn n n n n n n n n n n n n ξξξξξξξξξξξξξ所以()()ξξ,1)(1)1(++∆+=n n n x n f x R ！介于x 与0x 之间．定理中的关系称为Taylor 公式．()x R n 称为Taylor 公式的Lagrange 余项． 特别地，在00=x 时，有()()()()()()11!1!0...0)0()(++++++'+=n n n n x n f x n f x f f x f ξ，（ξ介于0与x 之间） 称为Maclaulin 公式．上面我们给出的Taylor 公式是带Lagrange 余项的，下面我们给出带Peano 余项的Taylor 公式定理6.15如果函数()x f y =在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个邻域，对于该邻域中任意x 有()()()()()()x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-'+=00000!...)()(． 其中()())(0nn x x o x R -=．证 （略）定理中的公式称为带Peano 余项的Taylor 公式．()())(00nn x x x R -=称为Taylor 公式Peano 余项.例6.15 求函数x sin ，x cos ，xe ，x-11，()x -1ln 在0=x 处的Taylor 公式． 解 由于对任意的N n ∈，有()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin sin πn x x n ；()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos cos πn x x n ；()()xnxee =；()()11!11+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n x n x ．()()()nn x n x ---=-1)!1()1ln( 所以()()(),...2,1,034,114,1200sin =⎪⎩⎪⎨⎧+=-+===k k n k n k n n ，，； ()()(),...2,1,024,14,11400cos =⎪⎩⎪⎨⎧+=-=±==k k n k n k n n ，，； ()()(),......2,1,0,10===n e x nx； ()(),...2,1,0,!110==⎪⎭⎫⎝⎛-=n n x x n ；所以x sin 在0=x 的Taylor 公式为()())(!121...!5!3221253x R n x x x x n n n++++-+++-；())1,0(),232sin(!323222∈+++=++θπθn x n x R n n x cos 在0=x 的Taylor 公式为()())(!21...!4!2112242x R n x x x n n n ++-+++-；())1,0(),222cos(!222212∈+++=++θπθn x n x R n n x e 在0=x 的Taylor 公式为())(!...!3!21132x R n x x x x n n ++++++；())1,0(,!11∈+=+θθn xn x n e Rx-11在0=x 的Taylor 公式为 )(......132x R x x x x n n ++++++；())1,0(,1)!1(12∈-+=++θθn n n x x n R()x -1ln 在0=x 的Taylor 公式为)(1......312132x R x nx x x n n +-----； ())1,0(,1)!1(12∈-+-=++θθn n n x x n R例6.16 求()x +αsin 在0=x 处的Taylor 公式．解()()()()()．)(0...!3cos !2sin cos sin )(0!21sin !121cos sin cos cos sin sin 123212201201++=+=-++--⋅+=+-++-=+=+∑∑n n n n n n n n n n x x x x x x n x n xx x ααααααααα例6.17 求12+x e 在在0=x 处的Taylor 公式．解()()∑∑==++=+=⋅=nn n nn nn nnxx x n x e x n x e ee e212)(0!2)(0!2．例6.18 求211x +在0=x 处的Taylor 公式． 解()()())(01)(011111202012222+==++-=+-=--=+∑∑n nn n nnn n nx x xx x x ．例6.19 求α)1()(x x f +=（α为任意实数）在0=x 处的Taylor 公式．)(0!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x ++--++-++=+ααααααα二、多元函数的Taylor 公式与一元函数类似，多元函数也有中值定理与Taylor 公式。
高数微积分泰勒公式
当对余项要求不高时, 可用Peano型余项
f(x ) k n 0f(k k )( !x 0 )(x x 0 )k o [x ( x 0 )n ]
称 为 f(x)按(xx0)的 幂 展带开 有P的 eano型余项 的n阶泰勒公式. 书上P209定理3.8
f(x ) f(x 00 ) f(x 00 )x ( x 00 ) f2 ( ! x 00 )(x x 00 ) 2
当xx0时,其误差(x是 x0比 )高阶的无 . 穷
以直代曲 如 当| x| 很小时, ex 1x, ln1(x)x（. 如下图）
y y ex
y
yx
y1x O
xO
yln 1 (x)
x
一次多项式
f(x 0)f(x 0)x (x 0) f (x)
不足 1. 精确度不高；2. 误差不能定量的估计.
希需望要解在 Pn决x(0x附 的) 问近a用题0 适 a当如如1 (的何何x 高提估x次高计0 )多精误 a项度差2 (式x?? x0 )2
同理 2!a2f(x0)L L ,n!anf(n)(x0)
得 akk1!f(k)(x0)(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )代入 Pn(x)中得
Pn(x)f (x0) f(x0)(xx 0)f 2(!x0 ) (xx0)2
L f (n ) ( x
n!
0
)
(x x 0 )n
Pn(x)f(x0)f(x0)(xx0)f2 (!x0)(xx0)2 Lf(nn )(!x0)(xx0)n
设xx0, Rn(x),(x)在 [x0,x]上 连 , 续
在 (x 0,x )内,可 且 (x )导 0 .用1次 柯西定理
Rn(x) (x)
Rn(x) Rn(x0)
微分知识点总结
微分知识点总结一、微分的基本概念1. 导数的定义在微分的讨论中，导数是一个非常核心的概念。
在数学中，导数表示了函数在某一点的变化率，也可以理解成函数曲线在该点的切线斜率。
设函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：\[ f'(x_0)=lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]2. 微分的概念微分是导数的一个相关概念，它主要研究了函数在某一点的局部线性变化。
设函数y=f(x)，在点x0处的微分dy定义为：\[ dy=f'(x_0)dx \]3. 微分形式微分dy=f'(x)dx这个等式称为微分形式，它表示了函数在某一点的微分。
在微分形式中，导数f'(x)表示了函数在该点的变化率，dx表示自变量x的变化量，dy表示因变量y的对应变化量。
4. 微分的几何意义从几何学的角度来看，微分表示了函数曲线在某一点处的切线斜率。
也就是说，微分可以帮助我们理解函数在某一点的局部变化规律，对于研究函数的极值、凹凸性、临界点等性质非常重要。
二、微分的性质1. 微分的线性性质设函数y=f(x)，g(x)分别在点x0处可导，常数a、b，则：\[ d(af(x)+bg(x))=af'(x)dx+bf'(x)dx \]这个性质表示了微分在加法、乘法和数乘方面的线性性质，这对于微分的运算和计算是非常重要的。
2. 链式法则如果函数y=f(u)，u=g(x)都分别在对应的点可导，那么复合函数y=f(g(x))在x0的微分为：\[ dy=f'(u)g'(x)dx \]链式法则是微分中的一个重要性质，它描述了复合函数的微分计算规则。
对于求解复合函数的微分非常有用。
3. 高阶微分高阶微分指的是对微分的多次计算，设函数y=f(x)，它的一阶微分为dy=f'(x)dx，二阶微分为d2y=f''(x)dx2，以此类推。
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4、设
，且
证明 由已知极限式得
利用泰勒公式有
，证明
从而
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51
6. 设函数
在
上三阶可导, 且
设
试证存在
使
证: 因 F(0) F(0) F(0) 0,
利用二阶泰勒公式 , 得
F(1) F (0) F(0) 1 F(0) 1 F( )
1 F( )
2!
3!
3!
因
(n.精品1课)件!.
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间12 )
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
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13
f (k) (x) sin(x k )
p1(x)
特点:
x 的一次多项式 o x0 x
x
f (x0 )
f (x0 )
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
若 f (x)是非多项式函数，问是否可用一个n次多项式
Pn (x)
来近似表示
f
(x) ? .精品课件.
3
特例： f (x) ex x 0
由 f (x) f (0) f (0)x
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公.精品式课件的. 拉格朗日余项 .
泰勒公式高阶导数
泰勒公式高阶导数导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在每一个点处的斜率。
一阶导数是函数在一点的局部斜率，而高阶导数则是推广到二阶、三阶、四阶等。
泰勒公式是一个常用的数学工具，可以用于近似函数的值，可以用于推导高阶导数的公式。
一、一阶导数与泰勒公式设函数f(x)在x=a处可导，它的导数为f'(a)，则函数f(x)在x=a 处的一阶泰勒多项式为：T1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)它是在点(x=a)处的函数f(x)的线性近似，随着x越接近a，这个近似就越准确。
当x这个数点越远离a，在计算函数值的时候，这个线性近似的误差就越大。
这里的f'(a)就是一阶导数，它表示函数曲线在x=a这个点处的斜率。
二、二阶导数与泰勒公式二阶导数表示的是函数曲线的曲率，也就是一阶导数的导数，可用下面的公式表示：f''(x) = lim(h→0) [(f(x+h)-2f(x) + f(x-h))/h^2]在x=a处的二阶泰勒多项式为：T2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2)(x-a)^2这个多项式在x=a处的函数值、一阶导数、二阶导数都与函数f(x)在x=a处的值、一阶导数、二阶导数相同。
三、三阶导数与泰勒公式三阶导数表示的是函数曲线的弯曲程度，也就是二阶导数的导数，可用下面的公式表示：f'''(x) = lim(h→0) [(f(x+2h)-3f(x+h)+3f(x)-f(x-h))/h^3]在x=a处的三阶泰勒多项式为：T3(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2)(x-a)^2 + (f'''(a)/6)(x-a)^3这个多项式在x=a处的函数值、一阶导数、二阶导数、三阶导数都与函数f(x)在x=a处的值、一阶导数、二阶导数、三阶导数相同。