2015-2016学年河北省邯郸市广平一中高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)
【数学】河北省邯郸市广平县第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试(文)
河北省广平一中 2015— 2016学年第一学期高二期中考试文数试卷第I 卷一 •选择题.（每题5分，共计60分） 1、 下列说法正确的是（）22223322A • a>b? ac >bcB • a>b? a >bC . a>b? a >bD • a >b ? a>b2 22、 若双曲线 笃…爲=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ,则双曲线的离心率为（）a bA . 2B . 2C .3D .523、 实数a ：：：0是方程ax 2x ^0至少有一个负数根的（ ）形的三个顶点，则双曲线的离心率为（A •必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4、抛物线y 2 =2px 上一点Q （6, y 0）,且知Q 点到焦点的距离为10则焦点到准线的距离（B . 16C . 125、2 2x y 若焦点在x 轴上的椭圆1的离心率为2 m.36、设 x , D .D . 15x y7、设F 1和F 2为双曲线 2- 2=1（a 0,b0）的两个焦点F 2, P(0, 2b)是正三角3 A. 2B.35 C.2D.28、已知椭圆的焦点为F 1 (- 1, 0)和 F 2 （1, 0）, P 是椭圆上的一点, 且 F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项, 则该椭圆的方程为（y 为正数，)2A .匚匚16 9、数列1,2=1912x_丄162=11212 2C.乞丄=14 32 2x y13 41 + 2' 1 +2 + 31 + 2+・・・+ n的前n项和为(10、已知F ,、F 2是椭圆的两个焦点，过 F ,且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若「ABF ?是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ A 迴 B •返 C •返 D •逅3 3 2 211、 在A ABC 中，A = 60 ° AB = 2，且A ABC 的面积S^BC =专，则边BC 的边长为（A. .3B . 3C. .7 D . 72 212、 过双曲线x -y =1的右焦点且与右支有两个交点的直线， 其倾斜角范围是（A . [0,二）B .C .（-2）D . （0,-）_•（，二）4224 4 42 2第n 卷•填空题.（每题5分，共计20 分）13、 命题 若a,b 都是偶数，则a b 是偶数”的逆否命题是 ___________________ .14、 ______________________________________________________________________ 已知数列 也｝满足：a 3 =5 , a n + = 2a * -1（n 壬 N \，贝y a^ = ________________________ ,215、 离心率e ，焦距2c =4的椭圆的标准方程为 _______________ .3zr x+ y <5.2x + y < 616、如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z = 6x + 8yx >0 y > 0.取得最大值的点的坐标是 _________ .三•解答题.（共计70 分） 17、（10分）解下列不等式：2（1） _2x x ：： -32n 2n A .2n + 1B .n + 1Q+ 2 C .n + 1D.2n +118、（12 分）（1）在ABC中，若a =1,b = .3,B =120°解三角形⑵在ABC 中，若a =3、3,b =2,C =150°.求边c.19、（12分）设｛a n｝是公比为正数的等比数列，a1 = 2, a3= a?+ 4.⑴求｛a n｝的通项公式；⑵设｛ b n｝是首项为1，公差为2的等差数列，求数列｛a n+ b n｝的前n项和S n.20、（12分）已知A、B、C为ABC的三内角，且其对边分别为a、b、C,若1 cosBcosC —sinBsinC 二2（1）求A ;（2）若a =2、..3, b • c = 4，求ABC 的面积.2 221、（12分）已知F1、F2是椭圆务•笃=1 （a b 0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第a2b2一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足0A • 0B =0 （O是坐标原点），AF2FF2二0.2若椭圆的离心率等于—.2（1）求直线AB的方程；（2）若三角形ABF2的面积等于4、2，求椭圆的方程2 2X y22、（12分）已知点A 2,0是椭圆C 2 =1 a■ b ■ 0的右顶点，且椭圆C的离心率a b为上3•过点M -3,0作直线l交椭圆C于P、Q两点.2（1）求椭圆C的方程，并求出直线丨的斜率的取值范围；（2）椭圆C的长轴上是否存在定点N n,0，使得.PNM二/QNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.高二数学文科期中试卷参考答案1-5 CDCDB 1-10 BDCBA 11-12 AB13.若a b不是偶数，则a,b不都是偶数，14. 22 215.二丄=1或工工一19 5 9 516. (0,5) 17. (1) 1dXX 式一18 ( 1) A = 30 , C = 30 , c = 1; ( 2) 7219.解:(1)设q为等比数列｛a n｝的公比，则由a1 = 2, a3= a2 + 4得2q = 2q + 4, 即q2-q-2 = 0,解得q= 2或q= -1(舍去)，因此q= 2. 所以｛a n｝的通项为a n= 2 2n 1= 2n(n € N ).9 1 _ 2* _ 1⑵易知b n= 2n-1，贝y S n= —-— + nX1 + n n~X2= 2n+1+ n2- 2.1 —2 220.解：(1) A = 1200(2)由余弦定理得：b2c2-2abcos120°=(2.3)2即：b2c2ab =12 (1)又因为b • c =4平方得：b c 2ab=16 (2)联立(1)、(2)得a=b=221解：(1 )由OA+OB=0知，由直AB经过原点，又由AF2 F1F2 =0知AF2 — F1F2 因为椭圆的离心率等于—，所以2 1 2a ，故椭圆方程2x22y2设 A (X, y)，由AF2尸店2 =0，知X = c,.・.A (c, y)，代入椭圆方程得y 因此直线V2 1= 2a,A^2 a,2a),AB的方程为y=』2X.故直线AB的斜率(2)连结AF1、BF 1> AF 2> BF 2,由椭圆的对称性可知S'ABF2-S’ABFt = S'AF1F2，11 L 所以一2c ^-4,2，又由2 2 c「2a，解得a22= 16,b2二16-8 二8,dXX £_1,或X A32 (2)、2y k x 3 得 x 2 4y 2 =41 4k2 x 224k 2x 36k 2 —4 =0 由.：• 0 解得一 5 ：：： k ：：： 555----- k -6n -8 亍二。
河北省广平县第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试化学试卷 Word版含答案.pdf
河北省广平一中2015—2016学年第一学期高二年期中考试化学试卷 可能用到的相对原子质量：第卷选择题（本题包括小题，每小题分，共分，每小题只有一个选项符合题意）下列说法不正确的是A．化学反应过程中，一定有化学键的断裂和形成 B盖斯定律实质上是能量守恒定律的体现 C反应前后子数不变遵循的是质量守恒定律 D如果某化学反应的?H和?S均小于0，则反应一定能自发进行 ( ) A．Ca(OH)2 B．CH3COOH C．BaSO4 D．CH3COONa 3．下列关于强、弱电解质的叙述，有错误的是 ( ) A．强电解质在溶液中完全电离，不存在电离平衡 B．在溶液中，导电能力强的电解质是强电解质，导电能力弱的电解质是弱电解质 C．同一弱电解质的溶液，当温度、浓度不同时，其导电能力也不同 D．纯净的强电解质在液态时，有的导电，有的不导电 4．用标准NaOH溶液滴定未知浓度的盐酸，用酚酞作指示剂，下列操作中会导致实验结果偏低的是碱式滴定管用蒸馏水洗净后没有用标准液润洗 用酸式滴定管加待测液时，刚用蒸馏水洗净后的滴定管未用待测液润洗 锥形瓶用蒸馏水洗净后没有用待测液润洗 滴定前滴定管尖端有气泡，滴定后气泡消失 ⑤终点读数时俯视，其他读数方法正确 A． B． C． D． A．c (Na+)==c(CH3COO－)+c(CH3COOH) B．c(H+)==c(CH3COO－)+c(OH一) C．c (Na+) > c (CH3COO－)>c(OH－)>c(H+) D．c (CH3COO－)>c(Na+)>c(H+)>c(OH－) 6．25时，在浓度为1 mol·L-1的（NH4）2SO4、（NH4）2 CO3、（NH4）2Fe（SO4）2的溶液中，测得c（NH4+）分别为a、b、c（单位为mol·L-1）。
下列判断正确的是 （） A．a=b=c B．a>b>c C．a>c>b D．c>a>b 一定量的盐酸跟过量的铁粉反应时，为了减缓反应速度，且不影响生成氢气的总量，可向盐酸中加入适量的NaOH固体 H2O ③NH4Cl固体 CH3COONa固体 NaNO3固体 KCl溶液A.②④⑥B.①②C.②③⑤D.②④⑤⑥ 8．NA表示阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A．在1 L 0.2 mol·L－1的Na2CO3溶液中含有CO32的数目为0.2NA B．0.1 mol Na参加氧化还原反应，转移的电子数目一定是0.1 NA C．电解精炼铜时，若阴极得到电子数为2NA个，则阳极质量减少64g D．理论上氢氧燃料电池正极消耗11.2 L气体时，外线路通过电子数为NA ．化学用语是学习化学的重要工具，下列用来表示物质变化的化学用语中，正确的是A．电解饱和食盐水时，阳极的电极反应式：2Cl－－2e＝Cl2↑ B．钢铁发生电化学腐蚀的正极反应式：Fe－2e＝Fe2+ C．硫化钠的水解反应：S2－＋H3O+HS－＋H2O D．碳酸氢钠电离方程式：NaHCO3＝Na+＋H+＋CO32－ ．下列各组离子能在指定溶液中大量共存的是 ①无色溶液中：Ba2+、Cl、H2PO4、PO43、SO42 ②pH=14的溶液中：CO32、Na+、S2、AlO2 ③室温下水电离的c(H+)10－13mol/L的溶液：K+、HCO3－、Br－、Ba2+ ④加入Mg能放出H2的溶液中：NH4+、Cl、Na+、SO42 ⑤使甲基橙变红的溶液中：MnO4、NO3、Na+、Fe3+ ⑥室温下c(H+)/c(OH)＝1012的溶液中：Fe2+、Al3+、NO3、I A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．③⑥ ．常温下，0.1 mol/L某一元酸（HA）溶液中1×10－8，下列叙述正确的是A．溶液的pH1 B．溶液中加入一定量NaOH固体或加水稀释，溶液的c(OH)均增大 C．溶液中c(H+)＋c(A)＝0.1 mol/L D．溶液中水电离出的c(H+)＝1010 mol/L 12．下列关于电解质溶液的叙述正确的是A．中和pH与体积均相同的盐酸和醋酸溶液，消耗NaOH的物质的量相同 B常温下，pH7的NH4Cl与氨水的混合溶液中：c(Cl)＞c(NH4+)＞c(H+)c(OH－) C．常温下，同浓度的Na2CO3与NaHCO3溶液相比，Na2CO3溶液的pH大 D．．下图为某原电池的结构示意图，下列说法中，不正确的是A．原电池工作时的总反应为Zn＋Cu2+＝Zn2+＋Cu B．原电池工作时，Zn电极流出电子，发生氧化反应 C．如将Cu电极改为Fe电极，CuSO4溶液改为FeSO4溶液，则Zn电极依然作负极 D．盐桥中装有琼脂饱和氯化钾溶液，则盐桥中的K＋移向ZnSO4溶液．一定温度下，溴化银在水中的沉淀溶解平衡曲线如下图。
河北省邯郸市2015-2016年高二上期末数学试卷理含答案解析
2015-2016学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＞ab B．ab＜b2C．＞D．＞2．“∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣2＜0 B．∀x∈R，x2﹣2≤0C．∃x0∈R，x﹣2＜0 D．∃x0∈R，x﹣2≤03．在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，则a15=（）A．20 B．25 C．45 D．754．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=（）A．B．C．D．5．函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y+1=0 D．x+2y﹣1=06．“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．29．经过点（3，﹣）的双曲线﹣=1，其一条渐近线方程为y=x，该双曲线的焦距为（）A．B．2 C．2D．410．若函数f（x）=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为（）A．4 B．9 C．18 D．8111．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．12．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|（≤λ≤2），∠F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为（）A．（0，] B．[，]C．[，]D．[，1）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．已知=（2，3，1），=（x，y，2），若∥，则x+y=．14．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．15．已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t=．16．对于正整数n，设曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列{a n}的前n项和为S n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}，公差为2，的前n项和为S n，且a1，S2，S4成等比数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac（1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．20．如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE ⊥底面ABC，F为BC的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥BD；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．21．已知函数f（x）=ax2+bx在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若（m+3）x﹣x2e x+2x2≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，求实数m的取值范围．22．曲线C上的动点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为时，求直线l的方程．2015-2016学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＞ab B．ab＜b2C．＞D．＞【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a2＞ab，ab＞b2，，b2＜a2即．故选：A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．“∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣2＜0 B．∀x∈R，x2﹣2≤0C．∃x0∈R，x﹣2＜0 D．∃x0∈R，x﹣2≤0【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x0∈R，x﹣2≤0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，则a15=（）A．20 B．25 C．45 D．75【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的第15项．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a5=5，a10=15，∴，解得a1=﹣3，d=2，∴a15=﹣3+14×2=25．故选：B．【点评】本题考查等差数列的第15项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解．【解答】解：∵a=3，A=45°，B=60°，∴由正弦定理可得：b===．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．5．函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．x﹣2y+1=0 D．x+2y﹣1=0【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=+1，则f′（1）=1+1=2，即切线斜率k=2，则函数y=lnx+x在点（1，1）处的切线方程是y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，故选：A．【点评】本题主要考查函数的切线的求解，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．6．“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】x2+x+m=0无实根⇔△＜0，即可判断出结论．【解答】解：x2+x+m=0无实根⇔△=1﹣4m＜0，⇔m．∴“m＞0”是“x2+x+m=0无实根”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】结合图象，根据导数大于零，即导函数的图象在x轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，符号相反，因此根据图象即可求得极值点的个数，【解答】解：结合函数图象，根据极值的定义可知在该点处从左向右导数符号相反，从图象上可看出符合条件的有3点，故选：A．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及学生的识图能力．属于基础题．8．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】设等比数列{a n}是公比为q的递增的等比数列，运用等比数列的性质，求得a1=1，a5=16，再由等比数列的通项公式求得公比即可．【解答】解：设等比数列{a n}是公比为q的递增的等比数列，由a2a4=16，可得a1a5=16，又a1+a5=17，解得或（不合题意，舍去），即有q4=16，解得q=2（负的舍去）．故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题．9．经过点（3，﹣）的双曲线﹣=1，其一条渐近线方程为y=x，该双曲线的焦距为（）A．B．2 C．2D．4【分析】将点（3，﹣）代入双曲线的方程，由渐近线方程可得=，解得a，b，可得c=2，进而得到焦距2c=4．【解答】解：点（3，﹣）在双曲线﹣=1上，可得﹣=1，又渐近线方程为y=±x，一条渐近线方程为y=x，可得=，解得a=，b=1，可得c==2，即有焦距为2c=4．故选：D．【点评】本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用点满足双曲线的方程和渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．10．若函数f（x）=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为（）A．4 B．9 C．18 D．81【分析】求出函数的导数，得到2a+b=4，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：f′（x）=4x3﹣2ax﹣b，若f（x）在x=1处有极值，则f′（x）=4﹣2a﹣b=0，∴2a+b=4，∴9a+3b=32a+3b≥2=18，当且仅当9a=3b时“=”成立，故选：C．【点评】本题考查了导数的应用，考查基本不等式的性质，是一道基础题．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则D（0，0，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），B（1，1，0），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，1，0），设平面A1BD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，﹣1），设直线DC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ===，∴cosθ==．∴直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|（≤λ≤2），∠F1PF2=，则椭圆离心率的取值范围为（）A．（0，] B．[，]C．[，]D．[，1）【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），运用椭圆的定义和勾股定理，求得e2=，令m=λ+1，可得λ=m﹣1，即有==2（﹣）2+，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，即有（λ+1）t=2a①由∠F1PF2=，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，即为（λ2+1）t2=4c2，②由②÷①2，可得e2=，令m=λ+1，可得λ=m﹣1，即有==2（﹣）2+，由≤λ≤2，可得≤m≤3，即≤≤，则m=2时，取得最小值；m=或3时，取得最大值．即有≤e2≤，解得≤e≤．故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．已知=（2，3，1），=（x，y，2），若∥，则x+y=10．【分析】根据向量的共线定理，列出方程组求出x、y的值，再计算x+y的值．【解答】解：∵=（2，3，1），=（x，y，2），且∥，∴==，解得x=4，y=6；∴x+y=10．故答案为：10．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．14．若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣2．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（，）时，直线的截距最大，z取最小值﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．15．已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t=．【分析】设轮船的速度为v，求出BC，即可得出结论．【解答】解：设轮船的速度为v，则AB=v，PA=AC=v，∴BC=（﹣1）v，∴t==．故答案为：．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．16．对于正整数n，设曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列{a n}的前n项和为S n=2n+2﹣4．【分析】利用导数的几何意义求出切线方程为y=﹣2n（x﹣2），从而得到a n=2n+1，利用等比数列的求和公式能求出S n．【解答】解：∵y=x n（2﹣x），∴y'=2nx n﹣1﹣（n+1）x n，∴曲线y=x n（2﹣x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣（n+1）2n=﹣2n，切点为（2，0），∴切线方程为y=﹣2n（x﹣2），令x=0得a n=2n+1，∴S n==2n+2﹣4，故答案为：2n+2﹣4．【点评】考查学生利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及利用等比数列的求和公式进行数列求和的能力．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{a n}，公差为2，的前n项和为S n，且a1，S2，S4成等比数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1））由a1，S2，S4成等比数列得．化简解得a1，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1））由a1，S2，S4成等比数列得．化简得，又d=2，解得a1=1，故数列{a n}的通项公式…（2）∵∴由（1）得，∴=…．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac（1）求角B；（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．【分析】（1）由余弦定理变形已知式子可得cosB的值，可得B值；（2）由题意和正弦定理可得c=2a，代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值，可得三角形为直角三角形，由面积公式可得．【解答】解：（1）∵（a+c）2﹣b2=3ac，∴b2=a2﹣ac+c2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴∵B∈（0，π），∴；（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2，解得，，满足a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的面积S=×2×6=6．【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程．【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程；（2）利用点差法求出直线l的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为，由抛物线的定义可知解得p=4∴C的方程为y2=8x．（2）由（1）得抛物线C的方程为y2=8x，焦点F（2，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则两式相减．整理得∵线段AB中点的纵坐标为﹣1∴直线l的斜率直线l的方程为y﹣0=﹣4（x﹣2）即4x+y﹣8=0【点评】本题考查抛物线的定义与方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE ⊥底面ABC，F为BC的中点．（Ⅰ）求证：AF⊥BD；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．【分析】（1）推导出AF⊥BC，从而AF⊥DC，进而AF⊥面BCD，由此能证明AF⊥BD．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF⊂底面ABC，∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC⊂面BCD，∴AF⊥面BCD，又BD⊂面BCD，∴AF⊥BD．…解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系如图，∴B（2，0，0），D（0，2，2），E（0，0，1），，，设面BED 的一个法向量为，则，令z=2得x=1，y=﹣1，∴，又面ABE 的一个法向量为，∴，∵二面角A ﹣BE ﹣D 的平面角是锐角，∴二面角A ﹣BE ﹣D 的余弦值为．…【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．已知函数f （x ）=ax 2+bx 在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）若（m +3）x ﹣x 2e x +2x 2≤f （x ）对于任意的x ∈（0，+∞）成立，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据极值的定义得到关于a ，b 的方程组，求出a ，b 的值，从而求出f （x ）的表达式；（Ⅱ）问题等价于m ≤xe x ﹣x 2﹣2x 于任意的x ∈（0，+∞）成立，设h （x ）=xe x ﹣x 2﹣2x ，根据函数的单调性求出m 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=ax 3+bx 在x=1处取得极值2，∴，解得，∴f （x ）=﹣x 3+3x …（Ⅱ）∵（m +3）x ﹣x 2e x +2x 2≤f （x ）对于任意的x ∈（0，+∞）成立，∴（m +3）x ﹣x 2e x +2x 2≤﹣x 3+3x⇔m ≤xe x ﹣x 2﹣2x 于任意的x ∈（0，+∞）成立设h（x）=xe x﹣x2﹣2x，则h′（x）=e x+xe x﹣2x﹣2=（x+1）（e x﹣2），令h′（x）=0解得x=ln2，且当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0；当x＞ln2时，h′（x）＞0，∴h（x）=xe x﹣x2﹣2x在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，∴，∴m≤﹣（ln2）2．【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．22．曲线C上的动点M到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=3的距离之比是1：．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为时，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理即可得到所求方程；（Ⅱ）当l斜率不存在时，l方程为x=1，求得A，B的坐标，以及△ABO的面积；由直线l斜率存在，设l方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）由题意可得，，整理得，则曲线C的方程为；（Ⅱ）当l斜率不存在时，l方程为x=1，此时l与C的交点分别为，，即有，则，由直线l斜率存在，设l方程为y=k（x﹣1），由，得，，∴．设O到l的距离为d，则，∴，解得k=±1．综上所述，当△ABO面积为时，l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．2016年7月31日。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-有答案-通用版
2015年秋季学期期中质量调研考试高二数学（理科）试题一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{2,0,1,4}A =，集合{04,R}=<≤∈B x x x ，集合C A B = ．则集合C 可表示为A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22-- 3．下列函数中，为奇函数的是A ．122xx y =+ B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4．下面几种推理中是演绎推理．．．．的为A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈； C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=5．已知()()32213af x x a x=+-+,若()18f '-=,则()1f -= A ．4 B ．5 C ．2- D ．3- 6．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．如图1，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+ 与直线1y x =+围成的区域为M （图中阴影部分）． 则区域M 面积与矩形OABC 面积之比为 A ．118 B ．112C ．16 D ．1311+8. 已知可导函数()f x ()x ÎR 满足()()f x f x ¢>，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为A. ()<e (0)a f a fB. ()>e (0)a f a fC. ()=e (0)a f a fD. ()e (0)a f a f ≤ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数f x =()的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2 的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几 何体的体积是 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y+=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． 14. 已知111()1()23f n n n+=+++鬃??N ，且27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时，有__________________________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()212A f +=．求sin B ．16.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：2222n n n na a S a -+=，且0,.n a n +>∈N（1）求123,,;a a a（2）猜想}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明17．（本小题满分14分）如图3所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为 矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥， 4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ；（2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈． （1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19.（本小题满分14分）设双曲线C ：12222=-by a x （a >0，b >0）的一个焦点坐标为（3，0），离心率e =A 、B 是双曲线上的两点，AB 的中点M （1，2）.（1）求双曲线C 的方程； （2）求直线AB 方程；（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？20．（本小题满分14分）设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.ADBCFE图3参考答案9． {2}x x ≥； 10． 83； 11．2214y x -=； 12．6；13．123n n -⋅-； 14．2(2)2n n f +>；三、解答题15．解：（1）由题意可得π()112f =，即πsin()16ϕ+=． ……………………………2分0πϕ<< ，ππ7π666ϕ∴<+<， ππ62ϕ∴+=， π3ϕ∴=． ……………5分（2）222a b c ab +-= ，2221cos 22a b c C ab +-∴==， (7)分sin C ∴==． …………………………………………8分 由（1）知π()sin(2)3f x x =+，π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈ ， sin A ∴==， ……………………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ ，1sin sin cos cos sin 2B A C A C ∴=+==12分 16． （1）1111112a a S a ==+-，所以，11a =-?，又∵0n a >，所以11a =.221221=12a S a a a +=+-， 所以2a =, 3312331=12a S a a a a ++=+- 所以3a =（2）猜想n a =证明： 1o 当1n =时，由（1）知11a =成立．2o 假设()n k k +=?N 时，k a =成立1+11111=(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a +++-=+--+- 1112k k a a ++=+-所以21120k k a +++-=1k a +=所以当1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n +ÎN 都成立．17．解：（法一）（1）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，//BF CG 且BF CG =，∴ 四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =． ∴ …………2分四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =，//FG AD ∴且FG AD =，∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ． DG ⊂ 平面CDE ，AF ⊄平面CDE ，//AF ∴平面CDE ． ……………………………………………………4分（2）过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ，连接FP ，EP ，AP ，////EP BC AD ，∴A ，P ，E ，D 四点共面．四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴EP CD ⊥，EP CE ⊥，又 CD CE C = ，EP ∴⊥平面CDE ，∴EP DE ⊥，又 平面ADE 平面BCEF EP =，∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角．……………………7分4DC CE ==，∴cos CE DEC DE ∠==． 即平面ADE 与平面BCEF ． ……………………9分 （3）过点F 作FH AP ⊥于H ，连接EH ，根据（2）知A ，P ，E ，D 四点共面，////EP BC AD ，∴BC BF ⊥，BC AB ⊥，AD BC FEP又 AB BF B = ， BC ∴⊥平面ABP ， ∴BC FH ⊥，则FH EP ⊥．又 FH AP ⊥， FH ∴⊥平面ADE ．∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠． ……………………………11分4DC CE ==，2BC BF ==，∴0sin 45FH FP ==EF ==HE =，∴cos HE HEF EF ∠===． 即直线EF 与平面ADE． ……………………………14分 （法二）（1） 四边形BCEF 为直角梯形，四边形∴BC CE ⊥，BC CD ⊥， 又 平面ABCD ⊥平面BCEF ，且 平面ABCD 平面BCEF BC =，DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ， 则(0,2,4)AF =- ，(2,0,0)CB =． ………………2分BC CD ⊥ ，BC CE ⊥， CB ∴为平面CDE 的一个法向量．又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，//AF ∴平面CDE ． …………………………………………………………4分（2）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =- ，(0,4,4)DE =-，∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩， 取11z =，得1(0,1,1)n = ． ……………………………6分 DC ⊥ 平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则cos α= 因此，平面ADE 与平面BCEF． …………………9分 （3）根据（2）知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =，(2,2,0)EF =- ，1111cos ,2EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅，………12分 设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则cos sin ,EF n θ=<因此，直线EF 与平面ADE． ………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．18． 解：（1）当=1n 时，有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+）（），解得1=8a ．当=2n 时，有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+，解得2=27a ．……………2分（2）（法一）当2n ≥时，有2(2)4(1)1n n n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=． …………………② ①—②得：221(2)(1)41n n n n a n a a n n-++=-+，即：331(1)=n n a n a n -+．…………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-…．∴ 3=(1)n a n + (2)n ≥．………………………………………8分 另解：33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a nn ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+- ． 又 当=1n 时，有1=8a ， ∴3=(1)n a n +． …………………………8分（法二）根据1=8a ，2=27a ，猜想：3=(1)na n +． ………………………………3分用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时，有318(11)a ==+，猜想成立． （Ⅱ）假设当n k =时，猜想也成立，即：3=(1)k a k +．那么当1n k =+时，有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++，即：211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++，………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+， …………………………②①-②得：22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++， 解，得33+1(2)(11)k a k k =+=++． ∴当1n k =+时，猜想也成立． 因此，由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立．………………………………………8分（3） 211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++))， .................................10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++ (22222)11111=234(1)n n ++++++ (2)11111<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+… 111111111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+… 1113=4214n +-<+．………………………………………14分19．解：（1）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===33a ce c ，解得a =1. （1分） 所以222312b c a =-=-=， （2分）故双曲线C 的方程为2212y x -=. （3分） （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩. 两式相减得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=-+ ， （4分） 由题意得12x x ≠，221=+x x ，421=+y y ， （5分） 所以1)(221212121=++=--y y x x x x y y ，即1=AB k . （6分）故直线AB 的方程为1y x =+. （7分） （3）假设A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为P. 因为AB 为圆P 的弦，所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上；又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ，故圆心P 为CD 中点M . （8分） 下面只需证CD 的中点M 满足|MA |=|MB |=|MC |=|MD |即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：A （-1，0），B （3，4）. （9分）由（1）得直线CD 方程：3y x =-+， （10分）由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：C （-3+52，6-52），D （-3-52，6+52）， （11分）所以CD 的中点M （-3，6）. （12分） 因为102364||=+=MA ，102436||=+=MB ，1022020||=+=MC ，1022020||=+=MD ， （13分）所以||||||||MD MC MB MA ===，即 A 、B 、C 、D 四点在以点M （-3，6）为圆心，102为半径的圆上. （14分） 20．解：（1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：故函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（a ，+∞）；单调递减区间为（-1，a ）；（4分） 因此)(x f 在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ， （5分）解得103a <<， 所以a 的取值范围是（0，31）. （6分） （2）当a =1时，131)(3--=x x x f . 由（1）可知，函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；31)1()(-=-=f x f 极大值. （7分）①当t +3<-1，即t <-4时，因为)(x f 在区间[t ，t +3]上单调递增，所以)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值为583311)3()3(31)3()(233max +++=-+-+=+=t t t t t t f x f ； （9分） ②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . （10分）由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，且-1 [t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(max -=-=f x f ； （11分） ③当t +3>2，即t >-1时， 由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间（1，+∞）上单调递增，所以)2()3(f t f >+，故)(x f 在[],3t t +上的最大值为58331)3()(23max +++=+=t t t t f x f . （13分） 综上所述，当a =1时，)(x f 在[t ，t +3]上的最大值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23max t t t t t t x f 或. （14分）。
河北省广平县第一中学高二数学5月月考试题 理
河北省广平一中2015—2016学年第二学期高二年级5月月考数学试卷 （理）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共60分)1．若随机变量ξ的分布列如下表，则Eξ的值为( )ξ 0 1 2 3 4 5P2x3x7x2x3x xA.118 B.19 C.209D.9202．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝x ＋1上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝－2x 上3．过点A (2,3)的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋2t .(t 为参数)，若此直线与直线x －y ＋3＝0相交于点B ，则|AB |＝( )A ． 5B ．2 5C ．3 5D ．3524．在极坐标系中，过点(2，π3)且与极轴平行的直线的方程是( ) A ．ρcos θ＝ 3 B ．ρsin θ＝ 3 C ．ρ＝3cos θD ．ρ＝3sin θ5．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B (n ，p )，则D 2ξEξ2等于( )A ．p 2B ．npC ．(1－p )2D ．p 2(1－p )6．以下关于独立性检验的说法中，错误的是( ) A ．独立性检验得到的结论一定准确 B ．独立性检验依赖于小概率原理C ．样本不同，独立性检验的结论可能有差异D ．独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法7．对两个分类变量A ，B 的下列说法中，正确的个数为( )①A 与B 无关，即A 与B 互不影响；②A 与B 关系越密切，则K 2的值就越大；③K 2的大小是判定A 与B 是否相关的唯一依据．A ．0B ．1C ．2D ．38．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )9．对于独立性检验，下列说法正确的是( )A ．K 2>3.841时，有95%的把握说事件A 与B 无关B ．K 2>6.635时，有99%的把握说事件A 与B 有关C ．K 2≤3.841时，有95%的把握说事件A 与B 有关D ．K 2>6.635时，有95%的把握说事件A 与B 无关10．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机抽取了50名学生，得到如下列联表：喜欢数学 不喜欢数学 合计 男 13 10 23 女 7 20 27 合计 20 30 50根据表中数据，得到k ＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844>3.841，你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系，这种判断犯错误的概率不超过( )A ．0B ．0.05C ．0.01D ．111．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )．图1 图2A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 12．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ，y )；④有一个2×2列联表中，由计算得K 2的观测值k ＝13.079，则有99.9%的把握认为这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3本题可以参考独立性检验临界值表：P (K 2≥k ) 0.5 0.40 0.25 0.15 0.10 0.050.0250.010 0.005 0.001 k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.879[GK ]10.828二、填空题（本题共４道小题，每小题５分，共２0分）13．若点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数，θ∈R )上，则yx的取值范围是________．14 .在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ与ρsin θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．15．下面是一个2×2列联表：y 1 y 2 总计 x 1 a 21 73 x 22 25 27 总计b 46 100则表中a ，b 的值分别为____________．16. 随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，已知P (ξ＜0)＝0.3，则P (ξ＜2)＝________.三、解答题（本题共6道小题,第17题10分,其余各题每题１２分共70分）17．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b ，Eη＝1，Dη＝11，试求a ，b 的值．18．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛；第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立．求：(1)打满3局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望Eξ.19．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．20．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.P(K2≥k)0.05 0.01k 3.841 6.63521．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.P(K2≥k)0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.63522．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N (60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？广平一中2015--2016学年第二学期高二年级5月考数学试卷答案1解析：由分布列性质得2x ＋3x ＋7x ＋2x ＋3x ＋x ＝1，得x ＝118，Eξ＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x＋4×3x ＋5×x ＝40x ＝209，故选C.答案：C 2 [答案] D[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，消参得(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y ＝－2x 上，故选D ． 3 [答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋2t .消去t 得，2x －y －1＝0与x －y ＋3＝0联立得交点B (4,7)，∴|AB |＝2 5.[点评] 本题可将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋2t .代入x －y ＋3＝0得t ＝2，由|AB |＝a 2＋b 2t 得|AB |＝2 5.4 [答案] C5解析：应当熟记二项分布ξ的期望和方差的计算公式：Eξ＝np ，Dξ＝npq ，(q ＝1－p )．因为ξ～B (n ，p )，D 2(ξ)＝2，(Eξ)2＝(np )2；所以，D 2ξEξ2＝[np 1－p ]2np2＝(1－p )2. 答案：B6解析：选A.根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件，但并不一定是准确的7解析：选B.①正确，A 与B 无关即A 与B 相互独立；②不正确，K 2的值的大小只是用来检验A 与B 是否相互独立；③不正确，例如借助二维条形图等，也可判定A 与B 是否相关．故选B.8解析：选D.在四幅图中，D 图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D.9解析：选B.由独立性检验的知识知：K 2>3.841时，有95%的把握认为“变量X 与Y 有关系”；K 2>6.635时，有99%的把握认为“变量X 与Y 有关系”．故选项B 正确．10.解析：选B.∵4.844>3.841，根据临界值表可知，认为性别与是否喜欢数学关系，这种判断犯错误的概率不超过0.05.11 .C12. B 解析：一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x 的系数具备直线斜率的功能，对于回归直线方程y ^＝3－5x ，当x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ，y )，③正确；因为K 2的观测值k ＝13.079＞10.828，故有99.9%的把握认为这两个变量有关系，④正确．13[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞) [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2＋sin θ，消去参数θ得x 2＋(y －2)2＝1，①设y x＝k ，则y ＝kx ，代入①式并化简，得(1＋k 2)x 2－4kx ＋3＝0，此方程有实数根，∴Δ＝16k 2－12(1＋k 2)≥0，解得k ≤－3或k ≥ 3.14 [答案] (1,1)15 解析：a ＝73－21＝52，b ＝a ＋2＝54.答案：52,5416 .答案 0.717. 解析：(1)ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 P1212011032015∴Eξ＝0×12＋1×120＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5.Dξ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由Dη＝a 2Dξ，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2.又Eη＝aEξ＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2.当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.即为所求．18.解析：令A k 、B k 、C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为P (A 1C 2B 3)＋P (B 1C 2A 3)＝123＋123＝14.(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝122＋122＝12， P (ξ＝3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3)＝123＋123＝14， P (ξ＝4)＝P (A 1C 2B 3B 4)＋P (B 1C 2A 3A 4)＝124＋124＝18， P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116， P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116，故有分布列：从而Eξ＝2×12＋3×14＋4×8＋5×16＋6×16＝16(局)．19. [解析] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)直线l 的普通方程为：2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.20．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：合计 75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 K 2的观测值k ＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030＜3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}．其中a i 表示男性，i ＝1,2,3.b j 表示女性，j ＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的． 用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}， 事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.21. 解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝100×60×10－20×10270×30×80×20＝10021≈4.762.因为 4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2；b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.22. 解析 设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60,100)． 则μ＝60，σ＝10.(1)P (30＜X ≤90)＝P (60－3×10＜X ≤60＋3×10)＝0.997 4. ∴P (X ＞90)＝12[1－P (30＜X ≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x . 则P (X ≥x 0)＝0.022 8.∴P (120－x 0＜x ＜x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P (60－2×10＜x ＜60＋2×10)＝0.954 4. ∴x 0＝60＋2×10＝80(分)．。
河北省广平县第一中学2015-2016学年高二上学期第四次月考理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.抛物线28x y =的焦点F 的坐标是 （ ）A 、(2,0)-B 、(2,0)C 、(0,2)-D 、(0,2)【答案】D 【解析】试题分析：由抛物线方程可知2822pp =∴=，所以焦点为(0,2) 考点：抛物线方程及性质2.与向量a ＝(0,2，－4)共线的向量是( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2) 1.(01)2D -，， 【答案】D 【解析】 试题分析：()10,2,440,,12⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以向量()0,2,4-与10,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭共线 考点：向量共线3.下列说法中正确的是 （ ） A 、 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B 、 “a b >”与“ a c b c +>+”不等价C 、 “220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D 、 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 【答案】D 【解析】试题分析：A 中逆命题和否命题真假性相同；B 中由a b >可得a c b c +>+，反之成立，因此两者等价；C中逆否命题为“若,a b 不全为0, 则220a b +≠”；D 中正确 考点：四种命题4.“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ） A 、必要不充分条件 B 、 充分不必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：222cos sin cos 212y ax ax ax T a aππ=-=∴==∴=±，所以“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的充分不必要条件考点：1.函数周期；2.充分条件与必要条件5.设[]0,απ∈，则方程22sin cos 1x y αα+=不能表示的曲线为（ ）A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、圆【答案】C 【解析】试题分析：0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且4πα≠时表示椭圆，当4πα=时表示圆，当0α=时表示直线；当,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时表示双曲线考点：圆锥曲线方程6.已知数列{}n a 中，372,1a a ==，且数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a =（ ）A 、25-B 、12C 、5D 、23【答案】B 【解析】 试题分析：数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第三项为31113a =+，第七项为71112a =+，所以第十一项为111213a =+ 1112a ∴=考点：等差数列7.方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ）.A. 11<<-kB. 11-<>k k 或C. 0>kD. 0≥k 【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线方程特点可知()()1101k k k +-<∴>或1k <- 考点：双曲线方程8.已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 （ ）A 、630 B 、7 C 、630或7 D 、65或7 【答案】C 【解析】试题分析：实数4,,9m 构成一个等比数列2366m m ∴=∴=±，当6m =时曲线为椭圆2226,15c a b c e a ==∴=∴==6m =-时曲线为双曲线2221,67a b c e ==∴=∴= 考点：椭圆双曲线方程及性质9.设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2－4y 2＝1 B ．4y 2－x 2＝1 C ．x 2－24y ＝1 D. 22x －y 2＝1【答案】A 【解析】试题分析：设()(),2,2M x y P x y ∴，代入双曲线得()()2222221414x y x y -=∴-=考点：轨迹方程10.正方体ABCD -1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为( ) ABC ．D ．23【答案】C 【解析】试题分析：如图，设上下底面的中心分别为1,O O1O O 与平面1ACD 所成角就是1BB 与平面1ACD 所成角，1111cos O O O OD OD ∠=== 考点：线面所成角11.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a 11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是( )A .－21a+21b+c B .21a+21b+c C .21a －21b+c D .－21a －21b+c 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得111111112B M B A A A AM B A A A AC =++=++()11112B A A A AB AD =+++ ()111222a c ab a bc =-+++=-++ 考点：相等向量与相反向量12.＝k(x －2)＋3有两个不等实根，则k 的取值范围为( )53.(]124A ， 3.[,)4B +∞ 5.(]12C -∞， 53.()124D ，【答案】A 【解析】试题分析：作函数y =与直线()23y k x =-+的图象如下结合图象可知， 当过点（-2，0）时，303224k -==+，当直线()23y k x =-+2 解得，512k =，故k 的取值范围是53(]124， 考点：第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点()4,2P --的抛物线方程为 【答案】28x y =- 【解析】试题分析：设抛物线为22x py =，代入点()4,2P --得2288p x y =-∴=-考点：抛物线方程14.已知函数()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是【答案】3a <- 或6a > 【解析】试题分析：()()()()32'261326f x x ax a x fx x ax a =++++∴=+++，函数有两个极值，所以()'0f x =有两个不等的实数根，所以()20443603a a a ∆>∴-⨯+>∴<-或6a >考点：函数导数与极值15.在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为,,A B C ，若2220a b c +-+=，则角C 的大小为 【答案】34π 【解析】试题分析：22222222230cos 24a b c a b c a b c C C ab π+-+-=∴+-=∴===考点：余弦定理解三角形16.在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-，2BA BC ⋅=，则ABC ∆的面积为 ．【答案】考点：1.正弦定理；2.向量数量积运算三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）（1）已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8 ，求该椭圆的标准方程；（2）求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点(3,2)M -的双曲线的方程.【答案】(1)2212516x y +=或2212516y x += (2) 22168x y -= 【解析】试题分析：(1) 由椭圆的焦距是8，离心率0.8，先求出a=5，c=4，b ，由此能求出椭圆的标准方程；（2）与22143y x -=有相同渐近线的方程可设为2243y x λ-=代入点(3,2)M -可求得λ值，进而得到所求方程 试题解析：(1)由题意得28,0.85,43cc a c b a==∴==∴=，焦点可在x 轴可在y 轴，所以方程为2212516x y +=或2212516y x += (2)设所求方程为2243y x λ-=，代入点(3,2)M -得2λ=-2222214368y x x y ∴-=-∴-=考点：椭圆双曲线方程18.（本小题满分12分）已知函数()32f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[-2，2]的最大值与最小值． 【答案】（1）()32122f x x x x =--（2）最大值2，最小值-6 【解析】试题分析：（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a ，b 的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式；（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x 的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到结果 试题解析：（1）()()32'2'2124320393f x x ax bx f x x ax b f a b ⎛⎫=++∴=++∴-=-+= ⎪⎝⎭ ()'1320f a b =++=1,22a b ∴=-=-，所以解析式为()32122f x x x x =--（2）由（1）得()()()'232321fx x x x x =--=+-，由()'0f x >得增区间为()22,,1,23⎛⎫--⎪⎝⎭，由()'0f x <得减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()()322226,22,1,2327f f f f ⎛⎫-=-==--=⎪⎝⎭，所以函数最大值为()22f =，最小值为()26f -=-考点：1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.函数在某点取得极值的条件19.（本小题满分12分） (本小题满分12分）已知函数()ln ,()f x x a x a R =-∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间； 【答案】（Ⅰ）x+y ﹣2=0（Ⅱ）当a ＞﹣1时，h （x ）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1， +∞）上单调递增当a≤﹣1时，h （x ）在（0，+∞）上单调递增试题分析：（1）欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率；（2）先求出h （x ）的导数，根据h ′（x ）＞0求得的区间是单调增区间，h ′（x ）＜0求得的区间是单调减区间，从而问题解决试题解析：（Ⅰ）当a=2时，f （x ）=x ﹣2lnx ，f （1）=1，切点（1，1）， ………1分∴()'21f x x=-，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1， ………………2分 ∴曲线f （x ）在点（1，1）处的切线方程为：y ﹣1=﹣（x ﹣1），即x+y ﹣2=0．………3分 （Ⅱ）()1ln ah x x a x x+=-+，定义域为（0，+∞），()()()()2'22211111x x a x ax a a a h x x x x x+-+⎡⎤--++⎣⎦=--==……………4分 ①当a+1＞0，即a ＞﹣1时，令h′（x ）＞0， ∵x ＞0，∴x ＞1+a令h′（x ）＜0，∵x ＞0，∴0＜x ＜1+a ． …………………5分 ②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x ）＞0恒成立， …………………6分 综上：当a ＞﹣1时，h （x ）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h （x ）在（0，+∞）上单调递增． …………………7分 考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数的单调性20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD=60°，Q 为AD 的中点．（1）若PA=PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA=PD=AD=2，点M 在线段PC 上，且PM=3MC ，求三棱锥P ﹣QBM 的体积．【答案】（1）详见解析（2）34试题分析：（1）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；（2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎体体积公式求出试题解析：（1）∵PA=PD，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB 又AD 平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；—————————————————4分（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PQ⊥BC，又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，又PM=3MC，∴V P﹣QBM=V M﹣PQB=——————————12分考点：1.面面垂直的判定；2.棱锥的体积21.（本小题12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求二面角F-BE-D的余弦值．【答案】(1)详见解析(2)【解析】试题分析：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC ⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出平面BEF的法向量为m和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值试题解析：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC. 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD.又BD ，DE 相交且都在平面BDE 内，从而AC ⊥平面BDE. ----------4 (2)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz ，如图所示．因为DE ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角就是∠DBE.已知BE 与平面ABCD 所成角为60°，所以∠DBE ＝60°，所以DEDB= -------------------6 由AD ＝3可知DE ＝，AF.由A(3，0，0)，F(3，0)，E(0，0，)，B(3，3，0)，C(0，3，0)， 得＝(0，－3)，＝(3，0，－)．设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则即3030y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令z，则n ＝ (4，2)．因为AC ⊥平面BDE ，所以为平面BDE 的法向量m ＝(3，－3，0)，----------10 所以cos 〈n ，m.因为二面角为锐角，所以二面角FBED.------------------12 考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.直线与平面垂直的判定22.（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0，且过点． （1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线l ：y=kx+m （k≠0），与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为k 1、k 2，满足4k=k 1+k 2，试问：当k 变化时，m 2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）212m = 【解析】试题分析：（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程，设()()1122,,,P x y Q x y ．利用韦达定理，通过直线OP 、OQ 的斜率依次为12,k k ，且124k k k =+，求解即可考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程高考一轮复习：。
【数学】河北省邯郸市广平县第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试(文)
河北省广平一中2015—2016学年第一学期高二期中考试文数试卷第Ⅰ卷一．选择题.（每题5分，共计60分） 1、下列说法正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b2、若双曲线12222=-by a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．53、实数0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、抛物线px y 22=上一点Q ),6(0y ,且知Q 点到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离（ ） A . 4B . 16C . 12D . 85、 若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m = （ ） A ．3 B ．23C ．38 D ．32 6、设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．157、设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A.B.3C.D.2 8、已知椭圆的焦点为1F （－1，0）和2F （1，0），P 是椭圆上的一点，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则该椭圆的方程为（ ）A ．191622=+y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14322=+y x 9、数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为( )1F 2F 22221x y a b-=0,0a b >>12F F ，(0,2)P b 3252A.2n 2n ＋1B.2n n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n2n ＋110、已知12F F 、是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆ 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A．3 B．3 C．2D．2 11、在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．712、过双曲线122=-y x 的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（ ） A . ),0[π B . )43,2()2,4(ππππ⋃ C .)43,4(ππ D . ),2()2,0(πππ⋃第Ⅱ卷二．填空题.（每题5分，共计20分）13、命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 . 14、已知数列{}n a 满足: 35a =,121n n a a +=- (*∈N n )，则1a = ________.15、离心率32=e ，焦距42=c 的椭圆的标准方程为 . 16、如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0.在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y取得最大值的点的坐标是________．三．解答题.（共计70分） 17、(10分)解下列不等式：(1)322-<+-x x (2)0412>+-xx18、（12分）（1）解三角形中，若在.120,3,10===∆B b a ABC .(2)..150,2,330c C b a ABC 求边中，若在===∆19、（12分）设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20、（12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （1）求A ；（2）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．21、（12分）已知F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足0=+OB OA （O 是坐标原点），.0212=⋅F F AF 若椭圆的离心率等于.22 （1）求直线AB 的方程；（2）若三角形ABF 2的面积等于24，求椭圆的方程.22、（12分）已知点()0,2A 是椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的右顶点，且椭圆C 的离心率为23．过点()0,3-M 作直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点． （1）求椭圆C 的方程，并求出直线l 的斜率的取值范围；（2）椭圆C 的长轴上是否存在定点()0,n N ，使得QNA PNM ∠=∠恒成立？若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．高二数学文科期中试卷参考答案1-5 CDCDB 1-10 BDCBA 11-12 AB13. 若b a +不是偶数,则b a ,不都是偶数， 14. 2 15. 15922=+y x 或15922=x16.)5,0( 17.（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<23,1x x x 或，（2）、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x18（1）;1,30,3000===c C A （2）719.解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4， 即q 2-q -2＝0，解得q ＝2或q ＝-1(舍去)，因此q ＝2. 所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)易知b n ＝2n -1，则S n ＝－2n 1－2＋n ×1＋nn －2×2＝2n ＋1＋n 2－2.20. 解：(1)0120=A)1....(..........12)32(120cos 2)2(222022=++=-+ab c b ab c b 即：由余弦定理得：)2...(. (1624)22=++=+ab c b c b 平方得：又因为联立（1）、（2）得2==b a21. 解：（1）由0=+知，由直AB 经过原点，又由2122120F F AF F F AF ⊥=⋅知因为椭圆的离心率等于22，所以2221,22a b a c ==，故椭圆方程 2222a y x =+ 设A (x ，y )，由0212=⋅F F AF ，知x = c ，∴A (c ，y )，代入椭圆方程得)21,22(,21a a A a y ∴=， 故直线AB 的斜率.22=k因此直线AB 的方程为.22x y =（2）连结AF 1、BF 1、AF 2、BF 2，由椭圆的对称性可知2112F AF ABF ABF S S S ∆∆∆==， 所以2421221=⋅⋅a c ，又由a c 22=，解得8816,1622=-==b a ，故椭圆的方程为.181622=+y x 22、解：（1）由已知得⎪⎩⎪⎨⎧===232a c e a 解得1,3==b c 则椭圆C 得方程1422=+y x设直线l 的方程为：()3+=x k y 则联立()⎩⎨⎧=++=44322y x x k y 得 ()0436*******2=-+++k x k xk 由0>∆解得5555<<-k(2)假设存在定点()0,n N ,使得QNA PNM ∠=∠恒成立即0=+Q N PN k k 恒成立设点()()2211,,,y x Q y x P 则由(1)知2221222141436,4124k k x x k k x x +-=+-=+ ()()nx x k n x x k n x y n x y k k QN PN -++-+=-+-=+2211221133由()()[]()()n x n x n x x n x x k ---+-+=212121632=()()()()4186221=+----k n x n x n k 得34-=n 故存在定点⎪⎭⎫⎝⎛-0,34N ．。
2015高二(上)期中数学试卷答案
中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。
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2015-2016学年河北省邯郸市广平一中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题.（每题5分，共计60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b⇒a3＞b3D．a2＞b2⇒a＞b 2．（5分）若双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．3．（5分）a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（）A．4 B．8 C．12 D．165．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y为正数，则（x+y）（+）的最小值为（）A．6 B．9 C．12 D．157．（5分）设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．38．（5分）已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=19．（5分）数列的前n项和为（）A． B． C． D．10．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积S△ABC=，则边BC的长为（）A．B．3 C．D．712．（5分）过双曲线x2﹣y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（）A．[0，π） B．（，）C．（，）∪（，） D．（0，）∪（，π）二．填空题.（每题5分，共计20分）13．（5分）（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．14．（5分）已知数列{a n}满足：a3=5，a n+1=2a n﹣1（n∈N*），则a1=．15．（5分）离心率，焦距2c=4的椭圆的标准方程为．16．（5分）图中阴影部分的点满足不等式组，在这些点中，使目标函数k=6x+8y取得最大值的点的坐标是．三．解答题.（共计70分）17．（10分）解下列不等式：（1）﹣2x2+x＜﹣3（2）x2﹣x+＞0．18．（12分）（1）在△ABC中，若a=1，b=，B=120°．解三角形．（2）在△ABC中，若a=3，b=2，C=150°．求边c．19．（12分）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．20．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．21．（12分）已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足+=（O为坐标原点），•=0，且椭圆的离心率为．（1）求直线AB的方程；（2）若△ABF2的面积为4，求椭圆的方程．22．（12分）已知点A（2，0）是椭圆C：的右顶点，且椭圆C的离心率为．过点M（﹣3，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点．（1）求椭圆C的方程，并求出直线l的斜率的取值范围；（2）椭圆C的长轴上是否存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年河北省邯郸市广平一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题.（每题5分，共计60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．a＞b⇒ac2＞bc2B．a＞b⇒a2＞b2C．a＞b⇒a3＞b3D．a2＞b2⇒a＞b 【解答】解：选项A，当c=0时，由a＞b，不能推出ac2＞bc2，故错误；选项B，当a=﹣1，b=﹣2时，显然有a＞b，但a2＜b2，故错误；选项C，当a＞b时，必有a3＞b3，故正确；选项D，当a=﹣2，b=﹣1时，显然有a2＞b2，但却有a＜b，故错误．故选：C．2．（5分）若双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一个焦点为（c，0），一条渐近线方程为bx+ay=0，∵双曲线﹣=1的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，∴=2a，∴b=2a，∴c==a，∴e==．故选：D．3．（5分）a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程ax2+2x+1=0有根，则△=22﹣4a≥0，得a≤1时方程有根，当a＜0时，x1x2=＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，显然a＜0⇒方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根；方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，不一定a＜0．a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．故选：B．4．（5分）抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（）A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：∵Q点到焦点的距离为10，∴，解得p=8．∴焦点到准线的距离=p=8．故选：B．5．（5分）若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选：B．6．（5分）设x，y为正数，则（x+y）（+）的最小值为（）A．6 B．9 C．12 D．15【解答】解：x，y为正数，（x+y）（）=≥1+4+2=9当且仅当时取得“=”∴最小值为9故选：B．7．（5分）设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【解答】解：如图，∵=tan60°，∴=，∴4b2=3c2，∴4（c2﹣a2）=3c2，∴c2=4a2，∴=4，∴e=2．故选：B．8．（5分）已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|=2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=4，a=2c=1∴b2=3，∴椭圆的方程是故选：C．9．（5分）数列的前n项和为（）A． B． C． D．【解答】解：由数列可知数列的通项公式a n==，∴数列的前n项和S=2（）=2（）=，故选：C．10．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题，∴即∴，∴，解之得：（负值舍去）．故选：C．11．（5分）在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积S△ABC=，则边BC的长为（）A．B．3 C．D．7【解答】解：∵=sin60°=，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，故选：A．12．（5分）过双曲线x2﹣y2=1的右焦点且与右支有两个交点的直线，其倾斜角范围是（）A．[0，π） B．（，）C．（，）∪（，） D．（0，）∪（，π）【解答】解：设直线y=k（x﹣），与双曲线方程联立，消去y，可得（1﹣k2）x2+2k2x﹣2k2﹣1=0∵x1x2＞0∴＞0，∴k2＞1，即k＞1或者k＜﹣1①又x1+x2＞0，∴＞0，可得k＞1或者k＜﹣1，②又△=（8k4）﹣4（1﹣k2）（﹣2k2﹣1）＞0解得k∈R③由①②③知k的取值范围是k＜﹣1或k＞1．又斜率不存在时，也成立，∴＜α＜．故选：B．二．填空题.（每题5分，共计20分）13．（5分）（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．14．（5分）已知数列{a n}满足：a3=5，a n+1=2a n﹣1（n∈N*），则a1=2．【解答】解：∵数列{a n}满足：a3=5，a n+1=2a n﹣1（n∈N*），∴a2=×（5+1）=3．a1==2．故答案为：2．15．（5分）离心率，焦距2c=4的椭圆的标准方程为+=1或+=1．【解答】解：∵椭圆的焦距是4，离心率，∴c=2，=，解得a=3，b2=a2﹣c2=9﹣4=5，∴当焦点在x轴上，椭圆的标准方程为+=1；当焦点在y轴上，椭圆的标准方程为+=1．故答案为：或．16．（5分）图中阴影部分的点满足不等式组，在这些点中，使目标函数k=6x+8y取得最大值的点的坐标是（0，5）．【解答】解：由题意画出约束条件的可行域，与直线6x+8y=0平行的直线中，只有经过M点时，目标函数K=6x+8y取得最大值．目标函数K=6x+8y取得最大值时的点的坐标M为：x+y=5与y轴的交点（0，5）．故答案为：（0，5）．三．解答题.（共计70分）17．（10分）解下列不等式：（1）﹣2x2+x＜﹣3（2）x2﹣x+＞0．【解答】解：（1）∵﹣2x2+x＜﹣3，∴2x2﹣x﹣3＞0，解方程2x2﹣x﹣3=0，得x1=﹣1或x=，∴原不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}．（2）∵x2﹣x+=（x﹣）2＞0，∴原不等式的解集为．18．（12分）（1）在△ABC中，若a=1，b=，B=120°．解三角形．（2）在△ABC中，若a=3，b=2，C=150°．求边c．【解答】解：（1）∵a=1，b=，B=120°，∴由正弦定理可得：sinA===，∴结合a＜b，可得A为锐角，解得A=30°，C=180°﹣A﹣B=30°．∴由A=C可得c=a=1．故：A=30°，C=30°，c=1；（2）∵a=3，b=2，C=150°．∴由余弦定理可得：c===7．19．（12分）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵设{a n}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q=2∴{a n}的通项公式为a n=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{b n}是首项为1，公差为2的等差数列∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{a n+b n}的前n项和S n=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣220．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，∴B+C=，则A=；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，解得：bc=4，=bcsinA=×4×=．则S△ABC21．（12分）已知F1、F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足+=（O为坐标原点），•=0，且椭圆的离心率为．（1）求直线AB的方程；（2）若△ABF2的面积为4，求椭圆的方程．【解答】解：（1）由+=0知直线AB过原点，又•=0，∴⊥∴A点的横坐标为x=c，代入椭圆方程得A点纵坐标为y=又∵椭圆的离心率为，即=∴y====c即A（c，c），∴直线AB的斜率为=∴直线AB的方程为y=x=×|OF2|×|y A﹣y B|（2）由对称性知S△ABF2=×c×c=4解得c2=8，∴a2=16，b2=a2﹣c2=8∴椭圆方程为+=122．（12分）已知点A（2，0）是椭圆C：的右顶点，且椭圆C的离心率为．过点M（﹣3，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点．（1）求椭圆C的方程，并求出直线l的斜率的取值范围；（2）椭圆C的长轴上是否存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知得，解得，则椭圆C得方程；设直线l的方程为：y=k（x+3），则联立，得（1+4k2）x2+24k2x+36k2﹣4=0，由△＞0，解得；（2）假设存在定点N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立，即k PN+k QN=0恒成立．设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由（1）知，==，得，故存在定点．。