第三章空间力系
空间力系的平衡
∑Mx(Fi)=0 FNC·CH-G·ED=0 ∑My(Fi)=0 G·EF+FNB·HB-FNA·AH=0 ∑Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0
解得：ＦNA=0.95 kN, FNB=0.05 kN, FNC=0.5kN
力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交时（d=0）， ② 当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之 矩为零。
第3章 空间力系的平衡
z
z
＋
－
z －＋
图 3.6
第3章 空间力系的平衡 3.2.2 合力矩定理
设有一空间力系F１、F2、…、Fn，其合力为FR，则合力对 某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为
第3章 空间力系的平衡
C
D 45° B
45 ° FB
45 °
FC O
G
A
(a)
G2
0.8 m C G
1
0.6 m 0.6 m
0.2 m
A NA
NC B
2m
NB
(b)
160 200 160
FAz Fr2 A
Ft2 r2 r1
FB2 B
FAx
Fr1 F FBx
t1
(c)
图 3.1
第3章 空间力系的平衡
5 4 68.6N 34 5
F3y F3 cos cos 100
5 3 51.5N 34 5
F3z F3 sin 100
3 51.5N 34
第3章 空间力系的平衡 (2） 计算力对轴之矩。
力学第三章空间力系
第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。
Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。
熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。
对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。
能正确地画出各种常见空间的约束反力。
会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。
1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。
在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。
第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
空间力系
第三章 空间力系一、空间汇交力系（一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为⎪⎭⎪⎬⎫===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1）图3-1相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++=（3.2）方向 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===F FF F F F z yx γβθcos cos cos（3.3）（2）二次投影法如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的投影xy F 与x 轴间的夹角ϕ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为γϕλϕγsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，，图3-22．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
即∑=+++=xixn x x Rx FF F F F 21 同理 ∑∑==ziRz yi RyF F F F ，3．空间共点力系的合成空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用点，合力的大小和方向为()()()222∑∑∑++=zyxR F F F F （3.4）()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑R z R R yRR xRF F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos（3.5）（二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即()()()0222=++=∑∑∑zyxR F F F F2．空间汇交力系的平衡方程根据平衡条件，得到空间汇交力系的平衡方程为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===∑∑∑000y x zFFF（3.6）利用上述三个方程，可以求解3个未知量。
第三章 第四节 空间力系的简化
' FR
'' ' FR d FR FR
O'
d FR
MO(FR) =MO=SMO(F ) Mx(FR)=SMx(F )
空间力系对点(轴)之矩的合力矩定理
4. 空间力系简化为力螺旋的情形 FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' // MO 力螺旋 ' FR MO ' FR ' FR MO O O O 右螺旋 力系的中心轴：力螺旋中力的作用线 左螺旋
F1' M2 M1
F2'
O
FR' MO
Fn' ห้องสมุดไป่ตู้M F3' Mn 3 Mi=MO(Fi )
2. 主矢和主矩 主矢：空间力系中所有各力的矢量和 (与简化中心的位置无关)
FR'= SF
主矩：各力对于任选的简化中心 O之矩的矢量和 MO=SMO(F ) (一般与简化中心的位置有关)
三、空间力系的简化结果 合力矩定理 1. 空间力系平衡的情形 FR' =0 MO=0 2. 空间力系简化为一合力偶的情形 FR' =0 MO≠0 (主矩与简化中心的位置无关) 3. 空间力系简化为一合力的情形 合力矩定理 (1) FR' ≠0 MO=0 合力的作用线通过简化中心O，合力矢等于原力系的主矢。 (2) FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' ⊥ MO 合力的作用线通过另一点O ' ，d=MO /FR MO
一、空间力的平移定理 空间力的平移定理：作用在刚体上的一个力，可平行移至刚体 中任意一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原 力对于指定点的力矩矢。
第四节 空间力系的简化
第三章理论力学
因此，其平衡的解析条件为：
F
x
0
x
F
y
0
y
F
z
0
z
M
0
M
0
M
0
------ 平衡方程
共六个方程，可以求解空间任意力系中的六个未知约束力． 3、空间任意力系的两种特殊情况： 1）空间平行力系的平衡方程
Fy F cos
，
方向：＋、－号；
Fz F cos
2）间接投影法（二次投影法） 如果只已知与一根轴的夹 角 ，则通常的做法是：先将 该力向z 轴及其垂面分解（与 垂面的夹角为 90 )，而位于 垂面内的分力，其平面几何关
系比空间几何关系要容易寻找得多，因此只要在该垂面内
找出其与该平面内的两根轴之一的夹角（与另一根轴的夹
第三章
空间力系
注意：本章不作为重点，主要介绍一些基本概念、基本原理 和一些基本方法的应用，但不作为重点练习；个别需 要掌握的内容设有标注，望大家掌握．
一、空间力系：当力系中各分力的作用线分布于 三维空间时，该力系称为空间力 系． 二、空间力系又可根据力系中各分力的作用线的 分布情况划分为：空间汇交力系、空间力偶 系、空间平行力系和空间 任意力系． 三、本章研究的主要问题：力系的简化、合成及 平衡问题．
M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) M z (Fz ) Fy x Fx y
工程力学—空间力系力的投影
力的投影和分量的区别： 力的投影是标量，而力的分量是矢量； 对于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小。
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
例4-1 如图所示，已知圆柱斜齿轮所受的总啮 合力F =10 kN，齿轮压力角 = 20º ，螺旋角 = 25º 。 试计算齿轮所受的圆周力Ft﹑轴向力Fa和径向力Fr。
由二次投影法得
Fx Fn sin 3.97kN
Fy Fn cos 8.52kN
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
例4-2 如图所示，在数控车床上加工外圆时， 已知被加工件S对车刀D的作用力（即切削抗力）的 三个分力为：Fx = 300 N，Fy = 600 N，Fz = 1500 N。 试求合力的大小和方向。
2 x 2 y
2 z
F
2
Fz
300 600 1500 N
2 2
Fy
Fx
1643 N
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
合力的大小为
F F F F 1643 N
2 x 2 y 2 z
合力与 x、y、z 轴的夹角分别为
F
Fy
Fz
Fx 300 o arccos arccos 79 29 F 1643 Fy 600 o arccos arccos 68 35 F 1643 Fz 1500 arccos arccos F 1643 o arccos(0.9130 ) 155 55
F
S
D
Fz
Fy
Fx
第 1 节 力在直角坐标轴上的投影
第三章 空间力系
工程力学：第三章 空间问题的受力分析
。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
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● FR 0, MO 0
n
MO MO (Fi ) i 1
★ 由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下， 主矩与简化中心的位置无关。
空间力系
空间任意力系的简化
（2） 空间任意力系简化为一合力的情形 ·合力矩定理
● FR 0, MO 0
合力的作用线通过简化中心
Fz 0, Fx 0, Fy 0,
FE cos P 0 FA FE sin cos 45 0 FB FE sin sin 45 0
解得：
FE P / cos
x
FA FB
2 P tan
2
空间汇交力系
z
FE E
O
A
2.空间力偶的性质
空间力偶
（1）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。
（2）空间力偶等效定理
两个力偶的力偶矩矢相等，则它们是等效的。
推论1：只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长 短，对刚体的作用效果不变。
空间力系
空 间 力 偶 等 效 定 理 证 明
MO(F) z Mz(F)
Fxy
空间力系
例题2 已知：F、 a、b、、, 求:MO(F) 。
解：(1) 直接计算
i jk
MO(F) r F x y z
xa
Fx Fy Fz
y b, z 0
Fx F cos sin , Fy F cos cos Fz F sin
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos(FR ,
i)
Fx FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
cos(FR , k)
Fz FR
平衡条件
n
FR Fi 0 i 1
平衡方程
Fx
0
Fy 0
Fz
0
空间力系
例题1 求：绳的拉力和墙体的约束反力。 解：取球体为研究对象
空间力偶
空间力系
空间力偶
推论2：只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此 平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
空间力系
空间力偶
推论2：只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此 平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
定位矢量？ 滑移矢量？ 力偶矩矢—自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
cos(M , i) M x M
cos(M , j) M y
M
cos(M , k) M z
M
平衡条件
n
Mi 0
i 1
平衡方程
Mix Miy
0 0
Miz 0
空间力系
空间任意力系的简化
M x (F )
yFz
zFy
M y (F ) zFx xFz
M z (F
)
xFy
yFx
x
O ax
y
y
Fy
Fx
Fxy b
空间力系
空间力矩
3.力对点的矩与力对轴的矩的关系
i jk MO(F) r F x y z
Fx Fy Fz
M x (F )
yFz
zFy
研究方法：与平面力系研究的方法相同，但由于 各力的作用线分布在空间，因此平面问题中的一些概 念、理论和方法要作推广和引伸。
空间力系
§4-1 空间汇交力系
空间汇交力系
平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？
1.空间力的投影和分解
z
（1）直接投影法（一次投影法）
Fx
F
cos
Fy F cos
●FR 0, MO 0 (FR MO )
Mo
o FR
o
FR′′ d
FR
o1 FR
空间力系的合力矩定理：
MO (FR ) FRd MO MO (Fi )
FR
o1
空间力系
（3）空间任意力系简化为力螺旋的情形
● FR 0, MO 0 (FR∥MO )
Fz
F cos
Fz F
O Fy
y
Fx
x
空间力系
（2）间接投影法（二次投影法）
空间汇交力系 z
Fx
F
s in
cos
Fy F sin sin
Fz F cos
（3）力沿坐标轴分解
F
O
y
Fxy
x
F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
k)
Fz FR
z MO
O x
MO
[
M
x
(F
)]2
[
M
y
(F
)]2
[
M
z
(F
)]2
cos(MO , i )
M x (F ) MO
cos(MO ,
j)
M y(F MO
)
cos(MO , k )
M z (F ) MO
空间力系
3.空间力偶系的合成与平衡
空间力偶
合力偶矩矢：M M xi M y j M zk
M M1 M2 Mn Mi
M x M1x M2x Mnx Mix M y M1 y M2 y Mny Miy M z M1z M2z Mnz Miz
空间力系
若以r表示矩心O到力F作用点A的矢径，
则矢量 r F 的大小为
z
r F 2 AOAB
MO (F )
空间力矩
BF
方向也可由右手螺旋法则确定
故：
MO(F) r F
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
即：力对点的矩等于矩心到 该力作用点的矢径与该力的矢量积。
空间力系
力对点之矩的解析表达式：
r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
z
MO (F )
空间力矩
BF
i jk
MO(F) r F x y z
O
h
Fx Fy Fz
x
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
MO (F )x ( yFz zFy ) MO (F )y (zFx xFz ) MO (F )z ( xFy yFx )
1.空间力偶·力偶矩矢
空间力偶
空间力偶的三要素：
（1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
F1 F1 F2 F2
空间力系
空间力偶
力偶矩矢
M
M(
F
,F
)
rA
F
rB
F
rBA
F
空间力系
n
FR Fi
主矢
n
MO MO (Fi )
主矩
i 1
i 1
空间力系
空间任意力系的简化
FR
(
Fx
)2
(
Fy
)2
(
Fz
)2
cos(FR ,
i)
Fx FR
cos(FR , j)源自 Fy FR
cos(FR ,
（3）当力沿其作用线移动时,它对于轴之矩不变。
空间力系
空间力矩
力对轴之矩的解析表达式：
z
F Fx Fy Fz Fxi Fy j Fzk
Fz
F
B
A(x,y,z)
Fy
M z (F ) MO (Fxy ) MO (Fx ) MO (Fy )
Fx
xFy yFx
MO(F)
A(x,y,z)
r
y
定位矢量
空间力系
2.力对轴的矩
F
空间力矩
z
Fz
od
F Fxy Fxy
M z dFxy
逆时针＋，顺时针－
空间力系
空间力矩
力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。
力对轴之矩合力矩定理：合力对任一轴之矩等于各分力对同
一轴之矩的代数和。
z
Mz(F)
M z (F ) M z (Fz ) M z (Fxy ) MO (Fxy )
M y (F ) zFx xFz
M
z (F )
xFy