空间向量运算的坐标表示修改(曹亦婵)
空间向量运算的坐标表示
(λ∈R)
垂直(a⊥b)
a⊥b⇔a· b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b 均为非 零向量)
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数学-选修2-1
三、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a· b＝________； (2)|a|＝ a· a＝________； (3)a≠0，b≠0， a· b cos〈a，b〉＝|a||b|＝________； (4)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a· b＝0⇔________.
免/费/馈/赠返回菜单数学-选修2-1(3)(p－q)· (p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2 ＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26. p· q (4)cos〈p，q〉＝|p||q| 2，1，3· 2，0，－6 ＝ 2 2 ＋12＋32× 22＋02＋－62 －14 35 ＝ ＝－ 10 . 14×2 10
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数学-选修2-1
利用向量的坐标运算求夹角与距离
在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别 1 是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝4CD，H 是 C1G 的 中点．利用空间向量解决下列问题： (1)求 EF 与 B1C 所成的角； (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值； (3)求 F，H 两点间的距离．
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数学-选修2-1
预习完成后， 请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中
问题 1 问题 2 问题 3 问题 4
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数学-选修2-1
空间向量运算的坐标表示ppt课件
1
则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为( ，1， ).
2
2
于是AM =
1
(
2
− 1)2 +(1
1
2
− 0) +(
2
− 0)2 =
6
.
2
练习巩固
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，M为BC1 的中点，E1 ，F1 分别在
1
4
1
4
棱A1 B1 ，C1 D1 上，B1 E1 = A1 B1 ，D1 F1 = C1 D1 .
(2): (2)·(－)
Ԧ
＝－2(Ԧ · )＝－2 × (－7)＝14；
(＋)·(
Ԧ
－)＝(2，－2,2)
Ԧ
· (2,0，－6)＝2 × 2－2 × 0＋2 × (－6)＝－8.
练习巩固
变式1-1.已知a ＝(−3，2，5)，b ＝(1，5 , −1)，求：
(1)Ԧ +
(2)6Ԧ
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
练习巩固
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
i
O
j
x
(x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 +(z2 − z1 )2 .
空间向量的坐标表示与运算解析几何的高级技巧
空间向量的坐标表示与运算解析几何的高级技巧空间向量是解析几何中的重要内容，它涉及到向量的坐标表示和运算，具有广泛的应用。
本文将介绍空间向量的坐标表示以及相关的运算技巧。
一、坐标表示在三维空间中，任意向量可以用其在坐标系中的坐标表示。
一般来说，我们使用笛卡尔坐标系来表示空间向量。
在笛卡尔坐标系中，我们可以使用三个坐标轴x、y和z来表示向量的三个分量。
假设有一个向量A，其在坐标系中的坐标表示为A=(x, y, z)。
其中，x表示向量A在x轴上的分量，y表示向量A在y轴上的分量，z表示向量A在z轴上的分量。
二、向量的加法与减法空间向量的加法与减法与二维向量的加法与减法类似。
对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的和向量C=A+B的坐标表示为C=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)；它们的差向量D=A-B的坐标表示为D=(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
向量的加法与减法可以通过将各个分量相加或相减得到。
这一点十分重要，因为在解析几何的问题中，我们经常需要对向量进行加法和减法运算。
三、数量积与向量积空间向量的数量积和向量积是解析几何中的两个重要运算，其定义如下：1. 数量积：对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的数量积为AB=x1*x2+y1*y2+z1*z2。
2. 向量积：对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的向量积为C=A×B=(y1*z2-y2*z1, z1*x2-z2*x1, x1*y2-x2*y1)。
数量积和向量积在解析几何的求解中具有重要的作用。
数量积可以用来求解两个向量的夹角，向量积可以用来求解平面的法向量以及计算平行四边形的面积。
四、向量的模长和单位向量向量的模长表示向量的大小，它可以通过向量的坐标表示进行计算。
对于一个向量A=(x, y, z)，它的模长表示为|A|=√(x²+y²+z²)。
(一)空间向量运算的坐标表示课件 高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册
练习3 已知空间三点 −，， , −，， , −，， . 设 = ,
= .
()求||, ||；
()求与所成的角；
()若向量 Ԧ + 与 Ԧ − 2互相垂直，求实数k的值.
练习4 在棱长为的正方体 − 中，，分别是, 上的动
练习1 已知向量 = , −, , = −, , , = , , 求 − + 的
坐标表示。
四、新知运用
例6已知空间四点A −3,3,1 ,B 3, −5,3 ,C(10,0,10)和D(7,4,9)的坐标,求证:四
边形ABCD是梯形.
追问1：梯形的定义是什么？如何来判定一个四边形是不是梯形？
Ԧ
标表示吗？
= , , , = , ,
∙=
追问1：你能由空间向量数量积的坐标表示得到向量的模吗？
|| =
二、新知探究
追问2：你能由空间向量数量积的坐标表示得到向量与的夹角吗？
Ԧ
< , >=
追问3：如果空间向量与垂直，那么
Ԧ
与的坐标有何关系？
Ԧ
问题2：将空间向量平移至空间直角坐标系中成为,
Ԧ
那么的坐标与的坐标
Ԧ
有何关系？
追问1：向量在空间直角坐标系下的坐标如何得到？
问题3：空间向量在空间直角坐标系下的坐标有何几何意义？
Ԧ
二、新知探究
问题4：你能类比平面向量的运算及其坐标表示，结合空间向量坐标的
定义，得到空间向量,
Ԧ 的和、差，数乘的坐标表示吗？
+ =
= , , , = , , , ∈
- =
=
问题5：若//( ≠ ), 那么与的坐标之间有什么关系？
3.2空间向量运算的坐标表示及应用+课件-高一上学期数学北师大版(2019)选择性必修+第一册
k
i
x
实数组 (x，y，z)，使得 =xԦ +yԦ +z
O
j
y
（x,y,z）是的三个坐标
1、空间向量的数量积
思考1：若=2Ԧ+3Ԧ+4,你能说出的坐标吗？
（2,3,4）
思考考3：你发现了什么？
向量终点坐标
A(x,y,z)
例2
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD1的中点为M，B1D1的
中点为N，若以{ , , }为标准正交基，求 的坐标。
解析：因为M是AD1的中点，N是B1D1的中点，
所以＝ ＝ ＝ （＋ ）＝0·＋
＋ ，所以在{，， }下的坐标为（0，
一一对应
向量终点坐标A(x,y,z)
向量的运算
向量坐标=(x,y,z)
a＋b =（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）
a－b =（x1－x2，y1－y2，z1－z2）
λa =（λx1，λy1，λz1）
a·b =x1x2＋y1y2＋z1z2
向量的平行与垂直
∥
⊥
=
∙=
=
线，则m＋n＝
－3
.
解析：＝（3，－1，1），＝（m＋1，n－2，－2）.
∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，
即（m＋1，n－2，－2）＝λ（3，－1，1）＝（3λ，－λ，λ），
+ = ，
＝－，
∴ － = －， 解得 ＝－， ∴m＋n＝－3.
－ = ，
= .
例4
已知a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2）.（1）若｜c｜＝3，d＝b
空间向量及其运算的坐标表示
例1
已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ，求：
A
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
M
B
1 1 3 OM (OA OB ) (3 , 3 ,1) 1, 0 , 5 2 , , 3 , 2 2 2
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
空间向量
空间向量基本定理： 如果三个向量 e1 , e 2 , e 3不共面，那么对 于空间中任一向量 a，存在唯一的有序 实数对( x, y, z ), 使a xe1 ye 2 ze 3 .
共线向量定理: b 0, 则a // b 存在 共面向量定理: a、b不共线，p与a, b 实数 , 使a b. 共面 存在实数x、y, 使p xa yb
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
a 与 b 反向； （2）当 cos a , b 1 时，
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时， 的夹角在什么范围内？
a (x1 , y1 ), R;
a b x1 x2 y1 y2 . 若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ); | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ,
一堂公开课空间向量的坐标运算的改进和反思
一堂公开课《空间向量的坐标运算》的改进和反思前一阶段听了一位老师的试教课，然后与数学教研组的老师一起讨论并提出了思考和建议，授课老师参考建议在后面的公开课中作了改进并取得了较好的教学效果。
下面将各环节的思考和改进的过程作一个简单的呈现，并简述对改进过程的反思。
一、引入1、原来的教学安排：复习：（1）p x a y b z c（2）平面向量：由xa y b可以得到其坐标表示2、思考：能否创设有前后呼应有类比思想有数形结合思想而又切入知识结构实质的问题情境，使学生想要有空间直角坐标系并能建立？两个引入的情境设置建议：一是蚂蚁的位置确定或者是影子蚊子的位置确定；二是类比的问题情境，给出平面、空间几何问题，解决平面几何问题可以借助于平面向量的坐标运算，那么解决空间几何问题呢?（问题2、）3、改进后的教学设计：（1）问题1、正方形ABCD中，E、F分别为BS与DC中点，求证：AE BF。
（可借助平面向量的坐标运算来解决平面几何问题）学生有几何和坐标运算两种方法，教师通过提问强调后一方法的实质：数形结合，其中通过向量的在坐标系下的坐标表示来连结；再让学生归纳后一解法的三个环节，一是建系，二是点、向量的坐标表示，三是由运算来解决问题。
（2）问题2、在棱长为a的正方体ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、BC的中点，求证：A1F C1E。
自然让学生类比问题1的解决想到需要通过空间向量A E B的坐标运算来解决立几问题，从而引出课题，并让学生明确需要解决的三个环节：建系，点和向量的坐标确定，向量的坐标运算和运用。
〖反思〗这样的设计能让学生在数形结合思想引领下，类比平面几何问题中平面向量通过坐标系而转化为坐标运算来解决，因此学生探索中有了一条思维暗线，也能自然悟出需要建立空间直角坐标系，也能类比清晰得到本课的线索：需要建立空间坐标系---如何建立空间坐标系---点的坐标的得到---向量的坐标表示---向量的坐标运算--- 运用解决立几问题，而且平面向量的思路始终引导全过程。
高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册3.2一、空间向量运算的坐标表示(课件)
[答案] 数轴 上的点 ，可用与它对应的实数 表示.
问题2：.平面直角坐标系上的点 ，怎样表示呢？
[答案] 平面直角坐标系上的点 ，可用一对有序实数 表示，如图.
问题3：.我们能否建立一个空间直角坐标系？空间点的坐标又该怎样表示呢？
[答案] ，根据向量模的公式，可得 .
问题2：.如图，若把 ， 放在三维空间中，如何求 ？
[答案] ，根据空间向量模的公式，可得 .
问题3：.问题2中的向量 与 轴夹角的余弦值是多少？
[答案] 由问题2知 ，取 轴的单位向量 ，则向量 与 轴夹角的余弦值为 .
新知生成
探究2 空间向量平行（共线）和垂直的条件
如图，正方体 的棱长为1，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴,建立空间直角坐标系.根据建立的坐标系，回答下列问题.
问题1：.如何证明 ？
[答案] 因为 ， ，所以 ，所以 ，又 ， ， ， 不共线，所以 .
2.向量的坐标若点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 .也就是说:一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
3.空间向量的坐标运算设 ， ，空间向量的坐标运算法则如下表所示:
运算
坐标表示
加法
_________________________
2.把向量 平移后，其坐标有没有变化？
[答案] 向量平移后其坐标不发生变化，变化的是向量的起点与终点的坐标.
3.在空间向量中，若 ， ，你能类比平面向量计算 ， ， ， ， 及 吗？
[答案] 能， ， ， ， ， ，
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
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课题：空间向量的坐标表示
使用说明：
1.用15分钟左右的时间，阅读课本第36—38页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；
2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习。
3.通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的学习目标。
学习目标:1. 掌握空间向量运算的坐标表示。
2. 掌握空间向量的长度公式及两向量的夹角公式。
3. 利用空间向量的坐标运算解决一些简单的几何问题。
重点和难点:
重点：坐标运算公式
难点：建立空间直角坐标系。
学法指导: 1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的学习目标 2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案 3.带图片的部分为数学史阅读了解内容。
4.带*号的为选做题。
自主探究:
一、先关知识链接
设23a i j k =-+
，则向量a 的坐标为 . 二、教材助读
1.设),,(321a a a a =
，则=a
2.设),,(321a a a a =
，),,(321b b b b = ，则
⑴=+b a ； ⑵=-b a
；
⑶=a λ ； ⑷=∙b a
3. >=<b a
,cos 4.b a b a
与⇔⊥的坐标关系为
三、预习自测
1. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB
＝ .
2. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a +b ，a -b ，8a ，a b ∙，（2a +b ）∙（a -3b ）
3.判断下列向量是否平行或垂直：
（1）)1,2,1(),3,2,1(=-=b a
（2）)1,1,0(),3,3,0(-=-=b a
（3）)2
3,1,0().2,3,23
(-=-=b a
4.已知向量)5,,2(x a -=，),4,8(y b -=， （1）若两向量共线，求x ，y
（2）若两向量垂直，求x ，y 满足的条件
5.已知A （1,1,0），B （0,3,0），C （2,2,3）求><AC AB ,cos
探究案： 基础知识探究
1.判断下列命题是否正确：
（1）若,a b a c ⋅=⋅ 则b c = ；（ ） (2) 若0,a b ⋅=
则a b ⊥ ；（ ）
（3）()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ；（ ） （4）00a ⋅= ．（ ）
（5）2
||a a a =⋅； （ ） （6）222)(b a b a =⋅ ( )
2.在ΔABC 中，已知AB ＝(2,4,0),BC ＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝ .
3.已知a
=(1, 5,-1)，b =(-2, 3, 5).（1）若向量 b a k +与b a 3-互相平行，求k 的值. （2）若向量b a k +与b a
3-互相垂直，求k 的值.
4.已知向量)4,2,4(--=a
，)2,3,6(-=b 求：
b a
∙)1( b
)2( )2()32).(3(b a b a
-∙+
综合应用探究
1.),,(321a a a a = ，),,(321b b b b = ，则
3
32
21
1b a b a b a ==是b a
//的（ ） A..充分不必要条件 B.必要不充分
C.充要条件
D.既不必要也不充分条件
2.设向量)1,5,1(-=a
，)5,3,2(-=b
(1)若)3//()(b a b a k
-+，求k 的值
（2）若)3()(b a b a k
-⊥+，求k 的值
我的收获：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 试一试，你能行！。